数列解答题备考考点专项训练——2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦数列解答题核心考点，通过10道分层题组系统覆盖等差等比运算、递推求通项、数列求和及不等式综合，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差等比基础|3题|已知Sn或基本量求通项、前n项和|从定义出发，通过方程思想建立a1、d(q)关系，体现概念生成到公式应用| |递推关系应用|3题|由递推式证数列类型、求通项|通过构造法（如等比数列）实现递推到通项的转化，培养逻辑推理| |数列求和|4题|错位相减、裂项相消、分组求和|基于通项特征选择求和方法，体现运算能力与转化思想| |综合应用|3题|与不等式结合的恒成立问题|以数列为载体，通过函数单调性分析参数范围，发展模型观念|

数列解答题备考考点训练 1．已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．已知等差数列的前项和为，其中，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的的值构成的集合. 3．已知等差数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 4．已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，是和的等比中项。 (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)对于（2）中的，若对于恒成立，求实数的最大值． 5．已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 6．已知数列满足，，数列满足， (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，即，，，，，，， ，设的前项和为，求（请用数字作答，附：，）. 7．已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. (3)设，数列的前项和为，若，求的值. 8．正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 9．已知数列满足，（为常数）． (1)是否存在常数，使得为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)在（1）的结论下，当为递增数列时，证明：． 10．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求证：； (3)设，数列的前项和为.若对恒成立，求实数的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 《数列解答题备考考点训练》参考答案 1．【详解】（1）因为，所以，， 两式相减，得，即，故， 当时，，所以，满足， 所以数列为以为首项，4为公比的等比数列，所以. （2）由（1）得， 所以数列的前项和. 2．【详解】（1）由可知，，， 联立，得，故，因此数列的通项公式为； （2）因为， 故即， 解得，故， 即满足条件的的值构成的集合为. 3．【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得，所以. （2）由（1）知，则，所以， 得. 4．【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为， 可得，解得，所以， 则， 因为是和的等比中项，可得，即，所以， 设等比数列的公比为，则，可得，解得， 所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，，可得， 则，可得， 两式相减，得 ， 所以，即数列的前项和为. （3）解：由（2）知： 因为恒成立，即恒成立， 即恒成立， 设，可得， 当时，，即； 当时，，即， 所以，所以数列的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值为. 5．【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，，解得：， ； （2）由（1）知， 当为偶数时， 当为奇数时，为偶数， 所以 （3）当为偶数时，得 当时，有最小值，所以 当为奇数时，，所以 由单调递增， 所以当时，有最小值，所以． 综上，实数的取值范围是 6．【详解】（1）对于数列，由可得，     又，所以，    所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 故，得.    对于数列，设， 则当时，，得，     时，     故； （2）新数列结构为：后插1项，后插3项，，后插项，到为止总项数为 . 当时，到共项， 故的前90项中有9项，有81项， ， 故. 7．【详解】（1）因为，且，可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. （2）由（1）可知：， 当时，则，且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则，所以数列的前n项和为. （3），则， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 由，则当为奇数时，有，解得， 当为偶数时，有，解得， 综上可得，或. 8．【详解】（1）证明：当时，，解得， 当时， ， 与作差可得：， 数列是正项数列，，，即， ，即， 所以数列是等差数列． （2）由（1）知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，即，当时，， ，，， 则. 9．【详解】（1）由已知得前三项分别为，，， 假设为等比数列，则，解得或， 当时，是每一项均为的常数列，也是等比数列； 当时，，则以为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）知，时为递增数列，显然， 当时，，则， 综上，，得证. 10．【详解】（1）由，两边同除以得，即， 又，故，所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 解得，所以. （2）， 所以，得证. （3）由（1）知， 故数列的前项和为：， 将代入不等式，得，即， 因为，所以，两边同乘得 令，分析其单调性：， 故在上单调递减，因此， 要使对恒成立，只需，即，所以，实数的取值范围为. 答案第4页，共5页 答案第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $