专题02 数列(基础+中档) 解答题专项训练-2026届高考数学三轮冲刺

**基本信息** 以“定义-通项-求和”为逻辑主线，系统整合等差等比数列定义应用及错位相减、裂项相消等核心求和方法，通过各地模拟典例实现基础到中档突破，培养推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义法求解等差、等比数列|6题|定义法求通项与前n项和|从定义出发推导通项公式，构建数列研究基础| |错位相减法、分组求和|7题|错位相减处理“等差×等比”型，分组求和拆分复杂数列|针对数列结构特征选择求和策略，体现数学思维的严谨性| |裂项相消法、放缩法|10题|裂项相消简化分式型数列，放缩法证明不等式|通过代数变形实现求和化简，培养运算能力与逻辑推理| |并项求和、奇偶项问题|6题|并项处理周期性数列，奇偶项分类讨论|针对特殊结构数列分类整合，提升问题解决灵活性| |数列的其他求和方法|7题|插入项构造等差、去项重组等创新求和|拓展求和方法应用场景，强化模型观念与应用意识|

专题02 数列(基础+中档) 题型1：定义法求解等差、等比数列 题型2：错位相减法、分组求和 题型3：裂项相消法、放缩法 题型4：并项求和、奇偶项问题 题型5：数列的其他求和方法 题型1：定义法求解等差、等比数列 1．（2026·河北张家口·二模）已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2．（2026·山西吕梁·二模）设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，证明：. 4．（2026·山东青岛·模拟预测）已知为等差数列的前项和，，. (1)求； (2)求数列的前项和. 5．（2026·重庆九龙坡·一模）设等比数列的前项和为，已知，. (1)求和； (2)设，证明：. 6．（2026·山东枣庄·一模）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和， 题型2：错位相减法、分组求和 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）在数列中，． (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：． 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 9．（2026·浙江嘉兴·二模）已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 10．（2026·四川宜宾·三模）已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和. 11．（2026·江西·三模）已知正项等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 12．（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 13．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 题型3：裂项相消法、放缩法 14．（2026·广东惠州·二模）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最大值. 15．（2026·河北·二模）已知是数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 16．（2026·湖南·三模）已知正项数列满足，且. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前n项和. 17．（2026·四川德阳·三模）已知数列中，． (1)求； (2)设，证明：数列是等比数列； (3)记，求数列的前n项和． 18．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（2026·山东泰安·模拟预测）已知数列、的前n项和分别为、，，，为等比数列且，. (1)求、； (2)求数列的前n项和. 20．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． 21．（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. (1)分别求，，的值； (2)求的表达式，其中；（用含k的式子表示） (3)若数列满足，记的前n项和为，证明：. 22．（2026·天津·一模）已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）求证：． 23．（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 24．（2026·福建厦门·二模）对于函数，若，存在唯一的实数，使得，则称存在“数列”，其“数列”为，已知. (1)证明：存在“数列”. (2)若恒成立，求的取值范围. (3)记的“数列”为，证明：的前项和. 题型4：并项求和、奇偶项问题 25．（2026·天津和平·二模）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 26．（2026·河北沧州·二模）已知为数列的前项和，，，，且，. (1)求； (2)求的值. 27．（2026·安徽安庆·三模）设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 28．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 29．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 30．（2026·广东广州·一模）已知数列的前n项和为，且满足，又知，． (1)求，； (2)求的通项公式； (3)，求的前n项和． 题型6：数列的其他求和方法 31．（2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 32．（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 33．（2026·江苏镇江·二模）已知数列的首项是，且． (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最小整数n的值． 34．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在数列中，已知，. (1)求证数列是等比数列； (2)设，，记数列的前项和为，若对于恒成立，求的取值范围. 35．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 36．（2026·河北沧州·一模）某学习小组收集到了类似于数列的“向量列”：满足，且，． (1)求，，的值，判断数列是否为等比数列.若是，请加以证明；若不是，请说明理由． (2)求数列的前n项和． 37．（2017·上海·二模）已知数列中，，，对任意都成立，数列的前n项和为． (1)若是等差数列，求k的值； (2)若，，求； (3)是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数列(基础+中档) 题型1：定义法求解等差、等比数列 题型2：错位相减法、分组求和 题型3：裂项相消法、放缩法 题型4：并项求和、奇偶项问题 题型5：数列的其他求和方法 题型1：定义法求解等差、等比数列 1．（2026·河北张家口·二模）已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据等量关系建立方程，求解出和，进而得到两个数列的通项公式；（2）使用错位相减法求解即可. 【详解】（1）依题意可知，，解得， 所以，． （2）由（1）可知，，则 ， ， 两式作差得 ， 所以． 2．（2026·山西吕梁·二模）设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本量法可求首项与公比，故可求通项公式； （2）求出的通项，利用裂项相消法结合不等式的性质可证题设中的不等式. 【详解】（1）设公比为，则，故， 故. （2），故， 所以. 3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等差数列的性质列方程求解; （2）由,进行裂项相消求和得证. 【详解】（1）由题意得 解得 所以. （2）由， 所以 . 4．（2026·山东青岛·模拟预测）已知为等差数列的前项和，，. (1)求； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）利用裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）因为数列是等差数列， 所以由， 所以公差为， 所以； （2）， 所以，因此 5．（2026·重庆九龙坡·一模）设等比数列的前项和为，已知，. (1)求和； (2)设，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用等比数列的通项公式和前项和公式列式求解； （2）利用裂项相消法求前项和即可证明. 【详解】（1）由为等比数列，，可得， 即，，解得， 所以，，. （2），， ， 因为，所以，从而. 6．（2026·山东枣庄·一模）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式列式求，进而可得通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得：，解得， 所以数列的通项公式. （2）因为， 则. 题型2：错位相减法、分组求和 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）在数列中，． (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明； （2）根据（1）求出，，利用错位相减法求出，进行证明. 【详解】（1）由，可得，又因为，所以，所以是首项为1，公差为3的等差数列． （2）由（1）知，，所以， ，① ，② ①-②得， ，所以， 又，即． 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求数列的通项公式，再根据公式，求解数列的递推关系式，通过构造求数列的通项公式； （2）首先利用倒序相加法求数列的通项公式，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）因为，且数列是公差为的等差数列，所以， 所以， 当时，，两式相减，得， 所以，所以， 所以数列是常数列，所以，即. （2）因为，所以. 又， 两式相加，得. 所以. 所以， ， 两式相减，得 . 所以. 9．（2026·浙江嘉兴·二模）已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】(1)通过配凑可得到；(2)依据数列的特征，用错位相减法即可求得. 【详解】（1），且 因此，是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）：，因此 令 两式相减得： 所以，. 10．（2026·四川宜宾·三模）已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，结合等比数列定义即可得证； （2）由等比数列性质可得数列的通项公式，再借助等比数列求和公式分组求和即可得. 【详解】（1）由，可得， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 则. 11．（2026·江西·三模）已知正项等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等差中项建立关于公比的方程，解方程即可得公比，再根据通项公式求解即可； （2）结合（1）得，进而根据分组求和与错位相减法求和求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为． 因为成等差数列，所以． 因为，所以，整理得， 解得或． 因为，所以， 故的通项公式为． （2）由（1）知． 记数列的前项和为，则． 因为， 所以两式相减得， 所以． 因为数列的前项和为， 所以． 12．（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【答案】(1)数列的前项依次为 (2) 【分析】（1）先根据等差数列、等比数列的通项公式，分别求出和的通项，再按​的分段定义，依次代入到，区分奇偶项计算得到前项； （2）将​拆分为前项中的奇数项和与偶数项和两部分：奇数项是的前个奇数项，构成新等差数列，用等差数列求和公式计算；偶数项是的前个偶数项，构成新等比数列，用等比数列求和公式计算，最后将两部分和相加得到​． 【详解】（1）根据题意可得，， 所以，，， ，，， 所以数列的前项依次为． （2） ． 所以． 13．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理得出数列的递推关系，进而判断数列类型，求出通项公式. （2）先求出，进而得到的表达式，然后利用分组和裂项相消法求出. 【详解】（1）因为，是关于x的方程的两个根. 所以由韦达定理得，即， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以. （2）由（1）得，所以. 所以根据韦达定理得，所以. 所以. 所以. 题型3：裂项相消法、放缩法 14．（2026·广东惠州·二模）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和的关系求解即可； （2）求出，采用裂项相消法求出前项和为，解，即可得到答案. 【详解】（1）由条件有时，， 又，所以，， 则， 经检验，满足， 所以的通项公式. （2）由（1）得数列 则 ， 因为，所以， 又，故的最大值为. 15．（2026·河北·二模）已知是数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用与关系可推导得到，结合等差数列通项公式可分别得到为奇数和为偶数时的通项公式，进而得到； （2）根据等差数列求和公式可得，采用裂项相消法可求得，进而证得结论. 【详解】（1）当时，，， ，又，； ，即，； 则当为奇数时，；当为偶数时，； . （2）由（1）得：， ， ， ，. 16．（2026·湖南·三模）已知正项数列满足，且. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明为等差数列，即证为常数，对条件化简即可证明； （2）先求的表达式，求出，化简通项，再分奇偶讨论前项和即可. 【详解】（1）由得，， 所以 ， 故是首项为1，公差为1的等差数列； （2）因为，所以由（1）可知，，则. 所以 . 当为偶数时， 当为奇数时， 综上所述，. 17．（2026·四川德阳·三模）已知数列中，． (1)求； (2)设，证明：数列是等比数列； (3)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由递推公式可得答案； （2）证明为常数即可完成证明； （3）由（2）分析可得，，然后由裂项求和法可得答案. 【详解】（1）数列中，， 则，； （2）由，则，则， 从而是以为首项，公比为2的等比数列； （3）由（2）， 则 ， 从而. 18．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由，得，将这两个等式作差结合等差中项法可证得结论成立，在等式中令，可求出的值，结合可求得该数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，得出，结合题意得出对恒成立，于是得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由①，得②， ②−①得③，则④， ④−③得，即， 所以是等差数列，设其公差为， 由，得，所以． 因为，所以公差， 所以． （2） ， 所以． 由对恒成立，得，即． 设，由对恒成立， 得，解得或，故的范围为． 19．（2026·山东泰安·模拟预测）已知数列、的前n项和分别为、，，，为等比数列且，. (1)求、； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先由的递推关系式可构造一个等差数列，进而可得，再根据与的关系可得，对于求可用等比数列的前n项和性质解得，也可根据前n项和公式解得； （2）直接裂项求和可得，即可按裂项，也可按裂项可得. 【详解】（1）由得，即， 又，是以为首项，2为公差的等差数列， ，， 时，， 时，，符合上式， 综上， 求方法一： 设公比为，由，得， ，.. 求方法二： 若，则.， ，. （2）由（1）知，， （拆项方法二）：， 20．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）令，结合条件化简计算得，即可证明； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）根据题意，令， 当时，， ， 所以， 且，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2）根据（1）可得，所以， 则， 所以 . 21．（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. (1)分别求，，的值； (2)求的表达式，其中；（用含k的式子表示） (3)若数列满足，记的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推关系结合单调性及整数的性质可求，，的值； （2）根据题设条件结合（1）的结果可得，从而可求的表达式， （3）先证明不等式，再结合（2）中结果可证题设中的不等式. 【详解】（1）因为，故即，故即， 所以即，而为递增数列， 故，而为正整数，故. 综上，. （2）因为，故，故， 故. 综上. （3）因为，故，故， 下证：，. 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故即，恒成立. 由所证不等式可得，其中， 故， 故 . 综上，. 22．（2026·天津·一模）已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）求证：． 【答案】(1)， (2)（i） （ii）证明见解析. 【详解】（1）因为数列是单调递增的等差数列，故设的公差为. 设数列的公比为. 由，，， 得， 又，解得， 所以. （2）（i）由（1）知， 所以， ， 同理. , 所以； （ii）， . 设，① 则，② ①-②得， 所以 ， 则，所以. 23．（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由数列的通项公式可得，利用放缩法即可得到，再利用裂项相消法即可证明. 【详解】（1）当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； （3）因为 ， 所以 ，即命题得证. 24．（2026·福建厦门·二模）对于函数，若，存在唯一的实数，使得，则称存在“数列”，其“数列”为，已知. (1)证明：存在“数列”. (2)若恒成立，求的取值范围. (3)记的“数列”为，证明：的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由函数单调性和值域结合“数列”定义即可证明； （2）分离参数，利用导数研究函数的单调性求解最值即可求解； （3）由已知得，故，结合得到，即可推出，继而可用放缩法得到，从而利用裂项法求和，证明不等式即可. 【详解】（1）由，得， 则在区间上单调递减，又， 当且时，，则的值域为， 所以，令，可知其在区间上存在唯一解，不妨设解为， 即，都存在唯一的实数，使得， 即存在数列. （2）若恒成立，即恒成立. 令，即恒成立. 令，则， 令，， 则，当且仅当时取等号， 则在区间上单调递减， 得到，即，故在区间上单调递增， 可得，得到，即. （3）令，则， 可得在上单调递增，得到， 则，即， 可得，故， 而，可得，解得， 则（且）， 当时，； 当时，. 综上，的前项和. 题型4：并项求和、奇偶项问题 25．（2026·天津和平·二模）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）变形给定等式，构造常数列求出通项公式. （2）利用等比数列前n项和公式，结合差值比较法推理证明. （3）按为偶数、奇数分类，利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，即， 因此，数列是常数列，则，即， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，则，数列是等比数列， 则，，， ， ，因此， 所以对任意，. （3）由（1）得，所以，， 则， 当n为偶数时，， 设，， ， ， 两式相减得 ，于是， 又， 因此； 当n为奇数时，， ，而满足上式， 所以. 26．（2026·河北沧州·二模）已知为数列的前项和，，，，且，. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2)110 【分析】（1）先判断数列的奇数项和偶数项分别构成等差数列，先确定这两个等差数列的首项，可通过​求出偶数项的首项分别推导奇数项和偶数项的通项公式，再整合得到​的表达式； （2）先根据​的通项公式求出前n项和​的表达式，利用分组求和法计算该和. 【详解】（1）依题意，，，则， 又，所以， 又，所以，解得， 则数列中所有的奇数项是以为首项，公差为2的等差数列， 所以，即n为奇数时，， 数列中所有的偶数项是以为首项，公差为2的等差数列， 所以，即为偶数时，， 所以. （2）由（1）可知，，， 则 . 27．（2026·安徽安庆·三模）设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用等差数列基本量运算结合等差数列求和公式计算，再应用计算求解； （2）应用等比数列求和公式及对数运算分组求和计算求解. 【详解】（1）因为与的等比中项为3，，所以，所以，即， 设等差数列的公差为d，因为，所以，即，， 所以，即. 当时，， 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知， 则 . 所以数列的前项和为. 28．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 29．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列的等差中项性质，结合已知条件建立方程求解基本量和公差，再利用因式分解处理数列递推关系，根据正项数列确定等比关系，从而得到通项公式； （2）数列按奇偶项分组求和，奇数项直接利用等比数列求和，偶数项通过裂项相消法化简求和，最终将两部分相加得到前项和. 【详解】（1）是等差数列，由等差中项性质得：，得， 又，所以，公差， 所以； ， 因为数列各项为正数，，故， 即是首项、公比为的等比数列，则通项公式：； （2）由的定义，前项和可分为奇数项和与偶数项和两部分： 设奇数项和为，设偶数项和为， ， 为奇数时，奇数项为，是首项为、公比为的等比数列， 共项，故， 为偶数时，设，则：， 裂项相消求和：， 所以. 30．（2026·广东广州·一模）已知数列的前n项和为，且满足，又知，． (1)求，； (2)求的通项公式； (3)，求的前n项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用已知递推式结合已知条件，代入计算求解； （2）利用已知递推式，运用错位相减法求出递推关系，再分奇、偶项分类讨论求解； （3）先求出的通项公式，再根据的性质，分奇、偶数讨论求解． 【详解】（1），，， ，解得，故； 同理，解得， ． （2）①， 时， ②， 式①减②得， ， 又符合上式， 数列的奇、偶项分别成等差数列， 当时，首项，公差， 则， 当时，首项，公差， 则， 综上，． （3）， i）当时， ， ii）当时，则， ， 综上，． 题型6：数列的其他求和方法 31．（2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式求出及的关系，从而可判断数列的特征； （2）首先求出数列的通项公式，观察可知需要通过错位相减法求解其前项和． 【详解】（1）， 当时，，解得． 又当时，， ，， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列． ． （2）， 由题意知，. ， 设数列的前项和为， ， ， 则， 两式相减得：， 即， ． 32．（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 【答案】(1) (2)1176 【分析】（1）根据等差中项的性质以及和的关系即可求解； （2）首先求出的通项公式，然后令，可得所有的都在中，最后根据去掉的项利用分组求和即可求解. 【详解】（1）由等差数列性质得： ①， 当时，，解得， 当时，有： ②， ①-②得：， 整理得： ， 因此是首项为，公比为2的等比数列， 故. （2）设，代入得： ， 因此，是首项为，公差为的等差数列， 令，即，得，为正整数， 故所有的都在中（小于，不在中）， 要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足， 去掉的项为，共个（，故不在的前35项中）， 故，即的前30项和等于前35项和减去5个的和， 前35项和：， 去掉的5个的和：， 因此. 33．（2026·江苏镇江·二模）已知数列的首项是，且． (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最小整数n的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 所以， 又， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 可得. （2）由（1）得为等比数列， 设数列的前项和为，， 所以， 构造函数令，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数， 为整数，所以当，，不成立， 当，，成立， 所以满足条件的最小整数n的值为. 34．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在数列中，已知，. (1)求证数列是等比数列； (2)设，，记数列的前项和为，若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）可得 故 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知， 由单调递增，可知， 故，解得， 即的取值范围为. 35．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)元素个数为9 (3)，最小正整数 【分析】（1）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合已知即可证明； （2）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合得出，再根据的范围即可求解； （3）由分组求和，错位相减法求得，再根据单调性即可求解最小正整数． 【详解】（1）设的通项公式为，，的通项公式为 因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以． （2）由，得，，所以， 又因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，元素个数为9． （3）由已知得，，， 设， 设① ② ①-②得：， ， 所以， 因为，， 所以单调递增， 又，，，， 所以最小正整数． 36．（2026·河北沧州·一模）某学习小组收集到了类似于数列的“向量列”：满足，且，． (1)求，，的值，判断数列是否为等比数列.若是，请加以证明；若不是，请说明理由． (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，，，数列是等比数列，证明见解析 (2) 【分析】（1）由向量数量积的运算律结合等比数列的概念即可求解； （2）由（1）求得通项公式，再由错位相减法即可求解. 【详解】（1）因为，所以； 由，，，可得，其中； 同理，，其中； 由，，，得数列是等比数列． 证明如下： ， 即， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列． （2）由（1）知， 所以， 所以， ， 两式相减可得， ， 则． 37．（2017·上海·二模）已知数列中，，，对任意都成立，数列的前n项和为． (1)若是等差数列，求k的值； (2)若，，求； (3)是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据等差数列性质得，即可得参数值； （2）根据已知得，讨论的奇偶性求； （3）由题设有，，，讨论不同的等差中项，结合已知求参数值，判断存在性. 【详解】（1）由题意，数列是等差数列，可得， 即，即，故． （2）由时，，即， 整理得，故． 当n是偶数时，； 当n是奇数时，， ． 综上，． （3）若是等比数列，则公比， 由题意，故，，． ①若为等差中项，则，即，，解得（舍去）； ②若为等差中项，则，即，． 因为，解得，； ③若为等差中项，则，即，． 因为，解得，， 综上，存在实数k满足题意，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $