专题07 数列(压轴) 解答题专项训练-2026届高考数学三轮冲刺

专题07 数列(压轴) 题型1：取值范围与最值问题 题型2：证明类问题 题型3：数列与解析几何相结合问题 题型4：数列与导数相结合问题 题型5：数列与概率统计相结合问题 题型6：新定义的问题 题型1：取值范围与最值问题 1．（2026·北京昌平·一模）设数列，若存在公比为的等比数列，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”． (1)写出数列的一个“等比分割数列”； (2)若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比的取值范围； (3)若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求的最大值． 【答案】(1).（答案不唯一） (2) (3)5 【分析】（1）由于是公比为2的等比数列，因此“等比分割数列”的公比也取2，易得结论； （2）利用定义得出，然后确定出的最小值即得； （3）用反证法证明时，数列不存在“等比分割数列”，然后对找出“等比分割数列”数列即证． 【详解】（1）由，可以取，得.（答案不唯一）； （2）由得， 所以， 令， 则单调递减，所以的最小值是， 所以公比的取值范围是； （3）首先证明时，数列不存在“等比分割数列”， 假设当时，数列存在“等比分割数列”， 则． 易知， 因为且，则，而，所以， 又因为，所以， 与矛盾， 所以当时，数列不存在“等比分割数列”． 所以， 当时，数列，存在首项为，公比为的数列满足： , 所以时，数列存在“等比分割数列”， 所以的最大值是5. 2．（2026·江西·模拟预测）设数列的前项和为，且，若，记数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)求； (3)记集合，若的子集个数为8，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助与的关系及等比数列定义计算即可得； （2）借助裂项相消法计算即可得； （3）借助等比数列求和公式计算可得关于的不等式有个正整数解，构造数列，借助作差法可判断该数列单调性，即可得该数列中最大的三个数，即可得解. 【详解】（1）当时，，则， 即，当时，，即， 又，则有，故对任意恒成立， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； （2）， 故 ； （3）， 则 ， 由的子集个数为8，则中有个元素， 故关于的不等式有个正整数解， 令，则， ， 则数列在时单调递增，在时单调递减， 即， 又， 当时，， 故的三个正整数解为、、， 故，又，， 故. 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）若各项均为正数的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若正项等比数列，满足，求； (3)对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据项与和的关系，可得到数列的递推公式，由此判断数列是等差数列，从而求得其通项公式； （2）由题意求出等比数列的通项公式，根据错位相减求和法，求得； （3）分离参数，并构造新函数，通过分析新函数的最值情况，得到实数的取值范围． 【详解】（1）由，可得，且， 又，所以， 即， 因为，所以，所以，        所以是公差为的等差数列. 又，得，所以. （2）设的公比为，因为，所以， 即，解得舍或， 因为，所以，， 所以， ， 两式相减得:. 所以； （3）由（2）得不等式，可变为 当为奇数时，， 记，所以， ， 令，得，所以. 所以时，，即，即， 时，，即，即且取奇数时，单调递增， 此时，即； 当为偶数时，，所以， 时，，即， 时，，即，且取偶数时，单调递增. 此时，所以，即. 综上所述，实数的取值范围为. 4．（2026·广西南宁·二模）已知数列满足，，，函数． (1)证明：数列是等差数列． (2)求使不等式成立的最小正整数的值． (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）对已知条件进行变形，结合等差数列的定义判断即可. （2）根据（1）的结论求出，再利用对数运算性质化简，得到关于的不等式后，通过构造函数或试值法求解最小正整数即可. （3）通过分离常数即换元法将不等式变为，构造函数，结合单调性与最值的关系，求出的最小值，进而确定的取值范围. 【详解】（1）由可得，， 则，即， 又，故数列是以首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）知，，所以. . 则. 则不等式可化为. 设， 因为，在定义域内均为增函数， 所以在定义域内为增函数， 又， 令，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值，又， 所以，即，也即当时，. 因为，所以，所以，即当时，. 所以不等式成立的最小正整数的值为3. （3）若恒成立，即恒成立. 令，则的取值集合为，且， 则不等式可化为，即恒成立. 设，， 则. 令，， 则 . 当时，，，， 所以，则在上单调递增，故，则， 故在上单调递增. 当时，， 所以，即实数的取值范围为. 5．（2026·安徽·模拟预测）若数列满足：对任意，总存在，使得，则称数列是“可拆数列”. (1)判断数列是否为“可拆数列”？并说明理由； (2)若首项为1的等比数列是“可拆数列”，求数列的通项公式； (3)若“可拆数列”是递增数列，，求使成立的的最值. 【答案】(1)数列是“可拆数列”，理由见解析； (2)或 (3)的最小值为，最大值为 【分析】（1）根据可拆数列定义判断和证明即可. （2）设等比数列的公比为，求得，根据“可拆数列”定义，结合可拆数列定义进行验证，最后得到通项公式. （3）分析数列规律，列举计算得到的最小值；结合可拆数列的定义结合条件可得，进而可得的最大值. 【详解】（1）数列是“可拆数列”. 理由如下：假设数列是“可拆数列”. 设，当，取， 则， 即存在，使得， 则数列是“可拆数列”. （2）设等比数列的公比为，则，因为是“可拆数列”， 所以对任意，存在，使得， 于是即， 又，所以， 解得或， 当或时，，即， 于是对任意，总存在， 使得， 所以数列的通项公式为或 （3）因为数列是“可拆数列”，则对任意， 当时， 当或时，因为数列为递增数列，所以 综上，对任意，都有 又，所以，， ，，， ，， ，. 又，又数列为递增数列，所以， 当以上格式等号同时成立时，故 因为数列是“可拆数列”， 所以对任意，存在，使得， 而，所以对任意的，必存在，使得， 又数列为递增数列，， 则， 解得，由，得， 当时取等号，故 综上所述，使成立的的最小值为，最大值为. 6．（2026·陕西西安·模拟预测）首项为的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②． (1)证明：中相邻两项不可能同时为非负数； (2)记，若对任意成立，求的通项公式； (3)对于给定的正整数，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)当为奇数时，的最大值为；当为偶数时，的最大值为. 【分析】（1）假设数列中存在、同时为非负数，分两种情况、讨论，结合不等式的基本性质推出矛盾，即可证得结论成立； （2）根据数列的单调性可知数列的偶数项、、、、是单调递增数列，进而得出，，即可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可得出数列的通项公式； （3）由（1）知，当时，，推导出；当时，，推导出，然后分为奇数、偶数两种情况讨论，结合并项求和法以及不等式的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）假设数列中存在、同时为非负数， 因为， 若，则有，与已知矛盾． 若，则有，与已知矛盾． 所以假设不成立，即中相邻两项不可能同时为非负数． （2）因为，． 因为对任意成立，所以为单调递增数列． 即数列的偶数项、、、、是单调递增数列． 由题意计算得出，， 因为数列单调递增，所以当时，恒成立， 所以时，，，即，． 所以，， 则， 又，， 所以是以，公差为的等差数列，. （3）由（1）知，当时，， 根据，有，所以， 当时，， 根据，有，所以， 所以当为奇数时，，则的最大值为； 当为偶数时，，的最大值为. 7．（2026·浙江杭州·模拟预测）若为项数列，若存在数列满足：①；②中的最大项为1，最小项为0，则称是“-好数列”． (1)请写出所有第二项为的“3-好数列”； (2)若为单调不增（即）的“2026-好数列”，求的最大值； (3)若为“-好数列”，记为中的最大项，为中的最小项，求最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据“3-好数列”定义列举即可； （2）根据“2026-好数列”的定义，结合单调不增，证得单调性，得出，再进行放缩即可； （3）根据“-好数列”的定义，存在，使得，存在，使得， 讨论的大小关系，结合进行放缩，得到，并给出1个的即可. 【详解】（1）若，则，，则，符合题意； 若，则，则不符合题意； 若，则， 若，则，不符合题意， 若，则符合题意. 所以或. （2） 由于为单调不增（即）的“2026-好数列”， 则， 则，， 即， ，， 当时取等号， 则的最大值为. （3）由题意，存在，使得，， 存在，使得，， 若，则，， 结合可得， 若，则，， 结合可得， 当时，， 综上，最小值为. 题型2：证明类问题 8．（2026·北京西城·一模）对任意无穷数列，定义从起连续k项的和为：，其中k，i为任意正整数．若无穷数列满足：对任意和，存在，使得，则称数列具有性质T． (1)设，其中．判断数列是否具有性质T？说明理由； (2)已知数列具有性质T， （i）求集合中元素个数的最大值； （ii）证明：存在正整数t，对任意，有． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)（i）4；（ii）证明见解析 【分析】（1）首先分析数列为周期数列，再根据性质的定义即可判断； （2）（i）分别取取和，再利用反证法即可证明； （ii）利用（i）中的结论证明得存在，，满足，其中，再分和时证明即可. 【详解】（1）数列具有性质． 理由如下：数列满足，其中， 即是周期为4的周期数列． 所以对任意和，当时，． 故数列具有性质． （2）（i）取，由性质得：存在，使得． 同理，取，由性质得：存在，使得. 以此类推，得数列中任意连续4项中，必有一项的值等于． 同理，得对于数列中的每一项之后的任意连续4项中，必有一项的值等于． 假设的取值超过4个，不妨设有5个值不同的项， 由上述结论，知在之后的连续4项中，这5个不同值都会出现，这是不可能的． 所以中至多只有4个不同的取值． 又因为周期数列：具有性质， 所以集合中元素个数的最大值为4． （ii）考察由连续4项构成的数组， 由（i）知的取值不超过4个，故这样的数组个数不超过． 所以在这257个数组中至少存在两个相同的， 即存在，，满足，其中． 以下证明：若，则，即证． 由性质，知存在，使得． ①若，即时，去掉上述等式两边的公共项，得 若，上式即为． 若，由，知，所以． ②若，因为，所以． 当时，由，得， 记其值为，由性质知，在其后四项出现，所以； 当时，由，得， 分别记其值为，，由性质，知，所以； 同理，得当时，均有． 综上，可推导出． 从而由，得，即得， 进而得到， 所以存在正整数，对任意，有． 9．（2026·广西贵港·三模）向量列满足：对任意的，都有，其中为单位向量，．记向量与的夹角为．    (1)当时， ①在如图中画出，并直接写出的值； ②求的通项公式． (2)当时，对任意的，将所对应的值依次排列形成数列，记数列的前项和为．证明：． 【答案】(1)①作图见解析，，；② (2)证明见解析 【分析】（1）①结合平面向量三角形加法法则及减法法则画出对应图形即可得；结合图形计算即可得；②分奇偶讨论可得数列是首项为，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式，从而可得的通项公式； （2）结合（1）②所得可得，则由正弦定理可得，借助累乘法可得，从而可计算出时的，即可得数列的通项公式，再分奇偶讨论即可得. 【详解】（1）①当时，，根据向量三角形加法法则，画出如图， 此时， 当时，，沿着的正方向再构造一个， 根据向量三角形减法法则画出如图，此时；    ②当为奇数时，，由， 则，故； 当为偶数时，，由， 则，故； 则，即， 则， 因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，得； 根据得：， 综上所述，的通项公式为：；    （2）由（1）②知：，， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 故，即， 则由，可得， 由正弦定理得：， 即对任意的，，则，，， 累乘得，即， 当时，，即，得， 解得， 即，则， ， 当为偶数时，； 当为奇数时，； 综上所述，对任意. 10．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列的公差为4，其前8项之和为144．等比数列的公比为，且． (1)求和的通项公式； (2)记． （i）证明：数列是等比数列； （ii）证明：． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用等差数列前项和公式，代入已知条件求出首项，即可得到的通项；利用等比数列通项公式，代入得到关于的方程，结合解出，进而得到的通项； （2）（i）：求出的表达式，再分别计算的表达式，然后计算，若该比值为非零常数，则可证明数列是等比数列； （ii）根据（1），（2）（i）的结果化简的表达式，结合放缩法，将其放缩为可求和的数列形式，再对放缩后的数列求和. 【详解】（1）设数列的前项和为，则， 又，. （2）（i）， 又， ， ∵对任意，有，且， ∴数列是以为首项，4为公比的等比数列． （ii）由，， 则， 由于， 又． 从而，证毕． 11．（2026·重庆·二模）已知正项数列的首项且满足：. (1)令，证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设是互不相同的正整数，求证：； (3)记.若对于任意，均存在正整数，使得，则称具有“积回归性”.请判断数列是否具有“积回归性”，并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 (3)数列具有“积回归性”，证明见解析 【分析】（1）通过变形公式和数列与的关系即可求解，然后利用累加法可求数列的通项公式； （2）通过放缩法即可求解； （3）根据题意得到和，然后设即可证明. 【详解】（1）由可得，令，则，所以，， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列， 由， 因此当时，有，得 由于，所以，所以，即， 当时，，符合上式，所以， 因为是正项数列，所以. （2）由（1）得，由于是互不相同的正整数，不妨设， 显然，并且在时单调递减，所以， 当时，， 当时，由于， 所以， 得， 即， 所以， 因此，对任意互不相同的正整数，都有. （3）由（1）得，则， 对任意的，， 所以， 不妨设，则， 要使，即，得， 即当时，有，由于，是正整数， 因此对任意，均存在正整数，使得，即数列具有“积回归性”. 12．（2026·河北·模拟预测）已知为正项等差数列，，为的前项和. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和; (3)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）根据条件求出，得到，所以. （2）先求出，代入得到，利用错位相减法求得； （3）化简得到，利用裂项相消法求出，则 【详解】（1）利用等差数列性质：，结合 所以 是方程 的根， 因为为正项等差数列，所以公差，，所以 由 ，所以 所以 （2）由（1）知等差数列前n项和： 所以，利用错位相减法求前项和， 两式相减得到 所以 （3）因为，所以 裂项化简通项 所以 因为，所以，得证. 13．（2026·陕西榆林·二模）定义：当三个正数能够成为三角形的三条边长时，我们称其为三角数组，例如3，5，7是三角数组，3，5，9不是三角数组．设为数列的前项和，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)从数列中任意取出不同的三项，证明：为三角数组的充要条件是为三角数组； (3)从数列的前项中任意取出不同的三项，证明：这三项为三角数组的概率．参考公式：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）解法1：令得，当时，两式相减化简得，进而求得，又和也满足，即可得解． 解法2：令得，当时，两式相减化简得，累加可得，又和也满足，即可得解． （2）不妨设，由等差数列的单调性知．然后结合三角数组的定义和等差数列基本量的运算，从充分性和必要性两方面证明即可． （3）证法1：先求得总的基本事件有种，再通过作差法和累加法得，即可证明． 证法2：先求得总的基本事件有种，再结合等差数列求和，按照为奇数和为偶数分类讨论，求出这三项不是三角数组的的所有可能取值个数，利用对立事件概率公式证明对任意都成立． 证法3：将原命题可转化为：从前个正整数中任意取出三个不同的数，则这三个数为三角数组的概率．设事件表示“从前个正整数中任意取出三个不同的数组成三角数组”，事件表示“从前个正整数中取出的三个不同的数中最大数为”， 则，易知， ，根据对称性证得，又，故，即可证明. 【详解】（1）解法1：当时，，解得． 当时，两式相减得， 整理得，因为，所以， 所以，从而， 因此， 所以，当时数列为常数列． 由于，因此，即，且和适合上述关系． 因此数列的通项公式为． 解法2：当时，，解得． 当时，两式相减得， 整理得，因为，所以， 所以，从而，累加可得， 由于，因此，即，且和适合上述关系． 因此数列的通项公式为． （2）证明：不妨设，由（1）知数列为递增数列，因此． 充分性：若为三角数组，则．因为、，所以， 所以， 所以为三角数组． 必要性：若为三角数组，则，即， 所以，所以为三角数组． 故为三角数组的充要条件是为三角数组． （3）证法1：由（2）知，从数列的前项中任意取出不同的三项， 这三项为三角数组等价于从前个正整数中依次取出三个不同的数， 这三个数为三角数组．从中一次任取三个数和， 共有种可能． 记从中一次任取三个数为三角数组的可能数为，则， 当为偶数时，， 当为奇数时，，故， 由累加法可得：， 故． 证法2：由（2）知为三角数组的充要条件是为三角数组． 从中任意取出不同的三个数，不妨设，共有种方法． 对于定值， 当，时，为三角数组，记满足条件的三角数组的个数为， 当为奇数时，， 故为偶数时，， 当为偶数时，所有满足条件的三角数组的个数为 ， 此时 当为奇数时，所有满足条件的三角数组的个数为 ， 所以． 故对任意都成立． 证法3：由（2）可知，原命题可转化为：从前个正整数中任意取出三个不同的数， 则这三个数为三角数组的概率． 设事件表示“从前个正整数中任意取出三个不同的数组成三角数组”， 事件表示“从前个正整数中取出的三个不同的数中最大数为”， 则， 易知，从而， 下面证明：， 由法2的分析可得满足有个，且， 故，又， 故， 下面用数学归纳法证明：， 当时，，故时命题成立； 设，设成立，则成立， 故时，命题也成立， 故对任意． 14．（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. (1)分别求，，的值； (2)求的表达式，其中；（用含k的式子表示） (3)若数列满足，记的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推关系结合单调性及整数的性质可求，，的值； （2）根据题设条件结合（1）的结果可得，从而可求的表达式， （3）先证明不等式，再结合（2）中结果可证题设中的不等式. 【详解】（1）因为，故即，故即， 所以即，而为递增数列， 故，而为正整数，故. 综上，. （2）因为，故，故， 故. 综上. （3）因为，故，故， 下证：，. 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故即，恒成立. 由所证不等式可得，其中， 故， 故 . 综上，. 15．（2026·辽宁辽阳·二模）已知数列，是的前n项和． (1)若，，求证：； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）计算可得其等于，即可得证； （2）结合（1）中所得，利用分组求和计算即可得解； （3）利用分组求和可得，则；构造函数，利用导数计算可得对任意恒成立，则可得，计算可得，结合可证得，利用不等式性质可得当时，有，计算可得，则可得，即可得证. 【详解】（1） ， 又，，故； （2）由（1）可得， 故 ； （3） ， 又， 故， 故，故； 令，则， 故在上单调递减，故， 即对任意恒成立，则， 则， 又，故； 当时， ， 则，即有， 则， 则， 又，则， 综上所述：可得. 题型3：数列与解析几何相结合问题 16．（2026·河北衡水·二模）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，为的焦点. （i）若，且的中点为，求到轴距离的最小值； （ii）若已知直线：，且，设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求出双曲线渐近线，求出交点，坐标，结合，从而求出抛物线方程. （2）（i）设出直线，联立抛物线，根据题干信息结合韦达定理得到，再根据中点坐标公式表示点坐标，再利用换元的方式将问题转化为，借助对勾函数的图象和性质求出最终答案. （ii）根据抛物线的焦半径特点求出，从而得，当时，利用放缩法得，从而证得，当时，易得也成立. 【详解】（1）双曲线中，​，渐近线方程为， 联立渐近线与抛物线， 将代入抛物线得对应交点为， 则​，解得， 故抛物线的方程为. （2）（i）设直线，联立得，则， 弦长，故， 中点到轴距离为，代入得 ， 令，则，根据对勾函数图象和性质可知函数在上函数单调递增， 最小值为，故到轴距离的最小值为. （ii）因为， 所以. 当时，， 所以 ，即； 当时，， 即成立. 17．（2026·广东佛山·二模）椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)数列是等比数列，公比为 (3)直线恒过定点 【分析】（1）根据的关系即可求出； （2）设，直线的方程为，联立得到，再求直线的斜率之积，设直线的斜率为，求出即可证明； （3）直线的方程为，根据（2）的结论求出即可证明. 【详解】（1）由题意得，， 故E的方程为. （2）设，直线的方程为， 由，消去，整理得， ， 直线的斜率之积为 ， 设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零， 由经过E的右焦点，知①， 由经过E的左焦点，知②， ②①得，故数列是等比数列，公比为. （3）直线的方程为，由（2）知， 故，解得， 故直线恒过定点. 18．（2026·江西南昌·二模）已知一系列椭圆：的右焦点为，上顶点为，，是等腰三角形，． (1)求椭圆的方程； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，若对任意的，都有（，），求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据已知条件求出，由等腰三角形求出，进而根据椭圆定义求出椭圆方程.（2）先根据等比数列的通项公式列出，进而得到，最后得出.（3）根据的通项公式进行转化，利用裂项求和法求出，计算，转化为三角函数求最值. 【详解】（1）因为，所以， 因为是等腰三角形，且， 所以必有，即， 则， 因此， 所以椭圆的方程为. （2）点，设， 因为为等腰三角形， 所以，， 因此， 由题意知，所以， 所以， 所以，所以. （3）因为，， 所以 ， ， 因此 ， 因为， 所以， 所以的最大值为1，的最小值为2， 的最小值为1． 19．（2026·四川达州·二模）已知动点到点的距离与其到直线的距离相等，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点作倾斜角为的直线交曲线于点（异于点），设为正整数，对于曲线上的点，存在常数，使得，且直线的斜率为0. （i）求点的横坐标（用表示）； （ii）的面积是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用抛物线的定义求解； （2）（i）设，由向量共线关系得直线与直线平行，进而得到直线的倾斜角为，利用两点斜率公式，结合在抛物线上，通过计算得到，由直线的斜率为0，从而得到的坐标，则，根据等差数列的定义得到数列是等差数列，利用等差数列的通项公式求出； （ii）由得到，从而得到，，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，利用两点间距离公式求出，从而得到的面积，计算得解. 【详解】（1）动点到点的距离与其到直线的距离相等， 根据抛物线的定义可知动点的轨迹是以为焦点， 以直线为准线的抛物线，且其轨迹方程为， ，，动点的轨迹的方程为； （2）（i）设， 存在常数，使得，直线与直线平行， 直线与直线平行， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，， ， 在抛物线上，， ， 转化为， ，，， 直线的斜率为0，与的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ， ，， 设，则，即， 故数列是等差数列，公差为，首项为， 则； （ii）由（i）知，则，即，， 则直线的斜率， 故直线的方程为， 即， 点到直线的距离为 ， 线段， 所以的面积. 20．（2026·四川遂宁·二模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. (1)求的方程； (2)记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】（1）由抛物线的定义及三角形的面积即可求解； （2）（i）设经过轴上点的直线为，与抛物线方程联立，得，因为直线经过点，所以，因为直线经过点，所以，得，即可求解； （ii）设直线与的交点为，因为四点共圆，所以，即可求解． 【详解】（1）由题知，所以， 不妨设点在第一象限, 由抛物线定义知到准线的距离为，所以， 由，解得， 所以的方程为. （2）（i）设经过轴上点的直线为， 与抛物线的两交点记为， 联立得，则， 因为直线经过点，所以， 因为直线经过点，所以， 因为直线和经过点， 所以， 所以， 因为，所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 综上． （ii）设直线与的交点为，因为四点共圆， 所以， 设直线为，联立得 ，所以， ， 设直线为， 同理可得， 又且，所以， 所以， 则的重心纵坐标为0，即的重心在轴上， ， 同理所以， 联立直线与得， 所以， 所以的重心在的右侧.    21．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，且 (2) (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）求出，利用相关点法求轨迹方程； （2）推出为等差数列，求出，利用裂项相消法求和； （3）先求出切点坐标，联立求出与点坐标，由对称性可得在轴上，根据向量平行得到方程，求出答案. 【详解】（1）所有幂函数均过点，点在抛物线上，故， 设点，，则，， 由得， 故，所以， 又在抛物线上，且与点不重合， 所以，且，， 即，且， 化简得，且； （2）由题意得，设点，，， 则的半径为，，解得， 因为与外切，则， 即，整理可得， 又，所以，即， 故数列是为首项，公差为2的等差数列， 则，， ， ； （3）存在定点，使得点N，T，S始终三点共线，理由如下： 的方程为，显然与为两切线， 最大时，，由（2）知，，其单调递减，故最大值为， 故切点坐标为， 若过点的其中一条直线斜率不存在，此时直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 故过点的直线斜率也不为0， 设过的直线方程为， 联立与得， 设，则， 则，故点横坐标为， 将代入中得， 故，同理可得， 由对称性可知在轴上，不妨设， 则，， 点N，T，S始终三点共线，故， ， ， 化简得，显然， 所以，即时，上式恒成立， 故存在定点，使得点N，T，S始终三点共线. 题型4：数列与导数相结合问题 22．（2026·甘肃金昌·模拟预测）已知函数，，设的零点为. (1)求的值； (2)证明：为单调数列，并求中的最小项； (3)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）当时，通过求导证明从而得到在上单调递增，再根据即可求出； （2）根据的零点为，将代入中，两式作差得到，令，通过求导证明在上单调递增，即可证明，即可证明为递增数列； （3）令，通过求导证明，进而得到，即，通过放缩得到时， ，即可证明. 【详解】（1）当时，的定义域为， 因，则此时在上单调递增， 又， 所以在内的唯一零点为，所以. （2）的零点为，得， 则， 两式相减，得， 所以， 令，由（1）分析可知在上单调递增，所以， 故为递增数列，且中的最小项为. （3）令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，当且仅当时等号成立， 又，所以， 因为的零点为，则， 移项得，则， 当时，有，则， 所以， 又，所以当时，， 当时，， 综上所述. 23．（2026·甘肃金昌·三模）设函数，，数列的各项都是正数． (1)讨论的单调性； (2)已知是的极小值点． （i）若，且，求数列的通项公式； （ii）若数列是等比数列，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，没有递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先求导并因式分解得到导数零点，再根据与的大小关系分类讨论，确定函数单调区间。 （2）（i）由确定极小值点，推出递推关系，结合首项求等比数列通项； （ii） 按​范围分类验证，排除矛盾情况，结合等比数列性质得出​的取值范围． 【详解】（1）的定义域为， ， ，其中， 当时，或时，；时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，，所以的单调递增区间为，没有递减区间； 当时，或时，；时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）（i）因为，所以， 所以由（1）知是的极小值点，所以， 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以． （ii）当时，， 由（1）知是的极小值点，所以，即， 由（1）知在上单调递增，没有极值点，与是的极小值点矛盾； 当时，， 由（1）知在上单调递增，没有极值点，与是的极小值点矛盾； 当时，，由（1）知的极小值点， 因为是等比数列，所以公比，所以. 令，则， 当时，，， 因为， 所以时，，，， 又，，所以，， 时，， 故当时，对任意均有，由（1）知是的极小值点，这与的递推关系一致， 所以的取值范围是． 24．（2026·广东广州·模拟预测）设函数的定义域为，且的导函数在上的图象是一条连续不断的曲线，已知，且对于任意，都有． (1)判断函数的单调性，并证明：对于任意，都有 (2)若在上单调递增，且数列满足． （i）证明：数列单调递减； （ii）记为数列的前项和，证明：对于任意，都有． 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）先对求导，然后根据已知条件判断函数在上单调递增，然后证明，进而证明出结论. （2）（i）根据函数在上单调递增证明，进而证明结论； （ii）根据已知条件先证明，进而证明出结论. 【详解】（1）由题有． 因为对于任意，都有， 即，且，所以，故函数在上单调递增， 下面证明：． 因为，所以，由的单调递增性质可知， 即．因为且，整理得：． 同理，因为，所以，由的单调递增性质可知， 即，整理得． 将两式相加得， 因为，两边同时除以， 得，得证． （2）（i）由题意，则． 要证明数列单调递减，即证明单调递增， 因为在上单调递增，且，所以． 由（1）知，在上单调递增，且，所以． 因为，且定义域为，且单调递增， 故当时，从而， 所以，即．故数列单调递减． （ii）记． 由（1）可知有， 同理， 依此类推，可得：， 将代入右侧可得，即． 由题意，令，则满足，所以． 因为在上单调递增，所以， 即，得证． 25．（2026·山东德州·一模）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)记的最小值为，数列的前项积为. （i）求的通项公式； （ii）证明：对任意的成立. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，结合三角函数性质分析可知，即可得单调性； （2）（i）先利用平方关系求，时利用诱导公式分析可知的对称轴和周期性，结合单调性可得； （ⅱ）先求 方法一：利用数学归纳法证明结论， 方法二：令，证明，由此证明结论； 方法三：由，结合利用放缩法证明结论. 【详解】（1）因为 当时，则， 所以， 可得，且， 则， 即， 可得，所以函数在上单调递增， （2）（2）（i）若，则，即； 若，由（1）可知：在上单调递增， 且， 可知是一个周期为的周期函数， 又因为 可知关于对称， 则在，处取到最大值，在，处取到最小值， 可得， 综上所述： （ii） 方法一：数学归纳法证明不等式 成立， 当时，左边，右边，因为，所以不等式成立， 假设当时不等式成立， 即成立， 则当时， 左边 所以当时，不等式也成立， 综上所述：可证得不等式恒成立； 方法二：构造新数列方法证明不等式. 令， 所以， 即 ， 综上所述：可证得不等式恒成立. 方法三： ， 26．（2026·重庆九龙坡·一模）已知函数，数列满足，且 (1)判断函数在区间上的单调性； (2)证明:当时，; (3)设证明：对任意且，有 【答案】(1)单调递增 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导函数的正负判断； （2）通过研究的单调性求证；将问题转化为求证在上恒成立，通过研究函数即可求证； （3）先求证，法一，逐一求证，；，；，；法二，通过构造函数：求证引理：，，再根据引理进行放缩即可. 【详解】（1）， 当时，，，，故在上单调递增． （2）由（1）可知在上单调递增，故当时，． 法一：要证，即证， 构造函数， 则， 令，则， 当时，，故在上单调递增， 又因为，， 由零点存在定理，存在唯一，使得， 在上，，单调递减；在上，，单调递增． 又因为，，所以在上，， 所以，即． 法二：，． 令，即证，， 构造函数，，则， 故在单调递增，，即，，得证． （3）因为，由（2）可知， 故由迭代可知，则． 法一：引理1：，． 令，则， 故在单调递增，于是，得证． 引理2：，， 令，则，故在单调递增， 所以，得证． 引理3：，． ， 由引理1和（2），， 所以． 于是只需证：． 由引理2，， 于是只需证：． 令，即证． 构造函数：，则， 故在区间上单调递增， 所以，得证． 由引理， 当时，也成立． 法二：先证引理：，． ． 构造函数：． 非负分解：． 对第一个括号：． 当时，，显然成立． 对第二个括号：． 构造函数：，则． 令，则， 在单调递减，． 于是，在单调递减， 故． 于是，得证． 由引理． 当时，也成立． 故，即对任意，有． 27．（2026·吉林长春·模拟预测）已知，函数，记为的从小到大的第个极值点． (1)当时，求； (2)证明： （i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再求出导函数的零点并判断单调性即可得极值点. （2）（i）利用导数求出函数的极值点，再求出并利用等比数列的定义推理得证；（ii）由（i）的信息，借助分析法证明，构造函数，利用导数求出最小值，转化证即可. 【详解】（1）函数， 求导得， 令，得，解得， 当时，； 当时，， 函数在上单调递增， 在上单调递减， 而，所以. （2）（i）函数，求导得 ，其中， 令，得，解得， 当时，； 当时，， 则函数在上递增， 在上递减， 又，则， ，， 且，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （ii）欲证，即证， ，且， 则只需证，又， 则只需证，即证， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，则只需证，即证，于是当时，成立； 当时，，，又，则， 于是，即， 则当时，，即成立； 当时，，，，成立， 所以当，则对一切，恒成立. 题型5：数列与导数相结合问题 28．（2026·山西太原·二模）在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）可知随机变量的可能值为0，1，2，3，分别求其概率，进而可得期望； （2）①根据题意结合全概率公式可得，利用构造法结合等比数列求通项公式；②分析可得，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3， 若，则3轮都失败，则； 若，则3轮中只有1轮成功，； 若，则3轮中只有2轮成功，； 若，则3轮都成功，； 所以. （2）①设第轮试验使用A型号机器人为事件， 则，，， 由全概率公式可得， 即，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； ②设第轮得分期望为，则， 所以前轮期望总得分为. 29．（2026·安徽合肥·模拟预测）某同学在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：该同学从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第天晨跑的概率为. (1)求，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，都是离散型随机变量，则，记该同学前天晨跑的天数为，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用第 1 天必晨跑的初始条件，按 “第i天跑或不跑” 两种互斥情况的全概率公式，分步计算、； （2）先通过全概率建立与的线性递推关系，再用构造等比数列法求出通项公式； （3）利用期望的线性性质，将总天数的期望拆为每天晨跑概率的和，再对通项公式用等比数列求和即可. 【详解】（1）由题意，第1天一定晨跑，故， 第1天晨跑，第2天晨跑的概率为​，因此​， 第3天晨跑分两种情况： 若第2天晨跑，则第3天晨跑概率为； 若第2天不晨跑，由规则"不能连续两天不跑"，第3天一定晨跑，概率为1. 因此. （2）对，按第天是否晨跑分类，同理得递推关系， 设，对比递推式得， 因此是首项为​，公比为的等比数列， 所以整理得通项公式： （3）设为第天晨跑的指示变量（晨跑为1，否则为0），则， 由期望的线性性质， . 30．（2026·湖北十堰·二模）某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． (1)当时，求； (2)证明：； (3)已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)（万元） 【分析】（1）根据题意求出的所有可能取值及相应的概率，分析的可能情况，进而运算求解； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、、，利用全概率公式求出随机变量在不同取值下的概率，再结合期望公式可证得结论成立； （3）分析可知数列是以为公比的等比数列，求出的表达式，于是可得出第个月的期望宕机节点数为，据此可得出第个月的经济损失的期望，再利用等比数列求和公式可求得从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 【详解】（1）初始状态，即个在线、个宕机． 第个月选中在线节点的概率为，此时； 选中宕机节点的概率为，其中修复成功的概率为，此时； 修复失败的概率为，此时． 所以，． ，． 所以 ， 故当时，． （2）由题意知的可能取值有、、、， 所以， ， ， ， 所以 ． 因为， 所以， 所以 ， 所以． （3）因为，设， 所以， 所以，，， 所以是以为公比的等比数列， ，，, 故， 所以， 所以， 第个月的期望宕机节点数的期望为． 每台宕机节点每月损失万元，故第个月的经济损失的期望为． 设从第个月开始的个月的经济损失的总期望为， 故（万元）. 31．（2026·山西太原·二模）如图，甲､乙､丙三人做传球训练，教练通过掷骰子（质地均匀）指令他们传球，规定如下： ①掷一次骰子，进行一次传球，即持球人将球传给另外一个非持球人； ②传球方向由掷骰子点数确定，若掷出骰子的点数为3的倍数，则按图中箭头方向传球；若掷出骰子的点数不是3的倍数，则按图中箭头相反方向传球. 设掷骰子次后，球传到甲､乙､丙的事件分别为，其概率分别为.已知第1次由甲将球传出. (1)求； (2)用表示； (3)某数学兴趣小组，借助AI探究发现：已知数列满足，若是方程的两个不相等根（包含实数根和虚数根），则数列的通项公式可以表示为的形式.请根据上述发现，求（提示：可设）. 附：. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先得出，然后再根据全概率公式即可求解； （2）首先根据全概率公式求出，，三个式子联立结合即可求解； （3）根据题目提示构造可得的递推公式，然后求出方程的复数根即可求解. 【详解】（1）由题意得， ， ， ， . （2）由题意可得， ，且， ， ， 又 ， ， . （3）由（2）得，设， 则，且， 由方程的根为， 可得， 则， . 32．（2026·江西南昌·模拟预测）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【答案】(1) (2)（i），，证明见解析；（ii）和见解析，能提高. 【分析】（1）由题意，根据全概率公式，即可求得答案. （2）（i）根据条件，代入数据，求出，；分别求出和的表达式，即可得的表达式，化简整理，结合等比数列的定义，即可得证. （ii）由（i）得的通项公式，同理可得的通项公式，联立可得和，求出第n次提前送达的概率，分析比较，即可得答案. 【详解】（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为， 设物流提前送达为事件D，则. （2）（i）第一次随机选择，则， 若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为， 则，， 由题意得， ，， 则 ， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）得①， 同理 ，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， ①②联立得， 设第n次提前送达事件为 则 ， 随着n增大，逐渐增大，且， 所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率. 33．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）甲、乙两人进行冬奥会知识竞猜游戏，每轮竞猜两人获胜的概率均为. (1)若进行4轮竞猜，记事件“甲获胜2轮”为，“甲第2轮获胜”为，判断与是否相互独立. (2)记进行（）轮竞猜时甲获胜2轮的概率为. （ⅰ）求满足的的取值集合； （ⅱ）若两人的竞猜游戏在满足以下任一条件时终止：①甲获胜2轮，②竞猜总轮数达到（），记结束游戏时竞猜的轮数为，证明：. 【答案】(1)与相互独立 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可求得，利用独立事件的定义判断即可； （2）（ⅰ）由题意得，可证当时，，可求得的取值集合；另解，构造函数，利用导数研究函数的单调性可求解；（ⅱ）由题意可得，，利用错位相减法可求得，进而利用期望的定义计算可证明结论. 【详解】（1）由题意得，， 因. 因为，所以与相互独立. （2）（i）由题意知. 等价于. 当时，；当时，； 当时，；当时，. 下面证明：当时，. 当时， . 综上，满足的的取值集合为. 另解：构造函数， 则，令 求导得，显然该函数为上的增函数， 当时，， 则即在上是增函数，故， 即在上是增函数，从而. （ⅱ）由题意知，， . 记，则， 作差，得， 所以，所以. 所以. 由（i）知. 所以 ， 所以. 题型6：新定义的问题 34．（2026·安徽滁州·一模）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． (2)若是“组差数列，且为定值，证明：． (3)记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由可得，当时，可得，进而结合题设定义即可判断； （2）由题意可得，设，可得，进而得到，进而得到数列是等差数列，且公差为3，即可求出，再利用错位相减法求证即可； （3）令，由题意可得，即存在非负整数和整数，使得，此时，设这项中的最小值为，进而得到，进而求证即可. 【详解】（1）是“组差数列”，理由如下： 由，得， 当时，，则， 所以， 则数列是以2为公差的等差数列，且， 故是“组差数列”. （2）因为是“组差数列， 所以数列是以18为公差的等差数列， 则， 又为定值，所以可设，则， 所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 则， 设， 则， 两式相减得，， 所以，即. （3）因为为“组差数列”， 所以数列是以为公差的等差数列， 则， 令，则， 对于任意正整数n，均存在非负整数和整数，使得， 此时， 设这项中的最小值为， 因为，所以， 从而， 则， 令，由对任意的实数均成立，则. 35．（2026·陕西榆林·三模）已知数列：，数列：，其中，且，若对于任意的，且，都有，则称，互为“反调数列”． (1)已知数列：3，6，4，分别判断下面数列是否为数列的反调数列，并说明理由； ①数列：5，1，7，②数列：10，4，9． (2)若，数列为等差数列，其前项和为，，，数列：，，…，与数列互为反调数列，求数列的公差的取值范围； (3)对于固定的正整数，任意的，总有，，数列，互为反调数列，且，求． 【答案】(1)①不是②是； (2)； (3)当为偶数时，，当为奇数时. 【分析】（1）利用反调数列的定义求解； （2）利用等差数列的通项公式和前项和公式求出和，计算和，由数列与数列互为反调数列，得到对于任意的，都有，通过计算得到，由得到对于任意的恒成立，由得到，分别按照和讨论求出数列的公差的取值范围； （3）由计算，由数列，互为反调数列得到，从而得到，继而得到，故所有的互不相等，从而得到数列是的排列，即取遍从到的所有整数，不妨设数列为，数列为，分别按照为偶数和为奇数讨论求解，利用等差数列的求和公式计算得到. 【详解】（1）数列：3，6，4，则， ①数列：5，1，7，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故数列不是数列的反调数列； ②数列：10，4，9，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故数列是数列的反调数列； （2）数列为等差数列，，， 前项和， ， ， 数列与数列互为反调数列， 对于任意的，都有， ， ， ，对于任意的恒成立， ，， 当时，，不符合； 当时，则需， ，随着的增大而减小， 只需满足时，，， ， 故数列的公差的取值范围为； （3），，，， ， 数列，互为反调数列，， ，，所有的互不相等， 数列是的排列，即取遍从到的所有整数， 不妨设数列为，数列为 当为偶数时，设， 则数列为， 数列为， 则数列为， 则 ， ，，； 当为奇数时，设， 则数列为， 数列为， 则数列为， 则 ， ，，， 综上可知，当为偶数时，，当为奇数时. 36．（2026·山东济南·二模）给定正整数n，数集满足对于任意，都存在，使得． (1)若，，且，求； (2)证明：对于任意，都有； (3)若，，且，求数集中所有元素的和．（用含有的式子表示） 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)当时，中元素之和为；当中元素之和为． 【分析】（1）由题设条件可知，对任意两元素之差的绝对值，都能表示为某个元素与 的差的绝对值. 结合已知元素逐一讨论即可. （2）先讨论 的情形. 当 时，用反证法证明 只能是集合中的最大元素或最小元素，进而得到结论. （3）分 与 两种情况讨论. 先证明相应顺序下数集中的元素构成等差数列，再求元素和. 【详解】（1）当 时，取 ，则 故命题成立. 当 或 时，命题也显然成立. 由题意，对 ，应有 故 分别解得 又因为 为三元数集，故 ，且 ，所以 （2）当 时，命题显然成立. 当 时，设 为 中的最大元素， 为 中的最小元素. 若 既不是最大元素，也不是最小元素，则 于是对任意 ，都有 另一方面，取 ，则 由题设，应存在 ，使得 即 这与 矛盾. 故 必为 中的最大元素或最小元素. 若 为最大元素，则对任意 ，都有 从而 若 为最小元素，同理可得 命题得证. （3）若 ，则 ，又已知 ，故 是 中的最小元素. 下证 成等差数列. 由且 ，由题设知存在 ，使得 又因为 是最小元素，所以 . 由 可知 ，故只能有 ，从而 所以 成等差数列. 设对 ，都有其中 . 则 即 由题设，存在 ，使得 由 可知 ，于是 . 又由归纳假设， 结合 ，可知只能有 所以 由数学归纳法可知，对任意 ，都有 故当 时， 中元素之和为 当 时， 为 中的最大元素. 用同样的方法可证 成等差数列. 又因为该等差数列的首项为 ，末项为 ，项数为 ，故当 时， 中元素之和为 综上，当 时， 中元素之和为 ；当 时， 中元素之和为 . 37．（2026·北京朝阳·一模）若数列：，，…，（）满足如下两个性质，则称为数列： ①，，…，是1，2，…，的一个排列； ②，，…，是1，2，…，的一个排列. (1)判断数列：1，4，3，2和数列：5，1，4，2，3是否为数列？说明理由； (2)若数列：，，…，满足，，求证：数列：，，…，不是数列； (3)若数列：，，…，（）为数列，求的最小值. 【答案】(1)数列不是数列，是数列． (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据数列的定义判断即可； （2）利用反证法证明即可； （3）通过新定义得，从而设，得到其最小值. 【详解】（1）因为，而3，1，1不是1，2，3的一个排列，所以数列不是数列． 因为5，1，4，2，3是1，2，3，4，5的一个排列， 又，4，3，2，1是1，2，3，4的一个排列， 所以数列是数列． （2）假设数列为数列， 则． 因为与的奇偶性相同， 所以 与的奇偶性相同． 所以与的奇偶性相同． 又是偶数，是奇数，矛盾． 所以数列不是数列． （3）因为数列为数列， 所以， 且 . 所以． 所以 因为， 所以，即． 令， 则， 所以， 即数列为数列． 所以的最小值为． 38．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等差、等比数列的概念和公式求通项. （2）结合（1）的结论，先明确和的表达式，再利用反证法进行证明. （3）先分析集合中元素的特征，表示出元素和. 方法一：利用错位相减求和法求和； 方法二：先化简得，利用错位相减求和法求，利用公式法求，即可得. 【详解】（1）设等比数列公比为，故． 设等差数列公差为， 由已知有， 解得，即， 则或（舍）， 则. （2）不妨先设， ， 可知时也成立， 假设，即成立， 若，不妨设， 则等价于， 因等式左侧不是3的倍数，等式右侧为3的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾， 所以假设不成立，此时．同理时，； 若，则，不妨设， 因为， 故 ．同理时，． 综上当时，． （3）先证取不同的的值各不相同，不妨设， 所以， 而， 所以， 由（2）可知，对不同的取值，均不相同． 故． 考虑中含有个个个， 因此． 法（一） ， 两式相减得： ， 所以，． 法（二） ， 设， ， 两式作差， ， 所以，，又， 所以，. 39．（2026·北京顺义·一模）已知项数列：满足.数列：，满足，，其中.记，.其中，表示数集中最大的数. (1)已知：，求，的值； (2)若为奇数，且，求证：； (3)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据数列的定义，分别计算和时数列的各项，进而求出和的值. （2）通过以及数列的定义，通过递推关系和绝对值的性质，证明. （3）利用三角不等式和绝对值不等式进行放缩去证明. 【详解】（1）已知：，. 当时，，，. ，. . 当时，，，，. . . （2），记（其中为常数且，，，），则对任意的，有. （且）. ，不妨记的有项，则的有项. ，. 又为奇数，，故仅当时等式成立. 当时，对所有成立，递推可得： ，即. 又，当时，则，结合，得. 当时，，则，进而可得. 综上，，证毕. （3）当时，且. 记，，故存在. 不妨设（循环数列，可平移下标），即，记，. 对任意，，由三角不等式： . 同理可得：. 对任意，. 故. 当为偶数时，. . 当为奇数时，. . 由可得. 即，证毕. 40．（2026·天津·二模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)若与满足关系：，且当时，则称数列是由数列生成的“不减数列”， （i）若，求的前项和： （ii）满足以下两个条件：①为项有穷数列，且，其中，，，是，，，的任意一个排列；②为等差数列.若满足条件的的个数为，并将不同的记作，且，求. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）满足条件的的个数为个，且 【分析】（1）根据等差、等比数列基本量的运算求解； （2）（i）解法一：由题可知，再根据递推式结合错位相减法求和即可；解法二：先并项求和，再利用错位相减法求和即可； （ii）设的公差为，再分、、三种情况讨论求解． 【详解】（1）解：设的公差为，的公比为， 由，，得：，即， 整理得，所以或（舍），从而，     所以，； （2）解法一： ，所以当为奇数时，，当为偶数时，， 又，所以， 所以          所以              所以；         解法二： ，所以当为奇数时，，当为偶数时，， 又，所以 所以， 所以， ， 所以 ， 所以；         （ii）设的公差为，因为， 所以，所以， 又因为，所以，         ①若，则，即时，，满足为等差数列， 将此时满足条件的记作，则； ②若，则，满足为等差数列， 此时，，，，可以是，，，的任意一个排列， 即满足条件的数列有!个，记作，，， 且； ③若，则 ，这与矛盾， 所以此时不存在，即不存在数列使得是公差大于等于2的等差数列； 综上所述，满足条件的的个数为 个， 且． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列(压轴) 题型1：取值范围与最值问题 题型2：证明类问题 题型3：数列与解析几何相结合问题 题型4：数列与导数相结合问题 题型5：数列与概率统计相结合问题 题型6：新定义的问题 题型1：取值范围与最值问题 1．（2026·北京昌平·一模）设数列，若存在公比为的等比数列，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”． (1)写出数列的一个“等比分割数列”； (2)若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比的取值范围； (3)若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求的最大值． 2．（2026·江西·模拟预测）设数列的前项和为，且，若，记数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)求； (3)记集合，若的子集个数为8，求的取值范围. 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）若各项均为正数的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若正项等比数列，满足，求； (3)对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 4．（2026·广西南宁·二模）已知数列满足，，，函数． (1)证明：数列是等差数列． (2)求使不等式成立的最小正整数的值． (3)若恒成立，求实数的取值范围． 5．（2026·安徽·模拟预测）若数列满足：对任意，总存在，使得，则称数列是“可拆数列”. (1)判断数列是否为“可拆数列”？并说明理由； (2)若首项为1的等比数列是“可拆数列”，求数列的通项公式； (3)若“可拆数列”是递增数列，，求使成立的的最值. 6．（2026·陕西西安·模拟预测）首项为的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②． (1)证明：中相邻两项不可能同时为非负数； (2)记，若对任意成立，求的通项公式； (3)对于给定的正整数，求的最大值． 7．（2026·浙江杭州·模拟预测）若为项数列，若存在数列满足：①；②中的最大项为1，最小项为0，则称是“-好数列”． (1)请写出所有第二项为的“3-好数列”； (2)若为单调不增（即）的“2026-好数列”，求的最大值； (3)若为“-好数列”，记为中的最大项，为中的最小项，求最小值． 题型2：证明类问题 8．（2026·北京西城·一模）对任意无穷数列，定义从起连续k项的和为：，其中k，i为任意正整数．若无穷数列满足：对任意和，存在，使得，则称数列具有性质T． (1)设，其中．判断数列是否具有性质T？说明理由； (2)已知数列具有性质T， （i）求集合中元素个数的最大值； （ii）证明：存在正整数t，对任意，有． 9．（2026·广西贵港·三模）向量列满足：对任意的，都有，其中为单位向量，．记向量与的夹角为．    (1)当时， ①在如图中画出，并直接写出的值； ②求的通项公式． (2)当时，对任意的，将所对应的值依次排列形成数列，记数列的前项和为．证明：． 10．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列的公差为4，其前8项之和为144．等比数列的公比为，且． (1)求和的通项公式； (2)记． （i）证明：数列是等比数列； （ii）证明：． 11．（2026·重庆·二模）已知正项数列的首项且满足：. (1)令，证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设是互不相同的正整数，求证：； (3)记.若对于任意，均存在正整数，使得，则称具有“积回归性”.请判断数列是否具有“积回归性”，并证明你的结论. 12．（2026·河北·模拟预测）已知为正项等差数列，，为的前项和. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和; (3)设数列的前项和为，证明：. 13．（2026·陕西榆林·二模）定义：当三个正数能够成为三角形的三条边长时，我们称其为三角数组，例如3，5，7是三角数组，3，5，9不是三角数组．设为数列的前项和，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)从数列中任意取出不同的三项，证明：为三角数组的充要条件是为三角数组； (3)从数列的前项中任意取出不同的三项，证明：这三项为三角数组的概率．参考公式：． 14．（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. (1)分别求，，的值； (2)求的表达式，其中；（用含k的式子表示） (3)若数列满足，记的前n项和为，证明：. 15．（2026·辽宁辽阳·二模）已知数列，是的前n项和． (1)若，，求证：； (2)求的值； (3)求证：． 题型3：数列与解析几何相结合问题 16．（2026·河北衡水·二模）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，为的焦点. （i）若，且的中点为，求到轴距离的最小值； （ii）若已知直线：，且，设数列的前项和为，证明：. 17．（2026·广东佛山·二模）椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 18．（2026·江西南昌·二模）已知一系列椭圆：的右焦点为，上顶点为，，是等腰三角形，． (1)求椭圆的方程； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，若对任意的，都有（，），求的最小值． 19．（2026·四川达州·二模）已知动点到点的距离与其到直线的距离相等，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点作倾斜角为的直线交曲线于点（异于点），设为正整数，对于曲线上的点，存在常数，使得，且直线的斜率为0. （i）求点的横坐标（用表示）； （ii）的面积是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 20．（2026·四川遂宁·二模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. (1)求的方程； (2)记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 21．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型4：数列与导数相结合问题 22．（2026·甘肃金昌·模拟预测）已知函数，，设的零点为. (1)求的值； (2)证明：为单调数列，并求中的最小项； (3)证明：. 23．（2026·甘肃金昌·三模）设函数，，数列的各项都是正数． (1)讨论的单调性； (2)已知是的极小值点． （i）若，且，求数列的通项公式； （ii）若数列是等比数列，求的取值范围． 24．（2026·广东广州·模拟预测）设函数的定义域为，且的导函数在上的图象是一条连续不断的曲线，已知，且对于任意，都有． (1)判断函数的单调性，并证明：对于任意，都有 (2)若在上单调递增，且数列满足． （i）证明：数列单调递减； （ii）记为数列的前项和，证明：对于任意，都有． 25．（2026·山东德州·一模）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)记的最小值为，数列的前项积为. （i）求的通项公式； （ii）证明：对任意的成立. 26．（2026·重庆九龙坡·一模）已知函数，数列满足，且 (1)判断函数在区间上的单调性； (2)证明:当时，; (3)设证明：对任意且，有 27．（2026·吉林长春·模拟预测）已知，函数，记为的从小到大的第个极值点． (1)当时，求； (2)证明： （i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 题型5：数列与导数相结合问题 28．（2026·山西太原·二模）在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 29．（2026·安徽合肥·模拟预测）某同学在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：该同学从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第天晨跑的概率为. (1)求，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，都是离散型随机变量，则，记该同学前天晨跑的天数为，求. 30．（2026·湖北十堰·二模）某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． (1)当时，求； (2)证明：； (3)已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 31．（2026·山西太原·二模）如图，甲､乙､丙三人做传球训练，教练通过掷骰子（质地均匀）指令他们传球，规定如下： ①掷一次骰子，进行一次传球，即持球人将球传给另外一个非持球人； ②传球方向由掷骰子点数确定，若掷出骰子的点数为3的倍数，则按图中箭头方向传球；若掷出骰子的点数不是3的倍数，则按图中箭头相反方向传球. 设掷骰子次后，球传到甲､乙､丙的事件分别为，其概率分别为.已知第1次由甲将球传出. (1)求； (2)用表示； (3)某数学兴趣小组，借助AI探究发现：已知数列满足，若是方程的两个不相等根（包含实数根和虚数根），则数列的通项公式可以表示为的形式.请根据上述发现，求（提示：可设）. 附：. 32．（2026·江西南昌·模拟预测）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 33．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）甲、乙两人进行冬奥会知识竞猜游戏，每轮竞猜两人获胜的概率均为. (1)若进行4轮竞猜，记事件“甲获胜2轮”为，“甲第2轮获胜”为，判断与是否相互独立. (2)记进行（）轮竞猜时甲获胜2轮的概率为. （ⅰ）求满足的的取值集合； （ⅱ）若两人的竞猜游戏在满足以下任一条件时终止：①甲获胜2轮，②竞猜总轮数达到（），记结束游戏时竞猜的轮数为，证明：. 题型6：新定义的问题 34．（2026·安徽滁州·一模）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． (2)若是“组差数列，且为定值，证明：． (3)记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立． 35．（2026·陕西榆林·三模）已知数列：，数列：，其中，且，若对于任意的，且，都有，则称，互为“反调数列”． (1)已知数列：3，6，4，分别判断下面数列是否为数列的反调数列，并说明理由； ①数列：5，1，7，②数列：10，4，9． (2)若，数列为等差数列，其前项和为，，，数列：，，…，与数列互为反调数列，求数列的公差的取值范围； (3)对于固定的正整数，任意的，总有，，数列，互为反调数列，且，求． 36．（2026·山东济南·二模）给定正整数n，数集满足对于任意，都存在，使得． (1)若，，且，求； (2)证明：对于任意，都有； (3)若，，且，求数集中所有元素的和．（用含有的式子表示） 37．（2026·北京朝阳·一模）若数列：，，…，（）满足如下两个性质，则称为数列： ①，，…，是1，2，…，的一个排列； ②，，…，是1，2，…，的一个排列. (1)判断数列：1，4，3，2和数列：5，1，4，2，3是否为数列？说明理由； (2)若数列：，，…，满足，，求证：数列：，，…，不是数列； (3)若数列：，，…，（）为数列，求的最小值. 38．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 39．（2026·北京顺义·一模）已知项数列：满足.数列：，满足，，其中.记，.其中，表示数集中最大的数. (1)已知：，求，的值； (2)若为奇数，且，求证：； (3)求证：. 40．（2026·天津·二模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)若与满足关系：，且当时，则称数列是由数列生成的“不减数列”， （i）若，求的前项和： （ii）满足以下两个条件：①为项有穷数列，且，其中，，，是，，，的任意一个排列；②为等差数列.若满足条件的的个数为，并将不同的记作，且，求. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $