专题06矩形性质与判定期末复习讲义 (18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题06矩形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记矩形定义：有一个角是直角的平行四边形，明白矩形属于特殊平行四边形。 2.熟练掌握矩形性质,重点记住矩形对角线相等。 3.掌握矩形 3 种判定方法，能分清平行四边形、矩形、菱形三者区别。 4.牢记重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，会直接做题。 5.掌握矩形周长、面积计算公式 1.计算能力：能利用矩形性质求边长、角度、对角线、周长与面积。 2.推理能力：能根据题意，灵活选择判定方法，证明四边形是矩形。 3.应用能力：熟练运用斜中线定理解决直角三角形相关计算与证明。 4.辨析能力：能精准区分矩形与菱形的对角线性质，避免考试混淆。 1.小题：快速搞定概念判断、角度计算、对角线求值，基础题零失误。 2.解答题：掌握固定答题模板：先证平行四边形，再证直角 / 对角线相等，步骤规范不扣分。 3.压轴题：熟练解决矩形折叠、动点、斜中线模型、矩形与全等三角形综合题型。 题型01.矩形的性质理解 题型02.矩形的性质求角度 题型03.矩形的性质求线段长 题型04.矩形的性质求面积 题型05.矩形的性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形与折叠问题 题型08.斜边中线等于斜边的一半 题型09.矩形的判定定理理解 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.证明四边形是矩形 题型12.矩形的性质与判定求角度 题型13.矩形的性质与判定求面积 题型14.矩形的性质与判定求线段长 题型15.矩形中的动点问题 题型16.矩形中的最值问题 题型17.矩形中与旋转综合 题型18.矩形与中位线综合 知识点01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 知识点02:矩形的性质（必考） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04:矩形专属重要推论（必考模型） 推论：直角三角形斜边上的中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.由来：矩形对角线互相平分且相等，将矩形沿一条对角线分割，得到两个全等直角三角形，直接推出本结论； 2.几何语言： 在△ABC中，∠ABC=90，点O是斜边AC中点 BO=AC 3.延伸结论： 若直角三角形一边中线等于该边一半，则这个三角形是直角三角形（逆定理，可用于证明直角）； 矩形对角线相交后，会形成两对全等的等腰三角形(△AOB、△BOC、△COD、△DOA)均为等腰三角形）。 知识点05:三大特殊平行四边形对比辨析 图形 边 角 对角线 对称轴 核心标签 平行四边形 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 互相平分 0 条 基础图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分、相等 2 条 角为直角、对角线相等 菱形 四条边都相等 对角相等，邻角互补 互相平分、垂直，平分内角 2 条 四边相等、对角线垂直 记忆口诀：矩形看角与对角线相等，菱形看边与对角线垂直。 知识点06:高频易错点（丢分预警，特色标注） ❌ 错误判定：对角线相等的四边形是矩形 ✅ 纠正：必须先证明是平行四边形，再加 “对角线相等” 才可判定。 ❌ 性质混淆：把矩形对角线记为互相垂直 ✅ 纠正：矩形对角线相等但不垂直（正方形除外）；对角线互相垂直是菱形特征。 ❌ 推论误用：任意三角形都能用 “斜中线定理” ✅ 纠正：该定理只适用于直角三角形。 ❌ 证明跳步：直接由普通四边形证矩形 ✅ 纠正：解答题优先证平行四边形，再补充直角 / 对角线相等条件。 ❌ 折叠问题忽略：折叠前后全等、边长角度不变。 . 题型01.矩形的性质理解 1．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对边相等 【答案】C 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，矩形是特殊的平行四边形，只需对比两者性质，找出矩形特有而平行四边形不具有的性质即可 【详解】解：∵平行四边形的性质为：对角相等，对边相等，对角线互相平分，矩形作为特殊的平行四边形，也具有以上三个性质， ∴选项A，B，D都是矩形和平行四边形共有的性质，排除； ∵矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等， ∴对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质 2．如图，这是一张矩形纸片，其中，，E是边上的一点，且，点P以的速度从点A开始沿的方向运动一周停止，当是以为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为______s． 【答案】或3或6 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出点P运动的时间即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 如图1，当时， 所以． 如图2，当时，过点E作于点F， ∵， ∴四边形为长方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 所以． 如图3，当时，此时点与点C重合， 所以点运动的距离， 所以． . 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为或或． 故答案为：或3或6． 3．在下列图形中，若将矩形沿着虚线剪成两部分，则这两部分既能拼成三角形和平行四边形，又能拼成梯形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】发挥想象力拼图，或通过实际操作得出答案． 【详解】解：A：能拼成三角形和平行四边形，但不能拼成梯形，故该选项不合题意； B：能拼成平行四边形和梯形，但不能拼成三角形，故该选项不合题意； C：既能拼成三角形和平行四边形，又能拼成梯形，故该选项符合题意； D：能拼成平行四边形和梯形，但不能拼成三角形，故该选项不合题意． 题型02.矩形的性质求角度 4．如图，在矩形中，是延长线上一点，且，连接，取的中点，连接交于点．若，则为_____（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】连接交于点，根据矩形的性质得到，，，进而得到，，由得到，根据三线合一性质得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵是的中点 ∴平分， ∴， ∴． 5．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 6．如图，四边形是矩形，连接． (1)实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了基本作图-角平分线，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作图—角平分线的作法，进行作图即可； （2）利用矩形的性质和直角三角形的性质得到，，，利用角平分线得到，则，即可证明猜想． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：猜想， 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵． ∴，， ∵， ∴ ∵的平分线，交于点M． ∴， ∴， ∴ 题型03.矩形的性质求线段长 7．如图，已知矩形，点E在的延长线上，点F在的延长线上，且，连接交于点G，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，先由矩形的性质得，因为，整理得，所以证明，则，即可作答． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在矩形中，，，，该矩形的周长为． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得，然后根据矩形的周长公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ． ， ． ． 又， ． 在和中， ， ． （2）解：， ． ， ， ， ， ． 9．如图，在中， D，E分别是的中点，连接，过点 A 作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使 ，连接，易知四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，请你利用上述结论求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)36 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明，则 ，即可得到结论； （2）求出 ，，根据四边形的面积等于的面积求出答案． 【详解】（1）解：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴ ∵D是的中点， ∴， ∵ ， ∴ ∴ ∴四边形为矩形； （2）解：由（1）得 ，，四边形为矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴四边形的面积 ， ∵四边形的面积等于的面积， ∴的面积． 题型04.矩形的性质求面积 10．如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】9 【分析】根据矩形的性质及全等三角形的判定证明，得到，所以可得，即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ． 11．如图，已知矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是； 故选B． 12．如图，某重型工业厂区内有一块矩形生产作业区，生产作业区的长为，宽为，在生产作业区内规划两块大小相同的小矩形作为设备检修区（阴影部分），每块小矩形检修区的长为，宽为． (1)求该矩形生产作业区的周长； (2)除设备检修区外，作业区其他部分都要在地面涂刷工业防腐涂层，已知涂刷防腐涂层的费用为50元/，求生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用． 【答案】(1)矩形生产作业区的周长为 (2)生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用为元 【分析】（1）根据矩形的周长公式计算即可； （2）先求出需要涂刷的面积，再乘以单价即可． 【详解】（1）解：． 答：矩形生产作业区的周长为； （2）解： ， 元． 答：生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用为元． 题型05.矩形的性质证明 13．按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点F，利用平行线的性质得，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， 延长交于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 14．数学课上，以小组为单位开展以“矩形”为主题的数学实践活动，并进行如下操作：将两个相同大小的矩形纸片和重叠放置，固定，将矩形纸片绕点顺时针旋转，如图，当点恰好落在的中点时停止，连接，若，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、所对的直角边等于斜边的一半等，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 先利用矩形的性质得到边角的相等，再运用勾股定理求出的长度，然后通过所对的直角边等于斜边的一半逆推，推出，最后证明为等边三角形并使用性质解题即可． 【详解】解：∵相同大小的矩形纸片和，， ∴，， ∵点恰好落在的中点， ∴， ∵， ∴根据勾股定理，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：． 15．如图，矩形中，点在边上，，过点作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用矩形的性质和，即可得证； （2）证明，得到，即可. 【详解】（1）证明：矩形， ，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）证明：， ， 矩形， ， ， 在和中， ， ， 平分． 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 16．如图，四边形是长方形，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，点在轴负半轴上，点，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形是长方形中，，可得点纵坐标和相同，又根据点在第二象限，，即可求出的横坐标. 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，， ∴． 17．重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是角平分线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，中点坐标公式的相关知识点．根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵， ∴，即； ∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴，即； ∴，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为． 故选：D． 18．如图①，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．点沿着在长方形边上运动． (1)点的坐标为______． (2)当、两点的距离为7时，求点的坐标． (3)如图②，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据长方形的性质，坐标与图形性质解答即可； （2）分点在上和点在上两种情况，根据题意计算； （3）根据折叠可得，设，在中利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴； （2）解：当点在边上时，， ∵，， ∴， ∴， 即：； 当点在上时， ∵，，， ∴， ∴， 即：； 综上，或； （3）解：设， 由折叠可得： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即：， 解得：， 即：. 题型07.矩形与折叠问题 19．如图，在矩形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点F，则为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是由图形翻折得到边和角度不变． 设，则，由矩形的性质可得，再根据图形翻折可得，则可得为等腰三角形，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则， ∵四边形为矩形， ∴， 则， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， 在中，， 即，即， 解得， 则为． 故选：C ． 20．如图，矩形在平面直角坐标系中，，，将沿对角线翻折，使点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为______ ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，结合矩形的性质和平行线的性质得出，从而证得是等腰三角形，即，设，在中利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：由折叠可知，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得， ∵点在轴负半轴上， ∴点的坐标为. 21．如图，矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F，若，，则的长为（   ） A．6 B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】连接，判断出，得出，进而求出，最后利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ， 由折叠知，， ， E是的中点， ， ， ， ， ， ， 在中，． 22．将矩形纸片按如图的方式折叠，为折痕，，，折叠后，点落在边上的处，并且点落在边上的处； (1)连接，求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据折叠的性质证明即可； （2）由直角三角形的性质结合勾股定理易得长，证明为等边三角形，那么就得到的长，即为长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，∵折叠， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴，，， ∵， ∴， ，， 折叠后为， ， ∴， 是等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴， ． 题型08.斜边中线等于斜边的一半 23．如图．在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（   ） A．25 B．12.5 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直接利用的长度求解即可． 【详解】解：在中，，是斜边的中点， ， ． 24．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点为线段的中点，连接，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】由题意易得，则有，且是的中位线，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点为线段的中点，，， ∴，且是的中位线， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 25．如图，在四边形中，和相交于点，，，、、分别是、、的中点，连接、、，，，，则的周长为（    ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】A 【分析】由得到，再证明得到，由此即可证明四边形为平行四边形，由为平行四边形得到，结合已知条件得到，进而得到与均为等腰三角形，结合为中点得到，为斜边上的中线求出；过点作于，求出，再证明四边形为平行四边形得到，最后将、、相加即可求解． 【详解】解：， ， 在和中 ， ， ， 四边形为平行四边形． 点、分别为和的中点， 是的中位线， ； 四边形为平行四边形， ，， 又， ， 与均为等腰三角形， 又为的中点，连接， ， ， 又为的中点， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知： ； 过点作于，连接，如图所示： 由等腰三角形的三线合一可知：， ， 在中，由勾股定理可知， 为中点，为中点， 为的中位线， ，即， 且， 四边形为平行四边形， ， ． 26．在中，，，点在边上，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在边上． (1)如图1，点F与点C重合，，求证：E是的中点； (2)如图2，点在的延长线上时，作 交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据角的直角三角形的性质解答即可； （2）在上取一点M，使得，连，取的中点N，连接，即可得到，，然后证明，得到，，即可得到，解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴点是的中点； （2）解：，证明如下： 在上取一点M，使得，连接，取的中点N，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型09.矩形的判定定理理解 27．下列说法中，不正确的是（   ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻角相等的平行四边形是矩形 C．有一组对角互补的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键；根据矩形的几种判定方法进行判定即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误，符合题意； B、由于平行四边形的邻角互补，当一组邻角相等时，这两个角为直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论，原说法正确，不符合题意； C、根据平行四边形的对角相等及互补，得对角相等且为直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论，原说法正确，不符合题意； D、有三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 28．为了检查一个书架的四个角是否都是直角（该书架两条侧边、上下底边的长度分别相等），小明的检查过程如下：如图，小明先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．请用一个你学过的几何定理解释小明检查过程的依据：________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【分析】先根据已知边的等量关系确定书架为平行四边形，再结合对角线的条件判断是否为矩形，即可得到四个角是否为直角． 【详解】解：∵该书架的两条侧边，上下底边的长度分别相等，即两组对边分别相等， ∴该书架是平行四边形，若该平行四边形的两条对角线长度相等，则该平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角， 因此可以通过检验两条对角线长度是否一致，判断四个角是否都是直角． 29．满足下列条件的四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．四边相等的四边形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．利用矩形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； B. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项符合题意； C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； D. 四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型10.添条件使四边形是矩形 30．如图，四边形是平行四边形，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形是矩形． 【详解】解：A、，当是平行四边形时都成立，故不符合题意； B、，当是平行四边形时都成立，故不符合题意； C、，则是菱形，故不符合题意； D、，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 故选：D． 31．如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是___________．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 32．如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得四边形为矩形．（不需要证明） 【答案】(1)见解析； (2)（答案不唯一）． 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，则，再证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：添加（答案不唯一），理由如下： 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为矩形． 题型11.证明四边形是矩形 33．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，． 求证：平行四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知角相等推导出对角线相等，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”完成证明． 【详解】证明：∵ 四边形 是平行四边形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵ 四边形 是平行四边形，且 ， ∴ 平行四边形 是矩形． 34．已知：如图，在中，点E，F分别是边的中点，连接，相交于点O． (1)求证：． (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，，再根据中点的定义得出，即可证明； （2）先证四边形是平行四边形，推出，再证四边形是平行四边形，根据对角线相等，可得四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 又点E，F分别是边的中点， ， ． （2）证明：如图，连接， 中，， ， 点E，F分别是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 同理，，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 35．如图，在中，已知对角线和相交于点O， 过点A作于点E，延长到点F，使， 连接， ． (1)求证： 四边形是矩形； (2)若， ， ， 求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）求解，，，，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， 点是的中点， ∴． 题型12.矩形的性质与判定求角度. 36．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠OAE＝15°， ①求证：DA＝DO＝DE； ②直接写出∠DOE的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②75° 【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证AC=BD，即可得出结论； （2）①先证明△ADE是等腰直角三角形，再证得，即可得出结论； ②求出∠BDC=30°，得出∠DOE=75°，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC ∴四边形ABCD是平行四边形      ∴BD＝2OB     ∵AC＝2OB ∴AC＝BD ∴四边形ABCD是矩形 （2）①证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠DAB＝∠ADC＝90°，AO＝DO       ∵AE平分∠BAD ∴∠DAE＝45°      ∴∠DEA＝45 . ∴DA＝DE      又∵∠OAE＝15° ∴∠DAO＝∠DAE+∠OAE＝60°      ∴DA＝DO＝AO ∴DA＝DO＝DE      ②解： ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 37．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 故的度数为． 38． 如图1，四边形中，，，且，，的平分线交边于，的平分线交于，交于. (1)求证： (2)如图2，若，、交于点，写出图中所有等腰直角三角形. 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． （1）由角的等量关系得到，，从而证明，即可证明； （2）根据等腰直角三角形的判定得到答案． 【详解】（1）证明：，， ，， 又平分，平分， ，， ，， ，， ， ， 即； （2），，，且，， 四边形为矩形， 由（1）得，， 故，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，是等腰直角三角形． 故，，，是等腰直角三角形． 题型13.矩形的性质与判定求面积 39．如图，中，对角线，相交于点O，，，．    (1)求证：是正三角形； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，继而可得，再由根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形即可得出结论； （2）由是等边三角形得出，进而可得，由此得出四边形是矩形，再根据利用勾股定理可得的长，最后利用矩形的面积公式即可得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又， 又， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形； 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 则矩形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质是解题关键． 40．如图，为等边三角形，D为中点，连接．过点A，C分别作，，，相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据“两组对边互相平行的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，再结合等边三角形的“三线合一”性质，证得，最后运用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证得四边形是矩形； （2）先根据等边三角形的“三线合一”性质，证得，求出线段的长，再结合（1）中的结论，运用，求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又是等边三角形，D为中点， ∴于点D， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵D为中点，， ∴，于点D， ∴， ， 在中， ∵，，， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∴． 41．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)或或或 【分析】（1）过点作交于，延长交于，结合矩形的判定及性质，由判定，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由点的运动路径得，设，由直角三角形的特征得，可求，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于，延长交于， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 四边形是矩形， ， ， 点是上的一个动点（点不与端点重合）， ， ， 设， 是的中点， ， ， 解得， ， 线段的长为整数， 为或或或， 为或或或， 当时， ， 同理可求时，， 时，， 时，， 综上，的长为或或或． 题型14.矩形的性质与判定求线段长 42．如图，长方形纸条，，点E在边上，且，点F为边上一点，连接，将四边形沿翻折，得到四边形．若纸条的长度足够长，则到边的最大距离为______ ． 【答案】18 【分析】本题考查了矩形的判定及性质、勾股定理、翻折的性质，连接，作于点，于点，根据矩形的判定及性质得，根据勾股定理得，根据，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质，找出是解题的关键． 【详解】解：连接，作于点，于点，如图： 四边形是矩形，，， ， 四边形是矩形， ， 由翻折得：，，， 在中，根据勾股定理得， ， ， ， ， 的最大值是， 故答案为：18． 43．如图，在梯形中，，，，，，点E为中点，连接，并延长交的延长线于点F，则线段的长度为（   ） A．10 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】首先利用平行线的性质和中点条件证明 ，从而得出，进而求出的长；其次通过作辅助线构造直角三角形，利用 求出梯形的高，最后在中利用勾股定理计算的长度即可． 【详解】解： ， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中， ， ， 在 中，， ． 44．如图，在四边形中，是对角线交点，，．是延长线上一点，连结，，若，． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一得到，即可证得，从而根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，先判定为平行四边形，再由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可证得结论； （2）作于点，根据矩形的性质可知，，可得为的中位线，从而得到和，即可根据勾股定理求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为矩形． （2）解：作于点， 矩形， ， ， ， ， ． 题型15.矩形中的动点问题 45．如图，在中，，，，为边上的动点，于点，于点，连接，则线段长度的最小值是（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，判定四边形是矩形，得出，然后根据勾股定理求出相关线段的长度，根据垂线段最短以及等面积法求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 根据垂线段最短可得，当时，的值最小，即的值最小， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴当时，由等面积得， ∴， 即线段长度的最小值是． 46．如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度向点B运动，动点H从点B出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q从点C出发沿方向以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另外两点也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒，当时，t的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据速度时间路程，得到线段长，结合等腰三角形三线合一构造辅助线，计算出、的长，根据矩形的判定和性质得到线段，根据等量关系列方程求解． 【详解】解：过点Q作，交于点M， 点Q的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 点P的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 点H的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 四边形是矩形，， ，， ， ，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查矩形性质和判定、等腰三角形三线合一、动点问题中速度、时间和路程的关系，解决本题的关键是利用速度×时间=路程来表示线段长，根据线段相等建立等量关系，列方程求解． 47．如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，当，，在同一条直线上时，的值最小，求得的长即可． 【详解】解：取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，则，， ， 当，，在同一条直线上时，的值最小， 点为的中点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ， 点为的中点，， ， ， ， ． 的最小值为：． 48．定理证明： (1)如图（1），在中，D，E分别是，的中点，求证：． (2)类比迁移 如图（2），在矩形中，点E是边的中点，点M是边上一动点，连接，过点E作，交所在的直线于点N，连接猜想之间的数量关系，并证明． (3)拓展应用 如图（3），在四边形中，，，，，点为边的中点，且，求边的长（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（1）延长到点，使得，连接，证明，得到，再进一步证明四边形是平行四边形，可得结论． （2）分两种情况：当点在边上时，当点在的延长线上时，分别求解证明即可． （3）延长到点，使得，连接并延长，交于点，连接，证明，得到，，再证明四边形为矩形，得到，则，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，当点在边上时，延长到点，使得，连接， ∵点E是边的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴点在同一条直线上． 在中，，， ， 如图，当点在的延长线上时，延长到点，使得，连接， ∵点E是边的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴点在同一条直线上． 在中，，， ， （3）解：如图，延长到点，使得，连接并延长，交于点，连接， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， 又∵， ， ∴四边形为矩形， ， ， ，， ， ， ， ∵，， ． 题型16.矩形中的最值问题 49．在矩形中，，点在上，点在上，且，连接，则的最小值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．17 【答案】B 【分析】连接，证明，延长到点，使得，连接交于点F，连接，结合垂直平分线的性质，推出，进而得出，则当点P与点F重合时，取得最小值，且最小值为的长，勾股定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 延长到点，使得，连接交于点F，连接， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点P与点F重合时，取得最小值，且最小值为的长， ∵， ∴． 50．如图，在中，，，，点E，F分别在，上，点G，H在上，若四边形为矩形，则的长的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，过作交直线于，由直角三角形可得，结合，可得与两平行线之间的距离为，则的最小值为，由四边形为矩形，可得，即可求出的长的最小值为． 【详解】解：连接，过作交直线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴与两平行线之间的距离为， ∴根据垂线段最短可得的最小值为， ∵四边形为矩形， ∴， ∴的长的最小值为． 51．如图①，对于平面内的一点和矩形，恒有．那么如图②，在四边形中，，，，垂足为，点是的中点，则的面积的最大值是（　  　） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】以，为邻边作矩形，连接，由题意易得点C、M、E三点共线，且点M是的中点，则有，要使的面积为最大，则需满足的面积为最大，然后可得当时，的面积为最大，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：以，为邻边作矩形，连接，如图所示： ∴互相平分， ∵点是的中点， ∴点C、M、E三点共线，且点M是的中点， ∴， 要使的面积为最大，则需满足的面积为最大， ∵， ∴当时，的面积为最大， 由对于平面内的一点和矩形，恒有，可知： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 即的面积最大值为． 52．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点，连接，的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】过点作，分别交于点M，交于点N，证明是等腰直角三角形，，证明，得，得出的最大值为2，当且仅当与重合时取等号，四边形是正方形，且最大，最小，得出是直角三角形，由勾股定理得：． 【详解】解：如图，过点作，分别交于点M，交于点N， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的角平分线上， ∵，是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， 又， ∴，解得 ∵在中，， ∴的最大值为2，当且仅当与重合时取等号， 当时，，且，即与重合，与重合,此时，四边形是正方形，且最大， ∵点在的角平分线上， ∴最大时，最小， 如图，当时，延长交于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴,, ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：． 题型17.矩形中与旋转综合 53．如图在矩形中，，．点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为_________． 【答案】 【分析】取的中点，在上取一点，连接，使，作射线，勾股定理求出，，证明出是等边三角形，连接、，作于点，则，勾股定理求出，证明出，得到，然后利用求解即可． 【详解】取的中点，在上取一点，连接，使，作射线， 四边形是矩形，，， ，， ，， ，， ， ， ， 是等边三角形， 连接、，作于点，则， ， ， ， ， 将线段逆时针旋转到， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在射线上运动， ， ， 线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 54．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知， ，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，结合矩形性质，等腰三角形性质，勾股定理推出点C的坐标，将绕点逆时针旋转得到，结合全等三角形性质和判定，得到第1次旋转点C的坐标，同理得到，第2、3、4、5次旋转后点C的坐标，找出坐标规律，根据规律求解，即可解题． 【详解】解：过点作轴于点， ⸪， ， ⸪四边形为矩形， ， ， ， ， ， ⸪ ， ， 解得，即有， ， ， 第1次旋转：将绕点逆时针旋转得到， 过点作轴于点， ， ，， ， ， ， 同理可得，第2次旋转后点C的坐标是， 第3次旋转后点C的坐标是， 第4次旋转后点C的坐标是， 第5次旋转后点C的坐标是， 依次类推，点C的坐标每旋转4次为一个循环， ⸪， 第2026次旋转结束时，点C的坐标是， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标系下图形的旋转，点的规律探究，勾股定理，等角对等边，全等三角形的判定及性质．解题的关键是确定旋转过程中点的坐标规律． 55．如图，在中，，为边上的中线，点为的中点，连接，将线段绕着点顺时针旋转到，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先证明，可得，，由平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，再由矩形的判定可得结论； （2）由勾股定理可求，的长，由矩形的性质和勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：∵，为边上的中线， ∴，， ∵将线段绕着点顺时针旋转到， ∴，， ∴点，点，点三点共线， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解： ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∴的长为． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．证明三角形全等是解题的关键． 题型18.矩形与中位线综合 56．如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_______． 【答案】 5 【分析】先证明是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由矩形的性质即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，是边的中点， 是的中位线，， ∴， ， ， ， ， ． 57．如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由所给条件可证明四边形是平行四边形，再由可推得，，在中，，，推得． 【详解】解：，点，分别为，的中点，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 58．如图，在矩形和矩形中，，，，是的中点，点，分别在边，上，且，连接，，若，分别是，的中点，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】连接，交于R，延长交于H，连接， 得矩形，用勾股定理解求出，证明，推出，点R与点M重合， 进而可得是的中位线，根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于R，延长交于H，连接， 则四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ，，， 在中，由勾股定理得：， 在和中， ， ， ， ∴点R与点M重合， ∵点N是的中点， ∴是的中位线， ∴． 59．如图，在中，，，点分别为边、、的中点，连结、． (1)求证：四边形为矩形； (2)用无刻度的直尺和圆规在线段上作点，连结，使的周长与四边形的周长相等．（简要说明点找法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再结合证明其为矩形． （2）周长：；四边形周长：；由点是中点，得，若两个周长相等，则，点作图本质是将周长条件转化为线段长度关系，再用尺规作线段和差与中点实现． 【详解】（1）证明：∵点分别为边、、的中点， ，． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：做法一： 以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则即为所求． 做法二： 作的平分线，交于点，连结，则即为所求． 做法三： 如图，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，作线段的垂直平分线交于点，连结，则即为所求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06矩形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记矩形定义：有一个角是直角的平行四边形，明白矩形属于特殊平行四边形。 2.熟练掌握矩形性质,重点记住矩形对角线相等。 3.掌握矩形 3 种判定方法，能分清平行四边形、矩形、菱形三者区别。 4.牢记重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，会直接做题。 5.掌握矩形周长、面积计算公式 1.计算能力：能利用矩形性质求边长、角度、对角线、周长与面积。 2.推理能力：能根据题意，灵活选择判定方法，证明四边形是矩形。 3.应用能力：熟练运用斜中线定理解决直角三角形相关计算与证明。 4.辨析能力：能精准区分矩形与菱形的对角线性质，避免考试混淆。 1.小题：快速搞定概念判断、角度计算、对角线求值，基础题零失误。 2.解答题：掌握固定答题模板：先证平行四边形，再证直角 / 对角线相等，步骤规范不扣分。 3.压轴题：熟练解决矩形折叠、动点、斜中线模型、矩形与全等三角形综合题型。 题型01.矩形的性质理解 题型02.矩形的性质求角度 题型03.矩形的性质求线段长 题型04.矩形的性质求面积 题型05.矩形的性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形与折叠问题 题型08.斜边中线等于斜边的一半 题型09.矩形的判定定理理解 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.证明四边形是矩形 题型12.矩形的性质与判定求角度 题型13.矩形的性质与判定求面积 题型14.矩形的性质与判定求线段长 题型15.矩形中的动点问题 题型16.矩形中的最值问题 题型17.矩形中与旋转综合 题型18.矩形与中位线综合 知识点01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 知识点02:矩形的性质（必考） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04:矩形专属重要推论（必考模型） 推论：直角三角形斜边上的中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.由来：矩形对角线互相平分且相等，将矩形沿一条对角线分割，得到两个全等直角三角形，直接推出本结论； 2.几何语言： 在△ABC中，∠ABC=90，点O是斜边AC中点 BO=AC 3.延伸结论： 若直角三角形一边中线等于该边一半，则这个三角形是直角三角形（逆定理，可用于证明直角）； 矩形对角线相交后，会形成两对全等的等腰三角形(△AOB、△BOC、△COD、△DOA)均为等腰三角形）。 知识点05:三大特殊平行四边形对比辨析 图形 边 角 对角线 对称轴 核心标签 平行四边形 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 互相平分 0 条 基础图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分、相等 2 条 角为直角、对角线相等 菱形 四条边都相等 对角相等，邻角互补 互相平分、垂直，平分内角 2 条 四边相等、对角线垂直 记忆口诀：矩形看角与对角线相等，菱形看边与对角线垂直。 知识点06:高频易错点（丢分预警，特色标注） ❌ 错误判定：对角线相等的四边形是矩形 ✅ 纠正：必须先证明是平行四边形，再加 “对角线相等” 才可判定。 ❌ 性质混淆：把矩形对角线记为互相垂直 ✅ 纠正：矩形对角线相等但不垂直（正方形除外）；对角线互相垂直是菱形特征。 ❌ 推论误用：任意三角形都能用 “斜中线定理” ✅ 纠正：该定理只适用于直角三角形。 ❌ 证明跳步：直接由普通四边形证矩形 ✅ 纠正：解答题优先证平行四边形，再补充直角 / 对角线相等条件。 ❌ 折叠问题忽略：折叠前后全等、边长角度不变。 . 题型01.矩形的性质理解 1．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对边相等 2．如图，这是一张矩形纸片，其中，，E是边上的一点，且，点P以的速度从点A开始沿的方向运动一周停止，当是以为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为______s． 3．在下列图形中，若将矩形沿着虚线剪成两部分，则这两部分既能拼成三角形和平行四边形，又能拼成梯形的是（   ） A． B． C． D． 题型02.矩形的性质求角度 4．如图，在矩形中，是延长线上一点，且，连接，取的中点，连接交于点．若，则为_____（用含的代数式表示）． 5．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是矩形，连接． (1)实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 题型03.矩形的性质求线段长 7．如图，已知矩形，点E在的延长线上，点F在的延长线上，且，连接交于点G，求证：． 8．如图，在矩形中，，，，该矩形的周长为． (1)求证：； (2)求的长． 9．如图，在中， D，E分别是的中点，连接，过点 A 作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使 ，连接，易知四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，请你利用上述结论求的面积． 题型04.矩形的性质求面积 10．如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 11．如图，已知矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 12．如图，某重型工业厂区内有一块矩形生产作业区，生产作业区的长为，宽为，在生产作业区内规划两块大小相同的小矩形作为设备检修区（阴影部分），每块小矩形检修区的长为，宽为． (1)求该矩形生产作业区的周长； (2)除设备检修区外，作业区其他部分都要在地面涂刷工业防腐涂层，已知涂刷防腐涂层的费用为50元/，求生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用． 题型05.矩形的性质证明 13．按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 14．数学课上，以小组为单位开展以“矩形”为主题的数学实践活动，并进行如下操作：将两个相同大小的矩形纸片和重叠放置，固定，将矩形纸片绕点顺时针旋转，如图，当点恰好落在的中点时停止，连接，若，则________． 15．如图，矩形中，点在边上，，过点作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 16．如图，四边形是长方形，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，点在轴负半轴上，点，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是角平分线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 18．如图①，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．点沿着在长方形边上运动． (1)点的坐标为______． (2)当、两点的距离为7时，求点的坐标． (3)如图②，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标． 题型07.矩形与折叠问题 19．如图，在矩形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点F，则为（    ） A． B．1 C． D． 20．如图，矩形在平面直角坐标系中，，，将沿对角线翻折，使点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为______ ． 21．如图，矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F，若，，则的长为（   ） A．6 B．7 C． D．8 22．将矩形纸片按如图的方式折叠，为折痕，，，折叠后，点落在边上的处，并且点落在边上的处； (1)连接，求证：； (2)求线段的长． 题型08.斜边中线等于斜边的一半 23．如图．在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（   ） A．25 B．12.5 C．12 D．13 24．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点为线段的中点，连接，若，，，则的长为______． 25．如图，在四边形中，和相交于点，，，、、分别是、、的中点，连接、、，，，，则的周长为（    ） A．24 B．26 C．28 D．30 26．在中，，，点在边上，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在边上． (1)如图1，点F与点C重合，，求证：E是的中点； (2)如图2，点在的延长线上时，作 交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 题型09.矩形的判定定理理解 27．下列说法中，不正确的是（   ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻角相等的平行四边形是矩形 C．有一组对角互补的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 28．为了检查一个书架的四个角是否都是直角（该书架两条侧边、上下底边的长度分别相等），小明的检查过程如下：如图，小明先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．请用一个你学过的几何定理解释小明检查过程的依据：________． 29．满足下列条件的四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．四边相等的四边形 题型10.添条件使四边形是矩形 30．如图，四边形是平行四边形，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 31．如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是___________．（填上所有满足条件的序号） 32．如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得四边形为矩形．（不需要证明） 题型11.证明四边形是矩形 33．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，． 求证：平行四边形是矩形． 34．已知：如图，在中，点E，F分别是边的中点，连接，相交于点O． (1)求证：． (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 35．如图，在中，已知对角线和相交于点O， 过点A作于点E，延长到点F，使， 连接， ． (1)求证： 四边形是矩形； (2)若， ， ， 求的长． 题型12.矩形的性质与判定求角度. 36．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠OAE＝15°， ①求证：DA＝DO＝DE； ②直接写出∠DOE的度数． 37．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，．求的度数． 38． 如图1，四边形中，，，且，，的平分线交边于，的平分线交于，交于. (1)求证： (2)如图2，若，、交于点，写出图中所有等腰直角三角形. 题型13.矩形的性质与判定求面积 39．如图，中，对角线，相交于点O，，，．    (1)求证：是正三角形； (2)求的面积． 40．如图，为等边三角形，D为中点，连接．过点A，C分别作，，，相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 41．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 题型14.矩形的性质与判定求线段长 42．如图，长方形纸条，，点E在边上，且，点F为边上一点，连接，将四边形沿翻折，得到四边形．若纸条的长度足够长，则到边的最大距离为______ ． 43．如图，在梯形中，，，，，，点E为中点，连接，并延长交的延长线于点F，则线段的长度为（   ） A．10 B． C．12 D． 44．如图，在四边形中，是对角线交点，，．是延长线上一点，连结，，若，． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求的长． 题型15.矩形中的动点问题 45．如图，在中，，，，为边上的动点，于点，于点，连接，则线段长度的最小值是（   ） A． B． C．5 D．6 46．如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度向点B运动，动点H从点B出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q从点C出发沿方向以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另外两点也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒，当时，t的值为（   ） A． B．1 C． D． 47．如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 48．定理证明： (1)如图（1），在中，D，E分别是，的中点，求证：． (2)类比迁移 如图（2），在矩形中，点E是边的中点，点M是边上一动点，连接，过点E作，交所在的直线于点N，连接猜想之间的数量关系，并证明． (3)拓展应用 如图（3），在四边形中，，，，，点为边的中点，且，求边的长（用含的式子表示）． 题型16.矩形中的最值问题 49．在矩形中，，点在上，点在上，且，连接，则的最小值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．17 50．如图，在中，，，，点E，F分别在，上，点G，H在上，若四边形为矩形，则的长的最小值为______． 51．如图①，对于平面内的一点和矩形，恒有．那么如图②，在四边形中，，，，垂足为，点是的中点，则的面积的最大值是（　  　） A． B． C．10 D．12 52．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点，连接，的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 题型17.矩形中与旋转综合 53．如图在矩形中，，．点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为_________． 54．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知， ，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 55．如图，在中，，为边上的中线，点为的中点，连接，将线段绕着点顺时针旋转到，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 题型18.矩形与中位线综合 56．如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_______． 57．如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 58．如图，在矩形和矩形中，，，，是的中点，点，分别在边，上，且，连接，，若，分别是，的中点，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 59．如图，在中，，，点分别为边、、的中点，连结、． (1)求证：四边形为矩形； (2)用无刻度的直尺和圆规在线段上作点，连结，使的周长与四边形的周长相等．（简要说明点找法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $