专题03.勾股定理及其逆定理的应用期末复习讲义 (18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题03.勾股定理及其逆定理的应用期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记勾股定理与逆定理的内容、适用条件，分清二者的区别与联系。 2.熟练掌握常见勾股数、特殊直角三角形的边长比例关系。 3.理解定理在计算、判定、实际场景、几何图形中的各类应用形式。 4.掌握互逆命题、互逆定理的概念，能准确区分原命题与逆命题。 1.运算能力：借助勾股定理快速求解直角三角形边长、周长、面积及斜边上的高。 2.判定能力：利用逆定理判断三角形形状，区分直角、锐角、钝角三角形。 3.建模能力：将生活实际问题、立体图形问题转化为直角三角形模型解题。 4.综合能力：结合折叠、动点、四边形、最短路径等题型，实现定理融会运用。 1.基础题型：选择、填空零失误，熟练完成边长计算、三角形判定、勾股数辨析。 2.常规解答：规范书写解题步骤，稳拿应用题、简单证明题分值。 3.综合题型：突破折叠、最短路径、四边形结合等高频重难点题型。 4.规避易错：分清直角边与斜边，养成分类讨论习惯，杜绝定理误用、计算出错。 题型01.梯子滑落高度计算(高频) 题型02.求旗杆高度(高频) 题型03.小鸟飞行距离问题(高频) 题型04.求大树折断前的高度问题(高频) 题型05.解决水杯中筷子问题(高频) 题型06.解决航海问题 题型07.求河宽问题(高频) 题型08 求台阶地毯长度问题 题型09.汽车超速判断问题 题型10.台风影响判断(选练) 题型11.等距选址计算 题型12.求最短路径问题(高频) 题型13.由三边长判断直角三角形 题型14.网格中判断直角三角形 题型15.找两点构成直角三角形的点 题型16.利用勾股定理的逆定理求解 题型17.勾股定理逆定理的实际应用 题型18.勾股定理逆定理的拓展问题 知识点01:核心公式 勾股定理的基本表达式为：在直角三角形中，设两条直角边为 a、b，斜边为 c，则a2+b2=c2 变形公式：c=,,b=​ 知识点02:通用解题步骤（所有应用题通用） 步骤 详细操作 & 注意事项 1 审题建模 区分场景：竖直物体、梯子、方位、立体、折叠、测直角；找出天然直角（墙⊥地面、南北⊥东西） 2 画图标注 必画简图,标注直角符号;已知长度直接标数字,未知长度统一设为 x 3 判定边 锁定直角三角形：分清两条直角边、斜边（最长边），严禁乱代边 4 列关系式 纯计算直接套公式；有未知量一律列一元一次方程 5 计算验根 解出方程后，长度必须＞0，负数解直接舍去 6 规范作答 带单位，文字回答对应问题 知识点03:应用场景:核心公式+等量关系 分类 具体场景 核心等量关系（公式） 长度 距离 类 梯子滑落高度 梯子长（c）² =墙高(a)² +梯底距墙距离(b)²（梯子为斜边） . 小鸟飞行距离 飞行距离（c）²= 水平距离（a）² +垂直距离（b）² 河宽 河宽（a）²=对岸连线长（c）² -河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 地毯长（c）²= 台阶水平总长（a）² +台阶垂直总高（b）² 立体最短路径（展开） 最短路径（c）²=展开后水平边长（a）²+展开后竖直边长（b）² 高度 类 旗杆高度 旗杆高（a）² = 绳子长（c）² - 绳端距旗杆底距离（b）² 大树折断前高度 1.折断部分长（c）² =树桩高（a）² +折端距树根距离（b）² 2.总高 = 树桩高 + 折断部分长 实际 生活 类 水杯中筷子长度 杯内筷子最长（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向垂直） 两船距离(c)²=船 1 航行距离（a）² + 船 2 航行距离（b）² 汽车超速判断 1.行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² 2.速度 = 距离 ÷ 时间（与限速比较） 台风影响判断 观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c）→ 受影响；反之不受影响 知识点04:勾股定理定理与逆定理 互逆命题 & 互逆定理 原命题（勾股定理）：直角三角形 ➬ 两直角边平方和 = 斜边平方（由角定边） 逆命题（勾股逆定理）：三边满足平方关系 ➫直角三角形（由边定角） 二者互为互逆定理，均为真命题。 知识点05:勾股数（逆定理配套知识点） 1.定义：满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数。 2.基本特征： 必须是正整数，小数、分数、无理数都不是勾股数； 若 (a,b,c 是勾股数，正整数倍 ka、kb、kc 也一定是勾股数。 3.常用基础勾股数（必背）： (3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 知识点06:纯几何题型：解题通用步骤（通用模板） 所有利用逆定理判定三角形形状、证明垂直的题目，严格遵循以下 4 步： 步骤 详细操作 关键要求 步骤 1 找出三角形三条边，确定最长边，记作 c 核心！必须以最长边作为公式中的 c 步骤 2 分别计算：两条短边的平方和 a2+b2、最长边的平方 c2 分开计算，不要合并出错 步骤 3 比较两个计算结果的大小 分三种情况判断三角形类型 步骤 4 下结论：判定形状 / 证明夹角为直角、两线垂直 书写规范，对应几何语言 知识点07:分题型精讲（理论 + 应用，附等量关系、例题思路） 题型 1：判定已知三边的三角形形状（选择、填空、基础解答） 解题核心 给定三边长，套用「最长边平方」和「两短边平方和」作比较。 示例 判断三边长为 6,8,10 的三角形形状 1.最长边：10 2.计算：62+82=100，102=100 3.关系：62+82=102 4.结论：该三角形是直角三角形。 题型 2：网格图形中判定直角三角形（高频考点） 解题思路 (1)利用勾股定理先求出网格中各线段长度的平方（无需开方，简化计算）； (2)找到三边中最长线段的平方； (3)用逆定理比较平方关系，判定是否为直角三角形。 技巧 网格题优先算边长的平方，避免无理数运算。 题型 3：几何证明题：证明两条线段互相垂直（重难点） 核心逻辑 要证 AB⊥ AC，即证∠BAC=90 1.构造 △ABC； 2.求出 △ ABC 三边长度（或边长平方）； 3.用逆定理证明三边满足 a2+b2=c2； 4.推出夹角为直角，即两线段垂直。 标准证明流程 ① 求三边 ② 算平方 ③ 比较关系 ④ 证直角 ⑤ 证垂直 题型 4：四边形综合题（分割图形，逆定理 + 勾股定理综合） 解题模型 不规则四边形，连接对角线，分割成两个三角形。 (1)对其中一个三角形，用逆定理判定为直角三角形； (2)得到直角条件后，再用勾股定理计算边长、面积。 核心流程 分割图形 ➩逆定理判直角 ➩勾股定理计算 题型01.梯子滑落高度计算 1．如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为__． 2．一根长2米的木棍斜靠在竖直的墙上（点A在墙面，点B在地面），木棍的顶端A到地面的距离是1.2米．小明说：如果将木棍的顶端沿方向向上移动0.4米，那么木棍的底端向左移动0.4米；小亮说：如果将木棍的顶端沿方向向下移动0.4米，那么木棍的底端向右移动0.4米．下面判断正确的是（    ） A．小明正确 B．小亮正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 3．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 题型02.求旗杆高度 4．某同学想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高度是_____． 5．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． (1)求小凳子顶点与墙面的距离； (2)在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 题型03.小鸟飞行距离问题 7．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 8．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 9．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 题型04.求大树折断前的高度问题 10．如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6米处（点）折断，树顶部（点）落在离树干底部（点）8米处，则这棵树在折断前的高度（不包括树根）为多少米？ 11．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 12．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 题型05.解决水杯中筷子问题 13．小杨将一根长为的铅笔放到棱长为的正方体笔盒内，他____________（填“能”或“不能”）完全放进去． 14．将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不计厚度），则细木棒露在盒外的部分最短为（   ） A．13厘米 B．17厘米 C．18厘米 D．26厘米 15．平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1米，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水中，仔细观察发现荷花偏离原地3米，请问：水深和荷花的高度各是多少米？    题型06.解决航海问题 16．如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（   ） A．20海里 B．10海里 C．30海里 D．25海里 17．甲、乙两人从同一地点出发，甲以40米/分的速度向北偏东方向直行，乙以30米/分的速度向南偏东方向直行，若他们同时出发，则5分后他们相距__________米． 18．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时30海里的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，2小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛的最近距离． （结果精确到0.1海里，参考数据：）    题型07.求河宽问题 19．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 20．如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得长为米，长为米．求两点间的距离（取）． 21．直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 题型08 求台阶地毯长度问题 22．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费_______元． 23．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 24．如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 题型09.汽车超速判断问题 25．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    26．超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 27．校车安全是近几年社会关注的热点问题之一，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，现在笔直的公路旁取一点，在公路上确定点，，使得，，再在上确定点，使得，测得米，已知本路段对校车限速是千米/时，若测得某校车从到匀速行驶用时秒．（参考数据：） (1)求点D到线段AB的距离（结果保留整数）； (2)利用（1）中的结果，请通过计算判断这辆车在本路段是否超速？ 题型10.台风影响判断 28．某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一学校，学校A到公路的距离米，若宣讲车P周围100米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿由M到N的方向行驶． (1)请问学校A能否听到宣传？请说明理由． (2)如果能听到，已知宣讲车的速度是80米/分，求学校A总共能听到多长时间的宣传． 29．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 30．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号） (1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 题型11.等距选址计算 31．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求______km． 32．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 33．如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为，到公交站（点）的距离为，现在公路边上建一个商店（点），使商店到学校及公交站的距离相等，求商店与公交站之间的距离． 题型12.求最短路径问题 34．如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现准备合作修建一座过街人行天桥．恰当地架桥可使由A单位到B单位的路程最短，请根据图中的数据求出最短路程_______． 35．如图，一个长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果以的速度从长方体的表面的点处爬到点处，最快爬行的时间是（    ） A． B． C． D． 36．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 题型13.由三边长判断直角三角形 37．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A． B． C．，， D． 38．在中，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是___． 39．为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，有下列说法正确结论的个数是（    ） ①，，能组成三角形； ②能组成三角形； ③能组成直角三角形； ④能组成直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 题型14.网格中判断直角三角形 40．如图，网格中的的顶点都在格点上，若小方格边长均为1，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 41．如图，每个小正方形的边长均为都在格点上，则的边上的高为___________． 42．如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长都是1个单位长度，以格点为顶点作三角形，下列说法错误的是（    ） A．可以画出三边长都是整数的直角三角形 B．可以画出三边长都是无理数的等腰直角三角形 C．可以画出三边长都是有理数的等边三角形 D．可以画出一个面积是8的正方形 题型15.找两点构成直角三角形的点 43．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 44．如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 45．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型16.利用勾股定理的逆定理求解 46．在中，，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 47．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 48．如图，在正方形纸片上有一点，，，．现将剪下，并将它拼到如图所示的位置（点与点重合，点与点重合，点与点重合）． (1)求线段的长 (2)求的度数 题型17.勾股定理逆定理的实际应用 49．如图，阴影部分是八年级某班的班级菜园的示意图，经测量，，，，，则阴影部分面积为_________． 50．甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P，航行的速度都是，甲客轮到达点A．乙客轮用到达B点，若A、B两点的直线距离为，甲客轮沿北偏西的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（　　） A．南偏西 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 51．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点，河边有两个入口，通过道路，可前往观景点，且．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点在上）．经测量：，，． (1)判断是否为从到河边的最近道路，并说明理由； (2)新修的路比原来的路近多少千米？ 题型18.勾股定理逆定理的拓展问题 52．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 53．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 54． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03.勾股定理及其逆定理的应用期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记勾股定理与逆定理的内容、适用条件，分清二者的区别与联系。 2.熟练掌握常见勾股数、特殊直角三角形的边长比例关系。 3.理解定理在计算、判定、实际场景、几何图形中的各类应用形式。 4.掌握互逆命题、互逆定理的概念，能准确区分原命题与逆命题。 1.运算能力：借助勾股定理快速求解直角三角形边长、周长、面积及斜边上的高。 2.判定能力：利用逆定理判断三角形形状，区分直角、锐角、钝角三角形。 3.建模能力：将生活实际问题、立体图形问题转化为直角三角形模型解题。 4.综合能力：结合折叠、动点、四边形、最短路径等题型，实现定理融会运用。 1.基础题型：选择、填空零失误，熟练完成边长计算、三角形判定、勾股数辨析。 2.常规解答：规范书写解题步骤，稳拿应用题、简单证明题分值。 3.综合题型：突破折叠、最短路径、四边形结合等高频重难点题型。 4.规避易错：分清直角边与斜边，养成分类讨论习惯，杜绝定理误用、计算出错。 题型01.梯子滑落高度计算(高频) 题型02.求旗杆高度(高频) 题型03.小鸟飞行距离问题(高频) 题型04.求大树折断前的高度问题(高频) 题型05.解决水杯中筷子问题(高频) 题型06.解决航海问题 题型07.求河宽问题(高频) 题型08 求台阶地毯长度问题 题型09.汽车超速判断问题 题型10.台风影响判断(选练) 题型11.等距选址计算 题型12.求最短路径问题(高频) 题型13.由三边长判断直角三角形 题型14.网格中判断直角三角形 题型15.找两点构成直角三角形的点 题型16.利用勾股定理的逆定理求解 题型17.勾股定理逆定理的实际应用 题型18.勾股定理逆定理的拓展问题 知识点01:核心公式 勾股定理的基本表达式为：在直角三角形中，设两条直角边为 a、b，斜边为 c，则a2+b2=c2 变形公式：c=,,b=​ 知识点02:通用解题步骤（所有应用题通用） 步骤 详细操作 & 注意事项 1 审题建模 区分场景：竖直物体、梯子、方位、立体、折叠、测直角；找出天然直角（墙⊥地面、南北⊥东西） 2 画图标注 必画简图,标注直角符号;已知长度直接标数字,未知长度统一设为 x 3 判定边 锁定直角三角形：分清两条直角边、斜边（最长边），严禁乱代边 4 列关系式 纯计算直接套公式；有未知量一律列一元一次方程 5 计算验根 解出方程后，长度必须＞0，负数解直接舍去 6 规范作答 带单位，文字回答对应问题 知识点03:应用场景:核心公式+等量关系 分类 具体场景 核心等量关系（公式） 长度 距离 类 梯子滑落高度 梯子长（c）² =墙高(a)² +梯底距墙距离(b)²（梯子为斜边） . 小鸟飞行距离 飞行距离（c）²= 水平距离（a）² +垂直距离（b）² 河宽 河宽（a）²=对岸连线长（c）² -河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 地毯长（c）²= 台阶水平总长（a）² +台阶垂直总高（b）² 立体最短路径（展开） 最短路径（c）²=展开后水平边长（a）²+展开后竖直边长（b）² 高度 类 旗杆高度 旗杆高（a）² = 绳子长（c）² - 绳端距旗杆底距离（b）² 大树折断前高度 1.折断部分长（c）² =树桩高（a）² +折端距树根距离（b）² 2.总高 = 树桩高 + 折断部分长 实际 生活 类 水杯中筷子长度 杯内筷子最长（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向垂直） 两船距离(c)²=船 1 航行距离（a）² + 船 2 航行距离（b）² 汽车超速判断 1.行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² 2.速度 = 距离 ÷ 时间（与限速比较） 台风影响判断 观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c）→ 受影响；反之不受影响 知识点04:勾股定理定理与逆定理 互逆命题 & 互逆定理 原命题（勾股定理）：直角三角形 ➬ 两直角边平方和 = 斜边平方（由角定边） 逆命题（勾股逆定理）：三边满足平方关系 ➫直角三角形（由边定角） 二者互为互逆定理，均为真命题。 知识点05:勾股数（逆定理配套知识点） 1.定义：满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数。 2.基本特征： 必须是正整数，小数、分数、无理数都不是勾股数； 若 (a,b,c 是勾股数，正整数倍 ka、kb、kc 也一定是勾股数。 3.常用基础勾股数（必背）： (3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 知识点06:纯几何题型：解题通用步骤（通用模板） 所有利用逆定理判定三角形形状、证明垂直的题目，严格遵循以下 4 步： 步骤 详细操作 关键要求 步骤 1 找出三角形三条边，确定最长边，记作 c 核心！必须以最长边作为公式中的 c 步骤 2 分别计算：两条短边的平方和 a2+b2、最长边的平方 c2 分开计算，不要合并出错 步骤 3 比较两个计算结果的大小 分三种情况判断三角形类型 步骤 4 下结论：判定形状 / 证明夹角为直角、两线垂直 书写规范，对应几何语言 知识点07:分题型精讲（理论 + 应用，附等量关系、例题思路） 题型 1：判定已知三边的三角形形状（选择、填空、基础解答） 解题核心 给定三边长，套用「最长边平方」和「两短边平方和」作比较。 示例 判断三边长为 6,8,10 的三角形形状 1.最长边：10 2.计算：62+82=100，102=100 3.关系：62+82=102 4.结论：该三角形是直角三角形。 题型 2：网格图形中判定直角三角形（高频考点） 解题思路 (1)利用勾股定理先求出网格中各线段长度的平方（无需开方，简化计算）； (2)找到三边中最长线段的平方； (3)用逆定理比较平方关系，判定是否为直角三角形。 技巧 网格题优先算边长的平方，避免无理数运算。 题型 3：几何证明题：证明两条线段互相垂直（重难点） 核心逻辑 要证 AB⊥ AC，即证∠BAC=90 1.构造 △ABC； 2.求出 △ ABC 三边长度（或边长平方）； 3.用逆定理证明三边满足 a2+b2=c2； 4.推出夹角为直角，即两线段垂直。 标准证明流程 ① 求三边 ② 算平方 ③ 比较关系 ④ 证直角 ⑤ 证垂直 题型 4：四边形综合题（分割图形，逆定理 + 勾股定理综合） 解题模型 不规则四边形，连接对角线，分割成两个三角形。 (1)对其中一个三角形，用逆定理判定为直角三角形； (2)得到直角条件后，再用勾股定理计算边长、面积。 核心流程 分割图形 ➩逆定理判直角 ➩勾股定理计算 题型01.梯子滑落高度计算 1．如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为__． 【答案】 4 【分析】直接利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由勾股定理，得. 2．一根长2米的木棍斜靠在竖直的墙上（点A在墙面，点B在地面），木棍的顶端A到地面的距离是1.2米．小明说：如果将木棍的顶端沿方向向上移动0.4米，那么木棍的底端向左移动0.4米；小亮说：如果将木棍的顶端沿方向向下移动0.4米，那么木棍的底端向右移动0.4米．下面判断正确的是（    ） A．小明正确 B．小亮正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出，然后分别根据小明和小亮的说法画出图形，利用勾股定理求解判断即可． 【详解】解：根据题意得，米，米， ∴（米） 如图，将木棍的顶端沿方向向上移动0.4米得到， ∴米，米 ∴（米） ∴（米） ∴（米） ∴木棍的底端向左移动0.4米，故小明正确； 如图，将木棍的顶端沿方向向下移动0.4米得到， ∴米，米 ∴（米） ∴（米） ∴ ∴木棍的底端向右移动米，故小亮错误． 3．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可知，利用勾股定理即可解答； （2）结合题意得出，则，再利用勾股定理，算出的长，的大小即为物体升高的高度． 【详解】（1）解：由题可知，，， 绳长， 答：绳子的总长度为． （2）解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则， ， 在直角三角形中， ， ， 物体升高， 答：物体升高了． 题型02.求旗杆高度 4．某同学想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高度是_____． 【答案】12米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆高度为米，则绳子长度为米，根据勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设旗杆高度为米，则绳子长度为米， 根据题意，得， 解得． 故旗杆的高度为12米， 故答案为：12米． 5．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴ 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 6．如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． (1)求小凳子顶点与墙面的距离； (2)在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】(1)小凳子顶点与墙面的距离为 (2)小凳子宽的长度为，木杆的长度为 【分析】（1）过作垂直于墙面，垂足为点，则，勾股定理即可求解． （2）延长交墙面于点，则，设，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，则， 由题意可知，， 由勾股定理得：， 答：小凳子顶点与墙面的距离为； （2）如图②，延长交墙面于点，则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，      ， 答：小凳子宽的长度为，木杆的长度为． 题型03.小鸟飞行距离问题 7．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，掌握根据题意画出对应的图形是解题的关键． 先画出几何图形，然后求出直角边，用勾股定理计算求解． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作，连接， 根据题意，可知四边形是矩形， ，， ， 根据勾股定理可得， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行． 故答案为：． 8．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示：    由题意可知，， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， 它要飞回巢中所需的时间至少是（）， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键． 9．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)15米； (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中， ， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 题型04.求大树折断前的高度问题 10．如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6米处（点）折断，树顶部（点）落在离树干底部（点）8米处，则这棵树在折断前的高度（不包括树根）为多少米？ 【答案】16米 【详解】解：由题意可知：米，米，， ∴（米）， ∴（米）． 答：这棵树在折断前的高度为16米． 11．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】(1) (2)周围范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图，点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． 12．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 题型05.解决水杯中筷子问题 13．小杨将一根长为的铅笔放到棱长为的正方体笔盒内，他____________（填“能”或“不能”）完全放进去． 【答案】能 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确理解题意是解题的关键． 通过计算正方体的空间对角线长度，与铅笔长度比较，判断是否能放入即可． 【详解】解：如图，连接，， 由题意得：，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，， 且， ∴能完全放进去， 故答案为：能． 14．将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不计厚度），则细木棒露在盒外的部分最短为（   ） A．13厘米 B．17厘米 C．18厘米 D．26厘米 【答案】B 【分析】由勾股定理求出盒子的对角线长，从而即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：盒子底面对角线长为（厘米）， 盒子的对角线长：（厘米）， ∴细木棒露在盒外的部分最短为（厘米）． 15．平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1米，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水中，仔细观察发现荷花偏离原地3米，请问：水深和荷花的高度各是多少米？    【答案】4米，5米 【分析】设水深为x米，根据题意，得米，米，米， 米，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设水深为x米，根据题意，得米，米，米， 米， 根据勾股定理得， 解得（米）， 故（米）． 题型06.解决航海问题 16．如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（   ） A．20海里 B．10海里 C．30海里 D．25海里 【答案】A 【分析】如图（见解析），先求出，的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，设向东北方向航行的轮船到达地为处，向东南方向航行的轮船到达地为处，连接， 由题意得：，（海里），（海里）， ∴， ∴在中，海里， 即两船相距20海里． 17．甲、乙两人从同一地点出发，甲以40米/分的速度向北偏东方向直行，乙以30米/分的速度向南偏东方向直行，若他们同时出发，则5分后他们相距__________米． 【答案】250 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题以及勾股定理的应用，熟练掌握方向角的定义和勾股定理是解题的关键． 根据方向角的定义求出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， ∵甲沿北偏东方向直行，乙沿南偏东方向直行， ∴， 根据题意可知,(米)(米)， ∴(米)， 即5分后他们相距米， 故答案为：． 18．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时30海里的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，2小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛的最近距离． （结果精确到0.1海里，参考数据：）    【答案】渔船与小岛C的最近距离约为海里． 【分析】过点作于点，则为渔船与小岛的最近距离，设，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：过点作于点，则为渔船与小岛的最近距离， 由题意得．海里， ，，   ， ， 设， 在中，， ， ∴， ， ， 解得海里， 答：渔船与小岛C的最近距离约为海里． 题型07.求河宽问题 19．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意，得，，， 在中，， ∴， 解得， 即河的宽度是15米， 故选：D． 20．如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得长为米，长为米．求两点间的距离（取）． 【答案】米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接计算即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ∵米，米， ∴米， 答：两点间的距离为米． 21．直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.5千米 (3) 【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用； （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：， ∴梯形的面积为或， ， ， 即， （2）解：设千米，则千米， 在中，， 即，解得：，即， （千米）， 答：新路比原路少千米， （3）解：由题得，， 在中，， 在中，， ， 即，解得：． 题型08 求台阶地毯长度问题 22．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费_______元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用. 先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费（元）， 故答案为：． 23．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 24．如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 【答案】平方米 【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜． 【详解】解：棚高，棚宽，设棚顶的宽为b， 则， 棚的长d为， ∴． 【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力，理清题意，掌握勾股定理是解题的关键． 题型09.汽车超速判断问题 25．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 26．超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该车超过了的限制速度 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：在中， ，， ， ． （2）解：在中， ，， ． 在中， ，， ， ， ， 该车的速度为， 该车超过了的限制速度． 27．校车安全是近几年社会关注的热点问题之一，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，现在笔直的公路旁取一点，在公路上确定点，，使得，，再在上确定点，使得，测得米，已知本路段对校车限速是千米/时，若测得某校车从到匀速行驶用时秒．（参考数据：） (1)求点D到线段AB的距离（结果保留整数）； (2)利用（1）中的结果，请通过计算判断这辆车在本路段是否超速？ 【答案】(1)到线段的距离为米 (2)这辆车在本路段未超速 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用． （1）过作于E，根据直角三角形两锐角互余求得，根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得的值； （2）根据直角三角形两锐角互余求得，，推得平分，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得，求得的值，根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半可得的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得的值；即可判断是否超速． 【详解】（1）解：过作于E，如图： 则， ∵， ∴， 在中，， ∴（米）， 故到线段的距离为米． （2）解：∵，，， ∴，，， 则， 即平分， ∵，， ∴（米）， 则（米）， 在中，，， ∴（米）， 故（米）， 车速为（米/秒） 米/秒千米/时千米/时． 故这辆车在本路段未超速． 题型10.台风影响判断 28．某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一学校，学校A到公路的距离米，若宣讲车P周围100米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿由M到N的方向行驶． (1)请问学校A能否听到宣传？请说明理由． (2)如果能听到，已知宣讲车的速度是80米/分，求学校A总共能听到多长时间的宣传． 【答案】(1)学校能听到宣传，见解析 (2)学校A总共能听到2分钟的宣传 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据题意进行判断即可； （2）根据题意画出图形，利用勾股定理求出米，然后求出结果即可． 【详解】（1）解：学校能听到宣传． 理由：因为学校A到公路的距离为60米米， 所以学校能听到宣传； （2）解：如图， 假设宣讲车行驶到P点学校开始听到，离开Q点后不再听到，则 米，米． 所以（米）． 所以米， 所以影响学校的时间为（分钟）． 所以学校A总共能听到2分钟的宣传． 29．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)的长为 (2)市受到台风影响的时间持续小时 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意并正确计算是关键． （1）使用勾股定理直接计算即可； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点、，使用勾股定理求出，再除以台风的速度求出持续时间． 【详解】（1）解：由题意可得，， 在直角中，． 答：的长为． （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点、， 由题意可知，台风在段时，对市有影响． 在直角中，， 同理，， ∴， ∴影响持续的时间为． 答：市受到台风影响的时间持续小时． 30．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号） (1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决． （1）求是否会受到台风的影响，其实就是求到的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过作于就是所求的线段．在直角三角形中，求出再比较即可． （2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的上的线段的长即得长，可通过在直角三角形和中，根据勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）解：该城市会受到这次台风的影响． 理由是：如图，过作于． 在直角中， ， ， ， ∴该城市会受到这次台风的影响； （2）解：如图以为圆心，为半径作交于、． 则． ∴台风影响该市持续的路程为：． ∴台风影响该市的持续时间小时， ∴台风影响该城市的持续时间有小时． 题型11.等距选址计算 31．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求______km． 【答案】// 【分析】设，即可得到，结合于点A，于B根据勾股定理列式求解即可得到答案； 【详解】解：设，则， ∵，，，， ∴，， ∵C、D两村到E站的距离相等， ∴，解得：， 故答案为：； 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解． 32．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 33．如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为，到公交站（点）的距离为，现在公路边上建一个商店（点），使商店到学校及公交站的距离相等，求商店与公交站之间的距离． 【答案】商店与公交站之间的距离为米 【分析】作出A点到公路的距离，构造出直角三角形，利用勾股定理易得长，那么根据直角三角形的各边利用勾股定理即可求得商店与公交站之间的距离． 【详解】解：如图，作于点， 则，， ． 设，则，， ，即． 解得． 答：商店与公交站之间的距离为米． 题型12.求最短路径问题 34．如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现准备合作修建一座过街人行天桥．恰当地架桥可使由A单位到B单位的路程最短，请根据图中的数据求出最短路程_______． 【答案】85 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 35．如图，一个长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果以的速度从长方体的表面的点处爬到点处，最快爬行的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分三种情况：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，③当沿长方体的后侧和上面进行展开时，利用勾股定理求出最短路径，进而可求出最快爬行的时间． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示： ，， 在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ，， 在中，； ③当沿长方体的后侧和上面进行展开时，如图所示： ，， 在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25， ∴最快爬行的时间是． 36．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 题型13.由三边长判断直角三角形 37．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A． B． C．，， D． 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义判断，勾股数需要满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此验证即可得到结果，勾股数的定义为：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数，需满足（为正整数）． 【详解】解：A、，，，不满足平方关系，不是勾股数； B、三个数都是正整数，且，完全符合勾股数定义，是勾股数； C、、、不是正整数，不符合要求，不是勾股数； D、三个数都是小数，不是正整数，不符合要求，不是勾股数． 38．在中，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是___． 【答案】 【分析】作于，根据垂线段最短推出此时最小，根据勾股定理的逆定理证明，根据三角形的面积公式求出． 【详解】解：作于， 由垂线段最短可知，此时最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 39．为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，有下列说法正确结论的个数是（    ） ①，，能组成三角形； ②能组成三角形； ③能组成直角三角形； ④能组成直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系与勾股定理逆定理的应用，需结合直角三角形的勾股定理、面积公式，对每个结论逐一分析判断． 【详解】解：是的三边，为斜边，为斜边上的高 ，， ， ①，不满足三角形两边之和大于第三边的条件， ①错误； ②，， 又能组成三角形， ， ， 即， 均为正数， ， ∴能组成三角形，②正确； ③， 又， 根据勾股定理逆定理，能组成直角三角形， ③正确； ④， 又， ， ， 即， 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形， ④错误； 综上，正确的结论有2个． 故选：B． 题型14.网格中判断直角三角形 40．如图，网格中的的顶点都在格点上，若小方格边长均为1，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理解答即可． 【详解】解：小方格边长均为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 41．如图，每个小正方形的边长均为都在格点上，则的边上的高为___________． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出，，得出，则，设边上的高为h，再根据计算即可． 【详解】解：根据网格，可得，， ∴，， ∴， ∴． 设边上的高为h， 则， ， ∴． 42．如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长都是1个单位长度，以格点为顶点作三角形，下列说法错误的是（    ） A．可以画出三边长都是整数的直角三角形 B．可以画出三边长都是无理数的等腰直角三角形 C．可以画出三边长都是有理数的等边三角形 D．可以画出一个面积是8的正方形 【答案】C 【分析】根据题意，画出图形进行解答即可． 【详解】解：A、可以画出三边长都是整数的直角三角形，如图，边长分别为3，4，5； B、可以画出三边长都是无理数的等腰直角三角形，如图，边长为、、 ； C、不可以画出三边长都是有理数的等边三角形； D、可以画出一个面积是8的正方形，边长为，如图， 题型15.找两点构成直角三角形的点 43．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 44．如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：如图所示，符合要求的点C的位置如图所示． 则符合要求的点C共有6个 45．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， ． 题型16.利用勾股定理的逆定理求解 46．在中，，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】将两条较短边的平方和与最长边的平方比较结合勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形． 47．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】已变形 【分析】利用勾股定理的逆定理，验证三角形是否为直角三角形，从而判断木门的角是否保持垂直，以此确定是否变形． 【详解】解：∵木门正常时，应为直角，根据勾股定理，应有： ∵，， ∴ 又测得， ∴ ∵，即， ∴不再是直角，木门已变形． 48．如图，在正方形纸片上有一点，，，．现将剪下，并将它拼到如图所示的位置（点与点重合，点与点重合，点与点重合）． (1)求线段的长 (2)求的度数 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，得到，再根据勾股定理求解即可； （2）由（1）可得，根据勾股定理逆定理可得，根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴， 又∵， ∴， ∵， 由勾股定理可得，； （2）解：由题意，得， ∴， 又∵，，且， 即， ∴为直角三角形，， ∵，， ∴， ∴． 题型17.勾股定理逆定理的实际应用 49．如图，阴影部分是八年级某班的班级菜园的示意图，经测量，，，，，则阴影部分面积为_________． 【答案】 【分析】作，交于点，根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，从而求出，再根据等腰三角形的性质和勾股定理，可求，进而求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，作，交于点， ，，，即， ，则是的直角三角形， ， ，，， ， 在中，， ， ， 则阴影部分面积为． 50．甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P，航行的速度都是，甲客轮到达点A．乙客轮用到达B点，若A、B两点的直线距离为，甲客轮沿北偏西的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（　　） A．南偏西 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 【答案】A 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义，平角以及勾股定理的逆定理是正确解答的前提． 根据方向角的定义画出相应的图形，根据勾股定理的逆定理可以得到是直角三角形，再利用平角的定义即可求出的方向角即可． 【详解】解：如图， 由题意得，， ， ， ， ， 即的方向为南偏西， 同理可得，的方向也可为北偏东， 故选：A． 51．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点，河边有两个入口，通过道路，可前往观景点，且．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点在上）．经测量：，，． (1)判断是否为从到河边的最近道路，并说明理由； (2)新修的路比原来的路近多少千米？ 【答案】(1)是从到河边的最近道路，理由见解析 (2)新修的小路比原来的路近 【分析】（1）根据勾股定理逆定理可知，根据垂线段最短判断即可； （2）根据勾股定理求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，，， ， 是直角三角形，且， ， 是从到河边的最近道路； （2）解：， ． 由（1）可知， ， ， ， 解得， ， 故新修的小路比原来的路近． 题型18.勾股定理逆定理的拓展问题 52．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 53．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 54． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $