2026年浙江省杭州市西湖区初中学业水平考试模拟试卷 （数学学科试题卷）

**基本信息** 以天问二号、《九章算术》等真实情境为载体，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率核心知识，梯度设计适配学业水平模拟，凸显数学眼光、思维与语言的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数运算、科学计数法、几何体视图、方差、位似图形|第3题以天问二号探测为情境考查科学计数法，第7题引用《九章算术》盈不足问题体现文化传承| |填空题|6/18|因式分解、反比例函数、概率、圆与地球模型、正方形动态问题|第14题结合地球赤道与回归线模型，考查太阳高度角的几何直观| |解答题|8/72|几何证明、统计分析、解直角三角形应用、抛物线综合、圆综合|第21题以消防车工作场景应用解直角三角形，第24题圆综合题考查推理能力与模型意识|

2026年浙江省杭州市西湖区初中学业水平考试模拟试卷 数学试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题： 1. 实数﹣6的倒数是（　　） A．﹣6 B．6 C． D．﹣ 2. 下列运算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．（2m2）3＝6m6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D． m2•m4＝m6 3. 2025年，天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅。已知该小行星与地球的最近距离约为18000000km，该距离用科学计数法可以表示为（　　） A．1.8×105km B．1.8×106km C．1.8×107km D．1.8×1010km 4. 下列各个几何体中，它的主视图和左视图不同的是（　　） A． B． C． D． 5. 已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差s甲2，s乙2的描述正确的是（　　） ( （第 5 题） )A． B． C． D．无法确定 ( （第 6 题） )6. 如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若S△ABC：S△DEF＝4：9，则OA：AD＝（　　） A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．4：5 7.《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，还差3钱。问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　） A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． D． ( （第 8 题） )8. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝40°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ交AC于点D，连结BD并延长交⊙O于点E，连结OA、OE，则∠AOE的度数是（　　） A．40° B．60° C．80° D．90° 9. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m³)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球的体积应( ) ( （第 9 题） )A.不小于 B.小于 C.不小于 D.小于 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，。CD平分∠ACB，E为DC延长线上一点，且∠EAC＝∠BEC，那么的值为（ ） A． B． C． D． ( （第 10 题） ) 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。 11. 因式分解：m2﹣4＝ ▲　 。 12. 在平面直角坐标系xOy中，若函数（k≠0）的图象经过点P（1，-2）和点Q（n，2）， 则n= ▲ 。 13. 某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，如果选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是 ▲ 。 ( （第 14 题） )14．如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°。夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为 ▲ °。 ( （第 15 题） )15. 边长为4的正方形中，E，F分别是AD，AB上的动点，且DE＝BF，FG⊥CE于G点，连结DG，则DG最小值是 ▲ 。 16. 小明同学利用画图的方法研究函数．根据表1，他先在平面直角坐标系中画出y关于x的函数图象，在函数图象上取一点P，过点P作点A（﹣1，﹣4）与点B（1，﹣2）所在直线的垂线交x轴于点Q．当线段PQ的长为时，则点P的横坐标是 ▲ 。 x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … ﹣2 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 6 … ( 表 1 ) 三、解答题：本大题有8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分8分）（1）计算：|﹣3|2sin30°； （2）化简：2x（x﹣1）-（x+2）（x﹣2）+6x 。 18．（本小题满分8分）在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算：． 解：原式第一步 第二步 第三步 习题2：解方程：x2﹣4x﹣12＝0 解：x2﹣4x＝12第一步 （x﹣2）2＝12+4第二步 x﹣2＝4第三步 x＝6第四步 （1）解答过程中，习题1从第　 　 步开始出现错误，习题2从第　 　 步开始出现错误； （2）任选其中一个习题写出正确的解答过程。 19. （本小题满分8分）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交边BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与边AC的延长线交于点E，且∠E＝30°。 （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若BF＝2，求AE的长。 ( （ 第 19 题） ) 20．（本小题满分8分）5月12日是我国“防灾减灾日”．为增强学生防灾减灾意识，某区举行防灾减灾安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．小明将自己所在学校参加竞赛学生的成绩（用x表示）分为四组：A组（60≤x＜70），B组（70≤x＜80），C组（80≤x＜90），D组（90≤x≤100），绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）通过计算补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为 　 　 ； （3）根据小明学校成绩，估计全区参加竞赛的5000名学生中有多少人的成绩不低于80分？ 21. （本小题满分8分）如图1是一辆消防车工作的瞬间，图2是其示意简图，AD是车身高度，且垂直地平面DE，从点A观察点B的仰角∠1＝34°，CE垂直DE于点E．已知∠ABC＝116°，AD＝2米，AB＝6米，BC＝3米，求DE和CE的长（结果精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，1.732） ( F )22. （本小题满分10分）如图，在矩形ABCD中，点E，点F在对角线AC上（不与点A，C重合），且AE=CF，连接BE，DF。 （1）证明：BE=DF （2）若AB＝30，BC＝40，且∠BEC＝2∠BCE，求AE的长。 ( （ 第 22 题） ) 23. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1存在两点A（m﹣1，y1），B（m+2，y2），记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点）． （1）若m=1，求二次函数顶点坐标； （2）若y轴上一动点C（0，a），过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，直接写出a的取值范围； （3）若点M（2，y3）也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若t≥|y2﹣y1|，求m的取值范围． 24. （本小题满分12分）如图1，AB与⊙O相切于点B，点D是直径BC上一点，连结AD并延长分别与⊙O相交于点E，F，连结BE，CF，恰有∠DBE＝2∠A。 （1）判断△CDF的形状并说明理由； （2）若⊙O的直径为10，sinA，求CF的长； （3）如图2，DECD，作BH⊥AD于H，连结BF，CH，求sin∠BFE。 九年级 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省杭州市西湖区初中学业水平考试模拟试卷 答案 数学 学科 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B C A B C A D 二、填空题 11、(m+2)(m-2)； 12、-1； 13、 ； 14、43； 15、； 16、4或2或﹣4 三、解答题 17、(1)原式=3++2-1=4+；——4分；（2）原式=2x2-2x-x2+4+6x=x2+4x+4；——4分 18、(1)二；三；——4分 （2）习题1：原式 ; 习题2：x2﹣4x﹣12＝0 解：x2﹣4x＝12 （x﹣2）2＝12+4 x﹣2＝±4 x1＝6，x2=-2 ——4分 19、（1）证明：∵AD垂直平分BC， ∴AB＝AC， ∵DF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∴△AFE是直角三角形， 在Rt△AFE中，∠E＝30°， ∴∠BAC＝90°﹣∠E＝60°， 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； ——4分 （2）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，AC＝BC， ∵DF⊥AB， ∴∠DFB＝90°， ∴△DFB是直角三角形， 在Rt△DFB中，BF＝2，∠BDF＝90°﹣∠B＝30°， ∴BD＝2BF＝4， ∵AD垂直平分BC， ∴CD＝BD＝4， ∴AC＝BC＝CD+BD＝8， 又∵∠CDE＝∠BDF＝30°，∠E＝30°， ∴∠CDE＝∠E＝30°， ∴CE＝CD＝4， ∴AE＝AC+CE＝12． ——4分 20、解：（1）由频数分布直方图可知：C组是100人， 由扇形统计图可知：C组占小明所在学校参加竞赛学生的25%， ∴小明所在学校参加竞赛学生人数为：100÷25%＝400（人）， ∴B组的人数为：400×20%＝80（ 人）， ∴补全频数分布直方图如图所示： （2）由频数分布直方图可知：A组是40人， ∴A组人数占班级人数的百分比为：40÷400＝10%， ∴A组所对应的圆心角的度数为：360°×10%＝36°； 故答案为：36°； （3）50003500（人）， 答：估计全区参加竞赛的5000名学生中有3500人的成绩不低于80分． 21、解：如图，∵∠1＝34°， ∴∠ABM＝90°﹣34°＝56°， ∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABM＝116°﹣56°＝60°， 在Rt△BCN中，BC＝3米，∠CBN＝60°， ∴BNBC＝1.5（米），CNBC（米）， 在Rt△ABM中，AB＝6米，∠1＝34°， ∴BM＝sin∠1•AB≈0.56×6＝3.36（米）， AM＝cos∠1•AB≈0.83×6＝4.98（米）， ∴MN＝BM﹣BN＝3.36﹣1.5＝1.86（米）， ∴CE＝MN+AD＝3.86≈3.9（米）， DE＝CN+AM≈7.6（米）， 答：DE的长约7.6米，CE的长约为3.9米． 22、（1）可利用矩形性质得AB=DC，AB∥DC，易明△ABE≌△DFC（SAS） （2）解：连接BD交AC于点O，过点B作BH⊥AC于点H，如图所示： ( H F ) ∵四边形ABCD是矩形，AB＝30，BC＝40， ∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝OC＝OD， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC50， 由三角形的面积公式得：S△ABCAC•BHAB•BC， ∴BH24， ∴OA＝OB＝OCAC＝25， ∴∠OBC＝∠BCE， ∵∠BOE是△OBC的外角， ∴∠BOE＝∠OBC+∠BCE＝2∠BCE， ∵∠BEC＝2∠BCE， ∴∠BOE＝∠BEC， ∴△BOE是等腰三角形， ∵BH⊥AC， ∴OH＝EH， 在Rt△OBH中，由勾股定理得：OH7， ∴OH＝EH＝7， ∴OE＝2OH＝14， ∴AE＝AO﹣OE＝24﹣14＝11． 故答案为：11． 23、解：（1）当m=1时，y=x2-2x+2，当x=1时，y=1，所以顶点坐标（1,1）——2分 （2）由y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1可知： 抛物线的顶点坐标为：（m，1）， 当x＝m﹣1时：， 当x＝m+2时：， ∴A（m﹣1，2），B（m+2，5）， ∵C（0，a）， ∴过点C垂直于y轴的直线l：y＝a，如图1： 由图象可知：当a＝1或2＜a≤5时，直线l与F有且仅有一个交点， ∴a的取值范围为：a＝1或2＜a≤5；——4分 （2）∵A（m﹣1，2），B（m+2，5）， ∴t≥|y2﹣y1|＝5﹣2＝3， 当x＝2时，， ∴M（2，m2﹣4m+5）． ①如图2，当M在点A的左侧，即：m﹣1＞2，m＞3时： 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小， ∴t＝m2﹣4m+5﹣2＝m2﹣4m+3≥3， 解得：m≥4或m≤0（舍掉）； ②当M在点A的右侧，对称轴的左侧时，此时t＜2﹣1＝1，不符合题意； ③当M对称轴的右侧，即m＜2时，当y3≤2时， 此时A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：t＝2﹣1＝1＜3不符合题意； ④当M对称轴的右侧，即m＜2时，当y3＞2时，如图3， 此时M点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小， ∴t＝m2﹣4m+5﹣1＝m2﹣4m+4≥3， 解得：（舍），或； ∴； 综上：或m≥4．——4分 24、（1）解：等腰三角形， 证明如下：∵AB与圆O相切于点B， ∴BD⊥AB， ∴∠A+∠BDE＝90°， ∴∠BDE＝90°﹣∠A， ∵∠DBE＝2∠A，∠DBE+∠BDE+∠BED＝180°， ∴∠BED＝90°﹣∠A， ∴∠BDE＝∠BED， ∵， ∴∠BED＝∠BCF， ∵∠BDE＝∠FDC， ∴∠BCF＝∠FDC， ∴DF＝CF， ∴△CDF为等腰三角形； （2）解：连接BF，如图： ∵BC为直径， ∴∠BFC＝90°， ∴∠C+∠CBF＝90°， ∵∠C＝∠BEF＝90°﹣∠A， ∴∠CBF＝∠A， ∴sin∠CBFsinA， ∵BC＝10， ∴CF＝6； （3）解：∵∠DBH＝∠A，∠FBH＝2∠A， ∴BD， ∴DF， 由（2）知，， ∴sin∠BFEsinA， 过E作EG⊥BD于G，如图： ∴∠DEG＝∠A，∠BEG＝∠BFE， ∴DG＝2DHsinA， ∴BG＝BD﹣DG2DHsinA（1﹣2sin2A）， ∴sin∠BEG1﹣2sin2A， ∴sinA＝1﹣2sin2A， 解得：sinA或（舍去）， ∴sin∠BFE． 方法2：设FD＝a，则BD＝BEa，AE＝2a， 设OD＝x，则EDx， 可知△BDF∽△ABF， ∴BF2＝AF•DF＝3a2ax①， ∵BF2＝BC2﹣CF2＝（a+x）2﹣a2②， ∴， ∴sin∠BFE． 学科网（北京）股份有限公司 $