湖北黄梅县第一中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷

**基本信息** 黄梅一中高一5月月考数学卷以立体几何与解三角形为核心，通过正四棱锥、正三棱锥、正四面体等多面体问题设计，考查空间观念与逻辑推理能力，如解答题18综合线线角、体积及二面角计算，体现数学思维的层次性。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|立体几何（平面确定、线面关系）、向量基底、复数性质|单选基础巩固（如第1题平面确定），多选综合辨析（如第10题正方体线面关系）| |填空题|3/15|圆台侧面积、解三角形（边长、面积最值）|结合几何量计算（如第12题圆台轴截面求侧面积）| |解答题|5/77|正四棱锥线面平行及线线角、解三角形内角平分线、三角函数性质、正三棱锥多量计算、正四面体操作后体积与球体积|注重探究创新（如第19题操作后几何体体积），综合空间想象与运算能力（如第18题二面角求解）|

高一5月月考数学答案及评分标准 一 选择题 1-4 BDCD 5-8 ABAC 二 选择题 9-11 BD ABD ABD 三 填空题 12. 13. 14. 四 解答题 15.【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点为，连接, 由于是中点，故,且， 又且， 故,则四边形为平行四边形， 故平面, 平面, 故平面 …………… 6分 （2）由（1）知：故或其补角即为直线CN与AM所成角， 由于为边长为2的等边三角形，故， , 故, 故直线CN与AM所成角的余弦值为 …………… 13分 16.【答案】(1) (2) 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 因， 则， 即，因为，则得， 因，则． …………… 7分 （2）如图，因是的平分线，则，解得， 又， 则， 即，解得. …………… 15分 17.【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）由题意得 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为， 令，解得； …………… 5分 （2）由得， 所以当时，即时，， 当时，即时，， 所以的最大值为，最小值为； …………… 10分 （3）由题意得：， 所以， 所以 ， 所以. …………… 15分 18.【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）取中点，连接、. 由中位线性质，， 故为直线与的夹角（或其补角）. 在中，，，、为中点，故. 同理，，. 在中，由余弦定理： ， 故直线与夹角的余弦值为. …………… 5分 （2）设底面正的中心为，连接，则平面. 底面正三角形的外接圆半径. 在中，. 底面的面积. 所以. …………… 10分 （3）过作于，连接. 由正三棱锥对称性，，故，为二面角的平面角. 在中，，， 由余弦定理得， ， 故，同理. 在中，， 由余弦定理：， 故二面角的余弦值为. …………… 17分 19.【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）． 【详解】（1）取中点，由正四面体知与均为正三角形，故，又平面， 所以平面，又平面，故. …………… 5分 （2）（i）设第次操作后的体积为，原四面体的棱长为，体积为； 第1次操作后，新增四个小正四面体，其棱长为，且新增的体积为； 第2次操作后，每个小四面体均新增三个更小的正四面体，棱长为，共增加12个，故新增的体积为； 第3次操作后，新增36个小正四面体，棱长为，故新增体积为， 因此操作3次后的体积为， 原正四面体的体积，故. …………… 10分 （ii）最大球即初始正四面体的中心到各面中位线中点的距离为半径的球. 过点作平面于点，因为四面体为正四面体， 故为的中心，则在上，且， 同理，可得在上，且，则为四面体的外接球球心和内切球球心， 设，则， 所以，则由，解得，所以， 设点为的中点，则，则， 3次操作后始终为新生几何体的一个顶点，故打磨出的球的半径， 记第1次操作后构造的任一正四面体（即四面体）的外接球球心为， 连接，则平面，设垂足为，，则为的中心， 故在上，且，故点与点重合， 所以共线，则平面，故. 即以为球心，为半径的球，是第3次操作后生成的几何体石材打磨出的最大球， 此球体积为. …………… 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄梅一中2026年春高一年级5月月考 数学试题 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．下列条件一定能确定一个平面的是 A．空间三个点 B．两条相交的直线 C．两条相互垂直的直线 D．空间一条直线和一个点 2．已知是不同的直线是不重合的平面，若则 A． B． C． D． 3．设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是 A．， B．， C．， D．， 4．如图，由斜二测画法画的水平直观图是的等腰直角三角形，那么它在原平面图形中，顶点到的距离是 A．1 B． C．2 D． 5．如图，正四棱柱中，，若直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 6．半径为6的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为 A． B． C． D． 7．已知函数，若在上恰有三个零点，则 A. B. C. D. 8．在直角边长分别为3和4的直角三角形内有一内切圆是内切圆的直径，点为三角形三条边上的动点，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9．已知复数，下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则为实数 D． 10．如图，已知正方体的棱长为2，则 A．直线与为异面直线 B．平面 C．三棱锥的体积为 D．平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的面积为 11．如图，在正四棱台中，，，，为棱上的动点（包含端点），则 A．该正四棱台的体积为 B．三棱锥的体积为定值 C．存在点，使得 D．的最小值为 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为 ． 13．在中，分别为角所对的边，若，，，则____________． 14．在中，分别为角所对的边，且，则 面积的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．(13分) 如图，已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥各棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值． 16．（15分） 在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且． (1)求角A； (2)若，求的长． 17．（15分） 已知函数. (1)求函数的单调增区间和对称轴方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)若，求. 18．（17分） 如图，在正三棱锥中，，，的中点为，的中点为．求： (1)直线与的夹角的余弦值； (2)三棱锥的体积； (3)二面角的余弦值． 19．（17分） 如图，已知正四面体的棱长为． (1)证明：； (2)某几何体是由正四面体按如下规则得到：在每个三角形面上，以各边中点为顶点的小三角形为底面，向外补一个小正四面体记为第1次操作；继续以新生的小正四面体各边中点为顶点的小三角形为底面，向外补一个小正四面体记为第2次操作；以此类推，如图所示． （i）求第3次操作后几何体的体积； （ii）现有3次操作后生成的几何体石材，求打磨出的最大球的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $