湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 育才高中高一数学5月月考试题 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本大题共8小题，共40分。 1.已知，，，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.已知复数满足，则的虚部是(    ) A. B. C. D. 3.已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.已知正四面体的表面积为，则它的体积为(    ) A. B. C. D. 5.在中，，，其面积为，则等于(    ) A. B. C. D. 6.已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为(    ) A. B. C. D. 7.如图，圆内接四边形中，，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为(    ) A. B. C. D. 8.已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18分。 9.已知复数，则下列说法正确的是(    ) A. B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 的共轭复数为 10.已知圆锥的高为，母线长为，为顶点，，为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是(    ) A. 圆锥的体积为 B. 圆锥侧面展开图的圆心角大小为 C. 圆锥截面面积的最大值为 D. 若圆锥的顶点和底面圆周上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为 11.已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的有(    ) A. 面积的最大值为 B. C. 周长的最大值为 D. 的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为          ． 13.已知为所在平面内一点，且点满足，，则          ． 14.复数，满足，，则的最小值为          ． 四、解答题：本大题共5小题，共67分。 15.本小题分 已知向量，． 求向量与的夹角的大小； 若向量满足，求的值． 16.本小题分 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，，是的中点． 求； 若，，，求的值． 17.本小题分 在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示为考虑娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中，米，． 要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，、的长度分别是多少？ 求烧烤区占地面积的最大值． 18.本小题分 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． 若，求； 若，求． 19.本小题分 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且． 求边的长度； 求的面积； 设点分别为边上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最小值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：因为，，，且，则． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：因为，则， 因此，复数的虚部为． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：设向量与向量的夹角为，因为， 所以向量在向量上的投影向量为，则， 所以 ． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：设正四面体的棱长为， 则该正四面体的表面积为，可得， 将正四面体补成正方体，则该正方体为棱长为， 因此正四面体的体积为． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：由题意知，，即，解得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理为三角形外接圆半径，可得： ． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：正三棱锥，，，则，即， 因此正三棱锥的侧棱两两垂直， 以线段为棱的正方体的外接球即为正三棱锥的外接球， 该球的直径为，半径， 所以该三棱锥的外接球的体积． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：在圆内接四边形中，， 所以是四边形外接圆的直径，所以，则， 延长，过作，垂足为；过作，垂足为， 则，所以三角形是等腰直角三角形， 所以， 由于，，所以四边形是矩形，， 在等腰直角三角形中，， 所以， 将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体是圆台挖掉一个圆锥， 其表面积为． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用余弦定理解三角形，三角形面积公式，正弦定理及变形，逆用两角和与差的正弦公式，利用同角三角函数基本关系化简，属于中档题． 由面积公式得到，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到，利用正弦定理将角化边得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理计算可得． 【解答】 解： 因为，又， 所以， 又，所以， 所以，即， 显然，所以， 因为 ， 又， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 又由余弦定理， 即， 所以，则， 由余弦定理得， 又，所以 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】根据复数的除法运算法则求出，再根据复数的模长公式、复数的概念、复数的几何表示以及共轭复数的概念可得答案． 【详解】， ，故A不正确； 的虚部为，故B正确； 在复平面内对应的点在第四象限，故C正确； 的共轭复数为，故D错误． 故选： 10.【答案】  【解析】【分析】根据题意，求出圆锥的底面半径，体积，侧面展开图的弧长，轴截面面积，外接球体积，即可得出结论． 【详解】解：因为圆锥的高为，母线长为， 所以圆锥的底面半径为，高为，则： 对于，圆锥的体积，故A正确； 对于，设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，则，，故B正确； 对于，，因为截面的面积为： ，当时， 截面的面积最大，，故C错误； 对于，圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，即圆锥的外接球， 设圆锥外接球半径为，由球的性质可知：， 即，解得， 所以外接球的体积故D正确． 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；选项，利用余弦定理计算可判断；选项，利用余弦定理和基本不等式求解周长的最大值；选项，用进行变换得到，结合的取值范围得到的取值范围． 【详解】解：对于，由余弦定理得：，解得：， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立， 所以，故，故A正确； 对于，，故B不正确； 对于，由余弦定理得：，解得：， 所以，当且仅当时，等号成立， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以，周长，所以周长的最大值为，故C正确；  对于，， 因为，所以， 所以，故D错误． 故选：． 12.【答案】  【解析】解：设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长， 则，解得． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：由，得， 则， 整理得，即， 解得，而，所以． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：设，则，由，得， 整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线， 由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，， 而表示在复平面内复数对应点的距离， 所以的最小值为． 故答案为：． 15.【答案】解：因为向量，，则， 因为，故； 因为向量满足， 所以，解得，所以，故． 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而， 所以； 在中，，所以， 由，得， 由是的中点，得， 由，得 ， 所以．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：在中，米，， 由余弦定理可得 ， 所以，， 当且仅当米时，等号成立， 所以，要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，米； 设米，则米，设， 在中，由余弦定理可得， 所以，， 所以， ， 当且仅当时，等号成立， 所以，烧烤区面积的最大值为平方米．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：方法：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以． 方法：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以． 方法：在与中，由余弦定理得 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以． 方法：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以．  【解析】方法，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答． 方法，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法，利用向量运算律建立关系求出，再利用三角形面积公式求出即可求解作答． 19.【答案】解：，由正弦定理：， 由余弦定理：，，         因为为中点，所以，设的夹角为， ， 又， ，即， 解得或，又，所以，易得， 的面积为． 设，的面积为面积的一半， 设，则，又共线，所以设，则， ，解得：． ，又， ，又，化简得，又，则， 则时，的最小值为． 【解析】由正弦定理角化边，再用余弦定理化简，进而得到答案； 设的夹角为，通过，得到和，进而根据求出，最后求出面积； 设，，再根据向量的运算性质求出的表达式，进而通过函数交点求出最小值． 【点睛】本题第问用到了一个性质“平面向量三点共线定理”，在“”这一步如图，在平面中，，，三点共线的充要条件是：存在实数，使得，其中，点为平面内一点． 在“”这一步，“”分离常数是很常规的处理方式，注意归纳方法． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$