江苏省无锡市2025-2026学年七年级数学下学期期末复习练习卷

**基本信息** 聚焦七年级下册核心知识，通过代数运算、几何变换及创新情境题（如“互优角”探究），培养运算能力、空间观念与推理意识，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|幂运算、图形对称、方程解、平移性质等|基础概念辨析，如第2题考查轴对称与中心对称图形| |填空题|8题|科学记数法、平移性质、逆命题、正六边形性质等|第15题结合正六边形对称性求最值，体现几何直观| |解答题|8题|计算化简、方程（组）求解、几何证明、新定义探究等|第26题以折叠为背景定义“互优角”，多情境分类讨论，培养推理能力与创新意识|

江苏省无锡市2025-2026学年七年级数学下学期期末复习练习卷 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是方程的一个解，则m的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．如图，将沿方向平移得到，若，，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若M＝（x－3）（x－4），N＝（x－1）（x－6），则M与N的大小关系为（） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．由x的取值而定 7．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹作射线与相交于点D，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点A对应，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 9．如图，，点B、C分别在上运动（不与点A重合），连接，将沿折叠，点A落在点的位置，则下列结论： ①当点落在的一边上时，为直角三角形； ②当点落在AN边上时，； ③当点落在内部时，； ④当点落在外部时，． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 10．如图，已知是由绕点顺时针旋转得到的，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．有一块钟乳石每年平均增长约，数据用科学记数法表示为_______． 12．已知二元一次方程，请写出这个二元一次方程的一个解：_______． 13．将长度为5cm的线段向上平移10cm，所得线段的长度是_______cm． 14．如果，那么的逆命题是________. 15．如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是______． 16．如图，点E在的延长线上，请添加一个恰当的条件_________________，使． 17．如图，大正方形与小正方形的面积差为12，则阴影部分的面积为______． 18．如图，在中，，D、E分别为上一点，将分别沿折叠，点A与重合，点B与重合，．若点与重合，则=______°；______°（用含x的代数式表示）． 三、解答题 19．计算或化简： (1)； (2)． 20．解方程组或不等式组： (1)； (2)． 21．先化简，再求值：．其中，． 22．如图，点C，F，D在同一条直线上，，，垂足分别E，B，与交于点O． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 23．已知：如图，中，． (1)在上作一点D，使得；在上作一点E，使得与关于直线对称；（请用无刻度的直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，请猜想与的数量关系，并说明理由． 24．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在格点上． (1)以点为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)以为顶点的四边形的面积_____； (3)在上确定一个格点，使得． 25．对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)______； (2)对于有理数、，若，． ①求的值： ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在同一条直线上，点在边上，连接．若，图中阴影部分的面积为45，求的值． 26．若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”．即若，则称和互为“互优角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“互优角”，当时，则______； (2)如图1，将一长方形纸片沿着折叠，（点在线段上，点在线段上），使点落在，若与互为“互优角”，求的度数； (3)再将纸片沿着折叠（点在线段或上），使点落在．若与互为“互优角”，则______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《江苏省无锡市2025-2026学年七年级数学下学期期末复习练习卷》参考答案 1．B 【分析】根据同底数幂相乘的法则进行计算，然后判断即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，按照法则—同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算是关键，属于基础题型． 2．B 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， B是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， C不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意， D是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， 故选：B． 3．B 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 将方程的解代入原方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】∵是方程的一个解 ∴ ∴． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了平移的性质，正确的识别图形是解题的关键． 由平移的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 5．A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，多项式乘以多项式等计算，根据完全平方公式可判断A、B、D，根据多项式乘以多项式的计算法则可判断C． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 6．A 【分析】根据多项式乘多项式法则，计算出M、N。再进行作差比较． 【详解】解： M＝（x－3）（x－4）= N＝（x－1）（x－6）= 即： 【点睛】本题考查多项式乘多项式的法则，关键在于作差比较大小． 7．B 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、三角形内角和定理，由题意得．由作图痕迹可知，为的平分线，则，可得． 【详解】解：∵，， ∴． 由作图痕迹可知，为的平分线， ∴， ∴． 故选：B． 8．C 【分析】本题主要考查图形的旋转，牢记图形旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角）是解题的关键．旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点，等于旋转角． 【详解】解：∵点的对应点为点，点的对应点为点，且对应点到旋转中心的距离相等， ∴旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点． 如图，作线段和线段的垂直平分线，其交点为旋转中心．    连接，． 根据旋转的性质，得 ． 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，几何中角度的计算，根据题意利用折叠的性质构造平行线，逐一判断即可． 【详解】如图，当点落在的边上时， ，，．， ， 即为是直角三角形， 当点落在的边上时， ， 同理，， 是直角三角形，故①正确； 当点落在的边上时， ，， ， ，不一定成立，故②错误； 当点落在内部时， 过点作，点作，则， ①当在和之间时， ，， ， ，， ， ， ②当与重合时， ，， ，， ， ③当在的上方时， ，，，， ，，， ， 综上，， 故③正确； 当点落在的边下方时，过点作，点作， ， 则， ， ，， ， ， ； 当点落在的边上方时，过点作，点作， ， 则， ，， ， ， ， ， ， ，即； ，故④正确； 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．先根据旋转的性质求出，然后根据三角形内角和求出，进而可求出的度数． 【详解】解：旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴． 故选C． 11． 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．熟练掌握较小数的科学记数表示法是解题的关键，根据科学记数法的表示方法作答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解，给出的一个值，代入方程即可求出的值，从而得出二元一次方程组的一个解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解此题的关键． 【详解】解：令，则，解得， ∴这个二元一次方程的一个解为， 故答案为：（答案不唯一）． 13．5 【分析】根据平移的性质解答． 【详解】解：将长度为5cm的线段向上平移10cm，所得线段的长度是5cm， 故答案为：5． 【点睛】此题考查了平移的性质：平移前后的图形全等，熟记平移的性质是解题的关键． 14．若，则 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题， 【详解】解：命题“如果，那么a＝b”的条件是如果，结论是a＝b， 故逆命题是：如果a＝b，那么． 故答案为若a＝b，那么． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 15． 【分析】本题考查了正六边形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，则，最小，根据正六边形性质可得都是等边三角形，，从而求得即可，掌握正六边形的性质以及轴对称解决路径最短问题的解题方法是解题的关键． 【详解】解：如图，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点， ∴， ∴最小，最小值为的长， ∵六边形是正六边形，对角线交于， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 16．（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行）即可求解． 【详解】解：同位角相等，两直线平行，添加可使； 内错角相等，两直线平行，添加可使； 同旁内角互补，两直线平行，添加或可使； 故答案为：（答案不唯一）． 17．6 【分析】本题考查利用平方差公式求图形的面积．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得到，，再根据阴影部分的面积等于进行求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由题意和图可知：，，，， ∴阴影部分的面积 ． 故答案为：6． 18． 100 【分析】本题考查轴对称图形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质．由三角形的内角和求得，由折叠可得，，因此．根据三角形外角的性质得到，从而得到，再由即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∴． ∵， ∴， ∵， 由折叠有， ∴． 故答案为：100； 19．(1)0 (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算； （2）根据相关运算法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 21．，． 【分析】本题是整式的化简求值．利用完全平方公式与平方差公式展开，再合并同类项即可，再把字母的值分别代入可求得代数式的值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 22．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明出，即可得到； （2）由求出，由角平分线求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴． 23．(1)见解析 (2)猜想，理由见解析 【分析】此题考查了角平分线的作图、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，准确作图是关键． （1）利用角平分线的作图和线段的作图进行解答即可； （2）证明，由，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）猜想， 理由：由（1）可知，与关于直线对称， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 24．(1)见解析 (2)40 (3)见解析 【分析】本题考查了作图中心对称变换、四边形的面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先根据中心对称的性质找出各点的对应点，然后顺次连接即可； （2）根据割补法求解即可； （3）取的中点即为点E． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：四边形的面积为：； （3）解：如图，点E即为所求． 25．(1) (2)①56；②2 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）直接根据计算即可； （2）①先根据新定义化简，再利用完全平方公式变形求解即可； ②根据图形用含x，y的式子表示出阴影部分的面积，再根据①中的结果代入即可求出n． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：； （2）解：①原式 ， ∵，， ∴，， ∴； ②由图知：， ∴， 化简得， ∴， 由①得，，， ∴， ∴． 26．(1)或 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了通过翻折计算角的度数，“互优角”的定义等知识，注意翻折后两个角相等，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （）利用“互优角”定义即可求解； （）由与互为互优角，分当；当时，两种情况即可； （3）分三种情况讨论，根据折叠的性质以及平角的性质即可求即可求解． 【详解】（1）解：∵和互为互优角， ∴当，， ∴或， 解得 或， 故答案为：或； （2）①∵与互为互优角，如图1 当时，， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． ②当时，如图 ， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 综上所述，的值为或． （3）当点F在边上时，如图： 显然， ∵与互为“互优角”， ∴， 根据折叠的性质： 即； 当点F在边上，且当时，如图： 与互为“互优角”， ， 根据折叠的性质：， ∴， ∴， ， 解得：， 即； 当点F在边上，且当时，如图： 与互为“互优角”， ∴， 根据折叠的性质：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 故的度数为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $