12.4定理（第2课时多边形内角和与外角和定理）（教学课件）数学新教材苏科版七年级下册

该初中数学课件聚焦多边形内角和与外角和定理，通过从四边形、五边形分割成三角形入手，利用三角形内角和定理推导公式，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于采用多种分割方法探究内角和，结合特殊到一般推理培养推理意识，用方程解决内角和与外角和关系问题体现模型意识。例如剪角问题分析内角和变化，外角和不变，引导学生用数学眼光观察、思维推理。学生提升探究与逻辑能力，教师获得结构化教学资源，提高教学效率。

第十二章 定义 命题 证明 12.4.2 多边形内角和 与外角和定理 学 习 目 标 1 探索并掌握多边形内角和与外角和公式 多边形内角和 与外角和定理 新知探究 问 题 一个多边形可以分割为若干个三角形，是否可以利用三角形内角和定理推出多边形的内角和呢？ 先考虑四边形 新知探究 图中是一个任意的四边形ABCD。 在四边形内部任取一点P，连接点P与4个顶点就得到了4个三角形。 这4个三角形的内角和减去以P为顶点的周角就是四边形的内角和， 即四边形ABCD的内角和 = 180° × 4 - 360° = 180° × ( 4 - 2 ) = 360°。 对任意的五边形，同样可得： 五边形的内角和 = 180° × 5 - 360° = 180° × ( 5 - 2 ) = 540°。 问 题 新知探究 知识要点 多边形内角和定理： n边形的内角和等于( n - 2 ) · 180°。 新知探究 讨 论 还有哪些方法将多边形分割为若干个三角形？ 四边形的内角和 = 2 × 三角形的内角和 = 2 × 180° = 360°。 四边形可以分割成两个三角形 新知探究 五边形的内角和 = 3 × 三角形的内角和 = 3 × 180° = 540°。 六边形的内角和 = 4 × 三角形的内角和 = 4 × 180° = 720°。 …… n边形的内角和 = ( n - 2 ) · 180°。 新知探究 知识要点 多边形的外角与外角和： 多边形有内角，也有外角， 如图，延长边CD到点F，得到射线DF， ∠EDF是五边形ABCDE的一个外角。 顺次延长多边形的各边：AB，BC，CD，…， 在每个顶点处得到一个外角，这些外角的和叫作这个多边形的外角和。 注意：计算外角和的时候，一个顶点只需要提供一个外角 新知探究 问 题 内角和有一般规律，外角和也有一般规律吗？仿照多边形的内角和研究过程，如何求多边形的外角和？ 先考虑简单情形。 如图，△ABC的3个内角及3个对应外角共形成3个平角， ∵三角形的内角和为180°， ∴三角形的外角和是180° × 3 - 180°，即360°。 新知探究 问 题 如图，同样可得四边形的外角和是180° × 4 - 360°，即360°。 我们可以把上面的结果推广到一般的n边形，得到： 多边形的外角和 = 180° · n - 多边形的内角和 = 180° · n - 180° · ( n - 2 ) = 180° × 2 = 360°。 新知探究 知识要点 多边形外角和定理： 多边形的外角和等于360°。 典例分析 典例2 是否存在这样的多边形，它的内角和是它的外角和的3倍？如果存在，指出它是几边形，并加以证明。 解：存在，它是八边形。证明如下： 设这样的多边形边数是n，则其内角和是( n - 2 ) · 180°，外角和是360°。 根据题意，得( n - 2 ) · 180° = 360° × 3。 解得n = 8。 ∴八边形的内角和是外角和的3倍。 新知探究 思 考 把图中的五边形ABCDE纸片剪去一个角，新的多边形的内角和、外角和有什么变化？ 解：① 如图，五边形剪去一个角变成六边形， ∵五边形的内角和是( 5 - 2 ) × 180°， 六边形的内角和是( 6 - 2 ) × 180°， ∴内角和增加180°， 又∵多边形的外角和等于360°， ∴外角和不变。 A E B D C 新知探究 思 考 把图中的五边形ABCDE纸片剪去一个角，新的多边形的内角和、外角和有什么变化？ ② 如图，五边形剪去一个角变成五边形， ∴内角和、外角和不变。 A E B D C 新知探究 思 考 把图中的五边形ABCDE纸片剪去一个角，新的多边形的内角和、外角和有什么变化？ A E B D C ③ 如图，五边形剪去一个角变成四边形， ∵五边形的内角和是( 5 - 2 ) × 180°， 四边形的内角和是( 4 - 2 ) × 180°， ∴内角和减少180°， 又∵多边形的外角和等于360°， ∴外角和不变。 题型探究 多边形内角和定理 题型一 【例1-1】一个多边形的内角和的度数可能是（　　） A．1700° B．1800° C．1900° D．2000° 解：∵n边形的内角和等于( n - 2 ) · 180°， ∴多边形的内角和的度数一定是180的整数倍。 B 题型探究 多边形内角和定理 题型一 【例1-2】若一个多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是（　　） A．十二 B．十 C．八 D．十四 解：由题意可得：( n - 2 ) · 180° = 1440°，解得：n = 10。 B 题型探究 多边形外角和定理 题型二 【例2-1】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是________。 解：设这样的多边形边数是n， 由题意可得：( n - 2 ) · 180° =3 × 360° - 180°，解得：n = 7。 七 题型探究 多边形外角和定理 题型二 【例2-2】如图，在四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD的邻补角。下列等式一定成立的是（　　） A．∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠ADC + 180° B．∠1 + ∠2 + ∠ADC = ∠3 + 180° C．∠1 + ∠3 + ∠ADC = ∠2 + 180° D．∠2 + ∠3 + ∠ADC = ∠1 + 180° 解：如图，延长AD， 由多边形外角和等于360°可得： ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°， ∵∠4 = 180° - ∠ADC， ∴∠1 + ∠2 + ∠3 + 180° - ∠ADC = 360°， 即∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠ADC + 180°。 A 4 课堂小结 多边形内角和定理： n边形的内角和等于( n - 2 ) · 180°。 多边形外角和定理： 多边形的外角和等于360°。 感谢聆听! $