第十二章 定义 命题 证明（单元复习课件）数学新教材苏科版七年级下册

单元复习课件 第十二章 定义 命题 证明 新教材苏科版·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.了解定义的意义，能说出常见数学概念的定义； 3.了解证明的必要性，理解证明的基本步骤与书写格式；明确定义、基本事实、定理可作为推理依据；了解定理的概念。 2.了解命题、真命题、假命题的概念；会区分命题的条件（题设）与结论，能将命题改写成 “如果… 那么…” 形式；能判断简单命题的真假，会用反例说明一个命题是假命题； 单元学习目标 定义、命题、证明 定义 命题 证明 对一个概念作出明确规定的语句 构成 判断 画图 写已知求证 写证明过程 定义 互逆命题 可以判断真假的陈述句 条件+结论 真命题 互换条件和结论的两个命题 反证法 假命题 定理 单元知识图谱 定义：对一个概念作出 的语句叫作这个概念的定义,有时也说 “给概念下定义”. 根据概念的定义,就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念 .给概念下定义时要求语言 、 ,可以明确地区分这个概念所包含的对象. 考点一、定义 明确规定 简单明了 标准清晰 考点串讲 1.命题：可以 的 叫作命题.一个命题要么为真,要么为假,二者必居其一. 2.数学命题的构成：数学命题一般都由 和 两部分组成. 3.真命题： 称为真命题； 假命题： 称为假命题。 4. 互逆命题：一个命题A的条件是另一个命题B的 ，这个命题A的结论是命题B的 ，这样个两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个命题称为这个命题的逆命题。 考点二、命题 判断真假 陈述句 条件 结论 正确的命题 错误的命题 结论 条件 考点串讲 1.证明：从 出发,根据一些 (如 , , 等),用 “ ”的形式一步一步推出命题的结论,从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。 2.证明的一般步骤： （1）分清命题的 和 ； （2）根据条件、结论，写出 ； （3）写出证明的 。 命题的条件 考点三、证明 已知的事实 定义 基本性质 定理 因为……,所以… 条件 结论 已知、求证 过程 考点串讲 1.反证法：通过否定命题的 ,发现了 ,从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法 . 2.用反证法证明一个命题的步骤一般为: （1）先假设 ； （2）从这个假设出发,经过若干步推理,得出 ； （3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定原来命题的结论成立. 在说明一个命题是假命题时,常用“ ”的方法 .举反例的关键是找到一个符合命题条件,但不符合命题结论的例子. 结论 考点四、反证法 矛盾 命题的结论不成立 矛盾 举反例 考点串讲 考点五、定理 定理： 一般情况下,数学中把一些基本的、重要的 叫作定理.定理可以作为证明后续命题的 . 由一个定理直接推出的重要结论,一般叫作这个定理的 . 2.几个常用的定理： （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 （2）三角形内角和定理推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （3）多边形内角和定理: n边形的内角和等于(n-2)·180° （4）多边形外角和定理: 多边形的外角和等于360°. （5）平行线的性质定理: 平行于同一条直线的两条直线平行 . 真命题 依据 推论 考点串讲 题型一、命题的概念与识别 例1 下列属于命题的是(    ) A．请你把书递过来！ B．你早餐吃的什么？ C．连接A,B两点 D．-1是一个负数 【详解】解：A、请你把书递过来！不是对事情事物的判断，不是陈述句，故不是命题，不符合题意； B、你早餐吃的什么？不是对事情事物的判断，不是陈述句，故不是命题，不符合题意； C、连接A、B两点，不是对事情事物的判断，故不是命题，不符合题意； D、-1是一个负数，是命题，则此项符合题意； 故选：D． D 题型剖析 题型一、命题的概念与识别 下列语句是命题的是(   ) A．画出两条相等的线段 B．所有的同位角都相等吗？ C．延长线段AB到C，使得BC=BA D．对顶角相等 【详解】解：A、画出两条相等的线段，没有作出判断，不是命题； B、所有的同位角都相等吗？是疑问句，不是命题，不符合题意； C、延长线段AB到C，使得BC=BA，没有作出判断，不是命题； D、对顶角相等，作出真假判断，是命题，符合题意； 故选：D ． D 针对训练 题型二、命题的构成 【详解】 (1)解：条件：两个角的和等于180°；结论：这两个角互为补角． (2)解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)解：条件：a=b且b=c；结论：a=c． 例2.指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果a=b，b=c,那么a=c． 题型剖析 写出下列命题的条件和结论： (1)能被2整除的数一定是偶数． (2)两直线平行，同旁内角互补． (3)平行于同一条直线的两条直线平行． 题型二、命题的构成 【详解】 (1)解：条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． (2)解：条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． (3)解：条件：两条直线都平行于同一条直线； 结论：这两条直线平行． 针对训练 题型三、命题的真假判断 下列命题中，是真命题的是(    ) A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．同旁内角相等，两直线平行 C．相等的角是对顶角 D．内错角相等 例3 【详解】解： 选项A：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短，真命题； 选项B：平行线的判定定理为同旁内角互补，两直线平行，假命题； 选项C：相等的角不一定是对顶角，例如任意两个直角都相等但不一定 是对顶角，假命题； 选项D：只有两直线平行时，内错角才相等，缺少前提条件，假命题． A 题型剖析 题型三、命题的真假判断 下列语句是假命题的是(    ) A．对顶角相等 B．垂线段最短 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．同旁内角互补 【详解】解：A、对顶角相等是对顶角的基本性质，是真命题； B、垂线段最短是垂线段的基本性质，是真命题； C、平行于同一条直线的两条直线平行是平行线的基本性质，是真命题； D、同旁内角互补只有在两直线平行时才成立，缺少“两直线平行”的前提条件，因此是假命题． 故选：D． D 针对训练 题型四、举例说明假命题的错误 例4. 下列选项中，可以用来验证命题“若，则”是假命题的反例是(    ) A． B． C． D． 【详解】解：能说明命题“若，则”是假命题的 只有，此时，但， 故选：C． C 题型剖析 【详解】解：A、，不可以说明它是假命题， 故选项不符合题意； B、，且∠1、∠2都大于45°，不可以说明它是假命题， 故选项不符合题意； C、，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； D、，且，可以说明它是假命题，故选项符合题意． 故选：D． 题型四、举例说明假命题的错误 对于命题“若，则∠1、∠2都大于45°”，能说明它是假命题的反例是(   ) A． B． C． D． D 题型剖析 题型五、写出一个命题的逆命题 例5 下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果⋯⋯那么⋯⋯”的形式，并写出它的逆命题． (1)两条直线相交只有一个交点． (2)延长线段AB至点C，使B是AC的中点． (3)等边三角形也是等腰三角形吗？ (4)等角的补角相等． (5)互为倒数的两个数的积为1． 【详解】(1)是命题，如果两条直线相交，那么它们只有一个交点． 逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交． (2)不是对一件事情做出判断的句子，故不是命题． (3)提问的表述不是对一件事情做出判断，故不是命题． (4)是命题，如果两个角相等，那么它们的补角也相等． 逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等． (5)是命题，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1． 逆命题：如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数． 题型剖析 题型五、写出一个命题的逆命题 写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 【详解】(1)解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； (2)解：同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角； (3)解：如果，那么a=b的逆命题为：如果，那么； (4)解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 针对训练 题型六、证明一个命题是真命题 例6. 证明：等角的补角相等． 【详解】已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°． 求证：∠3=∠4． 证明：∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°(已知)， ∴∠2+∠3=180°(等量代换)， ∴∠3=180°-∠2(等式的性质)． ∵∠2+∠4=180°(已知)， ∴∠4=180°-∠2(等式的性质)， ∴∠3=∠4(等量代换)． 题型剖析 题型六、证明一个命题是真命题 命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【详解】解：已知：⊥，a⊥c， 求证：b∥c， 证明：∵a⊥b， ∴∠1=90°． ∵a⊥c， ∴∠2=90°， ∴∠1=∠2， ∴b∥c． 针对训练 题型七、补充证明过程中的步骤或依据 【详解】解：∵EF⊥BC，AD⊥BC(已知)， ∴∠BFE=∠BDA=90°(垂直的定义)， ∴EF∥AD(　同位角相等，两直线平行　)， ∴∠2=∠3　(　两直线平行，同位角相等　)， ∵∠1=∠2　(已知)， ∴∠1=∠3(等量代换)， ∴DG∥AB(　内错角相等，两直线平行　)． 例7补全下列推理过程： 如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2， 试说明DG∥BA． 解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，(已知)， ∴∠BFE=∠BDA=90°(垂直的定义)， ∴EF∥AD(____________)． ∴∠2=∠3(____________)． ∵∠1=∠2(已知)， ∴____________(等量代换)． ∴DG∥AB(____________)． 题型剖析 题型七、补充证明过程中的步骤或依据 补全下列推理过程： 如图，已知AB∥CE，∠A=∠E， 试说明：∠CGD=∠FHB， 解：∵AB∥CE(已知) ∴∠A=∠ADC(______) ∵∠A=∠E(已知) ∴∠E=∠ADC(______) ∴AD∥EF(______) ∴∠CGD=∠GHE(______) ∵∠FHB=∠GHE(______) ∴∠CGD=∠FHB 【详解】解：∵AB∥CE(已知)， ∴∠A=∠ADC(两直线平行，内错角相等)， ∵∠A=∠E(已知)， ∴∠E=∠ADC(等量代换)， ∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)， ∴∠CGD=∠GHE(两直线平行，同位角相等)， ∵∠FHB=∠GHE(对顶角相等)， ∴∠CGD=∠FHB． 针对训练 题型八、关于定理的说法判断 下面关于基本事实和定理的说法不正确的是(   ) A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【详解】解：A选项：基本事实是公认的真命题，定理是经过严格演绎推理证明的真命题，因此两者都是真命题，该选项说法正确； B选项：基本事实是无需证明的公认的真命题，定理是需要经过演绎推理证明的真命题，二者概念不同，该选项说法错误； C选项：在数学推理论证过程中，基本事实和已被证明的定理都可以作为推理的依据，该选项说法正确； D选项：基本事实的正确性是通过长期的实践检验得以确认的，定理的正确性是通过演绎推理的方式证明得到的，该选项说法正确． 故选：B． 例8 B 题型剖析 题型八、关于定理的说法判断 下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是( ) A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 【详解】解：A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故该选项正确，不符合题意； B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项不正确，符合题意； C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意； D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． B 针对训练 题型九、有关代数问题的证明 例9.任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，我们称这个算式为“如意式”．请予以证明． 【详解】证明：设两个连续奇数为和(n为整数)， 则 ， ∵能被8整除， ∴任意两个连续奇数的平方差都能被8整除． 题型剖析 题型九、有关代数问题的证明 已知A=,B=，其中n为整数． 证明：A4B能被4整除． 【详解】证明：A-4B= = = =， ∵n为整数，， ∴为整数， 故A4B能被4整除． 针对训练 题型十、用反证法证明问题 例10.用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于． 【详解】假设， 根据不等式的基本性质， + + ， 这与+ + 矛盾， ∴假设不成立， ∴ , , 中至少有一个大于等于 题型剖析 题型十、用反证法证明问题 在△ABC中，AB=AC．求证：∠B<90°．(用反证法证明) 【详解】解：假设∠B≥90°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠A， ∴∠A+∠B≥180°， ∴∠A+∠B+∠C>180°，与三角形内角和定理等于180°相矛盾， ∴假设∠B≥90°不成立， ∴∠B<90°． 针对训练 ✅ 知识构建：定义、命题、证明 定义→命题→定理→证明 ✅ 思想方法： 逆向思维：反证法 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $