找次品与反推（专项练习）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 以“三分法”为核心，通过由具体操作到抽象推理的递进设计，系统构建找次品的最优策略与数量关系逻辑，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础策略认知|填空1-4题|分成3份，尽量平均分，不平均时相差1|从3个物品操作到策略总结，建立“三分法”概念| |分组应用实践|解答5-9题|按“3份均分”原则分组称重，逐步缩小范围|从11筐、12瓶等具体数量，掌握实际称重步骤与次数确定| |数量关系反推|解答10-15题|利用3ⁿ公式反推物品数量范围（最少3ⁿ⁻¹+1，最多3ⁿ）|从823个零件等大量物品，深化次数与数量的数学原理|

找次品练习（专项训练）找次品与反推-2025-2026学年五年级下册数学人教版 本卷思路:由简入深，从有图的题型引导到纯文字的题型，着重理解如何分成3份的过程与意义 一、填空题 1．有3个外观相同的零件，其中一个是次品，质量稍重。根据称的过程（如下图），可确定次品是( )号零件。 2． 有3瓶钙片，其中1瓶少了3片（次品），可以用天平称找到次品：把3瓶钙片分成1瓶、1瓶、1瓶，天平两边各放( )瓶，如果天平平衡，剩余的1瓶就是( )，如果不平衡，那么次品一定在轻的那边。 3． 找次品的最优策略：把待测物品分成( )份。尽量( )分，如果不能平均分，也要使多的一份与少的一份只相差1，如11（4，4，3）。 4．用尽可能少的次数找出次品，你会对待测物品进行分组吗？ 待测物品个数 首次分成 6 （2，2，2） 14 （____，____，____） 25 （____，____，____） 二、解答题 5．猴妈妈的水果店进了11筐相同质量的桃子，小猴偷吃了某一筐中的3个桃子。怎样找出这筐桃子呢？ （1）给11筐桃子依次编号①，②，…，，填一填。 （2）至少称几次可以保证找出来？ （3）如果天平两边各放5筐，称一次有可能找出来吗？ 6．王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 7．猫妈妈的肉食店进了13罐质量相同的牛肉干，馋嘴的小猫偷吃了某一罐中的5块。 将13罐牛肉干分成（    ）份，用（  ，  ，  ）表示。 （1）至少称几次可以保证找出来？ （2）如果天平两端各放1罐，称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐吗？ 8．有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 9．有21袋棒棒糖，其中有1袋质量稍轻一些，是次品。 （1）如果用天平称，至少称几次可以保证找出次品？请写出主要过程。 （2）称一次有可能找出次品吗？为什么？ 10．有823个零件，其中混进了一个比合格品轻一些的次品，如果给你一架天平，你至少称多少次就一定能找出这个次品？ 11．有一盒乒乓球，其中有一个较重的是次品，用天平秤，保证称2次就能找出这个较重的乒乓球。这盒乒乓球可能有多少个？ 12．已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，那么这堆物品最少有多少个？最多有多少个？ 13．要保证4次能测出待测的物品中的次品（只含有一个次品，且次品比正品轻），待测物品的数目最多是多少个？ 14．一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称5次就一定能找出这个较重的玻璃球；这堆玻璃球最多有几个？ 15．已知一堆物品中有一个是次品（比正品轻），如果用天平至少称5次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有多少个？最多有多少个？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《找次品练习（专项训练）找次品与反推-2025-2026学年五年级下册数学人教版》参考答案 1．② 【分析】由于只有一个是次品，重量稍重，可以肯定这个次品在天平的右侧，其他都是正品，据此即可解答。 【详解】①号零件的重量＜②号零件的重量 即可确定次品是②号零件。 2． 1 次品 【分析】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。 【详解】把3瓶钙片分成1瓶、1瓶、1瓶，天平两边各放1瓶，如果天平平衡，剩余的1瓶就是次品，如果不平衡，那么次品一定在轻的那边。 3． 3 平均 【详解】 平均分成3份天平称量只有3种结果左边轻 、​右边轻 ​、两边一样重  ，一次称量就能直接排除掉2份物品，最快锁定次品在哪一份。不能平均分的时候，也要使多的一份与少的一份只相差1，如11（4，4，3）。最多的一份4个，最少的一份3个，只相差1，各组数量接近可确保无论次品在哪组，剩余待排查物品数量都最少。 4． 5 5 4 8 8 9 【分析】根据找次品的方法，一般把零件分成3份，尽量平均分，不平均时可以让第三份少一些，然后进行称量，这样可以尽量少的次数找到次品。 【详解】由分析可知，要把待测物品尽量平均分成三份，若不能平均分，则个数相差1即可。 待测物品个数14个，首次可分为5、5、4； 待测物品个数25个，首次可分为8、8、9。 【点睛】本题考查找次品问题，明确分成三份的方法是解题的关键。 5．（1）见详解 （2）3次 （3）有可能 【分析】（1）第一次，把11筐桃子分成3份（4、4、3），取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一筐在未取的一份中，若天平不平衡，则取较轻的一份继续； 第二次，若天平不平衡，取较轻的一份（4筐）平均分成2份，每份2筐，分别放在天平两侧，若天平不平衡，则可找到较轻的上升一端的2筐中；取另外第三次，把上升一端的2筐分别放在天平的两端，则上升的一端就是被吃了的那筐；若天平平衡，则较轻的一筐在剩下的3筐中；取剩下的3筐，取其中2筐，若天平平衡，则剩下的1筐被吃掉的那框；若天平不平衡，则轻的为被吃的那筐； 第三次，拿出2筐分别放在天平的两端，若平衡，剩下的一筐是被吃了的，若不平衡，则上升的一端是被吃了的那筐，据此即可解答； （2）根据以上叙述，可得，最少可以用3次即可找出被吃了的那筐桃子； （3）根据事件发生的可能性原理可知，如果天平两边各放5筐，如果天平平衡，则较轻的为剩余的1筐，所以有可能称一次就找到这筐桃子. 【详解】（1） （2）至少称3次可以保证找出来。 （3）如果此时天平平衡，那么剩下的一筐就是被吃了3个的那筐，即称一次有可能找出来。 6．3次；流程图见详解 【分析】根据题意，把12瓶钙片分成3份（4瓶、4瓶、4瓶），取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则质量较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（4瓶）分成3份（1瓶、1瓶、2瓶），将1瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的一份就是次品；第三次，取含有较轻的一份（2瓶）分别放在天平两侧，即可找到较轻的；据此解答。 【详解】 答：如果用天平称，至少称3次能保证找出次品。 7．3；4；4；5； （1）至少称3次可以保证找出来。 （2）天平两端各放1罐，如果天平不平衡，那么天平较轻的那端是小猫偷吃的那一罐，所以称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐 【分析】（1）通过合理分组称重，把13罐牛肉干分成4、4、5，步骤如下： 第一次称：称4和4。 若不平衡，次品在轻的4罐中，若平衡，次品在5罐中； 若在5罐中，再分成2、2、1；第二次称，称2和2，若平衡，次品是未称的1罐，若不平衡，次品在轻的2罐中，第三次称，称1和1，就可找出次品。 若次品在4罐中，分成2和2，第二次称，称2和2，若平衡，次品是未称的1罐，若不平衡，次品在轻的2罐中，第三次称，称1和1，就可找出次品。 因此，至少称3次可以保证找出来。 （2）天平两端各放1罐，如果天平不平衡，那么天平较轻的那端是小猫偷吃的那一罐，所以称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐。 【详解】将13罐牛肉干分成3份，用（4，4，5）表示。 （1）至少称3次可以保证找出来。 （2）天平两端各放1罐，如果天平不平衡，那么天平较轻的那端是小猫偷吃的那一罐，所以称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐。 8．3次 【分析】本题考查了利用天平判断物体质量的技能，解决这类问题的关键是每次称重后都要有效地缩小搜索范围。在首次称重时，尽量将物体分为数量相近的三组，这样可以最大化每次称重的信息量。每次称重后，根据结果排除一部分正常或不可能的选项，缩小搜索范围。最终找到质量不同的那一盒。 【详解】一、首次称重： 将16盒糖果分为三组，分别为5盒、5盒和6盒。选择两组各5盒的糖果进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这10盒糖果都是正常的，少一块的糖果一定在未被称重的那组6盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少一块的糖果一定在较轻的那组5盒里。 二、对于情况A的后续称重： 第二次称重：将这6盒糖果分为三组，每组2盒，任选两组进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果在未被称重的2盒中。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 第三次称重：从疑似的2盒糖果中任选一盒与正常的一盒糖果进行称重。 如果平衡，则未称重的那盒是少一块的。 如果不平衡，则较轻的那盒是少一块的。 三、对于情况B的后续称重： 第二次称重：将这5盒糖果分为三组，分别为2盒、2盒和1盒。选择两组各2盒的进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果是单独的那1盒。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 如果在第二次称重后确定少一块的糖果在2盒中，则第三次称重与情况A中的第三次称重相同，即任选一盒与正常的一盒糖果进行称重，以确定哪一盒是少一块的。 综上所述，至少需要三次才能找出来。 答：至少称3次就能够保证找出这盒糖果。 【点睛】对于这类题，一定要用好“分组策略”和“排除法”。 通过合理的分组和称重策略，去排除一部分正常或不可能的情况，缩小搜索范围。一般采用“三分法”，即首次称重时把物体分成尽可能相等的三份。对于未确定的部分，要继续采用类似的分组和称重策略，直到找到异常物体。 9．（1）3次；过程见详解 （2）有可能；原因见详解 【分析】（1）找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 （2）极端情况下，称一次有可能找出次品，即次品刚好是其中的1袋的情况。 【详解】（1）将21袋分成（7、7、7），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（7、7），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中7袋；将7袋分成（2、2、3），称（2、2），平衡，次品在3袋中；将3袋分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。 答：至少称3次可以保证找出次品。 （2）称一次有可能找出次品。天平两端各放10袋，平衡，则剩下的1袋就是次品；或者任取2袋，天平两端各放1袋，不平衡，天平高的一端就是次品。 10．7次 【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。此题数据较大，我们可以根据规律：当所测的物品的个数3n－1＋1≤物品的数量≤3n（n≥1）时，所称次数至少为n次。 【详解】因为36＝729，37＝2187 36＜823＜37 答：至少称7次就一定能找出这个次品。 11．9个（答案不唯一） 【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。据此解答即可。 【详解】根据天平平衡原理， （1）如果有3个球，最少需要1次能够找出次品：把3分成1、1、1，在天平两边各放1个，平衡，剩下的是次品，不平衡，下降的一方是次品；如果此时再多出1个球则最少需要2次才能找出次品； （2）若有3×3＝9个球，则最少需要2次找出次品：把9分成3、3、3，在天平两边各放一份，平衡，剩下的一份中有次品；不平衡，次品在下降的一边，再按照上面（1）的方法进行二次测量即可；如果此时再多出1个球则最少需要3次才能找出次品。 综上，保证称2次就能找出这个较重的乒乓球，乒乓球的个数可能是4~9之间的任意一个数，所以这盒乒乓球可能有9个。 答：这盒乒乓球可能有9个。（答案不唯一） 12．10个；27个 【分析】利用找次品的公式：当物品个数最多为时，n次即可找到这个次品，所以利用天平至少称3次就能保证把次品找出来，这批零件的个数为（3²＋1）~3³个，据此解答即可。 【详解】3²＋1 ＝9＋1 ＝10（个）； 3³＝27（个）； 答：这堆物品最少有10个，最多有27个。 【点睛】熟记找次品的公式是解答本题的关键。 13．81个 【分析】第一次试验分3组，每组的数量相同，可以确定次品所在的组；第二次试验再将确定的那组继续分为3组，同样操作可得次品所在组；第三次试验再将确定的那组继续分为3组，同样操作可得次品所在组；第四次试验在剩下的3个物品中，两两对照，轻的那个就是次品，所以最多可以测出的待测物品数目为：3×3×3×3＝81个。 【详解】3×3×3×3＝81（个） 答：待测物品的数目最多是81个。 14．243个 【分析】根据天平有三种可能得结果：左边重、右边重或平衡，每次称重的时候都可以尽可能地将玻璃球分成三份。第一次称重，最多可以区分3个不同的结果。第二次称重，在前一次的每个结果的基础上，又可以区分3个结果，所以总共可以区分（3×3）个玻璃球，依此类推，5次称重最多可以区分（3×3×3×3×3）个玻璃球，4次称重最多可以区分（3×3×3×3）个玻璃球。因为5次称重可以保证找出次品，所以玻璃球的总数一定要大于4次称重可以区分的数量，但小于等于5次称重可以区分的数量。 【详解】3×3×3×3＋1 ＝81＋1 ＝82（个） 3×3×3×3×3＝243（个） 答：这堆玻璃球最多有243个。 15．82个；243个 【解析】略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $