专题04 多边形&图形的旋转21大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材浙教版

专题04 多边形&图形的旋转（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型 01 多边形及相关概念 题型 02 多边形的对角线有关的计算 题型 03 多边形的内角和 题型 04 多边形的截角问题 题型 05 多边形多（少）算角问题 题型 06 多边形内角和与外角和的实际应用 题型 07 求多个角和的问题 题型 08 多边形内角和与外角和的综合应用 题型 09 旋转中的相关概念 题型 10 旋转中心、旋转角的确定 题型 11 求旋转图形中相关角度的大小 题型 12 求旋转图形中线段的长度 题型 13 旋转作图 题型 14 在平面直角坐标系中根据旋转求坐标 题型 15 中心对称的概念和性质 题型 16 中心对称图形的识别 题型 17 中心对称图形的性质 题型 18 求关于原点对称的点的坐标 题型 19 利用关于原点对称的点的坐标特征求字母的值 题型 20 平面直角坐标系中的中心对称图形 题型 21 图形旋转与多边形综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形 1. 概念：顶点、边、内角、外角、对角线. 2. 内角和：(n−2)⋅180∘. 3. 外角和：360∘（恒成立）.4. 对角线条数：​ 1. 理解多边形相关概念，区分内角、外角、对角线, 2. 熟练运用内角和、外角和公式求边数、角度、对角线条, 3. 掌握多边形截角、多算 / 少算角的分类讨论方法. 1. 必考基础小题（选择 / 填空），占 5-8 分. 2. 高频：内角和、外角和、正多边形内外角、对角线条数. 3. 易错：内角和公式记错、外角和与边数混淆、截角分类漏情况. 图形的旋转 1. 三要素：旋转中心、方向、角度. 2. 性质：旋转前后图形全等；对应点到中心距离相等；旋转角相等. 3. 旋转作图、旋转中心 / 角度确定. 4. 坐标系中旋转坐标变换 1. 掌握旋转三要素，能判断旋转变换、找旋转中心 / 角度. 2. 熟练运用旋转性质求角度、线段长、面积. 3. 会网格 / 坐标系中旋转作图，掌握 90°/180° 旋转坐标规律. 1. 基础 + 中档必考，含作图题，占 8-12 分. 2. 高频：旋转性质应用、网格作图、旋转中心判断、坐标旋转. 3. 易错：旋转中心找错、旋转角方向混淆、坐标变换符号错误、与中心对称混淆. 知识点01 多边形的相关概念 ★1、多边形的定义： 在平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段（不少于3条）首尾依次相接组成的图形叫做多边形. ★2、相关概念 (1)内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. (2)外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. (3)对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. ▲n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数） 知识点02 多边形的内角和 ◆1、多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） ◆2、多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° . 知识点03 多边形的外角和 ◆1、多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°． 【注意】 （1）多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和. （2）多边形的外角和恒等于360°，与边数无关. （3）借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 知识点03旋转的相关概念 ◆1、旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转 中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. ◆2、旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点旋转.方向分为顺时针与逆时针. 知识点04旋转的性质 ◆1、旋转的性质 ①图形经过旋转所得的图形和原图形全等． ②对应点到旋转中心的距离相等。任何一对对应点与旋转中心连线所成的叫等于旋转角. ③旋转前、后的图形全等． ◆2、旋转中心的确定： 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 知识点05中心对称与中心对称图形 ◆1.中心对称的定义： 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． ◆2、中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与 对称中心三点共线)； （2）中心对称的两个图形是全等图形. ◆3、确定对称中心的方法： 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心. 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心. ◆4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 判断一个图形是否是中心对称图形，必须满足： ① 一个图形；② 绕一点旋转 180°；③ 与原图形完全重合(包括图案). ◆5、中心对称图形的性质： （1） 对称中心平分连结两个对称点的线段。 （2）对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）. ◆6、中心对称与中心对称图形的区别和联系： 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在两个图形上. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心可能在两个图形的外部， 也可能在图形的内部或图形边界上. （4）对称中心在图形的内部或图形边界上. 联系 （1） 都是根据把图形旋转180°后能重合定义的.(2)两者可以相互转化，若把中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相 互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称. ◆7、关于原点对称的点的坐标特点 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P'（﹣x，﹣y）． 题型一 多边形及相关概念 解｜题｜技｜巧 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形. 【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中不是多边形的是（   ） A．B．C． D． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）下列图形中，属于多边形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 题型二 多边形的对角线有关的计算 解｜题｜技｜巧 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．n边形对角线的总条数为:（n≥3，且n为整数）. 【典例1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（  ） A．条 B．条 C．3条 D．条 【变式1】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）若一个多边形的内角和为，则从该多边形的一个顶点出发的对角线条数是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形的对角线的总条数为（    ） A．40 B．30 C．20 D．5 题型三 多边形的内角和 解｜题｜技｜巧 多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° . 【典例1】 （24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图所示窗框的形状是六边形，则六边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江台州·期末）椒江章安剪纸是台州市非物质文化遗产代表性项目．如图是小明的窗花剪纸，外形为正八边形，则它的内角和为（　　）    A． B． C． D． 题型四 多边形的截角问题 解｜题｜技｜巧 1.截去一个角分3 种情况： 2.不过顶点 → 边数 +1，内角和 +180° 3.过一个顶点 → 边数 不变，内角和 不变 4.过两个顶点 → 边数 −1，内角和 −180°做题必须分类讨论。 【典例1】 一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其它顶点），内角和为 ，则原多边形的边数为（   ） A． B． C． D．或 【变式1】一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 【变式2】剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩余多边形纸片的内角和不可能是（    ） A． B． C． D． 题型五 多边形多（少）算角问题 解｜题｜技｜巧 1.设漏加 / 多加的角为 x（0°＜x＜180°）。 2.列方程：(n−2)×180 = 计算出的和 ± x。 3.根据 x 的范围确定 n 的整数解。 【典例1】小明同学在用计算器计算某边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则等于（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式1】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【变式2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 题型六 多边形内角和与外角和的实际应用 解｜题｜技｜巧 1.实际问题先转化为求边数 n或角度。 2.外角和永远 360°，优先用外角算更简单。 3.地砖、边框、折叠等题型都用内角 / 外角公式。 【典例1】如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 【变式1】图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 题型七 求多个角和的问题 解｜题｜技｜巧 1.把分散的角转化到三角形或多边形内角和里。 2.用外角性质、对顶角、邻补角转化角度。 3.最后用内角和公式整体计算。 【典例1】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为____________． 【变式2】如图，，则______． 题型八 多边形内角和与外角和的综合应用 解｜题｜技｜巧 综合运用多边形的内角和与外角和性质，常常是四边形的内角和以及三角形的内角和的综合运用，并且熟练运用平行线性质和角平分线的定义． 【典例1】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数为_________． 【变式1】（22-23八年级下·浙江杭州·期末）若n边形的内角和与外角和相等，则_______． 【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在n边形中，设的外角的度数为α，与不相邻的个内角的和为β．若，则_____． 【变式3】多边形的内角和与外角和的有关计算： (1)一个多边形的每一个内角都等于，求它的边数； (2)一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数． 题型九 旋转中的相关概念 解｜题｜技｜巧 把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 【变式1】（24-25九年级上·云南·期中）下列运动中，不属于旋转的是（    ） A．电风扇叶片的转动 B．酒店旋转门的转动 C．钟摆的摆动 D．热气球点火升空 【变式2】（24-25九年级上·浙江·期中）下列现象不是旋转的是（   ） A．飞速旋转的电风扇 B．坐电梯从1楼到10楼 C．言言在荡秋千 D．关上教室门 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 题型十 旋转中心、旋转角的确定 解｜题｜技｜巧 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 【典例1】在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是由按顺时针方向旋转某一角度得到的，若，，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为（   ） A．P， B．A， C．P， D．A， 【变式2】如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点（旋转中心）的坐标是（　　） A． B． C． D． B． 题型十一 求旋转图形中相关角度的大小 解｜题｜技｜巧 ①利用旋转前、后的图形全等求解． ②利用旋转角相等求解． 【典例1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在边上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，一个发电风车矗立在斜坡上，风车顺时针旋转，扇叶 旋转至处．已知风车与斜坡的夹角，风车扇叶与立柱夹角．当时，扇 叶至少旋转（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，将绕着点逆时针旋转得到，若点的对应点恰好落在的延长线上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得 到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十二 求旋转图形中线段的长度 解｜题｜技｜巧 根据图形旋转前、后的对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角，可以构成特殊三角形求解一些问题. 【典例1】如图，在中，，将边绕点B逆时针旋转得到，连接，若的面积为4，则的长为（   ） A． B． C．10 D．8 【变式1】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，，将 绕点逆时针旋转得到，点落在线段上，则两点间的距离为（    ）． A． B． C．6 D． 【变式2】如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°， C'D＝2，则线段BC的长度为（　　） A．4 B．5 C． D． 题型十三 旋转作图 解｜题｜技｜巧 图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 【典例1】如图，已知和直线． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)画出绕它的顶点按顺时针方向旋转后得到的． 【变式1】（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度， 在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)画出将向左平移8个单位长度得到的； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，， (1)画出绕点O顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)将（1）中所得先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，直接写出点的坐标． 题型十四 在平面直角系中根据旋转求坐标 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，根据旋转的性质求点的坐标，可以先过所求的点作x轴或y轴的垂线构造直角三角形，再根据旋转的性质求出有关线段的长，从而确定点的坐标. 【变式1】如图，点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1）．以点O为旋转中心，将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1的坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【变式1】平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，3），将线段AB绕点A顺时针旋转 90°得到AC，则点C坐标是 　　 ． 【变式3】（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在直角坐标系中，正的边在轴的正半轴上，若，则正绕着点顺时针旋转后，点的对应点坐标是（    ） A． B． C． D． 题型十五 中心对称的概念和性质 解｜题｜技｜巧 1、两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心；② 旋转角为 180°；③ 这两个图形旋转后能完全重合. 2、中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与对称中心三点共线)； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 【典例1】（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，与关于点成中心对称．则下列结论不成立的是（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，， ，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 题型十六 中心对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 判断一个图形是否是中心对称图形，必须满足： ① 一个图形；② 绕一点旋转 180°；③ 与原图形完全重合(包括图案). 【典例1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）巴黎奥运会项目图标传递“荣誉徽章”理念，下列图标中，是中心对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）下列选项中，不是中心对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江台州·期末）下列各软件的图案中，是中心对称图形的是（   ） A．元宝 B．千问 C． D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江台州·期末）下列是2025年成都世运会的候选会徽，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型十七 中心对称图形的性质 解｜题｜技｜巧 中心对称图形的性质： （1）中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交是两个对应交点是对称点. （2）对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）. 【典例1】（23-24九年级上·四川南充·期末）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024秋•分宜县校级期末）如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【变式2】如图所示的图形是一个中心对称图形，点O是AC与BD的交点，且是对称中心． （1）若AO＝4cm，那么CO的长是多少？ （2）试说明△ABO≌△CDO． 题型十八 求关于原点对称的点的坐标 解｜题｜技｜巧 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P'（﹣x，﹣y）． 【典例1】（23-24八年级下·浙江温州·期末）在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】平面直角坐标系内，点关于原点对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·浙江温州·期末）在直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式32】如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1） 题型十九 利用关于原点对称的点的坐标特征求字母的值 解｜题｜技｜巧 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出关于x、y的方程组并求解即可． 【典例1】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）在直角坐标系中，点和点关于原点成中心对称，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知点与点关于原点对称，则________． 【变式2】在平面直角坐标系中，点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），则ab的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．32 D．﹣32 题型二十 平面直角坐标系中的中心对称图形 解｜题｜技｜巧 本题考查了作图—平移和中心对称，解题的关键是掌握中心对称和平移的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点． 【典例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知在平面直角坐标系中． (1)作出关于原点对称的； (2)在y轴上找一个点P，使得的值最小，并直接写出的最小值（保留作图痕迹）． 【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出关于点O对称的； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心点P． 【变式2】（23-24九年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．    (1)画出关于点的中心对称图形； (2)将绕着点逆时针旋转，画出旋转后得到的；并直接写出点，的坐标． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)作出关于原点对称的； (2)作出绕点C逆时针旋转后的； (3)点B的对应点的坐标为______． 题型二十一 利用中心对称探究规律问题 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，中心对称图形的核心规律是：图形绕某一点（对称中心）旋转180°后能与原图完全重合；若点 P(x,y)P(x,y) 关于原点对称，则其对称点为 P′(−x,−y)P′(−x,−y)。掌握坐标变换规律和几何性质是解题关键。 【典例1】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【变式1】已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面 直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共 线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对 称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与于点成中心对称，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）下列图案是中心对称图形的是（    ） A．中国火箭 B．中国火星探测 C．神舟 D．中国行星探测 2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）一个多边形剪去一个角后得到一个新的多边形，则关于这两个多边形，下列量中一定没有发生变化的是（    ） A．内角度数 B．内角和度数 C．对角线条数 D．外角和度数 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，与相邻的外角是，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 7．如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 8．直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕着A点旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，，点在边上，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为_____________ 10．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到（点A与点对应，点B与对应）．当点A，，在同一直线上时，的长为________． 11．如图，中，，，，把绕着点逆时针旋转得到，连接，则的长是______．    12．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 13．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，下列结论：①；②；③；④其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 14．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点到轴的距离为4，，点为轴上一点，且．将绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第79秒时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） . 16．阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，、． (1)画出将向左平移6个单位长度后得到的； (2)画出关于原点成中心对称的； (3)若绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为________，旋转角的度数为________°． 18．如图，四边形中，，平分，交于G点． (1)如图1，若， ①求证：； ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于N，若的大小为，试说明：平分． 19．如图，在中，，，点D为边上的一点，将绕点C逆时针旋转得到，点B、D的对应点分别为点A、E，连接． (1)求证：． (2)当，时，求的长． (3)若取的中点F，连接，试探究线段和的关系，并说明理由． 20．中，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，，它们交于点． (1)求证：． (2)当，求的度数． (3)当四边形是菱形时，求的长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 多边形&图形的旋转（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型 01 多边形及相关概念 题型 02 多边形的对角线有关的计算 题型 03 多边形的内角和 题型 04 多边形的截角问题 题型 05 多边形多（少）算角问题 题型 06 多边形内角和与外角和的实际应用 题型 07 求多个角和的问题 题型 08 多边形内角和与外角和的综合应用 题型 09 旋转中的相关概念 题型 10 旋转中心、旋转角的确定 题型 11 求旋转图形中相关角度的大小 题型 12 求旋转图形中线段的长度 题型 13 旋转作图 题型 14 在平面直角坐标系中根据旋转求坐标 题型 15 中心对称的概念和性质 题型 16 中心对称图形的识别 题型 17 中心对称图形的性质 题型 18 求关于原点对称的点的坐标 题型 19 利用关于原点对称的点的坐标特征求字母的值 题型 20 平面直角坐标系中的中心对称图形 题型 21 图形旋转与多边形综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形 1. 概念：顶点、边、内角、外角、对角线. 2. 内角和：(n−2)⋅180∘. 3. 外角和：360∘（恒成立）.4. 对角线条数：​ 1. 理解多边形相关概念，区分内角、外角、对角线, 2. 熟练运用内角和、外角和公式求边数、角度、对角线条, 3. 掌握多边形截角、多算 / 少算角的分类讨论方法. 1. 必考基础小题（选择 / 填空），占 5-8 分. 2. 高频：内角和、外角和、正多边形内外角、对角线条数. 3. 易错：内角和公式记错、外角和与边数混淆、截角分类漏情况. 图形的旋转 1. 三要素：旋转中心、方向、角度. 2. 性质：旋转前后图形全等；对应点到中心距离相等；旋转角相等. 3. 旋转作图、旋转中心 / 角度确定. 4. 坐标系中旋转坐标变换 1. 掌握旋转三要素，能判断旋转变换、找旋转中心 / 角度. 2. 熟练运用旋转性质求角度、线段长、面积. 3. 会网格 / 坐标系中旋转作图，掌握 90°/180° 旋转坐标规律. 1. 基础 + 中档必考，含作图题，占 8-12 分. 2. 高频：旋转性质应用、网格作图、旋转中心判断、坐标旋转. 3. 易错：旋转中心找错、旋转角方向混淆、坐标变换符号错误、与中心对称混淆. 知识点01 多边形的相关概念 ★1、多边形的定义： 在平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段（不少于3条）首尾依次相接组成的图形叫做多边形. ★2、相关概念 (1)内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. (2)外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. (3)对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. ▲n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数） 知识点02 多边形的内角和 ◆1、多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） ◆2、多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° . 知识点03 多边形的外角和 ◆1、多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°． 【注意】 （1）多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和. （2）多边形的外角和恒等于360°，与边数无关. （3）借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 知识点03旋转的相关概念 ◆1、旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转 中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. ◆2、旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点旋转.方向分为顺时针与逆时针. 知识点04旋转的性质 ◆1、旋转的性质 ①图形经过旋转所得的图形和原图形全等． ②对应点到旋转中心的距离相等。任何一对对应点与旋转中心连线所成的叫等于旋转角. ③旋转前、后的图形全等． ◆2、旋转中心的确定： 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 知识点05中心对称与中心对称图形 ◆1.中心对称的定义： 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． ◆2、中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与 对称中心三点共线)； （2）中心对称的两个图形是全等图形. ◆3、确定对称中心的方法： 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心. 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心. ◆4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 判断一个图形是否是中心对称图形，必须满足： ① 一个图形；② 绕一点旋转 180°；③ 与原图形完全重合(包括图案). ◆5、中心对称图形的性质： （1） 对称中心平分连结两个对称点的线段。 （2）对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）. ◆6、中心对称与中心对称图形的区别和联系： 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在两个图形上. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心可能在两个图形的外部， 也可能在图形的内部或图形边界上. （4）对称中心在图形的内部或图形边界上. 联系 （1） 都是根据把图形旋转180°后能重合定义的.(2)两者可以相互转化，若把中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相 互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称. ◆7、关于原点对称的点的坐标特点 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P'（﹣x，﹣y）． 题型一 多边形及相关概念 解｜题｜技｜巧 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形. 【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中不是多边形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案． 【详解】 解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意； 是四边形，是多边形，故选项B不符合题意； 不是多边形，故选项C符合题意； 是六边形，是多边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）下列图形中，属于多边形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的定义，根据多边形的定义进行判断即可，正确理解多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形． 【详解】解：根据多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形， ∴是多边形，共个， 故选：． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【答案】B 【详解】解：在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形，A说法错误； 四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角，B说法正确； 四边形的对角线是连接不相邻两个顶点的线段，C说法错误； 四边形每个顶点处有2个外角，共8个外角，D说法错误． 题型二 多边形的对角线有关的计算 解｜题｜技｜巧 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．n边形对角线的总条数为:（n≥3，且n为整数）. 【典例1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（  ） A．条 B．条 C．3条 D．条 【答案】C 【分析】根据由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线解答即可． 【详解】解：由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线， 故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）若一个多边形的内角和为，则从该多边形的一个顶点出发的对角线条数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意和多边形内角和公式求出多边形的边数，根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则（n-2）×180°=900°， 解得n=7， 从七边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数：7-3=4， 故选：B． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角、多边形的对角线，掌握n边形的内角和等于（n-2）×180°、从n边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数是n-3是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形的对角线的总条数为（    ） A．40 B．30 C．20 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即可，熟知n边形的对角线条数是是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形为n边形， 由题意得，， ∴， ∴这个多边形为八边形， ∴这个多边形可连对角线的条数是 故选：C． 题型三 多边形的内角和 解｜题｜技｜巧 多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° . 【典例1】 （24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了四边形内角和360度，根据，，以及四边形内角和360度进行列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：在四边形中，，， ∴ 则 解得， 故选：C 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图所示窗框的形状是六边形，则六边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，根据n边形的内角和为进行求解即可． 【详解】解：六边形的内角和是， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·浙江台州·期末）椒江章安剪纸是台州市非物质文化遗产代表性项目．如图是小明的窗花剪纸，外形为正八边形，则它的内角和为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和．熟练掌握多边形内角和公式，是解题的关键．多边形的内角和公式，n是边数． 直接利用多边形的内角和解答． 【详解】． 故选：B． 题型四 多边形的截角问题 解｜题｜技｜巧 1.截去一个角分3 种情况： 2.不过顶点 → 边数 +1，内角和 +180° 3.过一个顶点 → 边数 不变，内角和 不变 4.过两个顶点 → 边数 −1，内角和 −180°做题必须分类讨论。 【典例1】 一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其它顶点），内角和为 ，则原多边形的边数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意可知，该多边形减去一个角后边长增加了1，据此根据多边形内角和公式进行求解即可． 【详解】解：设原多边形边数为n， 由题意得，， 解得， 故选B． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，正确理解题意截去一个角后边数增加1是解题的关键． 【变式1】一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 【答案】D 【分析】根据多边形的内角和公式求出n，再根据截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1来解答． 【详解】解：设新多边形边数为n， ∵新多边形内角和为， ∴， 解得， 若多边形截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1，如下图所示：    ∴原多边形边数为4或5或6， 故选：D． 【点睛】本题主要考查多边形内角和和边数的关系，掌握内角和公式是解题的关键. 【变式2】剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩余多边形纸片的内角和不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案． 【详解】解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变， 当截线为经过长方形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形，内角和为； 当截线为经过长方形一组对边的直线时，剩余图形是四边形，内角和； 当截线为只经过长方形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形，内角和为． ∴C不符合题意； 故选C 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和，解决本题的关键是理解剪掉多边形的一个角的含义． 题型五 多边形多（少）算角问题 解｜题｜技｜巧 1.设漏加 / 多加的角为 x（0°＜x＜180°）。 2.列方程：(n−2)×180 = 计算出的和 ± x。 3.根据 x 的范围确定 n 的整数解。 【典例1】小明同学在用计算器计算某边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则等于（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】设少输入内角的度数是x，根据多边形内角和公式列出等式，再根据多边形边数为正整数即可求解． 【详解】解：设少输入的这个内角的度数是x， 根据多边形的内角和公式得：， ∴ ， ∵n是正整数，， ∴，． ∴． 故选D． 【点睛】本题考查多边形的内角和定理，熟练掌握n边形的内角和是解题的关键． 【变式1】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】D 【分析】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，由多边形内角和定理可得等式：，由n为整数即可确定x的值． 【详解】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x， 由题意得：， ， 由于n为整数，x为正数且小于， ， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角． 【变式2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【答案】/105度 【分析】本题考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和公式，确定内角和的范围，再通过计算找到符合条件的边数及少加的内角度数． 【详解】解：∵， 又∵少加了一个内角， ∴多边形的边数是：， ∴他们在求九边形的内角和， ∴，少加的内角为， 故答案为：． 题型六 多边形内角和与外角和的实际应用 解｜题｜技｜巧 1.实际问题先转化为求边数 n或角度。 2.外角和永远 360°，优先用外角算更简单。 3.地砖、边框、折叠等题型都用内角 / 外角公式。 【典例1】如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 【答案】D 【分析】根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，他需要转次才会回到原点， 所以一共走了（米）． 【变式1】图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．多边形的外角和等于360度，依此即可求解． 【详解】解：由多边形的外角和等于360度，可得． 故选：B． 【变式2】某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 题型七 求多个角和的问题 解｜题｜技｜巧 1.把分散的角转化到三角形或多边形内角和里。 2.用外角性质、对顶角、邻补角转化角度。 3.最后用内角和公式整体计算。 【典例1】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式1】如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为____________． 【答案】 【分析】首先根据外角的性质可得：根据四边形的外角和为，所以，即可解答． 【详解】解：由三角形外角的性质，得，，，． 四边形的外角和为， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和多边形的外角和，解决本题的关键是熟记多边形的外角和为． 【变式2】如图，，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，解答此题的关键是作出辅助线，利用三角形内角与外角的关系把所求的角的度数归结到三角形或四边形中，利用三角形和四边形的内角和定理解答．连接，，根据三角形内角与外角的性质可得，，，再根据四边形及三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：连接，， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴在四边形中，…①， 在中，…②， ①+②得，， 即， ∴． ∴． 故答案为：3． 题型八 多边形内角和与外角和的综合应用 解｜题｜技｜巧 综合运用多边形的内角和与外角和性质，常常是四边形的内角和以及三角形的内角和的综合运用，并且熟练运用平行线性质和角平分线的定义． 【典例1】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数为_________． 【答案】9 【分析】根据题意设边数为，根据多边形内角和定理及外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 化简得：， 解得：． 【变式1】（22-23八年级下·浙江杭州·期末）若n边形的内角和与外角和相等，则_______． 【答案】4 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，根据n边形的内角和为，外角和为，即可列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 故答案为：4． 【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在n边形中，设的外角的度数为α，与不相邻的个内角的和为β．若，则_____． 【答案】6 【分析】题目主要考查多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用，熟练掌握多边形的内角和与外角和的关系是解题关键． 利用多边形的内角和与外角定义列得方程，解方程求得n的值即可． 【详解】解：在n边形中，设的外角的度数为α， 则的度数为， ∵与不相邻的个内角的和为β， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：6． 【变式3】多边形的内角和与外角和的有关计算： (1)一个多边形的每一个内角都等于，求它的边数； (2)一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数． 【答案】(1)它的边数是6 (2)它的边数是3 【分析】（1）先求出每一个外角的度数，再根据外角和定理求解； （2）设它的边数为 n，根据内角和公式和外角和定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一个多边形的每一个内角都等于， ∴每一个外角都等于． ∵， ∴这个多边形是六边形． （2）解：设它的边数为n，则有 ， 解得． ∴它的边数为3． 题型九 旋转中的相关概念 解｜题｜技｜巧 把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 【答案】A 【分析】本题考查生活中的旋转现象，熟记旋转定义是解决问题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，根据选项中的常见现象，结合旋转定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：旋转的本质是物体绕一个固定点转动， A. 秋千绕悬挂点摆动，做圆弧运动，属于旋转，符合题意； B. 火车沿轨道直线行驶，属于平移，不符合题意； C. 标枪被掷出后主要做平移运动，属于平移，不符合题意； D. 电梯垂直上下运动，属于平移，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·云南·期中）下列运动中，不属于旋转的是（    ） A．电风扇叶片的转动 B．酒店旋转门的转动 C．钟摆的摆动 D．热气球点火升空 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可． 【详解】解：A. 电风扇叶片的转动，属于旋转，故不符合题意； B. 酒店旋转门的转动，属于旋转，故不符合题意； C. 钟摆的摆动，属于旋转，故不符合题意； D. 热气球点火升空，属于平移，故符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江·期中）下列现象不是旋转的是（   ） A．飞速旋转的电风扇 B．坐电梯从1楼到10楼 C．言言在荡秋千 D．关上教室门 【答案】B 【分析】本题考查生活中的旋转现象，根据旋转的定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、飞速旋转的电风扇，是旋转现象，不符合题意； B、坐电梯从1楼到10楼，是平移现象，不是旋转现象，符合题意； C、言言在荡秋千，是旋转现象，不符合题意； D、关上教室门，是旋转现象，不符合题意； 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【答案】C 【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握旋转的概念． 根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是旋转， 故选：C． 题型十 旋转中心、旋转角的确定 解｜题｜技｜巧 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 【典例1】在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是由按顺时针方向旋转某一角度得到的，若，，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为（   ） A．P， B．A， C．P， D．A， 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，明确旋转前后的图形大小和形状不变，正确确定对应角，对应边是解答此题的关键．根据条件得出，，确定旋转中心，根据条件得出，确定旋转角度数． 【详解】解：∵是由按顺时针方向旋转而得， ∴， ∴，，， ∴， ∴是以点A为旋转中心顺时针旋转得到的． 故选：D． 【变式2】如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点（旋转中心）的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查坐标与图形的旋转变换，熟练掌握图形旋转的性质，利用线段的垂直平分线找旋转中心是解题的关键．连接，分别作、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心，即可得出答案． 【详解】解：如图， 连接， 分别作、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心， 所以这点（旋转中心）的坐标是． 故选：C． 题型十一 求旋转图形中相关角度的大小 解｜题｜技｜巧 ①利用旋转前、后的图形全等求解． ②利用旋转角相等求解． 【典例1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在边上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，，证明是等腰三角形，即可求得，即可解答． 【详解】解：绕点A逆时针旋转得到， ，， 是等腰三角形， ， ， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，一个发电风车矗立在斜坡上，风车顺时针旋转，扇叶 旋转至处．已知风车与斜坡的夹角，风车扇叶与立柱夹角．当时，扇 叶至少旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理，是解题的关键．根据平行线的性质求出，再根据，求出最小的旋转角即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴扇叶至少旋转． 故选：A． 【变式2】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，将绕着点逆时针旋转得到，若点的对应点恰好落在的延长线上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得，，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ， 故选：C． 【变式3】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得 到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．由旋转前后对应边、对应角相等，可得，，，由三角形外角的性质可得，由等边对等角得出，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，，， 又 ， ， ， ， ， 故选：C． 题型十二 求旋转图形中线段的长度 解｜题｜技｜巧 根据图形旋转前、后的对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角，可以构成特殊三角形求解一些问题. 【典例1】如图，在中，，将边绕点B逆时针旋转得到，连接，若的面积为4，则的长为（   ） A． B． C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；分别过点A、作的垂线，垂足分别为，由旋转的性质：，则有，然后可得，则有，由的面积为4可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：分别过点A、作的垂线，垂足分别为，如图所示： 由旋转的性质：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为4， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【变式1】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，，将 绕点逆时针旋转得到，点落在线段上，则两点间的距离为（    ）． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】在中，由勾股定理可得，再根据旋转性质可得，，，易得，然后在中由勾股定理求解即可获得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 又∵将 绕点逆时针旋转得到，点落在线段上， 由旋转性质可得，，，， ∴， ∴在中，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理等知识，理解并掌握旋转的性质是解题关键． 【变式2】如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°， C'D＝2，则线段BC的长度为（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】D． 【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，证明△BCE≌△CDC'（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝C'D，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出CC'＝4，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：过点B作BE⊥CC'于点E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠BCE+∠C'CD＝90°， ∵∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠C'CD＝∠CBE， 又∵∠BEC＝∠CC'D， ∴△BCE≌△CDC'（AAS）， ∴CE＝C'D， ∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'， ∴BC＝BC'， 又∵BE⊥CC'， ∴CE＝C'E＝C'D＝2， ∴CC'＝4， ∴CD2， ∴BC＝2． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 题型十三 旋转作图 解｜题｜技｜巧 图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 【典例1】如图，已知和直线． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)画出绕它的顶点按顺时针方向旋转后得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——旋转变换，作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于直线成轴对称的； （2）根据旋转的性质即可画出绕它的顶点按顺时针方向旋转后得到的． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【变式1】（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度， 在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)画出将向左平移8个单位长度得到的； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-旋转变换，平移变换． （1）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点、即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求： 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，， (1)画出绕点O顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)将（1）中所得先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，直接写出点的坐标． 【答案】(1)画图见解答；点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． （2）解：先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， 点的坐标为． 题型十四 在平面直角系中根据旋转求坐标 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，根据旋转的性质求点的坐标，可以先过所求的点作x轴或y轴的垂线构造直角三角形，再根据旋转的性质求出有关线段的长，从而确定点的坐标. 【典例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，轴于点，结合旋转的性质，证明，得到，，即可得到的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点， 由旋转的性质可知，，， ， 轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，， ， 故选：A． 【变式1】如图，点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1）．以点O为旋转中心，将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1的坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【答案】A． 【分析】利用旋转的性质得B1C1＝BC＝1，OC1＝OC＝2，A1B1⊥y轴，然后利用第四象限内点的坐标特征写出点B1坐标． 【详解】解：∵点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1）， ∴OC＝2，BC＝1，AB⊥x轴， ∴将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1，A1B1⊥y轴， ∴B1C1＝BC＝1，OC1＝OC＝2， ∴B1坐标为：（1，﹣2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 【变式1】平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键，过点作轴于点，可得，，则，可得．由旋转得，，可知点在轴正半轴上，进而可得点的坐标为． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点的坐标为， ，， ， ， ． 线段绕点逆时针旋转， ，， ， 点在轴正半轴上， 点的对应点的坐标为． 故选：B． 【变式2】如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，3），将线段AB绕点A顺时针旋转 90°得到AC，则点C坐标是 　　 ． 【答案】（1，﹣1）． 【分析】作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．证明△ABM≌△CAN，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N． ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABM+∠BAM＝∠BAM+∠CAN， ∴∠ABM＝∠CAN， ∵AB＝CA，∠AMB＝∠CNA＝90°， ∴△ABM≌△CAN（AAS）， ∴AM＝CN，BM＝AN， 当A（﹣2，0），B（﹣1，3）时， ON＝AN﹣OA＝BM﹣OA＝3﹣2＝1， CN＝AM＝OA﹣OM＝2﹣1＝1， ∴C（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式3】（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在直角坐标系中，正的边在轴的正半轴上，若，则正绕着点顺时针旋转后，点的对应点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，熟知等边三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 过点的对应点作轴的垂线，利用勾股定理及等边三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：令点和点旋转后的对应点分别为和，过点作轴的垂线，垂足为， 由旋转可知， 是等边三角形，且边长为2， ，轴， ， 则． 在中， ， 所以点的坐标为． 故选：D． 题型十五 中心对称的概念和性质 解｜题｜技｜巧 1、两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心；② 旋转角为 180°；③ 这两个图形旋转后能完全重合. 2、中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与对称中心三点共线)； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 【典例1】（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，与关于点成中心对称．则下列结论不成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质．根据对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，，，， ∴选项A，B，C都不符合题意． ∵与不是对应角， ∴不成立． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，， ，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得出，，根据中心对称的性质得出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边的中线，， ∴，， ∵与关于点C中心对称，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：D． 题型十六 中心对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 判断一个图形是否是中心对称图形，必须满足： ① 一个图形；② 绕一点旋转 180°；③ 与原图形完全重合(包括图案). 【典例1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）巴黎奥运会项目图标传递“荣誉徽章”理念，下列图标中，是中心对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：根据概念可知，A、B、C不是中心对称图形；D是中心对称图形． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）下列选项中，不是中心对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项B、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·浙江台州·期末）下列各软件的图案中，是中心对称图形的是（   ） A．元宝 B．千问 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； B． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； C． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是中心对称图形，符合题意． 故选D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江台州·期末）下列是2025年成都世运会的候选会徽，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心）逐一分析各选项中的图形是否符合题意即可． 【详解】解：A项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形能绕某点旋转后与原图形重合，所以是中心对称图形，故C正确； D项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故D错误， 故选：C． 题型十七 中心对称图形的性质 解｜题｜技｜巧 中心对称图形的性质： （1）中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交是两个对应交点是对称点. （2）对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）. 【典例1】（23-24九年级上·四川南充·期末）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，所对直角边是斜边的一半，由中心对称的性质得，然后根据所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】（2024秋•分宜县校级期末）如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【分析】连接OA、OB、OC、OD，根据中心对称的性质可得OA＝OC，OB＝OD，然后判定四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的中心对称性写出相等的线段即可得解． 【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD， ∵四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD，OE＝OF，AE＝CF，BF＝DE， 相等的线段共有5对． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称，作辅助线，判断出四边形ABCD是平行四边形是解题的关键，也是本题的难点． 【变式2】如图所示的图形是一个中心对称图形，点O是AC与BD的交点，且是对称中心． （1）若AO＝4cm，那么CO的长是多少？ （2）试说明△ABO≌△CDO． 【分析】（1）根据关于某点对称的两个图形的对应线段相等直接得到答案； （2）利用中心对称的性质，得到对应角相等，对应线段相等即可证得全等． 【详解】解：（1）∵点O是AC与BD的交点，且是对称中心， ∴AO＝CO， ∵AO＝4cm， ∴CO＝4cm； （2）∵点O是AC与BD的交点，且是对称中心， ∴AO＝CO，BO＝DO， 在△ABO和△CDO中， ∴△ABO≌△CDO（SAS）． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质，中心对称的两个图形具有如下性质：（1）关于中心对称的两个图形全等；（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都过对称中心，并且被对称中心平分． 题型十八 求关于原点对称的点的坐标 解｜题｜技｜巧 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P'（﹣x，﹣y）． 【典例1】（23-24八年级下·浙江温州·期末）在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于原点成中心对称的点的坐标是， 故选：D． 【变式1】平面直角坐标系内，点关于原点对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选：D． 【变式2】（22-23八年级下·浙江温州·期末）在直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，进行计算即可． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查关于原点对称，掌握关于原点对称，横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【变式32】如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1） 【答案】B． 【分析】运用中点坐标公式求答案． 【详解】解：设C（m，n）， ∵线段AB与线段CD关于点P对称， 点P为线段AC、BD的中点． ∴，， ∴m＝2﹣a，n＝﹣b， ∴C（2﹣a，﹣b）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称，正确运用中点坐标公式是解题的关键． 题型十九 利用关于原点对称的点的坐标特征求字母的值 解｜题｜技｜巧 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出关于x、y的方程组并求解即可． 【典例1】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）在直角坐标系中，点和点关于原点成中心对称，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．据此解答即可． 【详解】解：∵点和点关于原点成中心对称， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知点与点关于原点对称，则________． 【答案】3 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 由点与点关于原点对称，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得，， 故答案为：3． 【变式2】在平面直角坐标系中，点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），则ab的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．32 D．﹣32 【答案】B． 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点求出a，b的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b）， ∴a+5＝3，b＝4， ∴a＝﹣2， ∴ab＝（﹣2）×4＝﹣8． 故选：B． 【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 题型二十 平面直角坐标系中的中心对称图形 解｜题｜技｜巧 本题考查了作图—平移和中心对称，解题的关键是掌握中心对称和平移的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点． 【典例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知在平面直角坐标系中． (1)作出关于原点对称的； (2)在y轴上找一个点P，使得的值最小，并直接写出的最小值（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析； 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称、原点对称、最短路径问题，掌握相关知识点，正确作出图形是解题的关键． （1）先画出各顶点关于原点对称的对应点，再顺次连接即可； （2）作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点，利用轴对称的性质可得，则点P即为所求，再利用勾股定理求出的长即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点， 由对称性得，， ， 当三点共线时，的值最小，最小值为的长， 由图可得，， 如图所示，点P即为所求，的最小值为． 【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出关于点O对称的； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心点P． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】本题考查了作中心对称图形，利用图形旋转的性质作图，熟练掌握相关作图知识是解题的关键． （1）作出点A关于点O的对称点D，连结，，即得答案； （2）图形旋转的性质，分别作，的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，就是所求作的三角形； （2）解：如图，点P就是所求作的点． 【变式2】（23-24九年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．    (1)画出关于点的中心对称图形； (2)将绕着点逆时针旋转，画出旋转后得到的；并直接写出点，的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析，点，． 【分析】（）根据中心对称图形的性质作图即可； （）根据旋转的性质作图即可，由图即可写出点，的坐标； 本题考查了作中心对称图形及旋转后的图形，坐标与图形，掌握中心对称图形的性质和旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：如图，即为所求，由图可得，点，．    【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)作出关于原点对称的； (2)作出绕点C逆时针旋转后的； (3)点B的对应点的坐标为______． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； (3)； 【分析】（1）本题考查作中心对称图形，根据中心对称图形的性质对应点与对称中心连线在同一直线及距离相等，找到相应点连接起来即可得到答案； （2）本题考查作旋转图形，根据旋转的性质直接找到对应点即可得到答案； （3）本题考查旋转的性质，根据（2）的图形直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得，图形如图所示， ； （2）解：由题意可得，图形如图所示， ； （3）解：由（2）得， ． 题型二十一 利用中心对称探究规律问题 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，中心对称图形的核心规律是：图形绕某一点（对称中心）旋转180°后能与原图完全重合；若点 P(x,y)P(x,y) 关于原点对称，则其对称点为 P′(−x,−y)P′(−x,−y)。掌握坐标变换规律和几何性质是解题关键。 【典例1】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 【变式1】已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面 直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共 线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对 称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解． 【详解】解：由题意，，，，，，，， …… 可得每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律． 【变式2】如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与于点成中心对称，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】首先根据△是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【详解】解：△是边长为2的等边三角形， 的坐标为：，的坐标为：， △与△关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是：， △与△关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是：， △与△关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是：， ， ，，，，， 的横坐标是：，的横坐标是：， 当为奇数时，的纵坐标是：，当为偶数时，的纵坐标是：， 顶点的纵坐标是：， △是正整数）的顶点的坐标是：， △的顶点的横坐标是：，纵坐标是：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出的横坐标和纵坐标是解题的关键． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）下列图案是中心对称图形的是（    ） A．中国火箭 B．中国火星探测 C．神舟 D．中国行星探测 【答案】A 【详解】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意． 2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坐标的中心对称性质计算即可． 【详解】解：所求点与关于原点对称， 横坐标与纵坐标互为相反数， 所求点坐标为． 故选C． 【点睛】本题考查了坐标的中心对称，熟记中心对称的性质是解题关键． 3．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）一个多边形剪去一个角后得到一个新的多边形，则关于这两个多边形，下列量中一定没有发生变化的是（    ） A．内角度数 B．内角和度数 C．对角线条数 D．外角和度数 【答案】D 【分析】根据多边形外角和一定为360度即可得到答案． 【详解】解：∵一个多边形去掉一个角后得到的多边形可能边数增加，也由可能边数减小，也有可能不变， ∴内角度数，内角和度数，对角线条数都可能会发生变化， 又∵多边形外角和度数都为360度， ∴外角和度数一定不会发生变化， 故选D． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和，外角和，对角线条数等问题，熟知多边形外角和都为360度是解题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，与相邻的外角是，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和与外角，根据外角的定义，求出的度数，再根据四边形的内角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：∵与相邻的外角是， ∴， ∵在四边形中，，， ∴的度数为； 故选B． 5．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，则，即可解答． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．　 【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11， ∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12： 故选D． 【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键． 7．如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据与关于点成中心对称，即可得到，进而得到正确结论． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，故选项B不符合题意； ∴，，故选项C不符合题意； ∴， ∴，故选项D不符合题意； 而和不是对应边，不一定相等，故选项A符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查中心对称，关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．掌握中心对称的概念和性质是解题的关键．也考查了全等三角形的性质． 8．直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕着A点旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数图像上点的坐标特征求出点和点坐标，则可得到，，，然后根据第一象限点的坐标特征写出点的坐标． 【详解】解：当时，， 解得，则， ， 当时，，则， ， 由于把绕着A点旋转得到， ， ， ， 故选C．    【点睛】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握坐标与图形变化是解题的关键． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，，点在边上，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为_____________ 【答案】/100度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再由三角形内角和定理，可得，然后根据旋转的性质可得，，可证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 10．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到（点A与点对应，点B与对应）．当点A，，在同一直线上时，的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了根据旋转的性质求解，用勾股定理解三角形，解题关键是利用三角形面积有关的高． 作于点，先根据勾股定理求得，由旋转的性质可得知，，，推出，再利用三角形面积求得，最后由勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，作于点 ∵，，， ∴， 由旋转的性质可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，中，，，，把绕着点逆时针旋转得到，连接，则的长是______．    【答案】 【分析】根据旋转的性质，得，，根据勾股定理，即可求出． 【详解】∵中，，，， ∴， ∴， ∵把绕着点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转，勾股定理的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，勾股定理的运用． 12．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． 13．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，下列结论：①；②；③；④其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质，旋转的性质，证明，，后利用勾股定理解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴；， ∴， ∴， ∴ 故①④正确；②③错误； 故选：B． 14．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点到轴的距离为4，，点为轴上一点，且．将绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第79秒时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，勾股定理，根据题意利用勾股定理求得的长，再根据题意得到点的坐标每8次一循环，求出此时点的坐标即可解决问题．能根据题意发现点的坐标每8次一循环是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，点到轴的距离为4， ， 根据勾股定理可得， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， 根据将绕点顺时针旋转，每秒旋转， 当时间为第1秒时，如图，过点作交于点， ， 此时， 则， ， 当时间为第2秒时，点落在轴负半轴上，则， 当时间为第3秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第4秒时，点落在轴负半轴上，可得， 当时间为第5秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第6秒时，点落在轴正半轴上，可得， 当时间为第7秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第8秒时，点落在轴正半轴上，可得， 点的坐标为8秒一循环， ， 第79秒时点的坐标为， 故选：A 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） . 16．阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 【答案】(1)多加的外角度数为，多边形的边数为 (2)；或或 【分析】（1）设多加的外角度数为，多边形的边数为，由多边形内角和公式可得，则，再由建立不等式组求解即可； （2）由于多边形的外角和始终为，则剪完后所形成的新多边形的外角和不变；然后分三种情况求解剪完后所形成的新多边形的内角和． 【详解】（1）解：设多加的外角度数为，多边形的边数为， 由题意得，， ∴ ∵ ∴， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴ ∴多加的外角度数为，多边形的边数为； （2）解：剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为八边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为七边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为六边形，则内角和为； 综上：剪完后所形成的新多边形的内角和为或或． 17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，、． (1)画出将向左平移6个单位长度后得到的； (2)画出关于原点成中心对称的； (3)若绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为________，旋转角的度数为________°． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，180 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向左平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，可知旋转角的度数． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）如图，旋转中心为点M，可知旋转中心的坐标为， 可知均由绕点M旋转得到，即旋转角的度数为． 故答案为：，180． 18．如图，四边形中，，平分，交于G点． (1)如图1，若， ①求证：； ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于N，若的大小为，试说明：平分． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据四边形内角和得出，根据邻补角得出，根据补角的性质即可得出结论；②根据角平分线的定义结合，得出，根据得出, 根据平行线的判定得出； (2)延长交于点, 求出，证明，即可证明平分． 【详解】（1）解：①四边形中，， ， 与互为邻补角， ， ， ， ， 即：． ②， 平分平分， ， ， 在中：， ， ， ， ， ； （2）解：延长交于点M，如图所示： ， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分． 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和、角平分线的性质、邻补角关系、三角形内角和、平行线的判定、外角性质以及角度计算．解题的关键是灵活运用四边形的内角和定理及构造辅助线． 19．如图，在中，，，点D为边上的一点，将绕点C逆时针旋转得到，点B、D的对应点分别为点A、E，连接． (1)求证：． (2)当，时，求的长． (3)若取的中点F，连接，试探究线段和的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，．理由见解析 【分析】（1）由旋转可知，再根据角度的数量关系求解即可； （2）根据等腰直角三角形的性质，得出，，再结合旋转的性质，得出，利用勾股定理求出即可； （3）延长到点G，使，记和的交点为点O，证明，得到，，再根据平行和旋转的性质，证明，得到，，进而推出，即可得解． 【详解】（1）证明：由旋转可知， ， ． （2）解：，， ，， 由旋转可知，，， ， ． （3）解：，．理由如下： 如图，延长到点G，使，记和的交点为点O， 点F为的中点， ． ， ． ，， ， ． 由（1）知， ． 由旋转知，， ， ，， ， ． 20．中，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，，它们交于点． (1)求证：． (2)当，求的度数． (3)当四边形是菱形时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用旋转的性质得，，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）利用，可得，再利用， 可得，最后由可得答案； （3）利用四边形是菱形得到，，则，可判断为等腰直角三角形，得到，然后计算即可． 【详解】（1）证明：∵绕点按顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴， ，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为； （3）∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识点．解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $