专题06平行四边形判定与中位线及反证法期末复习讲义(17大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题06平行四边形判定与中位线及反证法期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记平行四边形判定定理，分清性质与判定，掌握从边、角、对角线判定的思路。 2.区分三角形中位线与中线，牢记中位线定理，理解定理推导逻辑。 3.掌握反证法的定义、证明步骤，能正确写出命题的反面假设。 1.灵活选用判定方法证明平行四边形，结合全等、平行线完成推理计算，培养逆向思维。 2.快速识别图形中的中位线，会借助中点作辅助线，掌握中点四边形相关推理。 3.熟练运用反证法证明几何命题，提升逆向逻辑思维能力。 1.轻松应对概念辨析、条件补充、计算、步骤判断等选择、填空题。 2.规范书写证明过程，保证步骤完整、格式标准，基础大题稳拿分。 3.攻克中位线、平行四边形综合题以及 “至少、至多、唯一” 类反证法考题，突破重难点。 题型01.证明四边形是平行四边形 题型02.判断能否构成平行四边形 题型03.添条件成为平行四边形 题型04.三点构造平行四边形求点坐标 题型05.全等三角形拼平行四边形 题型06.平行四边形判定与性质求解 题型07.平行四边形判定与性质证明 题型08.平行四边形性质与判定应用 题型09.平行四边形中的折叠问题 题型10.平行四边形中的动点问题 题型11.平行四边形中的最值问题 题型12.平行四边形与坐标系综合 题型13.三角形中位线求解问题 题型14.三角形中位线证明问题 题型15.三角形中位线实际应用 题型16.反证法证明中的假设 题型17.反证法证明命题 知识点01:平行四边形 核心定义 1.精准定义：两组对边分别互相平行的四边形，叫作平行四边形 本质逻辑：平行是平行四边形的源头属性，所有性质、判定都围绕 “对边平行” 延伸。 几何判定句式：∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 知识点02:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 图示 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点03:重中之重：三角形中位线 1. 概念精准区分（特色易混辨析） 三角形中位线：连接三角形两条边中点的线段； 三角形中线：连接三角形顶点与对边中点的线段；. 核心区别：中位线无顶点，中线必带顶点，一字之差完全不同。 2. 三角形中位线定理（必考核心） 文字表述：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。 双重考点：既有位置平行关系，又有数量倍数关系，一题两用。 标准几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =BC。 3. 中位线与中线的区别 中位线：连接两边中点，平行于第三边。 中线：连接顶点与对边中点，经过重心。 4.三角形中位线拓展规律 任意三角形有三条中位线，围成一个小三角形； 中位线分割：原三角形被三条中位线分成四个全等小三角形； 数值规律：小三角形周长=原三角形周长小三角形面积=原三角形面积 5.解题特色技巧 遇多个中点、线段一半、证明两直线平行题型，优先构造中位线； 中位线 + 平行四边形结合，是几何大题经典综合考法。 知识点04:反证法 1.基础认知 定义：间接证明法。先假设命题结论不成立，经过推理推出矛盾，从而证明原命题成立。 适用场景：命题含至少、至多、唯一、不可能、不存在等关键词；直接证明难度大的几何题。 2. 标准解题三步法 步骤 操作要求 关键注意事项 反设 假设原命题结论不成立 只否定结论，不改动已知条件，是解题核心 归谬 结合已知、公理、定理推理，得出矛盾 矛盾来源：与已知条件 / 定理 / 公理冲突、自相矛盾 定论 否定假设，明确原命题成立 必须书写总结论，保证格式完整 3、常见结论的反设对照表（高频易错） 原结论 正确反设（否定形式） 常见错误 相等 / 平行 / 垂直 不相等 / 不平行 / 不垂直 无 大于 小于或等于 只写 “小于” 小于 大于或等于 只写 “大于” 至少有一个 一个也没有 写成 “至多有一个” 至多有一个 至少有两个 写成 “一个也没有” 唯一 不唯一（至少两个） 写成 “不存在” 题型01.证明四边形是平行四边形 1．如图，四边形中，，点E在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 2．如图，四边形中，，对角线与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的周长为，求线段的长． 3．某数学学习小组要在的对角线上找点E，F，使四边形是平行四边形．现有甲、乙两种方案，如下表： 方案 甲 乙 作法 作和的平分线，与分别交于点E，F 作边，的垂直平分线，分别交于点E，F 图示 (1)请你选择其中一种方案，判断其是否可以得到四边形是平行四边形，若可以，写出证明过程；若不可以，请说明理由； (2)若，，求平行四边形的面积． 题型02.判断能否构成平行四边形 4．小马不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号为_____． 5．已知四边形中，交于点O，下列条件不能推导出四边形是平行四边形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 6．已知：如图，的对角线相交于点在直线上，并且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，，，求的面积．. 题型03.添条件成为平行四边形 7．如图，四边形中，交于点，添加下列选项中的一个条件，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 9．已知四边形中，与交于点O，如果只给出条件“”，那么（    ） ①再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ②再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ③再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ④再加上条件“”，四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④ 题型04.三点构造平行四边形求点坐标 10．平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 11．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． (1)与关于点成中心对称，请在图中画出； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 题型05.全等三角形拼平行四边形 13．直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 15．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 题型06.平行四边形判定与性质求解 16．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其侧面抽象成几何图形，其示意图如图2所示，已知，测得．求四边形的周长？ 17．如图，为内一点，请仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，平分，作的平分线； (2)在图2中，为任意一点，在内作线段，使平行且等于． 18．如图，在四边形中，，，为上一点，，，作交于点，取上一点，以，为邻边向上作，交于点， (1)求证：． (2)记面积为，四边形面积为， ①求与的关系式． ②连接，若为直角三角形时，求的值． 题型07.平行四边形判定与性质证明 19．如图，，是平行四边形对角线上的两点，在不作辅助线的前提下，请你添加一个适当的条件：_____，使四边形是平行四边形． 20．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 21．在四边形中，，． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，点为上一点，点为上一点，连接、，若，且．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点为的中点，点为上一点，且，连接，在上找一点，使，连接，若，且，求的长． 题型08.平行四边形性质与判定应用 22．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是______．    23．如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四角A、B、C、D处均有一棵大桃树、田村准备开挖养鱼，想使池塘的面积扩大一倍，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想?若能，画出图形，说明理由． 24．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．    (1)当点Q在线段延长线上时，用含t的代数式表示线段的长； (2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出t的值． 题型09.平行四边形中的折叠问题 25．如图，在中，点E为边AD上一点，连结BE，将沿AE折叠，使点C的对称点落在BA的延长线的点G处，点D的对称点为点F．给出下列四个结论： ①四边形AEFG是平行四边形； ②； ③四边形AEFG的周长为； ④四边形AEFG的面积为四边形BCDE的面积的2倍与的面积差． 其中，以上结论正确的序号有_________． 26．如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处．下列结论不正确的是（    ） A．是的中点 B． C．当四边形是平行四边形时， D． 27．如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 28．【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 题型10.平行四边形中的动点问题 29．如图，平行四边形中，，，，E，F分别是边，上的动点，且，则的最小值为_______． 30．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 31．如图1，在平行四边形中，，，点E是边的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线的路线向终点C运动，连结，将沿折叠，点A的对应点为．设运动时间为t秒． (1)平行四边形的面积是________； (2)当直线与垂直时，求t的值； (3)请直接写出的最小值． 题型11.平行四边形中的最值问题 32．如图，中，，，，则______，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值______． 33．如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．1 C． D． 34．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形． （1）求AB的长度； （2）重叠部分的面积为　 　； （3）将线段BC沿射线BA方向移动，平移后的线段记作B'C'，请直接写出B'F+C'F的最小值． 题型12.平行四边形与坐标系综合 35．如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，若，，点B的坐标为，则点D的坐标为______． 36．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 37．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、D两点坐标分别为，，且． (1)求A、D两点坐标； (2)点B、C是x轴上两动点（B在C左侧），且四边形是平行四边形． ①如图1，当点B在原点左侧时，过点O的直线，分别交于M，N，请直接写出三条线段之间的数量关系； 当点C在原点左侧时，________；当点C在原点右侧时，________； ②如图2，当点B、C分别在原点两侧时，连接，过点O作交于点G，连接，取中点H，在上截取，使，若，求的长． 题型13.三角形中位线求解问题 38．如图，在中，是三角形的中位线．若的周长为，则的周长为______． 39．如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 40．【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… (1)请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 (2)如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 题型14.三角形中位线证明问题 41．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝8，BC＝10，则EF＝______． 42．如图，在中，D、E、F分别是各边的中点，是高． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的度数． 43．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 题型15.三角形中位线实际应用 44．如图，A、两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、的点，找到、的中点、，并且测出的长为，则A、间的距离为________． 45．如图，某校开设了劳动实践课程，在一块三角形空地中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，则的长是（     ） A． B． C． D． 46．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 题型16.反证法证明中的假设 47．用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中___________． 48．利用反证法证明命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”，第一步应该假设：______． 49．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应假设这个三角形中（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 50．求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． (1)你会选择哪一种证明方法？ (2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？ 题型17.反证法证明命题 51．反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设__________． 52．关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是________（填序号）． 53．设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 54．已知直角三角形的三边长分别是，其中为斜边． (1)长分别为的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由； (2)小明为了证明“长分别为的三条线段不能组成一个直角三角形．”是真命题．他给出了部分思考如下，请补全他的证明过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06平行四边形判定与中位线及反证法期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记平行四边形判定定理，分清性质与判定，掌握从边、角、对角线判定的思路。 2.区分三角形中位线与中线，牢记中位线定理，理解定理推导逻辑。 3.掌握反证法的定义、证明步骤，能正确写出命题的反面假设。 1.灵活选用判定方法证明平行四边形，结合全等、平行线完成推理计算，培养逆向思维。 2.快速识别图形中的中位线，会借助中点作辅助线，掌握中点四边形相关推理。 3.熟练运用反证法证明几何命题，提升逆向逻辑思维能力。 1.轻松应对概念辨析、条件补充、计算、步骤判断等选择、填空题。 2.规范书写证明过程，保证步骤完整、格式标准，基础大题稳拿分。 3.攻克中位线、平行四边形综合题以及 “至少、至多、唯一” 类反证法考题，突破重难点。 题型01.证明四边形是平行四边形 题型02.判断能否构成平行四边形 题型03.添条件成为平行四边形 题型04.三点构造平行四边形求点坐标 题型05.全等三角形拼平行四边形 题型06.平行四边形判定与性质求解 题型07.平行四边形判定与性质证明 题型08.平行四边形性质与判定应用 题型09.平行四边形中的折叠问题 题型10.平行四边形中的动点问题 题型11.平行四边形中的最值问题 题型12.平行四边形与坐标系综合 题型13.三角形中位线求解问题 题型14.三角形中位线证明问题 题型15.三角形中位线实际应用 题型16.反证法证明中的假设 题型17.反证法证明命题 知识点01:平行四边形 核心定义 1.精准定义：两组对边分别互相平行的四边形，叫作平行四边形 本质逻辑：平行是平行四边形的源头属性，所有性质、判定都围绕 “对边平行” 延伸。 几何判定句式：∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 知识点02:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 图示 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点03:重中之重：三角形中位线 1. 概念精准区分（特色易混辨析） 三角形中位线：连接三角形两条边中点的线段； 三角形中线：连接三角形顶点与对边中点的线段；. 核心区别：中位线无顶点，中线必带顶点，一字之差完全不同。 2. 三角形中位线定理（必考核心） 文字表述：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。 双重考点：既有位置平行关系，又有数量倍数关系，一题两用。 标准几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =BC。 3. 中位线与中线的区别 中位线：连接两边中点，平行于第三边。 中线：连接顶点与对边中点，经过重心。 4.三角形中位线拓展规律 任意三角形有三条中位线，围成一个小三角形； 中位线分割：原三角形被三条中位线分成四个全等小三角形； 数值规律：小三角形周长=原三角形周长小三角形面积=原三角形面积 5.解题特色技巧 遇多个中点、线段一半、证明两直线平行题型，优先构造中位线； 中位线 + 平行四边形结合，是几何大题经典综合考法。 知识点04:反证法 1.基础认知 定义：间接证明法。先假设命题结论不成立，经过推理推出矛盾，从而证明原命题成立。 适用场景：命题含至少、至多、唯一、不可能、不存在等关键词；直接证明难度大的几何题。 2. 标准解题三步法 步骤 操作要求 关键注意事项 反设 假设原命题结论不成立 只否定结论，不改动已知条件，是解题核心 归谬 结合已知、公理、定理推理，得出矛盾 矛盾来源：与已知条件 / 定理 / 公理冲突、自相矛盾 定论 否定假设，明确原命题成立 必须书写总结论，保证格式完整 3、常见结论的反设对照表（高频易错） 原结论 正确反设（否定形式） 常见错误 相等 / 平行 / 垂直 不相等 / 不平行 / 不垂直 无 大于 小于或等于 只写 “小于” 小于 大于或等于 只写 “大于” 至少有一个 一个也没有 写成 “至多有一个” 至多有一个 至少有两个 写成 “一个也没有” 唯一 不唯一（至少两个） 写成 “不存在” 题型01.证明四边形是平行四边形 1．如图，四边形中，，点E在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理．熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）先证，再由，即可得出结论； （2）首先根据勾股定理求出，，然后利用四边形的面积代数求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴四边形的面积． 2．如图，四边形中，，对角线与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的周长为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）先由同时垂直于，推出与平行，再通过证明，得到，结合，从而证明四边形是平行四边形； （）先利用平行四边形对角线互相平分的性质，由得到；再结合周长为，得出；最后在中，通过勾股定理列方程求解，算出的长度为． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中：， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵ 平行四边形对角线互相平分，， ， ∵的周长为，即， ∴，即， 又， ∴是直角三角形， ∴由勾股定理得：，即：， 展开化简：， 解得：． 3．某数学学习小组要在的对角线上找点E，F，使四边形是平行四边形．现有甲、乙两种方案，如下表： 方案 甲 乙 作法 作和的平分线，与分别交于点E，F 作边，的垂直平分线，分别交于点E，F 图示 (1)请你选择其中一种方案，判断其是否可以得到四边形是平行四边形，若可以，写出证明过程；若不可以，请说明理由； (2)若，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可选择甲方案，由平行四边形的性质得，，，则，由角平分线的定义可得到，再通过可证明，通过全等三角形的性质得到，，进而可得到，即可证明四边形为平行四边形．另外，此题也可能选择乙方案，由垂直平分线的性质可得，，进而得到，再通过可证明，通过全等三角形的性质得到，，进而可得到，即可证明四边形为平行四边形． （2）连接交于点O，则，．由可得到，进而得到，由此可求出的面积，最后可求出平行四边形的面积 【详解】（1）解：答案一：选择甲方案，甲方案可以得到四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，，， ． 平分，平分， ，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 答案二：选择乙方案，乙方案可以得到四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，， ． 由垂直平分线的性质可得，， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． （2）解：连接交于点O，则，． ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，证明是解题的关键，还应注意本题有多种解法． 题型02.判断能否构成平行四边形 4．小马不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号为_____． 【答案】 ③④ 【详解】解：∵只有③④两块的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃． 5．已知四边形中，交于点O，下列条件不能推导出四边形是平行四边形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、∵，，即四边形两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形，A不符合题意． B、当，时，四边形可以是等腰梯形，无法判定是平行四边形，B符合题意． C、∵四边形内角和为，，， ∴， ∴，同理可得， ∴四边形是平行四边形，C不符合题意． D、∵， ∴，， 又， ∴， ∴，即四边形对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形，D不符合题意． 6．已知：如图，的对角线相交于点在直线上，并且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，，，求的面积．. 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，对角线相互平分的四边形为平行四边形，垂直定理，勾股定理 （1）根据对角线相互平分的四边形为平行四边形，即可证明． （2）根据可知为直角三角形，由勾股定理可求得，的面积可看成由两个组成，即可求得答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形． （2）解：∵，， 在中， ∵四边形是平行四边形， ∴,即 故的面积为120. 题型03.添条件成为平行四边形 7．如图，四边形中，交于点，添加下列选项中的一个条件，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：因为，所以四边形是平行四边形，则A符合题意； 因为，所以，不能说明四边形是平行四边形，则B不符合题意； 因为，所以四边形可能是等腰梯形，则C不符合题意； 因为，不能说明四边形是平行四边形，则D不符合题意． 8．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【答案】 （或或） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当添加或或时， 可证得，， ∴四边形是平行四边形． 9．已知四边形中，与交于点O，如果只给出条件“”，那么（    ） ①再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ②再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ③再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ④再加上条件“”，四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④ 【答案】C 【分析】加上，则四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，①错误；加上，得出，则四边形一定是平行四边形，②正确；加上，证出，可得，则四边形一定是平行四边形，③正确；加上，证出，可得，则四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，④错误． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵， ∴加上，则四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；①错误； ∵， ∴， 加上， ∴， ∴， ∴四边形一定是平行四边形；②正确； ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形一定是平行四边形；③正确； ∵， ∴，， 加上， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，此时四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；④错误； 综上，正确的是②和③． 题型04.三点构造平行四边形求点坐标 10．平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 【答案】 或或 【分析】本题分三种情况讨论，利用平行四边形的对边平行且相等，利用平移思想进行求解即可. 【详解】解：设已知三个顶点分别为，如图， 当以为平行四边形的一条边时，根据平行四边形的对边平行且相等， 可知，将点向左或向右移动3个单位长度，得到第四个点，分别为或； 当以为对角线时，则为平行四边形的一条边，将点先向左移动1个单位，再向下移动3个单位，得到点， 故点先向左移动1个单位，再向下移动1个单位，得到第四个点； 综上：第四个点的坐标可能为或或. 11．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． (1)与关于点成中心对称，请在图中画出； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】（1）根据两个三角形关于点成中心对称作图即可； （2）根据平行四边形的性质找点即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，点都满足题意， ∴以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是，，． 题型05.全等三角形拼平行四边形 13．直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】因为直角边不等，直角三角形三条边长度均不同，每种对应边重合可得到不同平行四边形，统计个数即可． 【详解】解：分别将两条不同直角边、斜边依次重合拼接，共得到3种不同的平行四边形，如图： ∴能拼成的不同平行四边形的个数是3． 14．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 15．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型06.平行四边形判定与性质求解 16．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其侧面抽象成几何图形，其示意图如图2所示，已知，测得．求四边形的周长？ 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定，平行线的性质，由平行线的性质得到，然后得到，然后结合，即可得到四边形是平行四边形，得出，结合，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴四边形的周长． 17．如图，为内一点，请仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，平分，作的平分线； (2)在图2中，为任意一点，在内作线段，使平行且等于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）连接交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接，则即为所求； （2）连接、于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图1所示，连接交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接，则即为所求； ∵是对角线的交点 ∴ ∴四边形是平行四边形，则 ∴ ∵平分， ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴ ∴，即是的平分线； （2）解：如图2所示，连接、于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接，则即为所求 如图，连接， 根据作图可得，， 则四边形是平行四边形， 则， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴平行且等于．则即为所求． 18．如图，在四边形中，，，为上一点，，，作交于点，取上一点，以，为邻边向上作，交于点， (1)求证：． (2)记面积为，四边形面积为， ①求与的关系式． ②连接，若为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或3 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，得出，再根据证明； （2）①延长交于点M，证明，，，为等腰直角三角形，得出，，，，求出，得出，，根据得出即可； ②分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴； （2）解：①延长交于点M，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，，，为等腰直角三角形， ∴，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴ ， ∴． ②根据勾股定理得： ， ∵， ∴， ， 根据勾股定理得： ， ， 当时，， ∴， 解得：或（舍去）， ， ∴； 当时，， ∴， 解得：， ， ∴； 当时，， ∴， 解得：， 此时，不符合题意舍去； 综上分析可知：或3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，解一元二次方程，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 题型07.平行四边形判定与性质证明 19．如图，，是平行四边形对角线上的两点，在不作辅助线的前提下，请你添加一个适当的条件：_____，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解答本题的关键．添加一个条件：，根据证明得，同理可证，从而可证四边形是平行四边形． 【详解】解：可添加条件：（答案不唯一）． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可证： ∴ ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 20．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，，，推出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， 四边形为平行四边形， ，，，不能得到， 故选：C． 21．在四边形中，，． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，点为上一点，点为上一点，连接、，若，且．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点为的中点，点为上一点，且，连接，在上找一点，使，连接，若，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)的长为． 【分析】（1）由可得，由，可得，即，进而结论得证； （2）由，，得到，由，得到，即，再根据，得到，即可得出结论； （3）由（2）知，即，如图3，连接并延长，交的延长线于，由平行四边形的性质可得，证明，则，，为的中点，可得，则，由，可得，，根据，，求得，如图3，作，交的延长线于，过作交于，证明，则，，根据，，可得，即，设，则，，，，由勾股定理得，则， ，再由勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，即， 如图3，连接并延长，交的延长线于， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∵为中点， ， ，，， ， ， ， ∴为的中点， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3，作，交的延长线于，过作交于， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， 设，则， ， ， ， 由勾股定理得，，即 ， 解得（舍去），或， ， ， 由勾股定理得， ， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型08.平行四边形性质与判定应用 22．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是______．    【答案】①④/④① 【分析】根据平行四边形的判定和性质即可判断． 【详解】解：两组对边的长度分别相等， 四边形是平行四边形，故①正确， 向右扭动框架， 的长度变大，故②错误， 平行四边形的底不变，高变小了， 平行四边形的面积变小，故③错误， 平行四边形的四条边不变， 四边形的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故答案为：①④ 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用平行四边形的性质． 23．如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四角A、B、C、D处均有一棵大桃树、田村准备开挖养鱼，想使池塘的面积扩大一倍，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想?若能，画出图形，说明理由． 【答案】见解析 【分析】连接AC、BD，分别过A、B、C、D作BD、AC的两条平行线，相交于E、F、G、H，平行四边形EFGH即为所求． 【详解】解：能，如图所示，平行四边形EFGH即为所求： 理由如下： ∵EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， ∵EF∥AC，HG∥AC， ∴EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 四边形EBDH和BFGD都是平行四边形， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理和性质定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 24．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．    (1)当点Q在线段延长线上时，用含t的代数式表示线段的长； (2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出t的值． 【答案】(1) (2)存在，当的值为时；与互相平分 (3)2或8 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质及勾股定理即可解答． （2）连接、，根据题意得到四边形是平行四边形，，列式求解即可． （3）分两种情况∶①当点P关于直线对称的点恰好落在点A下方时；②当点P关于直线对称的点恰好落在点A上方时，根据平行四边形的性质即可解答 【详解】（1）解： 四边形是平行四边形， ， ， ， 当点在线段延长线上时， （2）存在，理由如下： 如图1，连接、，   与互相平分，则四边形是平行四边形， ， ， 解得：， 当t的值为时；与互相平分； （3）分两种情况： ①当点P关于直线对称的点恰好落在点A下方时，如图2，    由对称的性质得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即，解得：； ②当点P关于直线对称的点恰好落在点A上方时，如图3，    由对称的性质得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即，解得：； 综上所述，t的值为2或8． 题型09.平行四边形中的折叠问题 25．如图，在中，点E为边AD上一点，连结BE，将沿AE折叠，使点C的对称点落在BA的延长线的点G处，点D的对称点为点F．给出下列四个结论： ①四边形AEFG是平行四边形； ②； ③四边形AEFG的周长为； ④四边形AEFG的面积为四边形BCDE的面积的2倍与的面积差． 其中，以上结论正确的序号有_________． 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行四边形的判定和性质．②由折叠的性质得，根据得，由此可对结论②进行判断；①由折叠的性质得，，根据平行四边形性质得，，进而得，，由此得，，由此可对结论①正确；③由折叠的性质得，则，进而得四边形的周长为，由此可对结论③进行判断；④延长交于H，证明四边形是平行四边形，设，，由折叠性质得，则，，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：②由折叠的性质得：， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； 由折叠的性质得：，， 在平行四边形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论①正确； 由折叠的性质得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形的周长为：， 当时，四边形的周长为， 即四边形是菱形时，四边形的周长为， 故结论③不正确； 延长交于点H，如图所示： ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 设，， 由折叠性质得：， ∴，， ∴， ∴，故结论④正确， 综上所述：结论正确的序号有①②④． 故答案为：①②④． 26．如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处．下列结论不正确的是（    ） A．是的中点 B． C．当四边形是平行四边形时， D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质可得DM＝MN，CM＝MN，即M是CD的中点；故①正确；∠B＝∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠PAB，∠DMA＝∠AMN，∠CMP＝∠PMN，∠D＝∠ANM，∠C＝∠MNP，由平角的性质可得∠D+∠C＝180°，∠AMP＝90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝90°，由平行四边形和折叠的性质可得AN＝PN，由直角三角形的性质可得AB＝PB＝MN． 【详解】解：由折叠的性质可得：DM＝MN，CM＝MN， ∴DM＝CM， 即M是CD的中点；故A正确； 由折叠的性质可得：∠B＝∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠PAB，∠DMA＝∠AMN，∠CMP＝∠PMN，∠D＝∠ANM，∠C＝∠MNP， ∵∠MNA+∠MNP＝180°， ∴∠D+∠C＝180°， ∴AD∥BC，故D正确； ∴∠B+∠DAB＝180°， ∵∠DMN+∠CMN＝180°， ∴∠DMA+∠CMP＝90°， ∴∠AMP＝90°， ∴∠B＝∠AMP＝90°， ∴∠DAB＝90°， 若MN⊥AP， 则∠ADM＝∠MNA＝∠C＝90°， 则四边形ABCD为矩形及AB∥CD，而题目中无条件证明此结论，故B不正确； ∵∠DAB＝90°， ∴∠DAM＝∠MAP＝∠PAB＝30°， 由折叠的性质可得：AD＝AN，CP＝PN， ∵四边形APCD是平行四边形， ∴AD＝PC， ∴AN＝PN， 又∵∠AMP＝90°， ∴MN＝AP， ∵∠PAB＝30°，∠B＝90°， ∴PB＝AP， ∴PB＝MN ∴AB＝PB＝MN，故C正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质及直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点并灵活运用这些性质是解题的关键． 27．如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数即可. 【详解】解：∵将沿对角线翻折， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 28．【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案； （2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论； （3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）解：由折叠可知：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 如图所示，延长交于点，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型10.平行四边形中的动点问题 29．如图，平行四边形中，，，，E，F分别是边，上的动点，且，则的最小值为_______． 【答案】7 【分析】延长，截取，连接，，过点A作于点H，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长，截取，连接，，过点A作于点H，如图所示： ∵四边形为平行四边形，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即的最小值为7． 30．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，设与交于点，则为中点，，当时，最小，即最小，然后通过勾股定理即可求解 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为边上一动点， ∴当时，的值最小，此时的值最小，如图 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 31．如图1，在平行四边形中，，，点E是边的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线的路线向终点C运动，连结，将沿折叠，点A的对应点为．设运动时间为t秒． (1)平行四边形的面积是________； (2)当直线与垂直时，求t的值； (3)请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，正确画出图形并掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）过点D作于点H易得、，再根据平行四边形面积公式求解即可； （2）分点P在上和点P在上，分别根据折叠性质、平行四边形的性质以及一元一次方程求解即可； （3）根据轴对称的性质得出，则点的运动轨迹是以点E为圆心，以4为半径的圆，则当E，，C三点共线时，的值最小，然后再求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴平行四边形的面积． （2）解：当点P在上时，过P作于点G，交于点T，与交于点R， ∵点E是边的中点， ∴， ∵将沿折叠，点A的对应点为． ∴， ∴， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当点P在上时，延长交于点N，过点A作于点M，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由折叠性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 综上，或． （3）解：最小值为． 点的运动轨迹是以点E为圆心，以4为半径的圆， ∴E，，C三点共线时，的值最小， 如图：连接，由（2）可知，， ∵点A和点关于对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为． 题型11.平行四边形中的最值问题 32．如图，中，，，，则______，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值______． 【答案】 5 【分析】根据勾股定理可得的长，设与交于点，过点作，由题意易得，要使的值为最小，则需满足的值也为最小，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的值为最小，即为的长，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设与交于点，过点作，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， 要使的值为最小，则需满足的值也为最小，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的值为最小，即为的长， 连接，设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：；在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 33．如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】取的中点M，连接、、，作于N，先求出的最大值为最小值为，再求出的最大值与最小值的差为即可． 【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据题意，得的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 34．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形． （1）求AB的长度； （2）重叠部分的面积为　 　； （3）将线段BC沿射线BA方向移动，平移后的线段记作B'C'，请直接写出B'F+C'F的最小值． 【答案】（1）12cm；（2）cm2；（3） 【分析】（1）证明A，D，F共线，△ABF是等边三角形即可解决问题． （2）根据S△DEB=S△DCB求解即可． （3）首先判定四边形ADC′B′是平行四边形，得到C′F=B′D，作点D关于AB的对称点D′，可判断当F，B′，D′共线时，C′F+B′F最短，即为DF′，过F作FH⊥DG，垂足为H，在△D′HF中利用勾股定理求出D′F的长即可． 【详解】解：（1）∵△BCE是等边三角形， ∴∠C=60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C=60°，CD∥AB， ∴∠EDB=∠DBA， 由翻折可知，∠ABD=∠DBF， ∴∠EDB=∠EBD， ∴ED=EB=EC， ∴∠DCB=90°， ∵AD∥BC， ∴BD⊥AF， ∴A，D，F共线，AD=DF=6cm， ∵BA=BF，∠A=60°， ∴△ABF是等边三角形， ∴AB=AF=12cm； （2）∵∠DBC=90°，BC=AD=6cm，∠C=60°， ∴BD=BC=cm， ∵DE=EC， ∴S△DEB=S△DCB=××6×=cm2； （3）由平移可知：BC=B′C′，BC∥B′C′， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴AD=B′C′，AD∥B′C′， ∴四边形ADC′B′是平行四边形， ∴C′F=B′D， 作点D关于AB的对称点D′， 则B′D=B′D′，即C′F+B′F=B′D′+B′F， 当F，B′，D′共线时，C′F+B′F最短，即为DF′， ∵△ABF是等边三角形， ∴∠A=60°， ∴AG=3，DG===D′G， 过F作FH⊥DG，垂足为H，同理可求：GH=， ∴HD′=HG+D′G=， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠FDE=∠F=60°， ∴HF=DF=3， ∴D′F==，即C′F+B′F的最小值为． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质，翻折变换，最短路径，等边三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半． 题型12.平行四边形与坐标系综合 35．如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，若，，点B的坐标为，则点D的坐标为______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长度，构造直角三角形，利用已知点的坐标点和勾股定理求出点的坐标，再利用平行四边形的性质证三角形全等，从而求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形，， 在中，， 如图所示，分别过点向作垂线，垂足分别为， 则， ， ∵点B的坐标为， ∴， 在中，， 在和中，， ∴，， 又∵点D在第二象限， ∴点D的坐标为． 36．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，利用平行四边形对边平行的性质及角平分线定义可证为等腰三角形，从而得到，利用勾股定理求出的长，结合点坐标即可求出点坐标． 【详解】解：由作图步骤可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在边上，且轴， ∴点的纵坐标为， 又∵点的横坐标为，点在点右侧， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 37．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、D两点坐标分别为，，且． (1)求A、D两点坐标； (2)点B、C是x轴上两动点（B在C左侧），且四边形是平行四边形． ①如图1，当点B在原点左侧时，过点O的直线，分别交于M，N，请直接写出三条线段之间的数量关系； 当点C在原点左侧时，________；当点C在原点右侧时，________； ②如图2，当点B、C分别在原点两侧时，连接，过点O作交于点G，连接，取中点H，在上截取，使，若，求的长． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查四边形综合，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组等知识，作辅助线构造直角三角形或全等三角形或平行四边形是解题关键． （1）根据二次根式有意义的条件得到一元一次不等式组，求出，进而得到，即可得出、两点坐标； （2）①分两种情况讨论：当点在原点右侧时，过点作 交延长线于点，首先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明 ，得到，即可得出数量关系；当点在原点左侧时，过点作 交于点，同理求证即可． ②解法一：延长、交于点，由（1）知，，得到，，，再用勾股定理计算，然后得出，，从而，，即可得到． 解法二：连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，证明，得到 ，，再根据等腰直角三角形的性质，证明，， ，从而推出是等腰直角三角形，然后证明，得到 ，即可求解． 解法三：过点作，交于点，交于点，连接，证明四边形是平行四边形，再证明A，H，M三点共线，则，证明△AOD是等腰直角三角形，得到∠ADO=∠AOD=45°，因此∠GON=∠GOB=45°，根据定理得到的长，得出的坐标为，，在中，，则. 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴，； （2）解：① 或 ．理由如下： 当点在原点右侧时，过点作 交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ； 当点在原点左侧时，过点作 交于点， 同理可证，四边形是平行四边形，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 即 ． 综上，、、之间的数量关系为： 或 ． ②解法一：延长、交于点， 由（1）知，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为中点， ∴． 解法二：连接，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∵是的中点， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ，， ∵，， ∴ ， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴ ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ， ∵ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴． 解法三：过点作，交于点，交于点，连接， 则四边形是平行四边形， 又为的中点，为对角线， ∴为平行四边形的对角线，即，，三点共线， ∴， ∵，， ∴ ， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 又， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴， 在中， ， ∴. 题型13.三角形中位线求解问题 38．如图，在中，是三角形的中位线．若的周长为，则的周长为______． 【答案】36 【分析】根据三角形的中位线定理得到，，，进而可知的周长． 【详解】解：∵是三角形的中位线， ∴，D为中点，E为中点， ∴， ∴的周长的周长， ∴的周长． 39．如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由所给条件可证明四边形是平行四边形，再由可推得，，在中，，，推得． 【详解】解：，点，分别为，的中点，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 40．【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… (1)请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 (2)如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 【答案】(1)；，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证和全等，再说明是的中位线．利用三角形中位线定理得出结论； （2）先根据梯形面积求解得到的值，再由梯形中位线求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：连接并延长，交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． （2）解：梯形的面积为，高为， ∴ ∴ 则梯形的中位线． 题型14.三角形中位线证明问题 41．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝8，BC＝10，则EF＝______． 【答案】1 【分析】根据三角形的中位线得DE=BC=5，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF=AB=4，进而可求解． 【详解】解：∵DE为△ABC的中位线，BC=10， ∴DE=BC=5， ∵∠AFB＝90°，D为AB的中点，AB＝8， ∴DF=AB=4， ∴EF=DE-DF=5-4=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查三角形的中位线性质、直角三角形斜边的中线性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答的关键． 42．如图，在中，D、E、F分别是各边的中点，是高． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，等边对等角等等，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据线段中点的定义和三角形中位线定理得到，由此即可证明四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质得到，由直角三角形斜边上的中线的性质得到，则，同理，由此可得． 【详解】（1）证明：∵在中，D、E、F分别是各边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵是高，即，D是的中点， ∴， ∴， 同理， ∴． 43．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)与互相平分，证明见解析 【分析】（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论； 选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，； （2）直接根据中位线性质进行求解即可； （3）连接，，证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：选择方法一： 如图，延长到点F，使，连接，，， ∵E是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，且； 选择方法二： 如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； （2）解：∵D、E分别为，的中点， ∴， ∵的长度为12米， ∴米； （3）解：与互相平分；理由如下： 如图，连接，， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴D、E、F分别是、、的中点， ∴，且， 又， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 题型15.三角形中位线实际应用 44．如图，A、两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、的点，找到、的中点、，并且测出的长为，则A、间的距离为________． 【答案】150 【分析】D、E是和的中点，则是的中位线，则依据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵D，E分别是和的中点， ． 45．如图，某校开设了劳动实践课程，在一块三角形空地中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】标记各个顶点，由题意可得，是的中位线，根据中位线的性质求解即可． 【详解】解：如图，标记各个顶点， 由题意可得，为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴，D选项符合． 46．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 题型16.反证法证明中的假设 47．用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中___________． 【答案】至少有两个内角为钝角 【分析】根据反证法的定义，证明命题时需先假设命题结论不成立，只需找出原结论的反面即可. 【详解】解：原命题的结论为“一个三角形中至多有一个内角为钝角”，“至多有一个”的反面为“至少有两个”，因此用反证法证明时，应假设这个三角形中至少有两个内角为钝角. 48．利用反证法证明命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”，第一步应该假设：______． 【答案】这两条直线不平行 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的第一步是假设原命题的结论不成立即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由原命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”的结论是“两条直线互相平行”， 因此反证法第一步应假设结论不成立，即“这两条直线不平行”， 故答案为：这两条直线不平行． 49．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应假设这个三角形中（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【答案】B 【详解】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应假设这个三角形中每一个内角都小于． 50．求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． (1)你会选择哪一种证明方法？ (2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？ 【答案】(1)反证法 (2)答案见解析 【分析】根据题意，画出图形，结合图形写出已知和求证，再运用反证法证明． 【详解】（1）解：反证法； （2）如下图，直线， 求证： 证明：假设与不平行，则直线与相交， 设它们的交点为P，于是经过点P就有两条直线都和直线平行， 这就与“经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾， 所以假设不能成立，故． 【点睛】本题考查了反证法，解题的关键是掌握反证法的步骤，假设命题的结论不成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可． 题型17.反证法证明命题 51．反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设__________． 【答案】的三个内角都小于 【分析】本题主要考查的是反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键． 用反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，故需先确定命题的结论；分析命题可知其结论为“三角形中至少有一个内角大于或等于”，结合上述分析，只需假设原命题的反命题成立，即假设三个内角都小于． 【详解】解：反证法证明时，首先假设结论不成立，即假设“的三个内角都小于”，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题“至少有一个内角大于或等于”成立． 故答案为：的三个内角都小于． 52．关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是________（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据反证法，可证明①②④正确，通过举反例，可证明③错误． 【详解】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以①正确； ②若三角形的三个内角最少有2个直角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以②正确； ③因为三角形的三个内角可以都等于，所以③错误； ④若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以④正确． 故答案为：③． 53．设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 【答案】A 【分析】当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数，此时必定不满足，据此可判断A；根据可判断B、C、D． 【详解】解：当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数， ∴是偶数， ∴此时一定不满足， ∴不可能都是奇数，故A结论正确，符合题意； ∵，满足，本例中都是偶数，是偶数， ∴可能都是偶数，故B、C、D结论都错误，不符合题意； 54．已知直角三角形的三边长分别是，其中为斜边． (1)长分别为的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由； (2)小明为了证明“长分别为的三条线段不能组成一个直角三角形．”是真命题．他给出了部分思考如下，请补全他的证明过程． 【答案】(1)能，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，反证法等知识点． （1）由勾股定理得到，再由勾股定理逆定理证明即可； （2）利用反证法求解即可． 【详解】（1）解：长分别为的三条线段能组成一个直角三角形，理由如下： ∵直角三角形的三边长分别是，其中为斜边， ∴， ∴， ∴长分别为的三条线段能组成一个直角三角形，长为的边是斜边； （2）解：假设长分别为的三条线段能组成一个直角三角形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，与矛盾， ∴假设不成立， ∴长分别为的三条线段不能组成一个直角三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $