期末考试必考题型（二）——方程组与不等式的实际应用（2大考点10类题型）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

**基本信息** 聚焦方程组与不等式实际应用，以“知识回顾+题型精析”构建系统训练，提炼解题步骤与题型方法，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二元一次方程组应用|5题型×6题|审设列解验答六步法，行程/工程等题型等量关系建模|从解题步骤到5类经典题型，形成“概念-方法-应用”链条| |一元一次不等式（组）应用|3题型×6题|找不等关系七步法，分配/方案题型整数解处理|以不等关系为核心，衔接分配、方案选择等实际场景| |综合应用|2题型×6题|方程组与不等式结合，方案优化与利润最值求解|融合前两模块方法，提升复杂问题解决能力|

期末考试必考题型（二）——方程组与不等式的实际应用（2大考点10类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】二元一次方程组实际应用 1 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 2 二.必考题型精析 2 【考点一】二元一次方程组实际应用 2 【题型 1】 行程问题（6题） 2 【题型 2】 工程问题（6题） 6 【题型 3】 和差倍分问题（6题） 10 【题型 4】 配套问题（6题） 15 【题型 5】 利润与营销问题（6题） 18 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 22 【题型 6】分配问题（6题） 22 【题型 7】方案选择问题（6题） 26 【题型 8】营销与利润问题（6题） 31 【考点三】二元一次方程组与一元一次不等式（组）实际应用综合 34 【题型 9】方案问题（6题） 34 【题型 10】营销与利润问题（6题） 41 一.必考点知识回顾 【考点一】二元一次方程组实际应用 1、 解题通用步骤： （1）审：审题，找已知量、未知量；（2）设：设未知数；（3）列：根据等量关系列方程组；（4）解：解方程组；（5）验：检验结果合理性；（6）答：规范作答。 2、高频经典题型 （1）和差倍分问题：利用数量之间和、差、倍数关系列式； （2）行程问题：相遇、追及、航行问题（路程 = 速度 × 时间）； （3）工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，常设总工作量为1； （4）配套问题：根据部件配比关系建立等量关系； （5）利润与计费问题：结合单价、数量、总价、分段收费列式。 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 1、解题通用步骤： （1）审题；（2）设未知数；（3）找不等关系；（4）列不等式（组）；（5）求解集；（6）结合实际取值（整数、正数等）；（7）确定方案，作答。 2、高频经典题型 （1）分配问题：物资、人员分配，结合数量限制列不等式； （2）方案选择问题：多套方案对比，求取最优方案； （3）最值问题：求最大量、最小量取值； （4）限额类问题：总量不超过、不少于某一数值类题型； 特别提示：注意实际问题中，人数、物品数、次数等必须取非负整数。 二.必考题型精析 【考点一】二元一次方程组实际应用 【题型 1】 行程问题（6题） 1．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度（单位∶ ） 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 【答案】A 【分析】设甲的速度是，乙的速度是，根据追及问题和相遇问题列二元一次方程组求解即可． 解：设甲的速度是，乙的速度是， 由题意可得：，解得：． ∴甲的速度是，乙的速度是，即A选项符合题意． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是________，动车组的速度是________． 【答案】 90千米/时 180千米/时 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，掌握追及问题和相遇问题的公式，以及根据路程=速度×时间建立方程组的方法是解题的关键． 同向而行时，相对速度为两车速度之差，路程为两车长度之和；相向而行时，相对速度为两车速度之和，路程同样为两车长度之和．根据这两个等量关系建立二元一次方程组，求解两车速度． 解：设普通列车速度为米/秒，动车组速度为米/秒， 两车总长度为：米， 相对速度为，时间秒：， 时间为​秒秒，相对速度为：， 即 ​解得： 因此：普通列车速度：米/秒，动车组速度：米/秒． 米/秒千米/小时，米/秒千米/小时， 故答案为：千米/时；千米/时． 3．（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． （1）两人每小时分别行进多少千米？ （2）相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】（1）李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米；（2）相遇后经过刘伟到达A地 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据路程速度时间解答即可． 解：（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·月考）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： （1）两车的速度分别是多少？ （2）若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 【答案】（1）快车、慢车的速度分别为；（2）1小时或者3小时 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次方程的应用； （1）设快车、慢车的速度分别为根据题意列出方程组，方程组即可求解． （2）设时间为小时，根据相距100千米，分情况讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 解：（1）解：设快车、慢车的速度分别为则由题意，得 解得 答：快车、慢车的速度分别为． （2）设解：时间为小时，则由题意，得 或 解得或 答：两车相向而行，1小时或者3小时可以相距． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙在的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过两人第一次相遇． （1）求甲，乙两人的速度； （2）甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发后甲追上丙，出发后乙追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？ 【答案】（1）甲，乙两人的速度分别是；（2）出发时丙在甲，乙前面，丙的速度是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意找到等量关系是解题的关键． （1）设甲，乙两人的速度分别为：，；反向而行，两人相遇时所走的路程之和为400米；同向而行，两人相遇时甲比乙多走400米，据此列出方程组求解即可； （2）设丙在甲乙前方，丙的速度是，根据题意列方程组即可得到结论． 解：（1）解：设甲，乙两人的速度分别为：，； 根据题意得，， 解得：， 答：甲，乙两人的速度分别为：； （2）解：设丙在甲乙前方，丙的速度是， 根据题意得，， 解得：， 答：丙在甲乙前方，丙的速度是． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要． （1）小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？ （2）求的长度． 【答案】（1）；（2）的长度分别是 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用； （1）根据路程除以速度等于时间列式计算即可； （2）设的长度是的长度是，根据题意列出二元一次方程组计算求解即可． 解：（1）解： ． 故小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要． （2）解：∵骑行一圈需要，沿骑行需要， ∴沿骑行需要． 又∵沿骑行需要， ∴沿骑行需要． 设的长度是的长度是． 根据题意，得， 解得， 故的长度分别是． 【题型 2】 工程问题（6题） 1．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段检测）“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天，有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 解：设这几天中x天晴天，有y天雨天， 根据题意得， 解得 ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 2．（2025七年级上·广东湛江·专题练习）甲乙两个工程队分别负责两项工作量相同的工程．晴天，甲完成工程要天，乙完成工程要天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工，在施工期间，下雨天的天数与晴天的天数之比是_____．下雨天的天数是_____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，先求出晴天和雨天时甲、乙的工作效率，然后根据两队同时完工，工作量相同，列出方程求解晴天和雨天的天数，再求比例和具体天数． 解：由题可得：晴天时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 雨天时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设晴天天数为，雨天天数为， 得：， 得：， 得：， 解得：， 将代入中得：， ∴下雨天天数与晴天天数之比为，下雨天天数为． 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． （1）根据题意列出方程组； （2）求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【答案】（1）；（2）原计划42天完成，废铜总数为5400吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、 列出方程组是解题的关键． （1）根据等量关系“每天处理150吨，可提前6天完成”和“每天处理120吨，将延误3天完成”列出方程组即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 解：（1）解：设原计划天完成，这批废铜共有吨， 由每天处理150吨，可提前6天完成，则；每天处理120吨，将延误3天完成，则； 所以． （2）解：， 可得：，解得：， 将代入①可得：吨． 答：原计划42天完成，废铜总数为5400吨． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【答案】订货量是套，要求完成的期限是天 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据 “原进度的工作量” 和 “改进后进度的工作量” 两个等量关系，设未知数并列方程组求解． 设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程，根据改进后生产情况可得方程，解方程组即可． 解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 5．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： （1）甲、乙两队每天费用各为多少？ （2）若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】（1）甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元；（2）乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 解：（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 6．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． （1）求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； （2）“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 【答案】（1）甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹；（2）甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 【分析】（1）设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据“若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹”列出方程组，求解即可； （2）设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时，根据“甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件”列出方程，求解即可． 解：（1）解：设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹， 根据题意得， 解得， 答：甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； （2）解：设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时， 根据题意得 ，且， 解得，，，， 答：甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 【题型 3】 和差倍分问题（6题） 1．（2026·甘肃·模拟预测）甘肃省定西市是“中国马铃薯之乡”．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯吨．今年采用新技术，甲基地增产，乙基地增产，两基地总产量达到吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为吨，乙基地为吨，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，增长率问题的列式，找到等量关系是解题关键． 根据去年总产量吨列第一方程，再由今年增产比例和总产量吨列第二方程，据此进行判断即可． 解：∵去年甲产量吨，乙产量吨，总产量吨， ∴， ∵今年甲增产，即产量为吨，乙增产，即产量为吨，总产量吨， ∴， ∴方程组为． 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 □ □ 8 求捐款40元的有_______名同学，捐款50元的有_____名同学． 【答案】 10 12 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y，根据总人数为40和总捐款为2000元，列出方程组并求解． 解：设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y， 由题意，捐款20元的有10人，捐款100元的有8人，则捐款40元和50元的人数为人，即； 总捐款方程为，化简得， 解方程组得， ∴捐款40元的有10名同学，捐款50元的有12名同学， 故答案为：10，12． 3．（2026·安徽蚌埠·二模）2025年安徽推进千亿斤粮食产能提升行动，某产粮大县种植甲、乙两种优质水稻．2024年该县甲、乙两种水稻总产量为1200吨；2025年该县甲种水稻产量增长20%，乙种水稻产量增长15%，总产量达1410吨． （1）求2024年该县甲、乙两种水稻的产量； （2）求2025年该县甲、乙两种水稻各自的增产量． 【答案】（1）2024年该县甲种水稻的产量为600吨，乙种水稻的产量为600吨；（2）2025年该县甲种水稻增产量为120吨，乙种水稻增产量为90吨 【分析】（1）设2024年甲种水稻产量为吨，乙种水稻产量为吨，根据题意列二元一次方程组进行求解即可； （2）根据增长率计算增长量即可． 解：（1）解：设2024年甲种水稻产量为吨，乙种水稻产量为吨， 根据题意，得 解得 答：2024年该县甲种水稻的产量为600吨，乙种水稻的产量为600吨． （2）甲种水稻的增产量：（吨）， 乙种水稻的增产量：（吨）． 答：2025年该县甲种水稻增产量为120吨，乙种水稻增产量为90吨． 4．（25-26七年级下·浙江·期中）浙（浙江篮球地区联赛）联赛现在家喻户晓，某长兴工厂计划制作两款长兴球队吉祥物玩具．已知生产每件甲款纪念玩具需要4米面料、2千克辅料，生产每件乙款纪念玩具需要3米面料、1千克辅料．现有面料1080米、辅料440千克． （1）甲、乙两款玩具各生产多少件，恰好使两种原材料全部用完？ （2）某直营店根据市场调研情况，决定每件甲款玩具售价190元，每件乙款玩具售价80元．现该店计划从该厂采购一批玩具（两种玩具都要采购），全部售出后总销售额为3600元，请帮助设计采购方案． 【答案】（1）生产甲款纪念玩具120件，乙款纪念玩具200件；（2）共有两种采购方案：甲款8件，乙款26件；甲款16件，乙款7件 【分析】（1）设生产甲款纪念玩具x件，乙款纪念玩具y件，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设采购甲款纪念玩具a件，乙款纪念玩具b件，根据题意，列出方程求出正整数解即可. 解：（1）解：设生产甲款纪念玩具x件，乙款纪念玩具y件， 由题意，得，                       解得；                         答：生产甲款纪念玩具120件，乙款纪念玩具200件； （2）解：设采购甲款纪念玩具a件，乙款纪念玩具b件， 由题意，得：，                    ∴， ∵均为正整数，     或 ∴共有两种采购方案：甲款8件，乙款26件；甲款16件，乙款7件. 5．（2026·重庆·二模）列方程解下列问题： 随着机器人技术的飞速发展，智能机器人在我们的生产生活中发挥着越来越重要的作用．某工厂引入A、B两种类型的智能搬运机器人共同完成仓库货物的搬运任务．已知1台A型机器人和2台B型机器人每小时一共可搬运货物300箱，每台A型机器人比每台B型机器人每小时多搬运货物30箱． （1）求每台A型机器人和B型机器人每小时分别搬运多少箱货物； （2）工厂仓库现有3240箱货物需要紧急搬运，计划安排A、B两种共15台机器人共同完成搬运任务．当所有机器人同时开始到同时完成搬运任务时，所有A型机器人搬运的货物量是仓库货物总量的，则机器人完成这次搬运任务用了多少小时？ 【答案】（1）每台A型机器人每小时搬运120箱，每台B型机器人每小时搬运90箱；（2）机器人完成这次搬运任务用了2小时 【分析】（1）设每台型机器人每小时搬运箱货物，每台型机器人每小时搬运箱货物，列出二元一次方程组，即可得到答案； （2）设安排型机器人台，则安排型机器人台，搬运时间为小时，根据A、B两种机器人搬运的货物量分别列出方程，联立方程组求解即可得到答案． 解：（1）解：设每台型机器人每小时搬运箱货物，每台型机器人每小时搬运箱货物， ， 解得， 答：每台A型机器人每小时搬运120箱，每台B型机器人每小时搬运90箱； （2）解：设安排型机器人台，则安排型机器人台，搬运时间为小时， ， 解得， 答：机器人完成这次搬运任务用了2小时． 6．（2026·江西九江·二模）某校利用体育大课间抽查七年级学生体育项目练习情况，共进行了两次抽查（每名学生只抽查一个项目），两次抽查合格率相同，跳绳为，排球为．第一次抽查跳绳和排球共44人合格，第二次抽查跳绳和排球共100人合格，且第二次抽查跳绳的人数是第一次抽查跳绳人数的2倍，第二次抽查排球的人数是第一次抽查排球人数的3倍． （1）求学校第一次抽查的学生总人数． （2）若八年级进行了一次跳绳抽查，跳绳的合格人数与七年级两次抽查的跳绳合格总人数相同，且合格率为，求八年级跳绳抽查的学生人数． 【答案】（1）学校第一次共抽查了56名学生；（2）八年级跳绳抽查了100名学生 【分析】（1）设第一次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为，则第二次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）由（1）可知七年级跳绳抽查合格的总人数为，设八年级抽查了名学生，依题意得，进而求解即可． 解：（1）解：设第一次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为，则第二次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为． 依题意得，解得， ∴（名）． 答：学校第一次共抽查了56名学生． （2）解：由（1）可知，第一次抽查跳绳的人数为40，第二次抽查跳绳的人数为80， ∴七年级跳绳抽查合格的总人数为． 设八年级抽查了名学生， 依题意得，解得． 答：八年级跳绳抽查了100名学生． 【题型 4】 配套问题（6题） 1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组． 根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 解：已知用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，布料总长度为128米，所以， 每米布料可做2个玩偶，则米布料可做个玩偶；每米布料可做3个玩偶，则米布料可做个玩偶， 因为一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶，要恰好配套，则玩偶的数量是玩偶的数量的2倍，即，化简得， 所以可列方程组， 故选：A． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，根据题意可知，灯身的个数灯座的个数；制作灯身的特殊材料板张数制作灯座的特殊材料板张数，列方程组求解即可． 解：用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套， 根据题意：即． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·山东东营·期中）某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【答案】每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套 【分析】设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，根据题意列出方程组解答即可求解． 解：设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮， 由题意得，， 解得， 答：每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件．已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件为一套．如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套？ 【答案】生产甲种零件需275人，生产乙种零件需385人 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设生产甲种零件需x人，生产乙种零件需y人，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 解：设生产甲种零件需x人，生产乙种零件需y人， 根据题意，得，解得 答：生产甲种零件需275人，生产乙种零件需385人． 5．（24-25八年级上·江西抚州·期末）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． （1）求大、小两种垃圾桶的单价； （2）该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？ 【答案】（1）大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元；（2）3360元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，根据“购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元”列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）利用总价、单价、数量列式计算即可． 解：（1）解：设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元， 根据题意得：，解得： 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元． （2）解：根据题意得：元 答：该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需3360元． 6．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． （1）应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； （2）为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】（1）生产镜架10人，生产镜片12人；（2）6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 解：（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 【题型 5】 利润与营销问题（6题） 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，根据销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 解：设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元， 由题意得： 解得： 故调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元． 故选：C． 2．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）清北文具店有铅笔和圆珠笔，小明如果购买2支铅笔和3支圆珠笔他带的钱差3元，如果购买3支铅笔和2支圆珠笔他带的钱会剩下3元，若他只购买5支铅笔，则他会剩下___________元． 【答案】15 【分析】设出铅笔单价、圆珠笔单价和小明携带的总钱数，根据题意列出方程组，通过消元变形即可得到所求剩余钱数． 解：设支铅笔的单价为元，支圆珠笔的单价为元，小明携带的总钱数为元，根据题意列方程组得 得 ， 整理得， 将代入得 ， 展开整理得 ， 移项得 ， 所以，还剩下15元． 3．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）某超市投入17600元的资金购进甲、乙两种饮料共700箱，饮料的成本和售价如表所示： 类别单价 成本 售价 甲 元箱 元箱 乙 元箱 元箱 （1）该超市购进甲、乙两种饮料各多少箱？ （2）全部售完700箱饮料，该超市共获得利润多少元？ 【答案】（1）该超市购进甲种饮料箱，乙种饮料箱；（2）该超市共获得利润元 【分析】（1）设该超市购进甲种饮料箱，乙种饮料箱，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）根据题意列式计算即可求解． 解：（1）解：设该超市购进甲种饮料箱，乙种饮料箱， 根据题意得：， 解得：． 答：该超市购进甲种饮料箱，乙种饮料箱； （2）解： （元）． 答：该超市共获得利润元． 4．（25-26七年级下·海南海口·期中）海南自贸港离岛免税购物节期间，某免税店精华液与面膜热销．李女士买2瓶精华液和3盒面膜，共付款960元；王先生买1瓶精华液和4盒面膜，共付款780元． （1）求每瓶精华液和每盒面膜的单价． （2）张先生用1140元购买了3瓶精华液和若干盒面膜，正好将钱用完．求他购买了多少盒面膜． 【答案】（1）每瓶精华液的单价为300元，每盒面膜的单价为120元；（2）2盒 【分析】（1）设每瓶精华液的单价为元，每盒面膜的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设他购买了盒面膜，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 解：（1）解：设每瓶精华液的单价为元，每盒面膜的单价为元． 根据题意，得 解得 答：每瓶精华液的单价为300元，每盒面膜的单价为120元． （2）解：设他购买了盒面膜，根据题意，得 解得． 答：他购买了2盒面膜． 5．（2026·广西南宁·二模）某年1月，商务部等5部门联合发布《手机、平板、智能手表（手环）购新补贴》的实施方案：个人消费者购买这3类数码产品，按产品售价的给予补贴，每人每类可补贴1件，但每件产品补贴最高不超过500元（超过的按每件500元补贴），补贴会在支付金额里直接扣除．已知某店甲款平板每台售价2000元，乙款手机每台售价4000元，当天这两款商品共卖出12台，一共补贴了5000元．设该店当天卖出甲款平板x台，乙款手机y台． （1）按方案享受补贴后，1台甲款平板可获得补贴______元，1台乙款手机可获得补贴______元； （2）该店当天这两款商品各卖出多少台？ 【答案】（1）300，500；（2）该店当天卖出甲款平板5台，乙款手机7台 【分析】（1）根据补贴规则，列式计算即可； （2）根据当天这两款商品共卖出12台，一共补贴了5000元，列出方程组进行求解即可． 解：（1）解：1台甲款平板可获得补贴元， ∵， ∴1台乙款手机可获得补贴500元． （2）解：依题意，得 ， 解得． 答：该店当天卖出甲款平板5台，乙款手机7台． 6．（25-26七年级下·福建莆田·期中）周末，小华和妈妈去大型超市采购生活用品．他们看中了两种促销商品：立白品牌洗衣液（记为商品）和蓝月亮品牌洗衣液（记为商品）．已知这两次购买时，商品的单价保持不变，且均按整瓶购；第一次购买小华购买瓶商品和瓶商品去结账，收银员告知总价为元；第二天，小华购买瓶商品和瓶商品去结账，这次收银员告知总价为元． （1）妈妈发现小华记录的两次价格存在矛盾，请你通过建立方程组或计算说明错误原因； （2）经核实，正确的单价为：商品每瓶元，商品每瓶元．现在，妈妈打算用元以同样的价格再次购买这两种商品．要求如下：必须同时购买商品和（即两种商品数量均大于的整数），恰好花完，计算出所有满足上述条件的购买方案． 【答案】（1）小华的记录矛盾，理由见分析；（2）共有种购买方案，方案：购买了瓶商品，瓶商品；方案：购买了瓶商品，瓶商品 【分析】（1）设商品的单价为元/瓶，商品的单价为元/瓶，根据题意列方程组求解即可； （2）设妈妈购买了商品瓶，商品瓶，根据题意列方程求特殊解即可. 解：（1）解：小华的记录矛盾，理由如下： 设商品的单价为元/瓶，商品的单价为元/瓶， 根据题意得， 解得：， ∵商品的单价不能为负， ∴小华的记录矛盾； （2）解：设妈妈购买了商品瓶，商品瓶， 根据题意得：， ∴，又∵均为正整数，必须是的倍数，所以可以取，， ∴或， ∴共有种购买方案， 方案：购买了瓶商品，瓶商品； 方案：购买了瓶商品，瓶商品． 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 【题型 6】分配问题（6题） 1．（24-25八年级下·四川成都·月考）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 解：根据题意可得： ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 【答案】则至少需要采购心愿卡34件 【分析】本题为一元一次不等式组的实际应用题，解题思路是设采购心愿卡的数量为未知数，根据总费用限制和数量的不等关系列出不等式组，求解后结合件数为正整数的实际要求，得到最小采购数量． 解：设需要采购心愿卡x件，则采购明信片件，x为正整数， 根据题意可知：， 解不等式组得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为34， 答：则至少需要采购心愿卡34件． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． （1）若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ （2）奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】（1）A种奖品最多买了35件；（2）①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 解：（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 6．（2026·湖南·模拟预测）年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． （1）分别求喇叭和小红旗的单价； （2）若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 【答案】（1）喇叭的单价为元，小红旗的单价为元；（2）元 【分析】（1）设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元，根据“购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同．”列出方程，即可求解； （2）设一横排有人，根据“排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，”列出不等式组，即可求解． 解：（1）解：设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元， 由题意得， ， 解得． ． 答：喇叭的单价为元，小红旗的单价为元． （2）解：设一横排有人， 由题意得，， 即，即 为整数，且， ． （元）． 答：排舞运动协会购买小红旗共花费了元． 【题型 7】方案选择问题（6题） 1．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 3．（25-26八年级下·江西九江·期中）某校计划租用座甲种客车和座乙种客车共辆，运送名学生外出活动，要求甲种客车不少于辆，问共有几种符合条件的租车方案？ 【答案】共有3种符合条件的租车方案 【分析】设甲种客车租用辆，则乙种客车租用辆，根据题意列出不等式组，求出其中的整数解，并列出方案即可． 解：设甲种客车租用辆，则乙种客车租用辆， 根据题意，列不等式组得， 由②得， ∴不等式组的解集为，其中整数解为，，， 租车方案如下： 租用甲种客车辆，乙种客车辆； 租用甲种客车辆，乙种客车辆； 租用甲种客车辆，不租用乙种客车． 答：共有3种符合条件的租车方案． 4．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进A，B两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元，B种剪纸每幅8元，计划购进A，B两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过920元，且购进的A种剪纸数量不少于B种剪纸数量的一半，则至少购进A种剪纸多少幅？并直接写出共有几种购买方案． 【答案】至少购进A种剪纸34幅．共有27种购买方案 【分析】设购进A种剪纸x幅，则购进B种剪纸幅，根据购买预算不超过920元，且购进的A种剪纸数量不少于B种剪纸数量的一半列出不等式组，解不等式组并结合为正整数进行解答即可． 解：设购进A种剪纸x幅，则购进B种剪纸幅， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为34，最大值为．即共有27种购买方案． 答：至少购进A种剪纸34幅．共有27种购买方案． 5．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）第十五届体育节到来之际，学校计划购买篮球和排球共60个，其中篮球每个120元，排球每个80元，购买总费用不超过5680元，且篮球数量不少于排球数量的一半． （1）设购买篮球个，写出应满足的不等式组； （2）求出符合条件的所有购买方案，并指出哪种方案总费用最低． 【答案】（1）；（2）方案一：购买篮球20个，排球40个； 方案二：购买篮球21个，排球39个； 方案三：购买篮球22个，排球38个；方案一费用最低 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，能够将生活实际信息转化为数学信息为解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据（1）即可计算出，根据为正整数确定所有购买方案，最后计算出各方案的总费用即可求解． 解：（1）解：由题意得， ， （2）解：由（1）得，， 解不等式得，， 解不等式得，， 则， 由于为正整数，则有三种方案， 方案一：当时，，即购买篮球20个，排球40个，此时总费用为（元）； 方案二：当时，，即购买篮球21个，排球39个，此时总费用为（元）； 方案三：当时，，即购买篮球22个，排球38个，此时总费用为（元）； ， 方案一费用最低． 6．（25-26七年级下·上海闵行·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ （2）在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 【答案】（1）方案1：生产A产品2件，B产品8件；方案2：生产A产品3件，B产品7件；方案3：生产A产品4件，B产品6件；（2）生产A产品2件，B产品8件获利最大，最大利润为26万元 【分析】（1）设生产A种产品件，则生产B种产品件，根据“工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元”列不等式组求解即可； （2）根据（1）中方案分别计算利润，比较即可； 解：（1）解：设生产A种产品件，则生产B种产品件（为非负整数）， 根据题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴， 对应三种生产方案：方案1：生产A产品2件，B产品8件； 方案2：生产A产品3件，B产品7件； 方案3：生产A产品4件，B产品6件； （2）解：方案1：总利润（万元）， 方案2：总利润（万元）， 方案3：总利润（万元）， ∵， ∴生产A产品2件，B产品8件获利最大，最大利润为26万元． 【题型 8】营销与利润问题（6题） 1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键．设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式组，再根据为整数求出的值即可． 解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得： ， 解得： 又∵为整数， ∴，，， 故购买方案有种． 故选：A． 2．（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·广东佛山·期中）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 【答案】25个 【分析】根据题目中的两个不等关系列出不等式组，求解后取x的最大值即可得到结果． 解：设购买A品牌足球的数量为，则购买B品牌足球的数量为 个， 根据题意列不等式组 ， 解第①个不等式得：， 解第②个不等式得：， 因此不等式组的解集为：， 所以的最大值为． 答：学校最多买25个A品牌的足球． 4．（25-26七年级下·北京通州·期中）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元、B种剪纸每幅8元，计划购进两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍，则至少购进A种剪纸多少幅？ 【答案】34幅 【分析】设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅，根据“购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍”列不等式组求解即可． 解：设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅， ， 由①得，， 由②得，， 不等式组解集为， 为整数， ， ∴最小整数解为， 答：至少购进A种剪纸34幅． 5．（25-26七年级下·河南周口·期中）A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A数量不少于B的 （1）求A款最少购买多少本； （2）直接写出所有购买方案． 【答案】（1）A最少买20本；（2）第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本 【分析】（1）设A款买x本，则B款买本，根据总费用不超过260元、A数量不少于B的列不等式组求解即可； （2）根据（1）中x的取值范围写出所有购买方案即可． 解：（1）解：设A款买x本，则B款买本，由题意，得 ， 解得， 所以A最少买20本； （2）解：∵， ∴x可取∶20、21、22、……、40，共21种方案， 方案：第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本． 6．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）请仔细阅读如图的对话，根据对话内容，求出笔记本和橡皮的标价． 【答案】笔记本的标价是7元，橡皮的标价是元 【分析】设笔记本的标价是x元，则橡皮的标价是元，根据“笔记本的标价小于8元，笔记本和橡皮的标价之和大于8元”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x是正整数，即可求出结论． 解：设笔记本的标价是x元，则橡皮的标价是元，根据题意得 ， 解得：， 又∵x是正整数， ∴， 则． 答：笔记本的标价是7元，橡皮的标价是元． 【考点三】二元一次方程组与一元一次不等式（组）实际应用综合 【题型 9】方案问题（6题） 1．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． （1）一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ （2）W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为60万人次和100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 【答案】（1）一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元；（2）共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆 【分析】（1）设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意易得，然后进行求解即可． 解：（1）解：设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意得： ， 解得：； 答：一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元． （2）解：设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意得： ， 解得：， ∵是正整数， ∴的取值为， ∴或或； 答：共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆． 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． （1）求A型、B型设备每台各是多少钱； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 【答案】（1）A型设备每台6万元，B型设备每台4万元；（2）共有三种购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；②购买A型设备6台，B型设备4台；③购买A型设备7台，B型设备3台． 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 【分析】（1） 设购买A型的价格是x万元，购买B型的设备y万元，根据购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元可列方程组求解； （2）设购买A型号设备x台，则B型为台，根据市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，可列不等式组求解． 解：（1）解：设A型设备每台万元，B型设备每台万元，则 ， 解得∶ ， 故A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． （2）解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台， 根据题意得，， 解得：， ∵为整数， ∴x为5、6，7． 购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；费用为（万元）， ②购买A型设备6台，B型设备4台；费用为（万元）， ③购买A型设备7台，B型设备3台；费用为（万元）， 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）5月4日“快乐读书吧”开业大酬宾，店家计划从商场购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． （1）求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ （2）店家计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有几种采购方案？ （3）店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进笔筒最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 【答案】（1）笔筒单价为17元，马克杯单价为15元，见详解；（2）店家共有4种采购方案，见详解；（3）选择方式二采购总价更低 【分析】（1）根据“2个笔筒+3个马克杯=79元、3个笔筒+2个马克杯=81元”列二元一次方程组求解即可； （2）根据“马克杯数量笔筒数量的、总费用元”列一元一次不等式组，求整数解即可确定采购方案数； （3）分别计算方式一、方式二的总价，比较大小即可． 解：（1）解：设笔筒的单价为元，马克杯的单价为元，根据题意，得 解得 笔筒单价为17元，马克杯单价为15元； （2）解：根据由题意，得 解得． 为正整数， ，，，， 店家共有4种采购方案； （3）解：由（2）可知店家想要购进笔筒最多的方案为：笔筒30个，马克杯20个． 方式一：设实际需购买马克杯个，则购买商品总数为件． 当时，总购买数为45件，可获赠（个）马克杯，共获得（个），不满足要求； 当时，总购买数为46件，可获赠（个）马克杯，共获得（个），满足要求； 所以采购总价为（元）； 方式二： 采购总价为（元）． ， 选择方式二采购总价更低． 4．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根， ①求共有哪几种购买方案； ②比较哪一种购买方案更省钱． 【答案】（1）购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元；（2）①共有三种购买方案：方案一：购买跳绳26根，毽子28个；方案二：购买跳绳27根，毽子27个；方案三：购买跳绳28根，毽子26个；②方案一更省钱：购买跳绳26根，毽子28个 【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）①设购买跳绳m根，则购买毽子个，根据题意解不等式组，求得整数解，即可求解； ②分别求得各方案的费用，比较大小，即可求解． 解：（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，由题意得： 解得： 答：购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元． （2）解：①设购买跳绳m根，则购买毽子个， 由题意得： 解得：． 为正整数， ∴，，． 共有三种购买方案：方案一：购买跳绳根，毽子个； 方案二：购买跳绳根，毽子个； 方案三：购买跳绳根，毽子个． ②方案一的费用为：元， 方案二的费用为：元， 方案三的费用为：元． ， 方案一更省钱：购买跳绳根，毽子个． 5．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）“端午节”将至，某超市销售两种品牌的“粽子”，若购买9件A品牌粽子和6件B品牌粽子共需390元；若购买5件A品牌粽子和8件B品牌粽子共需310元． （1）A品牌粽子、B品牌粽子每件价格分别是多少元？ （2）若某公司购买两种品牌粽子30件，且A品牌粽子的数量至少比B品牌粽子的数量多5件，又不超过B品牌粽子的2倍，求该公司有几种购买方案？ 【答案】（1）A品牌粽子每件30元． B品牌粽子每件20元；（2）共有3种购买方案． 【分析】（1）根据两种购买方案的总费用，设未知数列出二元一次方程组，求解即可得 （2）根据两种品牌粽子的数量限制，列出一元一次不等式组，求出未知数的正整数解的个数，即可得到购买方案的数量． 解：（1）解：设品牌粽子每件x元，品牌粽子每件y元．根据题意可得 解得 答：品牌粽子每件30元，品牌粽子每件20元． （2）设购买品牌粽子m件，则购买品牌粽子件，m为正整数．根据题意可得 解不等式组得， ∴符合条件的正整数m为18，19，20，共3个． 答：该公司有3种购买方案． 6．（25-26八年级下·广东清远·期中）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共元．    素材2 已知加工A，B两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种仙桃礼盒共1000盒，且A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 （1）任务1：确定商品价格 求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； （2）任务2：设计销售方案 求所有的销售方案； 【答案】（1）A品种仙桃礼盒每件的售价为80元，B品种仙桃礼盒每件的售价为100元；（2）有三种销售方案： 方案1：A品种仙桃礼盒598件，B品种仙桃礼盒402件； 方案2：A品种仙桃礼盒599件，B品种仙桃礼盒401件；方案3：A品种仙桃礼盒600件，B品种仙桃礼盒400件 【分析】（1）设品种仙桃礼盒每件的售价为元，则品种仙桃礼盒每件的售价为元，根据“每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共元”， 可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售品种仙桃礼盒盒，则销售品种仙桃礼盒盒，根据“A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54020元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各销售方案． 解：（1）解：设品种仙桃礼盒每件的售价为元，则品种仙桃礼盒每件的售价为元， 由题意得， 解得， 答：品种仙桃礼盒每件的售价为80元，品种仙桃礼盒每件的售价为100元； （2）解：设销售品种仙桃礼盒盒，则销售品种仙桃礼盒盒， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴或或， 故有三种销售方案： 方案1：品种仙桃礼盒598件，品种仙桃礼盒402件； 方案2：品种仙桃礼盒599件，品种仙桃礼盒401件； 方案3：品种仙桃礼盒600件，品种仙桃礼盒400件． 【题型 10】营销与利润问题（6题） 1．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． （1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 【答案】（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元；（2）1390元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键. （1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元，根据“甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒，根据“该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70个”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润，则购进甲羽毛球越多，利润越大，据此求解即可． 解：（1）解：设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元． （2）解；设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒， 依题意得：， 解得：． ∵， ∴每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润 ∴购进甲羽毛球越多，利润越大， ∴购进78筒甲种羽毛球，122筒乙种羽毛球时，利润最大，最大为（元）. 2．（25-26七年级下·四川眉山·期中）国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ （3）已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 【答案】（1）每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；（2）共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车；（3）购买2辆A型车4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 【分析】（1）设未知数根据两周的销售额列二元一次方程组，求解得到两种车的售价； （2）设A型车购买数量，根据A型车数量要求和购车费要求列一元一次不等式组，求整数解得到所有购车方案； （3）分别计算各方案的总利润，比较大小得到最高利润的方案和最高利润． 解：（1）解：设每辆A型车的售价为万元，每辆B型车的售价为万元，依题意得： ， 解得：， 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）解：设购买辆A型车，则购买辆B型车，依题意得： ， 解得：， 又为正整数， 可以为2，3， 共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； （3）解：由题意得，每辆A型车的利润为（万元），每辆B型车的利润为（万元）， 方案1的总利润：（万元）， 方案2的总利润：（万元）， ， 购买2辆A型车，4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 3．（25-26七年级下·河南新乡·期中）3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 （1）求A，B两种围棋每套的售价； （2）若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【答案】（1）A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元；（2）商家共有3种进货方案． 【分析】（1）设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元，利用表格信息建立方程组解题即可； （2）设采购A种围棋m套．则采购B种围棋套，利用商家准备购进A，B两种围棋共40套，获利不低于1280元，再建立不等式组解题即可． 解：（1）解：设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元． 根据题意，得．解得． 答：A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元． （2）解：设商家采购A种围棋m套，则采购B种围棋套． 根据题意，得． 解得． 是正整数， 可以取8，9或10． 答：商家共有3种进货方案． 4．（25-26七年级下·上海·期中）为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买、两种徽章作为奖品．已知购买2个种徽章和3个种徽章需156元；购买4个种徽章和5个种徽章需284元． （1）每个种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ （2）学校计划购进、两种徽章共60个，已知购进的种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进种徽章的个数是多少？ 【答案】（1）每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元；（2）购进A种徽章的个数是40个 【分析】（1）设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购进个A种徽章，则购进个种徽章，再根据题意列出不等式组并求解即可． 解：（1）解：设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元； （2）解：设购进个A种徽章，则购进个种徽章， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A种徽章的个数是个． 5．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 （1）一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ （2）为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 【答案】（1）元；（2）方案一：购买电饭煲台，电压力锅台；方案二：购买电饭煲台，电压力锅台；方案三：购买电饭煲台，电压力锅台 【分析】（）设购买电饭煲台，购买电压力锅台，根据题意列方程组求出的值，再列式求出利润即可； （）设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，列出不等式组求出的取值范围，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 解：（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∴购买电饭煲台，电压力锅台， ∴厨具店在该买卖中盈利为元； （2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴或或， ∴有以下三种进货方案： 方案一：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案二：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案三：购买电饭煲台，电压力锅台． 6．（23-24七年级下·浙江金华·期中）某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） （1）全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； （2）若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （3）该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送（每种至少一辆），已知它们的总辆数为辆，你能分别求出运费最省时三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？ 【答案】（1）；（2）需甲车型辆，乙车型辆；（3）甲型辆，乙型辆，丙型辆时，总费用最省为元． 【分析】本题考查了有理数运算的应用，二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，列式计算，列出二元一次方程组，列出二元一次方程． （）根据题意列出算式即可求解； （）设分别需甲、乙两种车型辆，辆，由题意得，然后解方程组即可； （）设分别需甲、乙两种车型辆，辆，则需丙型车辆，根据题意得，再求出正整数解，最后比较即可． 解：（1）解：（辆）， 故答案为：； （2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆， 由题意得， 解得， 答：需甲车型辆，乙车型辆； （3）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆，则需丙型车辆， 根据题意得，， 化简得， 满足题意整数解为或， 当甲型辆，乙型辆，丙型辆时，总费用为： （元）， 当甲型辆，乙型辆，丙型辆时，总费用为： （元）， ， 答：当甲型辆，乙型辆，丙型辆时，总费用最省为元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（二）——方程组与不等式的实际应用（2大考点10类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】二元一次方程组实际应用 1 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 2 二.必考题型精析 2 【考点一】二元一次方程组实际应用 2 【题型 1】 行程问题（6题） 2 【题型 2】 工程问题（6题） 4 【题型 3】 和差倍分问题（6题） 5 【题型 4】 配套问题（6题） 6 【题型 5】 利润与营销问题（6题） 7 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 8 【题型 6】分配问题（6题） 8 【题型 7】方案选择问题（6题） 10 【题型 8】营销与利润问题（6题） 11 【考点三】二元一次方程组与一元一次不等式（组）实际应用综合 12 【题型 9】方案问题（6题） 12 【题型 10】营销与利润问题（6题） 14 一.必考点知识回顾 【考点一】二元一次方程组实际应用 1、 解题通用步骤： （1）审：审题，找已知量、未知量；（2）设：设未知数；（3）列：根据等量关系列方程组；（4）解：解方程组；（5）验：检验结果合理性；（6）答：规范作答。 2、高频经典题型 （1）和差倍分问题：利用数量之间和、差、倍数关系列式； （2）行程问题：相遇、追及、航行问题（路程 = 速度 × 时间）； （3）工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，常设总工作量为1； （4）配套问题：根据部件配比关系建立等量关系； （5）利润与计费问题：结合单价、数量、总价、分段收费列式。 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 1、解题通用步骤： （1）审题；（2）设未知数；（3）找不等关系；（4）列不等式（组）；（5）求解集；（6）结合实际取值（整数、正数等）；（7）确定方案，作答。 2、高频经典题型 （1）分配问题：物资、人员分配，结合数量限制列不等式； （2）方案选择问题：多套方案对比，求取最优方案； （3）最值问题：求最大量、最小量取值； （4）限额类问题：总量不超过、不少于某一数值类题型； 特别提示：注意实际问题中，人数、物品数、次数等必须取非负整数。 二.必考题型精析 【考点一】二元一次方程组实际应用 【题型 1】 行程问题（6题） 1．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度（单位∶ ） 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是________，动车组的速度是________． 3．（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． （1）两人每小时分别行进多少千米？ （2）相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 4．（24-25七年级上·安徽亳州·月考）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： （1）两车的速度分别是多少？ （2）若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙在的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过两人第一次相遇． （1）求甲，乙两人的速度； （2）甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发后甲追上丙，出发后乙追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？ 6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要． （1）小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？ （2）求的长度． 【题型 2】 工程问题（6题） 1．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段检测）“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 2．（2025七年级上·广东湛江·专题练习）甲乙两个工程队分别负责两项工作量相同的工程．晴天，甲完成工程要天，乙完成工程要天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工，在施工期间，下雨天的天数与晴天的天数之比是_____．下雨天的天数是_____． 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． （1）根据题意列出方程组； （2）求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 5．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： （1）甲、乙两队每天费用各为多少？ （2）若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 6．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． （1）求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； （2）“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 【题型 3】 和差倍分问题（6题） 1．（2026·甘肃·模拟预测）甘肃省定西市是“中国马铃薯之乡”．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯吨．今年采用新技术，甲基地增产，乙基地增产，两基地总产量达到吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为吨，乙基地为吨，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 □ □ 8 求捐款40元的有_______名同学，捐款50元的有_____名同学． 3．（2026·安徽蚌埠·二模）2025年安徽推进千亿斤粮食产能提升行动，某产粮大县种植甲、乙两种优质水稻．2024年该县甲、乙两种水稻总产量为1200吨；2025年该县甲种水稻产量增长20%，乙种水稻产量增长15%，总产量达1410吨． （1）求2024年该县甲、乙两种水稻的产量； （2）求2025年该县甲、乙两种水稻各自的增产量． 4．（25-26七年级下·浙江·期中）浙（浙江篮球地区联赛）联赛现在家喻户晓，某长兴工厂计划制作两款长兴球队吉祥物玩具．已知生产每件甲款纪念玩具需要4米面料、2千克辅料，生产每件乙款纪念玩具需要3米面料、1千克辅料．现有面料1080米、辅料440千克． （1）甲、乙两款玩具各生产多少件，恰好使两种原材料全部用完？ （2）某直营店根据市场调研情况，决定每件甲款玩具售价190元，每件乙款玩具售价80元．现该店计划从该厂采购一批玩具（两种玩具都要采购），全部售出后总销售额为3600元，请帮助设计采购方案． 5．（2026·重庆·二模）列方程解下列问题： 随着机器人技术的飞速发展，智能机器人在我们的生产生活中发挥着越来越重要的作用．某工厂引入A、B两种类型的智能搬运机器人共同完成仓库货物的搬运任务．已知1台A型机器人和2台B型机器人每小时一共可搬运货物300箱，每台A型机器人比每台B型机器人每小时多搬运货物30箱． （1）求每台A型机器人和B型机器人每小时分别搬运多少箱货物； （2）工厂仓库现有3240箱货物需要紧急搬运，计划安排A、B两种共15台机器人共同完成搬运任务．当所有机器人同时开始到同时完成搬运任务时，所有A型机器人搬运的货物量是仓库货物总量的，则机器人完成这次搬运任务用了多少小时？ 6．（2026·江西九江·二模）某校利用体育大课间抽查七年级学生体育项目练习情况，共进行了两次抽查（每名学生只抽查一个项目），两次抽查合格率相同，跳绳为，排球为．第一次抽查跳绳和排球共44人合格，第二次抽查跳绳和排球共100人合格，且第二次抽查跳绳的人数是第一次抽查跳绳人数的2倍，第二次抽查排球的人数是第一次抽查排球人数的3倍． （1）求学校第一次抽查的学生总人数． （2）若八年级进行了一次跳绳抽查，跳绳的合格人数与七年级两次抽查的跳绳合格总人数相同，且合格率为，求八年级跳绳抽查的学生人数． 【题型 4】 配套问题（6题） 1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 3．（25-26七年级下·山东东营·期中）某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件．已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件为一套．如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套？ 5．（24-25八年级上·江西抚州·期末）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． （1）求大、小两种垃圾桶的单价； （2）该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？ 6．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． （1）应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； （2）为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【题型 5】 利润与营销问题（6题） 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 2．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）清北文具店有铅笔和圆珠笔，小明如果购买2支铅笔和3支圆珠笔他带的钱差3元，如果购买3支铅笔和2支圆珠笔他带的钱会剩下3元，若他只购买5支铅笔，则他会剩下___________元． 3．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）某超市投入17600元的资金购进甲、乙两种饮料共700箱，饮料的成本和售价如表所示： 类别单价 成本 售价 甲 元箱 元箱 乙 元箱 元箱 （1）该超市购进甲、乙两种饮料各多少箱？ （2）全部售完700箱饮料，该超市共获得利润多少元？ 4．（25-26七年级下·海南海口·期中）海南自贸港离岛免税购物节期间，某免税店精华液与面膜热销．李女士买2瓶精华液和3盒面膜，共付款960元；王先生买1瓶精华液和4盒面膜，共付款780元． （1）求每瓶精华液和每盒面膜的单价． （2）张先生用1140元购买了3瓶精华液和若干盒面膜，正好将钱用完．求他购买了多少盒面膜． 5．（2026·广西南宁·二模）某年1月，商务部等5部门联合发布《手机、平板、智能手表（手环）购新补贴》的实施方案：个人消费者购买这3类数码产品，按产品售价的给予补贴，每人每类可补贴1件，但每件产品补贴最高不超过500元（超过的按每件500元补贴），补贴会在支付金额里直接扣除．已知某店甲款平板每台售价2000元，乙款手机每台售价4000元，当天这两款商品共卖出12台，一共补贴了5000元．设该店当天卖出甲款平板x台，乙款手机y台． （1）按方案享受补贴后，1台甲款平板可获得补贴______元，1台乙款手机可获得补贴______元； （2）该店当天这两款商品各卖出多少台？ 6．（25-26七年级下·福建莆田·期中）周末，小华和妈妈去大型超市采购生活用品．他们看中了两种促销商品：立白品牌洗衣液（记为商品）和蓝月亮品牌洗衣液（记为商品）．已知这两次购买时，商品的单价保持不变，且均按整瓶购；第一次购买小华购买瓶商品和瓶商品去结账，收银员告知总价为元；第二天，小华购买瓶商品和瓶商品去结账，这次收银员告知总价为元． （1）妈妈发现小华记录的两次价格存在矛盾，请你通过建立方程组或计算说明错误原因； （2）经核实，正确的单价为：商品每瓶元，商品每瓶元．现在，妈妈打算用元以同样的价格再次购买这两种商品．要求如下：必须同时购买商品和（即两种商品数量均大于的整数），恰好花完，计算出所有满足上述条件的购买方案． 【考点二】一元一次不等式（组）实际应用 【题型 6】分配问题（6题） 1．（24-25八年级下·四川成都·月考）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． （1）若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ （2）奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 6．（2026·湖南·模拟预测）年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． （1）分别求喇叭和小红旗的单价； （2）若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 【题型 7】方案选择问题（6题） 1．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 3．（25-26八年级下·江西九江·期中）某校计划租用座甲种客车和座乙种客车共辆，运送名学生外出活动，要求甲种客车不少于辆，问共有几种符合条件的租车方案？ 4．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进A，B两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元，B种剪纸每幅8元，计划购进A，B两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过920元，且购进的A种剪纸数量不少于B种剪纸数量的一半，则至少购进A种剪纸多少幅？并直接写出共有几种购买方案． 5．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）第十五届体育节到来之际，学校计划购买篮球和排球共60个，其中篮球每个120元，排球每个80元，购买总费用不超过5680元，且篮球数量不少于排球数量的一半． （1）设购买篮球个，写出应满足的不等式组； （2）求出符合条件的所有购买方案，并指出哪种方案总费用最低． 6．（25-26七年级下·上海闵行·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ （2）在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 【题型 8】营销与利润问题（6题） 1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 2．（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 3．（25-26八年级下·广东佛山·期中）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 4．（25-26七年级下·北京通州·期中）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元、B种剪纸每幅8元，计划购进两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍，则至少购进A种剪纸多少幅？ 5．（25-26七年级下·河南周口·期中）A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A数量不少于B的 （1）求A款最少购买多少本； （2）直接写出所有购买方案． 6．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）请仔细阅读如图的对话，根据对话内容，求出笔记本和橡皮的标价． 【考点三】二元一次方程组与一元一次不等式（组）实际应用综合 【题型 9】方案问题（6题） 1．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． （1）一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ （2）W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为60万人次和100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． （1）求A型、B型设备每台各是多少钱； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）5月4日“快乐读书吧”开业大酬宾，店家计划从商场购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． （1）求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ （2）店家计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有几种采购方案？ （3）店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进笔筒最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 4．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根， ①求共有哪几种购买方案； ②比较哪一种购买方案更省钱． 5．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）“端午节”将至，某超市销售两种品牌的“粽子”，若购买9件A品牌粽子和6件B品牌粽子共需390元；若购买5件A品牌粽子和8件B品牌粽子共需310元． （1）A品牌粽子、B品牌粽子每件价格分别是多少元？ （2）若某公司购买两种品牌粽子30件，且A品牌粽子的数量至少比B品牌粽子的数量多5件，又不超过B品牌粽子的2倍，求该公司有几种购买方案？ 6．（25-26八年级下·广东清远·期中）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共元．    素材2 已知加工A，B两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种仙桃礼盒共1000盒，且A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 （1）任务1：确定商品价格 求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； （2）任务2：设计销售方案 求所有的销售方案； 【题型 10】营销与利润问题（6题） 1．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． （1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 2．（25-26七年级下·四川眉山·期中）国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ （3）已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 3．（25-26七年级下·河南新乡·期中）3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 （1）求A，B两种围棋每套的售价； （2）若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 4．（25-26七年级下·上海·期中）为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买、两种徽章作为奖品．已知购买2个种徽章和3个种徽章需156元；购买4个种徽章和5个种徽章需284元． （1）每个种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ （2）学校计划购进、两种徽章共60个，已知购进的种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进种徽章的个数是多少？ 5．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 （1）一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ （2）为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 6．（23-24七年级下·浙江金华·期中）某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） （1）全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； （2）若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （3）该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送（每种至少一辆），已知它们的总辆数为辆，你能分别求出运费最省时三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $