期末考试必考题型（一）——运算化简与求值（3大考点8类题型）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

**基本信息** 以3大考点为核心，通过对比表格、步骤归纳构建方法体系，8类题型分层训练运算能力与推理意识，实现从概念到综合应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |必考点回顾|3考点（平方根与立方根等）|对比表格梳理性质，步骤化总结消元法/不等式解法|概念（平方根/立方根）→运算（方程组/不等式）→综合应用| |题型精析|8类×8题（含参数/综合题等）|提炼参数分类讨论、整体换元等技巧，结合各地期末真题|基础运算→变式应用→多知识点综合，训练抽象能力与应用意识|

期末考试必考题型（一）——运算化简与求值（3大考点8类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】平方根与立方根 1 【考点二】解二元一次方程组 2 【考点三】解一元一次不等式（组） 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】平方根与立方根的基础运算（8题） 3 【题型 2】实数的混合运算（8题） 7 【题型 3】解二元一次方程组（8题） 13 【题型 4】含参数的二元一次方程组问题（8题） 20 【题型 5】解一元一次不等式（组）（8题） 29 【题型 6】含参数的一元一次不等式（组）问题（8题） 36 【题型 7】实数运算与二元一次方程组综合（8题） 42 【题型 8】实数运算、二元一次方程组、一元一次不等式（组）综合（8题） 52 一.必考点知识回顾 【考点一】平方根与立方根 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根。 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零。 重要结论 【考点二】解二元一次方程组 解法 适用场景 核心步骤 注意事项 代入消元法 某个未知数的系数为1 或-1. ①用含一个未知数的式子表示另一个未知数；②代入另一个方程消元；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数. 变形时要注意符号，代入时要代入“未变形的方程”. 加减消元法 同一未知数的系数相等或相反或成倍数. ①变形方程组，使某一未知数的系数相等或相反；②加减消元，得到一元一次方程；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数. 系数成倍数时，两边要同乘“最小公倍数”，避免漏乘常数项. 【考点三】解一元一次不等式（组） 1、解一元一次不等式的基本步骤： （1）去分母：两边同时乘各分母的最小公倍数，注意：若乘的是负数，不等号方向要改变； （2）去括号：按乘法分配律展开括号，注意符号变化（尤其是括号前是负号时）； （3）移项：把含未知数的项移到不等号一边，常数项移到另一边，移项要变号； （4）合并同类项：将同类项合并，化为（或）的最简形式； （5）系数化为1：两边同时除以未知数的系数：系数为正数时，不等号方向不变；系数为负数时，不等号方向必须改变。 2、解一元一次不等式组基本步骤： （1）分别解不等式组中每个一元一次不等式；（2）在同一数轴上表示出两个不等式的解集；（3）找出公共部分，即为不等式组的解集；（4）若无公共部分，则不等式组无解。 二.必考题型精析 【题型 1】平方根与立方根的基础运算（8题） 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的值： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了平方根、立方根，根据平方根和立方根的定义得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值． （1）方程两边同时除以，再把两边同时开平方得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值； （2）把常数项移到等号右边，再把两边同时开立方得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值． 解：（1）解：， 方程两边同时除以得：， 两边同时开平方得：， 解得：，； （2）解：， 移项得：， 两边同时开立方得：， 移项可得：， 合并同类项得：． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）已知的算术平方根是4，的立方根是． （1）求x，y的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了立方根的定义，平方根和算术平方根的定义，熟记概念并求出x、y的值是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义列式求出x，再根据立方根的定义列式求出y即可； （2）先把x和y的值代入计算，再求平方根即可． 解：（1）解：的算术平方根是4， ， ， 的立方根是3， ， ， ； （2）解：， 的平方根为 3．（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知． （1）求a的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性、平方根的概念，掌握被开方数是非负数是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性列出不等式，解不等式求出a， （2）求出b，根据平方根的概念计算即可． 解：（1）解：由题意得：，， 解得： ，， . （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 4．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）（1）计算：． （2）解方程．． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或． 5．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可； （2）利用立方根解方程即可． 解：（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·重庆永川·期末）已知实数，的立方根是3． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负）、立方根的定义、平方根的定义以及代数式的求值运算．解题关键是利用二次根式被开方数的非负性、立方根与平方根的定义、特别注意正数平方根有两个． （1）利用二次根式被开方数非负的性质建立不等式，求出 a 的值，进而得到 b 的值；同时理解立方根与原数的关系，求出 c 的值． （2）准确代入数值计算代数式的值，再依据平方根的定义求出结果，注意一个正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根． 解：（1）解：∵， ∴，即 ，则 的立方根是3， ，  解得 故：． （2）∵ ∴， ∴的平方根为． 7．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2）． 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算平方、立方和奇次方，然后再计算加减法即可； （2）原式先去括号和去绝对值，然后再合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： 8．（24-25七年级下·山西阳泉·期中）计算． （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本本题主要考查了立方根，算术平方根，绝对值的性质，实数的运算法则，理解相关知识是解答关键． （1）根据算术平方根，、立方根、实数加减法的运算法则来求解； （2）根据立方根、算术平方根，绝对值的性质、实数的运算法则来进行计算求解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型 2】实数的混合运算（8题） 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）（1）计算：； （2）一个正数的两个平方根是和，求正数的立方根． 【答案】（1）；（2）正数的立方根为4． 【分析】此题考查了实数的混合运算，算术平方根和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算有理数的乘方，算术平方根，绝对值和立方根，然后计算加减； （2）根据平方根的性质得到，求出，然后根据立方根的定义求解即可． 解：（1） ； （2）正数的两个平方根是和， ， 解得：， ， ， ， 正数的立方根为4． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）先进行开立方、开算术平方根、计算绝对值，然后进行加减运算； （2）先进行乘方、开算术平方根，计算绝对值，再进行除法运算，最后进行加减法运算． 解：（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）5；（2）；（3） 【分析】（1）先计算绝对值、算术平方根、乘法，再将结果进行加减运算； （2）先去掉括号，再化简即可； （3）先分别计算立方根、算术平方根，再依次进行加减运算． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点拨】本题考查实数的混合运算，掌握先算开方、绝对值，再算乘除，最后算加减是解题的关键． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算 （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值、有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先化简绝对值，再计算加减即可得出结果； （2）先计算乘方、算术平方根、立方根，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果． 解：（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26八年级上·全国·期末）（1）解方程：； （2）计算：； （3）计算：． 【答案】（1）或，（2），（3）4 【分析】本题考查了用平方根解方程，实数的混合运算，包括算术平方根、立方根、绝对值及乘方的运算． （1）利用平方根进行求解即可； （2）分别计算各项，再代入原式后合并即可得到最终结果； （3）分别计算各项，再代入原式后按顺序计算，得到最终结果． 解：（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 6．（25-26七年级上·北京·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算（算术平方根、立方根、绝对值、乘方），解题的关键是准确计算各部分的实数运算结果． （1）分别计算算术平方根、立方根、绝对值，再进行加减运算； （2）分别计算乘方、绝对值、立方根、算术平方根，再进行加减运算． 解：（1）解： （2） 7．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： （1） ， ； （2）计算的值． 【答案】（1），；（2）2024 【分析】本题主要考查了代数式规律、实数的运算等知识点，发现式子的变化规律是解题的关键． （1）根据已有式子类比、归纳即可解答； （2）先利用（1）的规律化简原式，然后再计算即可． 解：（1）解：①， ②， ③， ④， …， ，． 故答案为：，． （2）解： ． 8．（25-26八年级上·上海金山·月考）观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… （1）化简：_____；这是第_____个等式． （2）第个等式是_____．（用含的式子表示） （3）比较与1的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到，可以根据规律得到结果． （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为． （3）利用作差法比较大小． 解：（1）解：根据前4个式子可得：， 这是第个等式． （2）解：由前4个等式可得第n个等式为． （3）解：∵， ∴． 【题型 3】解二元一次方程组（8题） 1．（24-25七年级下·重庆·期末）解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）的系数互为相反数，用加减消元法解即可； （2）两个方程系数既不相等也不相反，用代入消元法解即可． 解：（1）解：， ①②得，，即， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴这个方程组的解是； （2）解：， ，得，即， 把③代入②得，， ，即， ∴， 解得：， 将代入③得，， ∴这个方程组的解是． 2．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）解方程组： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 解：（1）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：，                                               ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理得， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， ∴原方程组的解为． 3．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 解：（1）解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）解二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元求解即可； （2）利用加减消元求解即可． 解：（1）解：， 由②得：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：将原方程组整理得：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 5．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）解方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法或代入消元法解题是解决本题的关键． （）根据二元一次方程组的解，通过加减消元法进行计算即可得解. （）根据二元一次方程组的解，通过加减消元法进行计算即可得解． 解：（1）解：， 得： ， 解得：， 把代入得：， 解得： ． 原二元一次方程组的解为． （2）解：， 得： ， 得： 得： 解得：， 把代入得：， 解得： ． 原二元一次方程组的解为． 6．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在数学课的巩固练习环节，老师布置了学习任务： 解关于x，y的二元一次方程组 一位同学看错了方程组中的a，得到的解为，另一位同学看错了方程组中的b，得到的解为，请完成下面问题： （1）求原方程组中的a，b的值； （2）求原方程组的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了方程组的解的定义和解二元一次方程组，正确解方程组是解题的关键． （1）把代入方程组的第二个方程，把代入方程组的第一个方程，即可得到一个关于a，b的方程组，即可求解； （2）把a，b的值代入原方程组，然后解方程组即可． 解：（1）根据题意得： 解得： ； （2）原方程组是： ， 得， 解得，再代入得， 即，解得， 所以原方程组的解为． 7．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用代入消元法求解即可； （2）先将方程组化简，再利用加减消元法求解即可． 解：（1）解：， 方程组可化为， 将代入得：， 解得：； 将代入得：； 所以方程组的解为； （2）解：， 方程组可化为， 得， 解得：； 将代入得：， 解得：； 所以方程组的解为． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 （1）请你仿照上面的解法，解方程组： （2）解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可； （2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可． 解：（1）解： ，得．③ ，得， 解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 （2）解： ，得． ∵，∴．③ ，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 【题型 4】含参数的二元一次方程组问题（8题） 1．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x、y的方程组和有相同的解，求： （1）它们相同的解； （2）的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了同解方程组，熟练掌握方程组同解的含义是解题关键是解题的关键． 根据两个方程组有相同的解，把两个方程组拆开重新组合方程组，只需把两个方程组中不含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组，求出未知数x、y的值，再代入另一组含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组求出a、b的值即可． 解：（1）解：∵关于x、y的方程组和有相同的解， ∴联立， 解得． （2）解：∵也是方程的解， ∴， 解得， ∴． 2．（24-25七年级下·山东淄博·期末）若关于x，y的方程组． （1）求方程组的解（用含m的代数式表示）； （2）若方程组的解满足，，求m的整数解． 【答案】（1）；（2）2， 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）利用加减法解方程组即可； （2）根据方程组的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，进而求得m的整数解． 解：（1）， ②-①得： 解得：， 把代入①得：， 解方程组为； （2），， ， 解得：， 的整数解是：2， 3．（24-25七年级下·广东汕头·期末）在解关于x，y的方程组时，可以用①②消去未知数x，也可以用①②消去未知数 （1）求m和n的值． （2）在（1）的条件下，解方程组 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意列出关于m，n的方程组，解方程组求出m，n即可； （2）把（1）中所求m，n代入方程组，解方程组求出x，y即可． 本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤． 解：（1）解：， ①得：， ②得：， ①②消去未知数x， ， ①得：， ②得：， 用①②消去未知数y， ， ， 整理得：， 解得：； （2）解：由（1）可知： 方程组为 ①得：③， ②得：④， ③+④得：, 即， 把代入①得： 即， 方程组的解为： 4．（24-25七年级下·河北沧州·期末）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清楚． （1）他把“□”猜成5，请你解二元一次方程组 （2）妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”请你通过计算说明原题中“□”是几． 【答案】（1）；（2）3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解求参数． （1）根据加减消元法计算即可； （2）设印刷不清的数字为a，由题意可知，代入求出，可知，最后将代入计算即可． 解：（1）解： 得， 解得， 将代入得， 解得：， ∴； （2）解：设印刷不清的数字为a， 由题意，得， 将其代入中， 得， 所以． 将代入， 得， 即原题中□是3． 5．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）（1）解方程 （2）琪琪将上面题目改编为：已知关于x、y的方程组的解x的值为最小的正整数，请求出a的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把代入方程组，利用加减法解方程组即可得到答案． 解：（1） 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴； （2）解：∵关于x、y的方程组的解x的值为最小的正整数， ∴ ∴ 得，， 解得： 6．（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知关于的二元一次方程组（为常数）． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握相关的知识． （1）让二元一次方程组的两个式子相加，得到含有的式子，即可求解； （2）让二元一次方程组的两个式子相减，得到含有的式子，即可求解． 解：（1）解：， ①②得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， ①②得：， ∵， ∴， 解得：． 7．（24-25七年级下·山东泰安·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 【答案】（1）；（2）；，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得； （2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得；根据两个方程组有相同的解求出，的值，继而求出的值即可得． 解：（1）， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 则方程组的解为， 故答案为：； （2）由（1）得：， 解得：， 即原方程组的解为， 故答案为：； ，的方程组与有相同的解， ， 解得：， 将代入方程得：，解得：， 将代入方程得：，解得：， 则，， 解得：，． 8．（24-25七年级下·山东德州·期末）对于关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． （1）方程组的解x与y______（“具有”或“不具有”）“友好关系”； （2）若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； （3）关于x，y的方程组，其中a、b都是正整数，若该方程组的解x与y具有“友好关系”，请求出a，b的值． 【答案】（1）具有；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可； （2）利用加减消元法得到，再根据“友好关系”的定义得到，解方程即可得到答案； （3）利用加减消元法求出方程组的解，进而得到，根据“友好关系”的定义可得，据此讨论求解即可． 解：（1）解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为， ∴， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； （2）解： 得，， ∴， ∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴， ∴或， 解得或， ∴m的值为或； （3）解： 得，，解得， 把代入②得，， ∴， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”， ∴， ∴， 当时，可得， ∵a与b都是正整数， ∴或； 当时，可得，而a与b都是正整数矛盾，此种情况不成立， ∴当或时，此时方程组的解具有“友好关系”． 【题型 5】解一元一次不等式（组）（8题） 1．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）按要求完成下列计算： （1）解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． （2）解不等式组：． 【答案】（1），数轴上表示见分析，原不等式的正整数解为，，，，；（2） 【分析】（1）解一元一次不等式按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1（不等号变向）的步骤求解，再标注数轴并找出正整数解； （2）分别解不等式组中的两个一元一次不等式，按“同小取小”的口诀即可确定不等式组的解集． 解：（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 将解集在数轴上表示如图： ∴原不等式的正整数解为，，，，； （2）解：， 解，得， 解，得， ∴原不等式组的解集是． 2．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来 （1）， （2） 【答案】（1），见分析；（2），见分析 解：（1）解： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 把解集在数轴上表示出来，如下： （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来，如下： 3．（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： （1）下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； （2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）任务一：①不等式的性质2∶不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；②一；任务二：；任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变（答案不唯一）；（2）；数轴见分析． 【分析】（1）任务一根据不等式的性质即可得出答案； 根据题干中的解题步骤进行判断即可； 任务二：将错误之处改正并解不等式即可； 任务三：根据解不等式需要注意的细节写出一条即可； （2）解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可． 解：（1）解：任务一由解题过程可得去分母的依据是不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变， 故答案为：不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变； 由解题步骤可得从第一步开始出错； 任务二：原不等式去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 两边都除以得； 任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变； （2）解不等式得， 解不等式得， 故原不等式组的解集为， 在数轴上表示其解集如下图所示： ． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上． （1）． （2） 【答案】（1），数轴见分析；（2），数轴见分析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1，再在数轴上表示出来即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示出来即可． 解：（1）解： 两边同乘3，得 展开，得 移项，得 合并，得 两边同除以，不等号方向改变，得 将其解集表示在数轴上，如图， （2）解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 ， 将其解集表示在数轴上，如图， 5．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组：，并求它的最大整数解． 【答案】（1），图见分析；（2），最大整数解为 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式是关键． （1）不等式移项合并，把系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，再求出最大整数解即可． 解：（1）原不等式移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 数轴表示如下： （2）， 解①得：， 解②得：； ， 整数解为：， 最大整数解为． 6．（25-26八年级上·浙江·期末）（1）解不等式：， 并把解集在数轴上表示出来 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），数轴见分析；（2），数轴见分析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 解：（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 在数轴上表示为： （2）解：， 解得： 解得：， ∴， 在数轴上表示为： 7．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）解下列不等式（组） （1）； （2）解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题考查了解不等式，求不等式组的整数解． （1）移项合并同类项、系数化为1即可； （2）分别解两不等式，求出不等式组的解集，进而写出整数解即可． 解：（1）解：， ， ； （2）解：解不等式得； 解不等式得； ∴不等式组的解集为， 即该不等式组的整数解为． 8．（25-26八年级上·浙江金华·期中）解一元一次不等式（组）： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式组． （1）解一元一次不等式，按照“去括号、移项、合并同类项、系数化为”的步骤进行，注意系数化为时，若系数为负数不等号方向改变， （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 解：（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解： 由①得：， 整理得：， 系数化为，得； 由②得：， 整理得：， 系数化为，得， 则不等式组的解集为：． 【题型 6】含参数的一元一次不等式（组）问题（8题） 1．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）已知不等式组的解集为，则的值等于多少． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，代数式求值；解不等式得，由不等式组的解集为可得，从而知的值，代入即可． 解：解不等式，得：， 不等式组的解集为， ， ， 则． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）（1）如下是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围写出这道题完整的解题过程． （2）已知不等式组的解集是，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组、一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先解一元一次方程可得，然后根据题意可得，从而进行计算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀确定不等式组的解集，再结合得出关于、的方程组求解即可． 解：（1）， ， ， 方程的解是非负数， ， ，解得：， 的取值范围为：． （2）， 解不等式得：， 解不等式得：， 该不等式组的解集是， ，， 解得：，， ． 3．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式组． （1）当为何值时，该不等式组的解集为； （2）若该不等式组只有个正整数解，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力，并根据不等式组的整数解个数得出关于的不等式组． （1）先解每个不等式得出其解集，结合已知的不等式组的解集得出关于的方程，解之即可； （2）根据不等式组只有个正整数解知，解之即可． 解：（1）解：解不等式，得：， 解不等式，得， 则不等式组的解集为， 该不等式组的解集为， ， 解得； （2）解：不等式组只有个正整数解， ， 解得． 4．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求所有符合条件的整数． 【答案】，，，0，1，2， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可． 解：解方程组得：， 关于x，y的二元一次方程组的解满足， ， 解得：， 解不等式组得， 又关于x的不等式组有解， ， 解得：， 即， 所有符合条件的整数a为：，，，0，1，2，． 5．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于、的方程组 （1）若，求这个方程组的解； （2）若该方程组的解满足、均为正数，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）将m看作已知数，x、y看作未知数解方程组，得出，然后将代入得出方程组的解即可； （2）根据方程组的解为且该方程组的解满足、均为正数，列出不等式组，解不等式组即可． 解：（1）解：由方程组得：， 把代入得：； （2）解：∵方程组的解为， 又、均为正数， ， 解不等式组得：． 6．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）关于，的方程组． （1）若，求的值； （2）若、均为非负数，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟知解方程组和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把方程组中的两个方程相加可得，则，解方程即可得到答案； （2）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据x、y均为非负数，列出关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案． 解：（1）解：， 得：， ， ， 解得：； （2）解：， 解得， 、均为非负数， ，， 即， 解得； 7．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知关于x的不等式组 （1）若，解不等式组； （2）若不等式组的解集是． ①求m的取值范围； ②当m为何整数时，不等式的解集为． 【答案】（1）；（2）①；②2，3 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据不等式组的解集情况求参数，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）求出不等式的解集，再求出公共解即可； （2）①根据不等式组的解集是，可得m的取值范围；②由不等式的性质，可得，结合①中结论可得答案． 解：（1）解：若，不等式组为 解不等式，得：， 结合不等式，可得不等式组的解集为：； （2）解：①由（1）得，不等式组可变形为， 不等式组的解集是， ； ②由题意，得，且， ， ∴m的整数值为2，3. 8．（24-25七年级下·广东汕头·期末）（1）在关于x，y的二元一次方程组 中，，求a的取值范围． （2）已知，且，求的取值范围． （3）已知，在关于x，y的二元一次方程组 中，，化简 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、化简绝对值等知识点，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题关键． （1）先利用加减消元法求出x、y的值，再根据可得一个关于a的一元一次不等式组，然后解不等式组即可得； （2）设，根据（1）的方法求解即可； （3）先利用加减消元法求出x、y的值，再根据可得，然后将代入所求式子，根据绝对值运算进行化简即可得． 解：（1）， ①②得：， 解得：， 将代入②得：， 解得， 由得：， 解不等式③得：， 解不等式④得：， 则的取值范围是； （2）设， 得： 解得 得： 解得 x （ 8， y （ 4， ， 解得 故取值范围为； （3）， ①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 由得：， 由得：， 则， ， ， ， ， ， ． 【题型 7】实数运算与二元一次方程组综合（8题） 1．（24-25七年级下·重庆·期末）实数的计算与解二元一次方程组． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 解：（1）解：； （2）解：将方程组整理可得， 由可得：， 解得， 将代入①可得：， 解得， ∴原方程组的解为． 2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）（1）计算：； （2）解二元一次方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，实数的运算，掌握解二元一次方程组的方法，立方根的定义，实数的性质，算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据实数的运算法则，利用实数的性质，立方根的定义，算术平方根的定义计算即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 解：（1） ； （2）， ①+②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 方程组的解为． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考） （1）计算： ①； ②； （2）解下列二元一次方程组： ① ②． 【答案】（1）① ;② ；（2）①：;②： 【分析】本题考查实数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握实数的运算法则和解二元一次方程组的方法是解题的关键， （1）①利用开平方，绝对值，零指数幂和负指数幂的运算法则即可得到答案；②利用开平方，开立方，绝对值及有理数的混合运算法则计算即可得到答案； （2）①整理方程组，利用代入消元法计算即可得到答案；②利用代入消元法计算即可得到答案． 解：（1）解：① ． ② ． （2）解：① 整理得： 由①得：， 将③代入②中得：， 解得：， 将代入③中得：， ∴． ② 由①得：， 将③代入②中得：， 解得：， 将代入③中得：， ∴． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）解下列二元一次方程组 （1）； （2） （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查实数的运算和解二元一次方程方程组，准确计算是解题的关键． （1）利用加减消元法解此方程即可； （2）整理后，利用加减消元法求解； （3）利用乘方、算术平方根的性质、绝对值的性质、立方根的性质进行计算，然后再计算加减即可． 解：（1）解：， ，可得， 解得， 把代入，可得， 解得， 原方程组的解是； （2）解：原方程组整理得，， ，解得， 把代入，可得， 解得， 原方程组的解是； （3）解： ． 5．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式， 实数的性质等等，先利用加减消元法得到，则，进而求出，据此先计算算术平方根和去绝对值，再合并同类项即可得到答案． 解： 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 6．（24-25七年级下·山东临沂·月考）（1）计算：； （2）解二元一次方程组： ① ② ③解不等式（组）：． 【答案】（1）；（2）①；②；③ 【分析】本题考查实数的混合运算、解二元一次方程组、解一元一次不等式，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算算术平方根、立方根和绝对值，再加减运算即可； （2）①利用加减消元法解方程组即可； ②先整理方程组，再利用加减消元法解方程组即可； ③根据不等式的性质解一元一次不等式即可． 解：（1） ； （2） 得，解得， 将代入①中，得，解得， ∴原方程组的解为； ②整理方程组为 得，解得， 将代入②中，得，解得， ∴原方程组的解为； ③去分母，得， 移项、合并同类项，得， ∴不等式的解集为． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． （1）下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）； ；； （2）若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值； （3）若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据“开心”方程组的定义进行逐项分析，即可作答． （2）先整理原方程为，再结合“开心”方程组的定义，得出，再代入，进行计算，即可作答． （3）先结合结合“开心”方程组的定义，得出，然后解出，或，，再分别代入，结合题意列式计算，即可作答． 解：（1）解：∵， ∴， ∵中的， 故不是“开心”方程组； ∵中的 ∴是“开心”方程组； ∵， ∴， 把代入， 得， 解得， 把代入， ∴， ∵， 故不是“开心”方程组； 故答案为：． （2）解：∵， ∴两式子相加得， 整理得， ∵关于，的方程组是“开心”方程组， ∴， 即， 解得或； （3）解：关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴ 即把代入， 得 整理得， ∴， 故或， 当时，； ∵， ∴， 则， 整理得， ∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴， 即， 则 ∴， 此时； 当时，； ∵， ∴， 则， 整理得， ∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴， 即， 则 ∴， 此时； 综上：的值为或． 8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）阅读下列材料： 小亮同学在学习二元一次方程组时遇到了这样的一个问题：解方程组 ，小亮发现，如果把方程组中的，看成一个整体，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程： 解：令 ． 原方程组化为 ， 解得 把代入 ，得 ，解得 所以原方程组的解为 （1）运用上述方法解方程组 （2）直接写出方程组 的解为_______． （3）在（2）的条件下 ， ，求 的值． 【答案】（1）；（2）；（3）1或3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，实数的运算，求一个数的算术平方根和立方根，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）仿照题意利用换元法解方程组即可； （2）仿照题意利用换元法解方程组得到的值，进而求出x、y的值即可； （3）根据（2）所求求出a、b的值即可得到答案． 解：（1）解：令， 原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （2）解：令， 原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ， ∴， ∴或． 【题型 8】实数运算、二元一次方程组、一元一次不等式（组）综合（8题） 1．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 整体思想解二元一次方程组解方程组： 解： 得，①②得， 则解得 评价：此题解法应用了整体思想，先得出整体“”和“”的值，再求解x和y的值． 练习：解方程组： 任务： （1）直接写出研究报告中“■”处空的内容为______，“▲”处空缺的内容为______． （2）应用整体思想完成练习中题目的解答． （3）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）5，；（2）；（3） 【分析】本题考查了整体思想解二元一次方程组，一元一次不等式，理解“整体思想”是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2），得，，得，然后联立，即可得到答案； （3）由得，即，然后解不等式即可． 解：（1）解：5，，理由如下： 得，①-②得， 故答案为：5，； （2）解：， ，得， ，得， 则 ，得， ，得， 原方程组的解为； （3）解：，理由如下： 由 得，即． ， ，解得． 2．（23-24七年级下·云南德宏·期末）阅读下列材料： 小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组，小明发现如果把方程组中的看成一个整体，通过整体代入，可以快速求出这个方程组的解．以下是他的解题过程： 解：将①整体代入②，得，解得， 把代入①，得， 所以，这个方程组的解是， 我们把这种解法称为“整体代入法”． （1）实践运用：请用“整体代入法”解方程组 （2）拓展运用：若关于a，b的二元一次方程组 的解满足，请求出m的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的解，熟练掌握整体思想的运用是解本题的关键． （1）方程组整理后，仿照题干中的解法求解即可； （2）将方程组两式相加，得到，再根据，列出关于m的不等式，解之即可． 解：（1）解：由①变形，得 ， 把③代入②，得， 解得：， 把代入③，得  ， 解得：， ∴这个方程组的解为 ； （2）解：， ，得， 即， 故， ∵， ∴， 解得：， ∴m的取值范围为． 3．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）（1）解不等式组： （2）下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程组： 解：，得， ………………第一步 ，得   ………………第二步 所以   ………………第三步 把代入得   ………………第四步 所以原方程组的解为   ………………第五步 任务一：上述解二元一次方程组的方法叫做______法；以上求解步骤中，第一步的依据是_______________； 任务二：第______步开始出现错误，具体错误是____________________； 任务三：直接写出该方程组正确的解． 【答案】（1）；（2）任务一：加减消元，等式性质2；任务二：二，合并同类项计算错误；任务三：． 【分析】（1）先对每一个不等式进行解答，最后求出解集即可； （2）利用加减消元解二元一次方程组即可求解． 解：（1） 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， （2）任务一：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，在以上求解步骤中，第一步的计算依据的是等式的性质，将等式左右两边同时乘，等式仍然成立， 故答案为:加减消元，等式的性质， 任务二：题目中的解答过程从第二步开始出现错误，具体错误是，的计算中，合并同类项计算错误，结果应该是， 故答案为:二  合并同类项计算错误， 任务三： 得：， ，得：， ，解得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：． 【点拨】此题考查了不等式组和二元一次方程组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法，正确解得每个不等式的解集和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）（1）解二元一次方程组：； （2）求不等式的解集，并将解集表示在数轴上：． 【答案】（1）；（2），解集在数轴上表示见分析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式；解答的关键是相应的知识的掌握与运用． （1）先用加减消元法，即可求解； （2）直接求该不等式的解集，再在数轴上表示出解集即可． 解：（1）， 得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解为：． （2）去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化一得． 解集表示在数轴上为： 5．（2025七年级下·湖南·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解是一对正数，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数的取值范围，先求出方程组的解，再根据方程组的解是一对正数得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 解：解方程组得，， ∵关于的二元一次方程组的解是一对正数， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． （2）已知，的平方根是，求的平方根． 【答案】（1）；数轴见分析（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，算术平方根，平方根，熟练掌握相关个定义是解题的关键． （1）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答； （2）根据算术平方根、平方根的定义求出a、b的值，再计算，最后根据平方根的定义求解即可． 解：（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： （2）依题意得：，， ∴，， ∴， ∵16的平方根为， ∴的平方根为． 7．（23-24七年级下·山东德州·期末）（1）已知的算术平方根是，是的立方根，求的平方根； （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上：． 【答案】（）或；（），数轴表示见分析． 【分析】（）利用算术平方根和立方根的定义先求出的值，代入求出的值，最后利用平方根的定义求解即可； （）分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可， 本题考查了算术平方根，平方根，立方根的定义，解一元一次方程组，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（）∵的算术平方根是， ∴，解得， ∵是的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根为或； 解：（） 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如图： 8．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段检测）（1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． （2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】（1），在数轴上表示见详解；（2）或 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根的定义，解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先分别解出两个不等式的解，再得出不等式组的解集，从而在数轴上表示出来即可． （2）利用算术平方根和立方根的定义先求出的值，代入求出的值，最后利用平方根的定义求解即可； 解：（1）解：， 由①解得：； 由②解得：， 则不等式组的解集为， 表示在数轴上，如图所示： （2）解：∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（一）——运算化简与求值（3大考点8类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】平方根与立方根 1 【考点二】解二元一次方程组 2 【考点三】解一元一次不等式（组） 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】平方根与立方根的基础运算（8题） 3 【题型 2】实数的混合运算（8题） 3 【题型 3】解二元一次方程组（8题） 5 【题型 4】含参数的二元一次方程组问题（8题） 6 【题型 5】解一元一次不等式（组）（8题） 8 【题型 6】含参数的一元一次不等式（组）问题（8题） 9 【题型 7】实数运算与二元一次方程组综合（8题） 10 【题型 8】实数运算、二元一次方程组、一元一次不等式（组）综合（8题） 13 一.必考点知识回顾 【考点一】平方根与立方根 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根。 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零。 重要结论 【考点二】解二元一次方程组 解法 适用场景 核心步骤 注意事项 代入消元法 某个未知数的系数为1 或-1. ①用含一个未知数的式子表示另一个未知数；②代入另一个方程消元；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数. 变形时要注意符号，代入时要代入“未变形的方程”. 加减消元法 同一未知数的系数相等或相反或成倍数. ①变形方程组，使某一未知数的系数相等或相反；②加减消元，得到一元一次方程；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数. 系数成倍数时，两边要同乘“最小公倍数”，避免漏乘常数项. 【考点三】解一元一次不等式（组） 1、解一元一次不等式的基本步骤： （1）去分母：两边同时乘各分母的最小公倍数，注意：若乘的是负数，不等号方向要改变； （2）去括号：按乘法分配律展开括号，注意符号变化（尤其是括号前是负号时）； （3）移项：把含未知数的项移到不等号一边，常数项移到另一边，移项要变号； （4）合并同类项：将同类项合并，化为（或）的最简形式； （5）系数化为1：两边同时除以未知数的系数：系数为正数时，不等号方向不变；系数为负数时，不等号方向必须改变。 2、解一元一次不等式组基本步骤： （1）分别解不等式组中每个一元一次不等式；（2）在同一数轴上表示出两个不等式的解集；（3）找出公共部分，即为不等式组的解集；（4）若无公共部分，则不等式组无解。 二.必考题型精析 【题型 1】平方根与立方根的基础运算（8题） 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的值： （1）； （2）． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）已知的算术平方根是4，的立方根是． （1）求x，y的值； （2）求的平方根． 3．（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知． （1）求a的值； （2）求的平方根． 4．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）（1）计算：． （2）解方程．． 5．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）计算： （1） （2） 6．（24-25七年级下·重庆永川·期末）已知实数，的立方根是3． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 7．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）计算： （1）； （2）． 8．（24-25七年级下·山西阳泉·期中）计算． （1）； （2）． 【题型 2】实数的混合运算（8题） 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）（1）计算：； （2）一个正数的两个平方根是和，求正数的立方根． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）计算： （1） （2）． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． （3）． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算 （1）． （2）． 5．（25-26八年级上·全国·期末）（1）解方程：； （2）计算：； （3）计算：． 6．（25-26七年级上·北京·期中）计算： （1）； （2）． 7．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： （1） ， ； （2）计算的值． 8．（25-26八年级上·上海金山·月考）观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… （1）化简：_____；这是第_____个等式． （2）第个等式是_____．（用含的式子表示） （3）比较与1的大小． 【题型 3】解二元一次方程组（8题） 1．（24-25七年级下·重庆·期末）解方程组： （1）； （2）． 2．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）解方程组： （1）． （2）． 3．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解二元一次方程组： （1） （2） 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）解二元一次方程组： （1） （2） 5．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）解方程组： （1） （2） 6．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在数学课的巩固练习环节，老师布置了学习任务： 解关于x，y的二元一次方程组 一位同学看错了方程组中的a，得到的解为，另一位同学看错了方程组中的b，得到的解为，请完成下面问题： （1）求原方程组中的a，b的值； （2）求原方程组的解． 7．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程组： （1） （2） 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 （1）请你仿照上面的解法，解方程组： （2）解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【题型 4】含参数的二元一次方程组问题（8题） 1．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x、y的方程组和有相同的解，求： （1）它们相同的解； （2）的值． 2．（24-25七年级下·山东淄博·期末）若关于x，y的方程组． （1）求方程组的解（用含m的代数式表示）； （2）若方程组的解满足，，求m的整数解． 3．（24-25七年级下·广东汕头·期末）在解关于x，y的方程组时，可以用①②消去未知数x，也可以用①②消去未知数 （1）求m和n的值． （2）在（1）的条件下，解方程组 4．（24-25七年级下·河北沧州·期末）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清楚． （1）他把“□”猜成5，请你解二元一次方程组 （2）妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”请你通过计算说明原题中“□”是几． 5．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）（1）解方程 （2）琪琪将上面题目改编为：已知关于x、y的方程组的解x的值为最小的正整数，请求出a的值． 6．（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知关于的二元一次方程组（为常数）． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 7．（24-25七年级下·山东泰安·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 8．（24-25七年级下·山东德州·期末）对于关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． （1）方程组的解x与y______（“具有”或“不具有”）“友好关系”； （2）若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； （3）关于x，y的方程组，其中a、b都是正整数，若该方程组的解x与y具有“友好关系”，请求出a，b的值． 【题型 5】解一元一次不等式（组）（8题） 1．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）按要求完成下列计算： （1）解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． （2）解不等式组：． 2．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来 （1）， （2） 3．（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： （1）下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； （2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上． （1）． （2） 5．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组：，并求它的最大整数解． 6．（25-26八年级上·浙江·期末）（1）解不等式：， 并把解集在数轴上表示出来 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 7．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）解下列不等式（组） （1）； （2）解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 8．（25-26八年级上·浙江金华·期中）解一元一次不等式（组）： （1） （2） 【题型 6】含参数的一元一次不等式（组）问题（8题） 1．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）已知不等式组的解集为，则的值等于多少． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）（1）如下是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围写出这道题完整的解题过程． （2）已知不等式组的解集是，求的值． 3．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式组． （1）当为何值时，该不等式组的解集为； （2）若该不等式组只有个正整数解，求的取值范围． 4．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求所有符合条件的整数． 5．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于、的方程组 （1）若，求这个方程组的解； （2）若该方程组的解满足、均为正数，求的取值范围． 6．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）关于，的方程组． （1）若，求的值； （2）若、均为非负数，求的取值范围． 7．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知关于x的不等式组 （1）若，解不等式组； （2）若不等式组的解集是． ①求m的取值范围； ②当m为何整数时，不等式的解集为． 8．（24-25七年级下·广东汕头·期末）（1）在关于x，y的二元一次方程组 中，，求a的取值范围． （2）已知，且，求的取值范围． （3）已知，在关于x，y的二元一次方程组 中，，化简 【题型 7】实数运算与二元一次方程组综合（8题） 1．（24-25七年级下·重庆·期末）实数的计算与解二元一次方程组． （1）； （2）． 2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）（1）计算：； （2）解二元一次方程组： 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考） （1）计算： ①； ②； （2）解下列二元一次方程组： ① ②． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）解下列二元一次方程组 （1）； （2） （3）计算：． 5．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 6．（24-25七年级下·山东临沂·月考）（1）计算：； （2）解二元一次方程组： ① ② ③解不等式（组）：． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． （1）下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）； ；； （2）若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值； （3）若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值． 8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）阅读下列材料： 小亮同学在学习二元一次方程组时遇到了这样的一个问题：解方程组 ，小亮发现，如果把方程组中的，看成一个整体，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程： 解：令 ． 原方程组化为 ， 解得 把代入 ，得 ，解得 所以原方程组的解为 （1）运用上述方法解方程组 （2）直接写出方程组 的解为_______． （3）在（2）的条件下 ， ，求 的值． 【题型 8】实数运算、二元一次方程组、一元一次不等式（组）综合（8题） 1．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 整体思想解二元一次方程组解方程组： 解： 得，①②得， 则解得 评价：此题解法应用了整体思想，先得出整体“”和“”的值，再求解x和y的值． 练习：解方程组： 任务： （1）直接写出研究报告中“■”处空的内容为______，“▲”处空缺的内容为______． （2）应用整体思想完成练习中题目的解答． （3）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出k的取值范围． 2．（23-24七年级下·云南德宏·期末）阅读下列材料： 小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组，小明发现如果把方程组中的看成一个整体，通过整体代入，可以快速求出这个方程组的解．以下是他的解题过程： 解：将①整体代入②，得，解得， 把代入①，得， 所以，这个方程组的解是， 我们把这种解法称为“整体代入法”． （1）实践运用：请用“整体代入法”解方程组 （2）拓展运用：若关于a，b的二元一次方程组 的解满足，请求出m的取值范围． 3．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）（1）解不等式组： （2）下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程组： 解：，得， ………………第一步 ，得   ………………第二步 所以   ………………第三步 把代入得   ………………第四步 所以原方程组的解为   ………………第五步 任务一：上述解二元一次方程组的方法叫做______法；以上求解步骤中，第一步的依据是_______________； 任务二：第______步开始出现错误，具体错误是____________________； 任务三：直接写出该方程组正确的解． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）（1）解二元一次方程组：； （2）求不等式的解集，并将解集表示在数轴上：． 5．（2025七年级下·湖南·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解是一对正数，求的取值范围． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． （2）已知，的平方根是，求的平方根． 7．（23-24七年级下·山东德州·期末）（1）已知的算术平方根是，是的立方根，求的平方根； （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上：． 8．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段检测）（1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． （2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $