山东青岛市2026届高三5月适应性检测数学试题

青岛市2026年高三年级第三次适应性检测数学试题 2026.05 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知为全集，集合，满足，则（ ） A． B． C． D． 2．为评价某种蓝莓的种植效果，随机选择5块地作为试验田，这5块地的亩产量（单位：）分别为，，…，，下面给出的指标中可以评估这种蓝莓亩产量稳定程度的是（ ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差 3．已知，，，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 4．某机构对，，三个地区进行基于人工智能的每周跑步时长的调查，已知这三个地区分别有，，的人每周跑步时长在6小时以上，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人每周跑步时长在6小时以上的概率为（ ） A．0.04 B．0.05 C．0.06 D．0.07 5．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过原点的直线交于，两点．若，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．若函数（）在上的值域为，则可以为（ ） A．4 B．2 C．1 D． 7．已知直线：，圆：，则“”是“与圆相切”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知数列的前项和为．．，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在直三棱柱中，，点，分别为线段，的中点，则（ ） A． B． C．平面 D．平面 10．已知为坐标原点，抛物线：（）的焦点为，直线与交于，两点，点为线段的中点，则（ ） A． B．若，则为的一个方向向量 C．若．则过定点 D．若，则到轴距离的最小值为 11．函数，的定义域为，为偶函数且恒大于0，，，；，则（ ） A． B． C． D．对于任意，点到直线与的距离之积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设复数满足，则的虚部为__________． 13．已知正四棱台的体积为，，，则该正四棱台的侧面积为__________． 14．已知实数，，…，，满足，且（，3，4，…，10），则当时，的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）记内角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若，且，求的面积． 16．（15分）某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数（精确到0.1）； （2）以样本数据中各区间的频率作为该区间的概率，若从全校学生中随机抽取30人，记其中获得优秀的人数为，求使取得最大值时的值． 17．（15分）如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至、使得． （1）证明：平面； （2）点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． 18．（17分）已知双曲线：（，）的离心率为2，且过点． （1）求的方程； （2）记的左、右焦点分别为，，点和如下构造：在第二象限任取上一点．直线交于另一点，直线交于另一点． （ⅰ）记直线的斜率为，证明： （ⅱ）设点关于直线的对称点为，探究：是否存在定圆，使得点始终在上？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由． 19．（17分）定义函数的“佳点”如下：对动点，当时，，当时，．当时，． （1）若函数．写出的一个“佳点”，并说明理由； （2）若函数的最小值为0，其中． （ⅰ）求； （ⅱ）求的横坐标最大的“佳点”． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高三年级第三次适应性检测参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1-8:C D B C BB A C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BCD;10.AC;11.BCD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.-2;13.12W3;14.13 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分) 解：(1)由正弦定理知：sin Acos B+(sinB+2sinC)cosA=02分 sin Acos B+cos Asin B+2sin Ccos A=0,sin C+2sin Ccos A=0, 因为sinC0,所以cosA=又因为A∈0，，所以AE2红5分 3 (2)由题知：sinB+sinC=sinB+sin -8=sin8+5。 3 cos B-Isin B 2 2 8+s8=m8+引17分 同为8引所以+ ,B+=,B=,C=-=9分 32 6 366 a b 由正弦定理知： ,得b=C=2, sin A sin B sin C 1 所以S△MBc=-besin A=V5 13分 16.(15分) 解：(1)由题知：10×0.004+2a+0.03+0.026+0.01=1,解得a=0.0152分 设中位数为m,则10×0.004+10×0.015+10×0.03+m-70)×0.026=0.5, 解得m≈70.38，故中位数为70.45分 (2)因为样本中80分以上的频率为10×0.015+0.01=0.25， 故随机变量X~B30,4 7分 所以P叫x-利=c日目=0.2.0 P(X=k)≥P(X=k-1) 当P(X=k)最大时， P(X=k)≥P(X=k+1) c目c安a(” 10分 sc4”() 30! 得 0得-4”目 0- 301 30! 13 得k31- ,所以27≤4≤31，有27≤k≤3113分 3 1 4 4 30-k-k+1 又因为k∈N,所以当P(X=k)最大时k的值为715分 17.(15分) 解：(1)因为AP=2,AB=2,BP=2V2,所以AB⊥AP, 又因为AB⊥AD,ADAP=A,AD,APC平面APD,所以AB⊥平面APD,故AB⊥PE3 分 又因为AP=PD=2,E为AD中点，所以PE⊥AD, 又因为ABAD=A,AB,ADC平面ABD, 所以PE⊥平面ABD6分 (2)建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则 D2w5,0.0,s0,20,E5.00.P2.0),c50,0 B E D 设F(0,t,0)(0≤t≤2)，n=(x,y,z为平面FPD的法向量， n·FP=0[V2x-y+V2z=0 则 ,即 n·FD=0 22x-y=0 取x=t,得n=6,22,d9分 记直线FG与平面FPD所成角为0， 为6（40 所以sin= GF-n 4V2 GF- ÷510 12分 当且仅当t=1时，等号成立，此时0最大， 此时，平面FPD的一个法向量为n=1,2W2,1,EF=（-V21,0, 记点E到平面FPD的距离为d,则d= EFm5 所以点E到平面FPD的距离为 5 15分 5 18.(17分) 解：1)由题知：a=,c=2,62=3,故E的方程为-’=13分 3 (2)设直线l:x=y+t与E交于点M(x,y),N(x2,y2), 由 3x2-y2=3'得(3m2-y2+6my+312-3=0, x=my+t -6mt 3t2-3 所以y+为=3m-'4=3m2- 。5分 则kwkN=为.乃 y y2 x+1x2+1my,+t+1)(my2+t+1 yiy2 m2'2+m(t+1(y+y2)+(t+11 312-3 m2(32-3+m(t+1)(-6mt)+(t+12(3m2-1 3t2-33(1-t) = -t2-2t-1t+1 当t=-2时，得kk40=-9;当t=2时，kBk40,=-1, 所以=。：所以k是首项为太（大<0，公比为。的等比数列 -6g 所以∑k,=k+k2++kn 8 0 _31-sn） (3)设直线P.21:x=ny+Sn,由(2)得kBk0= s,+1 因为ke=-9,且k写所以，=-81-3川，所以=-片 S,+1 13 14 所以直线P.Q1的方程为x=y-13 13分 x-1_y14 法1：设A(x川，则2215，消方可得=-，广 14 y 22(x+1)13 14)2 化简整理得圆C的方程为x+ 13+y二160 17分 法2钱P0过定ac普0小4是4关于P0的对称点，有4C=4C日 14)2 所以C的方程为+得)+= 17分 169 19.(17分) 解：(1)函数f(x)的一个“佳点”为W(1,0)2分 证明：若x=1,则WA=1, 若x∈(0,1)，则f(x)的图像在圆(x-1)+y2=1的内部，所以WA<1, 若x∈1，+0)，则WA=(x-12+x6>1, 所以，W(1,0)是f(x)的一个“佳点”4分 (2)(i)由题知：f1≥0，得a≥15分 若a=1,因为nx≤x-1,变形得上-n1-1≥0， 所以利=-+1-如-1+化-hb小≥0，当x=1等号度，两花题孩7分 若l<a≤2，fx)=(1-lnx)a+xlnx-x+lnx, 当0<x<e时，fx>(1-lnx)+xlnx-x+lnx=xlnx-x+1≥0， 当x>e时，f(x≥2(1-lnx+xlnx-x+lnx=x-1(lnx-l+1>0, 当x=e时，f(x)=1>0, 不合题意 综上，a=110分 (i)先证明W(1,1)是f(x)的“佳点”： 因为m4-1=x-+(f1--1=rax-2nx+2-2到 令gx)=lh2x-21nx+2-2, 法1：令t=lnx,h(t)=t2-2t+2-2e', h'(t)=2t-2+2e'=2t-1+e)≥2[t-1+(-1+1)]=0,所以h(t)在R上单调递增，又因为 h(0)=0,所以当t∈-o,0)时，h(t)<0,即x∈(0,1时，gx<0;当t∈(0，+o时，ht)>0, 即x∈1，+0)时，gx)>013分 法2：gx=2x血-x+l-2Y国≥0， 所以，g(x)在(0，+0)上单调递增13分 又因为，g(1)=0, 所以，当0<x<1时，g(x)<0,x2>0,所以WA-1<0,得WA<1:当x=1时，WA=1;当 x>1时，gx>0,x2>0,所以WA-1>0,得WA>1, 所以W(1,1是f(x)的“佳点”14分 再证明W(1,1)是f(x)的横坐标最大的“佳点”： 假设W'(xo,y)是f(x)的“佳点”，且x>1; 如果。=f(x)+1,点B(1,0)在曲线y=f(x上，则WB=(x-1)2+>1,不合题意； 如果=f()-1,设点Ax,f(x)月，且WA>1,所以WB=WA>1,不合题意： 综上，f(x)的横坐标最大的“佳点”为点W1,1)17分