山东青岛市2026届高三5月适应性检测数学试题

2026年高三年级第三次适应性检测参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1--8:CDBC BBAC 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.BCD; 10.AC; 11.BCD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.-2; 13.12W3; 14.13 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.（13分) 解：(1）由正弦定理知：sin Acos B+(SinB+2sinC)cosA=0… 2分 sinAcos B+cos Asin B+2sinCcosA=0,sinC+2sinC cosA=0, 区因为nC≠0，所以cosA=2,又因为A∈0， 所以A=2π …5分 3 (2)由题知：sinB+snC-如B+sn(5-B)=mB+ cosB-1 *sin B B4 1 -cos B 2 2 =sin(B+）=1…7分 31 因为B(0,5,所以B+∈2西)，B+=,B=五， …9分 3 3’3 32 366 b 由正弦定理知： sin4 sinB sinC,得b=c=2, 13分 所以SA4BC=-bC5nA=3……132 16.(15分) 解：(1)由题知：10×(0.004+2a+0.03+0.026+0.01)=1,解得a=0.015…2分 设中位数为m,则10×0.004+10×0.015+10×0.03+(m-70)×0.026=0.5, 解得心70.38，故中位数为70.4…5分 (2)因为样本中80分以上的频率为10×(0.015+0.01)=0.25， 故随机变量X~B(30,二) 7分 所以Px==C克(，(k=0,12.30。 P(X=)≥P(X=k-1) 当P(X=k)最大时， P(X=k)≥P(X=k+1) 数学评分标准第1页（共5页） c'≥c分绿 得 …10分 c'绿c( 404a81女 30! 30! 得 30! 30! (30-k)！44 1>3 -31- 得 7≤k≤3 13分 3 1,所以27≤4k≤31，得 4 4 30-k-k+1 又因为k∈N,所以当P(X=k)最大时k的值为7…I5分 17.（15分) 解：(1)因为AP=2,AB=2,BP=2W2,所以AB⊥AP, 又因为AB⊥AD,AD∩AP=A,AD,APC平面APD,所以AB⊥平面APD, 故AB⊥PE …3分 又因为AP=PD=2,E为AD中点，所以PE⊥AD, 又因为AB∩AD=A,AB,ADC平面ABD, 所以PE⊥平面ABD… …6分 （2)建立如图所示的空间直角坐标系Ax,则 D(2V2,0,0),B(0,20),EW2,0,0,P√2,0，V2).GC,0,0), 设F(0,t,0(0≤t≤2)，n=(x,y,)为平面FPD的法向量， n.Fp=0[V2x-y+√2a=0 则 ,即 n-FD=0’2W2x-ty=0 取x=t,得n=(t,2√2，t)…9分 B 记直线FG与平面FPD所成角为B, 因为G承=()4,0)，所以 GF.nl (22-z 4√2 sin0 cos <GF,n> GF n 117 510 +京+4 …12分 当且仅当t=1时，等号成立，此时θ最大， 此时，平面FPD的一个法向量为n=(1,2W2,1),EF=(-√2,1,0)， 数学评分标准第2页（共5页) 记点E到平面FPD的距离为d,则d=E7列-V巨-V5 n W10 5 5 所以点E到平面FPD的距离为 …15分 5 18.(17分) 解：(1)由题知：a=1,c=2,b2=3,故E的方程为x2- =1…3分 3 (2)设直线上x=y+t与E交于点M(:,),N(x2,2), x=my+t 由 3x2-y2=3 得(3m2-1)y2+6y+3t-3=0, -6mt 3t2-3 所以1+y2 3m-’y4 …5分 3m2-1 则kAM'kAN= 乃.y2 片y2 x1+1x2+1(+t+1)(ny2+t+1) yy2 m3+(t+1)(+y2)+(t+1) 312-3 m(3t2-3)+(t+1)(-6t)+(t+1)(3m2-1) 3t2-331-t) -t2-2t-1t+1 当1=-2时，得AAG2=-9；当t=2时，,=-1, -。,所以{么，}是首项为k化<0)，公比为，的等比数列， 所以 所以2-++…t长 1-1 8 …10分 9 (3)设直线P2+1x=y+a,由(2)得kAkA2 _31-5n) Sn+1 1 因为K2m=-9,且kA= k,所以k4k4ga8130-,所以s, 91 n+1 14 所以直线P2+1的方程为x=y- …13分 13 x-1_y14 法1：设A(x,y),则 2213 消可得 y2 14 2 2(x+1)13’ =-n x+1 数学评分标准第3页（共5页） 化简整理得圆C的方程为x++ …17分 169 14 法2：直线P2m过定点C( 0,A,是4关于P0的对称点，得ACH4C 所以圆C的方程为(x+三) 14+y= …17分 131 169 19.（17分) 解：(1)函数f()的一个“佳点为W(L,0)…2分 证明：若x=1,则WA=1, 若x∈(0,1)，则f(x)的图像在圆(x-1)+y2=1的内部，所以WAk1, 若x∈(1，+∞)，则WA=(x-1)2+x>1, 所以，W(1,0)是fx)的一个“佳点， …4分 (2)(i)由题知：f(1)≥0，得a≥1 5分 若a=1,因为hx≤x-1,变形得上-m1-1≥0， 所以f()=x血x-x+1=x0mx-1+马=x(ln1-D≥0，当x=1时等号成立， 满足题意… …7分 若1<a≤2，f()=A-lnx)a+xnx-x+nx, 当0<x<e时，f(x)>(1-nx)+xnx-x+nx=xnx-x+1≥0， 当x>e时，f(o≥21-hx)+xln.x-x+hnx=(x-1)lnx-1)+1>0, 当x=e时，f()=1>0, 不合题意 综上，a=1… ………0………心……………]0 (i)先证明W(1,1)是f(x)的佳点”： 因为别W-1e-+)--1-r0mx-2x+23 令8y=n2x-2hx+2-2 法1：令t=mx,h(t)=t2-2t+2-2et, t)=2t-2+2e=2t-1+e)≥2t-1+(-t+1)]=0,所以h(t)在R上单调递增，又因 为h(0)=0,所以当t∈(-∞，0)时，()<0，即x∈(0,1)时，g(x)<0;当t∈(0，+n)时， h(t)>0,即x∈(1，+∞)时，g(x)>0…13分 法2：gw-2血x+0_2f四20， x2 x2 所以，g(x)在(0，+n)上单调递增… .…13分 又因为，g(1)=0, 所以，当0<x<1时，g(x)<0,x2>0,所以WAP-1<0,得1WAk1;当x=1时，|A上1； 当x>1时，g(x)>0,x2>0,所以WAP-1>0,得|WA>1, 数学评分标准第4页（共5页) 所以W(1,1)是f(x)的佳点”…14分 再证明W(L,1)是f(x)的横坐标最大的“佳点”： 假设W(,y0)是f(x)的佳点”，且>1； 如果=f()+1,点B(1,0)在曲线y=f(x)上，则WBP=(,-1)2+>1,不合题意； 如果=f()-1,设点A(,f(),且|WA卜1，所以川WBWA>1,不合题意： 综上，f(x)的横坐标最大的佳点为点W(1,1)…17分 数学评分标准第5页（共5页）山东各地三模2026 青岛市2026年高三年级第三次适应性检测数学试题 2026.05 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题L己知U为全集，集合A,B满足A二CB,则() A.A≤B B.B∈A C.A∩B=0 D.AUB=U 题2，为评价某种蓝莓的种植效果，随机选择5块地作为试验田，这5块地的亩产量（单位：kg) 分别为x1,心2，…，c5,下面给出的指标中可以评估这种蓝莓亩产量稳定程度的是() A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差 题3.已知a=(-1,0),=(1,1),(d+)⊥a,则1=() A.-1 B.1 C.2 D.4 题4某机构对A,B,C三个地区进行基于人工智能的每周跑步时长的调查，已矩这三个地区分 别有4%，6%，7%的人每周跑步时长在6小时以上，假设这三个地区的人口数的比为1：1：2，现 从这三个地区中任意选取一人，则此人每周跑步时长在6小时以上的概率为() A.0.04 B..0.05 C.0.06 D.0.07 题5己知椭圆C三+兰-1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F2,过原点0的直线1交C于 Q? 2 A,B两点。若AF⊥AB,|A=2B,则C的离心率为(） A.3 B.v5 D.15 2 3 C.5 4 5 圆6若函数f)=2m(a-君知>0)在[0，受]上的值域为[-1,2]，则。可以为 A.4 B.2 C.1 题7已知直线l:ax-y-2a+1=0,圆O:x2+y2=1,则“a=0”是“1与圆0相切”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题8已知数列{an}的前n项和为Sn.an+2十(-1)”an=2n-1.S2=140,则a1=() A.4 B.3 C.2 D.1 山东各地三模2026 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题9.在直三棱柱ABC-AB,C中，CA=CB,点P,Q分别为线段AB,CC的中点，则 A.PQ∥AC B.PQ⊥CC C.PQ∥平面ABCD.PQ⊥平面ABB1A1 题10.已知0为坐标原点，抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F(1,0),直线1与C交于A, B两点，点M为线段AB的中点，则() A.p=2 B.若A=2F元，则(1,2)为I的一个方向向量 C.若OA⊥OB.则1过定点(4,0) D.若AB=3,则M到y轴距离的最小值为号 圈亚函数f,g@)的定义域为R,为偶函数且恒大于0，f0≠号，f2)+g2②)=. f(x+)=f(cf(y+g(x)g(y);9(x+)=g(x)f()+f(x)g(y),则() A.f(0)=2 B.f(8)-g(8)=9 C.f(3x)=4f3()-3f(x) D.对于任意x∈R,点(f),g》到直线y=x与U=-x的距离之积为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题2设复数z满足子+=2，则乞的虚部为 题13已知正四棱台ABCD一A,B,CD,的体积为25，AB=4,AB=2,则该正四棱台的侧面 3 积为 题14已知实数a1,a2,,a0,满足a1十a十…+a0=1,且an-an-≤1(n=2,3,4,…,10), 则当l≤i<j≤10时，la+a+1十+a的最大值为 山东各地三模20261 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 题15.(13分) 记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,acos B+(b+2c)cosA=0. (1)求A; (2)若a=2V3,且sinB+sinC=1,求△ABC的面积. 题16.(15分) 某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽 取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图， (1)求α的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数（精确到01）； (2)以样本数据中各区间的频率作为该区间的概率，若从全校学生中随机抽取30人，记其中获得优 秀的人数为X,求使P(X=k)取得最大值时k的值， 频率/组距 0.030 0.026 0.010 0004 0 40 50 60708090100成绩/分 3 山东各地三模2026 题17.(15分) 如图，在矩形ABCD中、AB=2,AD=2√2.E为线段AD中点，将△BCD沿BD翻折至 △BPD、使得AP=2 (1)证明：PE⊥平面ABD; (2)点D,G分别为线段AB,AD上的点，AG=),当直线G与平面PPD所成角最大时，求点E 到平面FPD的距离 B C B G 4 山东各地三模2026 题18.(17分) 已知双曲线E:一 =1(a>0,b>0)的离心率为2，且过点A(-1,0). a2 b2 (1)求E的方程； (2)记E的左、右焦点分别为，乃，点Pn和Qm如下构造：在第二象限任取E上一点P.直线Pn 交E于另一点Qm,直线Q乃交E于另一点P+1 (1)记直线AP的斜率为kn,证明： 2>号 (①)设点A关于直线P.Q+1的对称点为A,探究：是否存在定圆C,使得点A始终在C上？若存在， 求圆C的方程，若不存在，请说明理由。 5 山东各地三模2026 题19.(17分) 定义函数f(x)的“佳点”W(,)如下：对动点A(x,f(x),当0<x<x时，|WA<1, 当x=时，WA=1.当x>c时，|WA>1 (1)若函数f(x)=x.写出f(x)的一个“佳点”，并说明理由： (2)若函数f(c)=(x-a)(nx-1)+nx的最小值为0，其中a≤2. (i)求a; ()求f(x)的横坐标最大的“佳点”. 6