精品解析：山东省青岛市平度市2024-2025学年高三下学期三模数学试题

平度市2025年高考模拟检测（三） 数学试题 2025.05 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的子集的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式，求出集合B，根据集合交集运算求出交集中的元素个数，判断子集个数. 【详解】已知，解得，又，则， 集合中只有一个元素，有个子集. 故选：C 2. 已知的展开式中的系数为，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的展开式的通项公式求出的系数和的系数，再结合题意列式可求出. 【详解】的展开式中的系数为，的系数为， 所以的展开式中的系数为， 依题意得，得. 故选：C 3. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则，的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实系数方程的复数根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值. 【详解】已知是实系数方程的一个复数根，根据实系数方程的复数根成对出现的性质，可知方程的另一个根为. 对于方程，由韦达定理可得两根之和，其中，，则，即，解得. 由韦达定理可知两根之积，则. 可得：，即. 的值为，的值为. 故选：A. 4. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. 4050 B. 2025 C. 4048 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列性质及前项和公式变形给定等式得，再构造常数列求出目标值. 【详解】在等差数列中，， 则，即，因此， 数列是常数列，则，即，所以. 故选：B 5. 细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（ ） A. B. 0.596 C. D. 0.206 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，求出，从而可求得线性回归方程，给两边取对数化简，对照回归方程可求得答案. 【详解】由题意得，解得， 因此， 由两边取对数，得， 又，所以，即． 故选：A． 6. 已知三个函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理得出结果. 【详解】因为，在R上为增函数，在上为增函数， 所以由题知函数，，在各自定义域上都为增函数，又，，∴；，，∴； ，，∴， ∴. 故选：D. 7. 已知等边的边长为为它所在平面内一点，且，则的最大值为（ ） A. B. 7 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，并延长到，则有，从而将转化为，而，所以结合图形可得答案 【详解】解：取的中点，连接，并延长到，使， 因为为等边三角形，所以， 所以, 因为， 所以, 因为等边的边长为， 所以， 要使取得最大值，则与共线且同向， 所以的最大值为， 故选：B 8. 在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是（ ）． A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱台的体积公式、结合基本不等式、线面平行的判定定理、梯形的面积公式进行求解即可． 【详解】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作, 该四棱台的高， 在上下底面由勾股定理可知，． 在梯形中，， 所以该四棱台的体积为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，． 取,的中点，,连接,，显然有， 由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面． 显然， 在直角梯形中，， 因此在等腰梯形中，， 同理在等腰梯形中，， 在等腰梯形中，设，， 则， ， 所以梯形的面积为， 故选：C． 【点睛】解决与几何体截面的问题，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）根据空间中的线面关系，找到线线平行或者垂直，进而确定线面以及面面关系， （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求长度下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于长度的方程，并求解. 二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 是奇函数 C. 是的一个周期 D. 是曲线的一个对称中心 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数解析式有意义，结合有定义，求得函数的定义域，可得判定A错误；根据函数的奇偶性的判定方法，可判定B正确；求得，可判定C正确；求得，可判定D正确． 【详解】对于A中，由有定义，可得， 又由，可得，即， 所以函数的定义域是，且，所以A错误； 对于B中，因为，所以，即， 又因为定义域关于原点对称，所以是奇函数，所以B正确； 对于C中，由，即， 所以是的一个周期，所以C正确； 对于D中，函数的定义域关于点对称， 又由，可得， 即，所以曲线关于点中心对称，所以D正确． 故选：BCD． 10. 已知曲线其中则（ ） A. 存在使得两条直线 B. 不存在使得为圆 C. 若为双曲线，则越大，的离心率越大 D. 若为椭圆，则越大，的离心率越小 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由即可判断；对于B，若C为圆，则，求出即可判断；对于C，若C为双曲线，可得，根据双曲线的离心率公式及正切函数的单调性即可判断. 对于D，若C为椭圆，可得，根据椭圆的离心率公式及正切函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，若，则曲线，即，为两条直线，故A正确； 对于B，若C为圆，则，由，，可得，解得，满足，故B错误； 对于C，时，，若C为双曲线，则，即，得. 曲线可化为， 故双曲线C的离心率为， 当时，单调递增，故C正确. 对于D，若C为椭圆，则，且，所以. 可化为， 若，即，， 则椭圆C的离心率为， 当时，单调递增，故D错误； 故选：AC. 11. 设函数，则（ ） A. 当时，没有零点 B. 当时，在区间上不存在极值 C. 存在实数，使得曲线为轴对称图形 D. 存在实数，使得曲线为中心对称图形 【答案】ABC 【解析】 【分析】对选项逐一判断，分别利用图象研究零点，用导数研究极值，用对称性的定义研究对称性即可. 【详解】解法一：对A，函数的定义域为且，由得且. 作出与的图像，二者有唯一交点，不合题意，故没有零点，故A正确. 对B，由题， 令，， 因为，所以， 又，所以，所以， 则在上无极值，故B正确. 对CD，令， 因为，所以或，由对称性可知，故若存在对称轴或对称中心，必在直线上. 考虑 ， 当时，，所以关于对称，故C正确. 考虑， 所以不存在符合题意的常数，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线与直线垂直，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，结合垂直关系列方程求参数. 【详解】由题设，故时切线的斜率为， 因为与直线垂直，所以. 故答案为：6 13. 若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数取值范围是__________________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意，将问题转化为圆与圆有两个公共点，即两圆相交，从而运用两点间的距离公式建立不等式关系，求出实数的取值范围． 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 若圆上总存在两个点到点的距离为3， 则圆与圆有两个公共点，即两圆相交， 因为的圆心为，半径， 所以，即， 则，即或，实数的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知的面积为，，分别为，的中点，设则取最大值时，=_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量知识表示出与，再结合三角形面积公式得到关于的表达式，最后根据三角函数性质求出取最大值时的值. 【详解】 设，，. 因为，分别为的中点，则，. 所以.  已知的面积为，由三角形面积公式.  已知，将与代入可得： 根据基本不等式（当且仅当时取等号），则有： 令，则，即. 故，其中. 因为，所以，即. 两边平方可得，，解得，所以. 当取最大值时，，即，此时，. 因为，且，所以.  根据三角函数关系以及，可得. 代入可得：，，，. 因为，所以是锐角，则，即.  故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，假设每箱产品中均恰有件不合格品． （1）若求检验一箱产品时恰好抽到件不合格品的概率； （2）若检验一箱产品时至少抽到件不合格品的概率大于，求的最小值. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布，求出事件概率. （2）根据超几何分布，写出事件概率，根据组合数的计算方法，求参数的值. 【小问1详解】 根据超几何分布可知18件正品，2件次品，抽2件，恰好抽到件次品的概率. 【小问2详解】 18件正品，2件次品，抽件，至少抽到件不合格品的对立事件为抽出的全部为合格品，则至少抽到件不合格品的概率，即， 可得，化简得， 解得，约为，所以的最小值为6. 16. 设函数f(x)=ex-ax(a∈R)． （1）当a=1时，求f(x)的单调区间； （2）当x>0时，f(x)≥x2-x＋1恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为(0，+∞)，单调递减区间为(-∞，0)；（2）(-∞，e-1]． 【解析】 【分析】(1)对函数f(x)求导得，再解不等式或即可得解； (2)将给定恒成立的不等式等价变形，构造函数并求其最小值即可得解. 【详解】（1）a=1时，f(x)=ex-x，于是得=ex-1，由>0得x>0，由<0得x<0，即f(x)在(0，+∞)为增函数，在(-∞，0)为减函数， 所以f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，单调递减区间为(-∞，0)； （2）依题意，x>0时，ex-ax≥x2-x＋1恒成立，即a≤在(0，+∞)上恒成立， 令g(x)= (x>0)，则==， 令h(x)=ex-x-1(x>0)，由(1)知h(x)在(0，+∞)上为增函数，则有h(x)>h(0)=0，即ex-x-1>0， 即当x>1时，则>0，当0<x<1时，则<0， 即g(x)在(0，1)上为减函数，在(1，+∞)上为增函数，g(x)在x=1处取最小值g(1)=e-1，于是得a≤e-1， 所以a的取值范围为(-∞，e-1]. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面. （1）若分别为的中点，证明：平面； （2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接交于点，连接，根据条件可得四边形是平行四边形，得出，再利用线面平行的判定定理，即可得出结果； （2）建立空间直角坐标系，根据条件求出面的法向量及平面的法向量为，再利用面面角的向量法即可求出结果. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接交于点，连接， 因为是的中点，是的中点， 所以，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，平面平面，平面平面平面， 所以平面， 所以直线与平面所成的角为，则， 在中，不妨设，则，连接， 因为，所以. 又平面平面，所以平面平面， 且平面平面平面，故平面. 设的中点为，连接， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 则，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨取，则有， 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限. （1）求抛物线的标准方程； （2）求四边形面积的最小值； （3）证明：直线与直线的交点在定直线上. 【答案】（1）； （2）32； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据焦点可得，即可求得抛物线方程； （2）由题意可设，联立抛物线应用韦达定理及弦长公式得、，再由及基本不等式求最值； （3）设，结合（2）韦达公式，写出直线、的方程，再求出交点横坐标，即可证. 【小问1详解】 由焦点为，即，所以抛物线的标准方程； 【小问2详解】 当直线的斜率为0时，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设直线， 联立，可得，恒成立， 设，， 所以，同理， 则四边形的面积为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形面积的最小值为32； 【小问3详解】 设， 由（2）知，同理， 直线的方程为，化简得直线的方程为①， 同理直线方程为②， 联立①②得， ， ， ， ， ，故直线与直线的交点在定直线上. 19. 已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数. （1）若，求的值； （2）若，且，求； （3）证明：存在，满足 使得． 【答案】（1），，， （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）先求，根据题意分析求解； （2）根据题意题意分析可得，利用反证可得，在结合等差数列运算求解； （3）讨论的大小，根据题意结合反证法分析证明. 【小问1详解】 由题意可知：， 当时，则，故； 当时，则，故； 当时，则故； 当时，则，故； 综上所述：，，，. 【小问2详解】 由题意可知：，且， 因为，且，则对任意恒成立， 所以， 又因为，则，即， 可得， 反证：假设满足的最小正整数为， 当时，则；当时，则， 则， 又因为，则， 假设不成立，故， 即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以. 【小问3详解】 因为均为正整数，则均为递增数列， （ⅰ）若，则可取，满足 使得； （ⅱ）若，则， 构建，由题意可得：，且为整数， 反证，假设存在正整数，使得， 则，可得， 这与相矛盾，故对任意，均有. ①若存在正整数，使得，即， 可取， 满足，使得； ②若不存在正整数，使得， 因为，且， 所以必存在，使得， 即，可得， 可取， 满足，使得； （ⅲ）若， 定义，则， 构建，由题意可得：，且为整数， 反证，假设存在正整数，使得， 则，可得， 这与相矛盾，故对任意，均有. ①若存在正整数，使得，即， 可取， 即满足，使得； ②若不存在正整数，使得， 因为，且， 所以必存在，使得， 即，可得， 可取， 满足，使得. 综上所述：存在使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平度市2025年高考模拟检测（三） 数学试题 2025.05 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则子集的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知的展开式中的系数为，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则，的值分别为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. 4050 B. 2025 C. 4048 D. 2024 5. 细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（ ） A B. 0.596 C. D. 0.206 6. 已知三个函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等边的边长为为它所在平面内一点，且，则的最大值为（ ） A. B. 7 C. 5 D. 8. 在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是（ ）． A B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 是奇函数 C. 是的一个周期 D. 是曲线的一个对称中心 10. 已知曲线其中则（ ） A. 存在使得为两条直线 B. 不存在使得为圆 C. 若为双曲线，则越大，的离心率越大 D. 若为椭圆，则越大，的离心率越小 11. 设函数，则（ ） A. 当时，没有零点 B. 当时，在区间上不存在极值 C. 存在实数，使得曲线为轴对称图形 D. 存在实数，使得曲线为中心对称图形 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线与直线垂直，则__________. 13. 若圆上总存在两个点到点距离为3，则实数取值范围是__________________ 14. 已知的面积为，，分别为，的中点，设则取最大值时，=_____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，假设每箱产品中均恰有件不合格品． （1）若求检验一箱产品时恰好抽到件不合格品的概率； （2）若检验一箱产品时至少抽到件不合格品的概率大于，求的最小值. 16. 设函数f(x)=ex-ax(a∈R)． （1）当a=1时，求f(x)的单调区间； （2）当x>0时，f(x)≥x2-x＋1恒成立，求实数a的取值范围． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面. （1）若分别为的中点，证明：平面； （2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限. （1）求抛物线的标准方程； （2）求四边形面积最小值； （3）证明：直线与直线的交点在定直线上. 19. 已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数. （1）若，求的值； （2）若，且，求； （3）证明：存在，满足 使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$