第十一章《不等式与不等式组》同步单元基础与培优高分必刷卷-2025-2026学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

**基本信息** 初中数学第十一章《不等式与不等式组》同步单元卷，基础与培优结合，覆盖不等式性质、解集、含参问题及实际应用，梯度设计合理，体现数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|不等式性质、解集数轴表示、含参不等式|基础巩固，如第2题解集数轴表示| |填空题|5/15|比较大小、利润问题、整数解|情境应用，如第12题商品打折利润| |解答题|8/75|解不等式组、方程与不等式结合、应用题、新定义|分层提升，如第19题方案设计，第20题“巧合数”新定义|

第十一章《不等式与不等式组》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．如果，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 4．小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（     ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知关于x，y的方程组，其中，若，则M的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 9．对于正整数数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 10．定义一种新运算： ，下列说法： ①若， 则 ②若， 则该不等式的解集为或； ③代数式 有最小值6； ④若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a的值为0或4．以上结论正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．比较大小：如果那么________b．（填“”或“”） 12．某商品进价8元，标价10元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打___折． 13．如图，根据下面两位同学讨论一个不等式的对话信息，直接写出一个符合条件的不等式______． 14．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 15．请同学们学习材料：①若，则； ②． 解决以下问题：，，当恒成立时，的取值范围是_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题各7分，共21分） 16．解不等式组在数轴上表示出它的解集，并求它的整数解． 17．已知关于x的方程：． (1)若方程的解是．那么？ (2)若该方程的解是负数，并且m是负整数，请你试求该方程的解． 18．某校“棋乐无穷”社团前两次购买的两种材质的象棋采购如下表（象棋的售价一直不变）； 塑料象棋 玻璃象棋 总价（元） 第一次（盒） 1 3 26 第二次（盒） 3 2 29 (1)若该社团计划再采购这两种材质的象棋各5盒，则需要多少元？ (2)若该社团准备购买这两种材质的象棋共50盒，且要求塑料象棋的数量不多于玻璃象棋数量的3倍，玻璃象棋至少要购进多少盒？ 4、 解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．百货商店抓住旅游文化艺术节商机，决定购进甲、乙两种纪念品若购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元：购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元． (1)购进甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？ (2)该商店决定购进甲、乙两种纪念品共100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的资金不少于6300元，同时又不能超过6430元，则该商店共有几种进货方案？ (3)若销售每件甲种纪念品可获利30元，销售每件乙种纪念品可获利12元，在第（2）问中的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 20．对任意非零的三位数，如果其个位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字，则称为“巧合数”，现将的个位数作为百位数，百位数作为十位数，十位数作为个位数，得到一个新数，并规定．例如532是一个“巧合数”，个位数作为百位数，百位数作为十位数，十位数作为个位数，得到一个新数，所以． （1）求的值； （2）若除以8恰好余4，则称是“十分巧合数”，求出所有的“十分巧合数”． 21．阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你写出下列绝对值不等式的解集． ①的解集是_______________； ②解集是_______________． (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于的不等式组的解，求的取值范围． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图，点在第二象限内，点，点． (1)将线段平移得到，且点与点对应，直接写出点的坐标； (2)若三角形的面积不大于12，求的取值范围． 23．我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章《不等式与不等式组》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．如果，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．根据不等式的性质即可求出答案． 【详解】解：A、， ∴， ∴，A选项错误，不符合题意； B、， ∴，B选项正确，符合题意； C、， ∴，C选项错误，不符合题意； D、， ，D选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分可得不等式组的解集，再在数轴上表示出来，即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：D． 3．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解关于的一元一次方程，得到用含的式子表示，再根据“解是非负数”列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程 ， 移项得：， 合并同类项：， 系数化为 1：， 方程的解是非负数， ， 即， 解得：． 4．小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程速度时间，分别表示出跑步路程和步行路程，结合总路程要求列出不等式即可． 【详解】解：设跑步的时间为分钟， 根据题意，要在分钟内（含分钟）到达图书馆， 则在分钟内走过的总路程应不小于米， 当总用时为分钟，跑步时间为分钟时，步行时间为分钟，跑步路程为米，步行路程为米， 故可列不等式为． 故选D． 5．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的解集以及不等式的基本性质．熟练掌握根据不等式的解集确定相关参数的关系，以及不等式两边同时除以一个负数时不等号方向改变这一性质是解题的关键．本题可先根据已知不等式的解集得出关于、的关系，进而确定与的大小关系，再求解不等式．解题思路为：由不等式的解集求出与的关系，判断的正负，最后代入不等式求解． 【详解】解：由得． ∵其解集为， ∴，且． ∴， 将代入，可得 ∴． 把代入不等式，可得， ， ∵， ∴． 故选：C． 6．已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等组的解集为得出，进而解不等式，求得的范围，即可求解． 【详解】解：解关于的不等式，得， 因为不等式组的解集是， 所以， 解得． 7．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组无解，确定的取值范围．本题主要考查了不等式组解集的确定和不等式组无解的条件，熟练掌握“大大小小找不到”即不等式组无解时界点值的比较是解题的关键． 【详解】解： 解不等式，得． 解不等式，得． ∵不等式组无解， ∴． 故选：A． 8．已知关于x，y的方程组，其中，若，则M的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】由①+②得x-y=2+t，将代入得t=M-2，再根据可得即可得出答案． 【详解】解： ①+②得2x-2y=4+2t 即x-y=2+t， ∵， ∴M=2+t， ∴t=M-2 ∵, ∴ 即 ∴M的最小值为-1 故选：B． 【点睛】本题考查含参二元一次方程组参数满足的条件求字母的最小值问题，用整体思想直接找到两个参数之间的关系是解题的关键． 9．对于正整数数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据所表示的含义，结合题意可得出，继而可解出的正整数解，分别代入所得不等式，可得出的范围． 【详解】解：有正整数解， ， 即，， ， 是正整数，为正数， ，即可取1、2； ①当取1时， ，， ； ②当取2时， ，， ； 综上可得的范围是：或． 故选：D． 【点睛】此题考查了取整函数的知识，解答本题需要理解[x]所表示的意义，另外也要求我们熟练不等式的求解方法，有一定难度． 10．定义一种新运算： ，下列说法： ①若， 则 ②若， 则该不等式的解集为或； ③代数式 有最小值6； ④若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a的值为0或4．以上结论正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①若， 当时，得， 解得，不符合题意，舍去； 当时，得， 解得，符合题意， 综上，若，则， 故说法①错误，不符合题意； ②，且， ， ， 解得或， 故说法②正确，符合题意； ③ 可表示为在数轴上表示x的数与到数轴上表示3及的数的距离之和，可得其最小值为6， 故说法③正确，符合题意； ④的解为 当时，原方程组可化为， 将代入得，解得， 当时，原方程组可化为， 将代入得，解得（舍去）， a的值为4． 故说法④错误，不符合题意． 正确的结论有：②③，一共2个． 故选：B 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．比较大小：如果那么________b．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的性质解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：. 12．某商品进价8元，标价10元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打___折． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设可打x折，根据利润率不能少于，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设可打x折，由题意，得：， 解得， 因此最多可打折， 故答案为：． 13．如图，根据下面两位同学讨论一个不等式的对话信息，直接写出一个符合条件的不等式______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】写出未知数系数为负数，并且不等式的解集为的不等式即可． 【详解】解：根据题意可得，（答案不唯一）． 14．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有4个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式，得，即， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有4个整数解，整数解为， 故需满足，即 ∴整数为和，和为． 15．请同学们学习材料：①若，则； ②． 解决以下问题：，，当恒成立时，的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，不等式的性质，解一元一次不等式．先根据题意得到，推出，则，由恒成立，得到，则． 【详解】解；∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵恒成立， ∴恒成立， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题各7分，共21分） 16．解不等式组在数轴上表示出它的解集，并求它的整数解． 【答案】数轴表示见解析，整数解为：0，1，2 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：x＞， 解不等式②得：x≤2， ∴原不等式组的解集为：， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： ∴该不等式组的整数解为：0，1，2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 17．已知关于x的方程：． (1)若方程的解是．那么？ (2)若该方程的解是负数，并且m是负整数，请你试求该方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入方程得到一个关于m的方程，求得常数即可； （2）求出关于x的方程，进一步探讨得出答案即可． 【详解】（1）把代入，得： ， 解得：． （2） 去分母得，， 解得：， ∵， ∴， ∴． ∵m是负整数， ∴， ∴． 18．某校“棋乐无穷”社团前两次购买的两种材质的象棋采购如下表（象棋的售价一直不变）； 塑料象棋 玻璃象棋 总价（元） 第一次（盒） 1 3 26 第二次（盒） 3 2 29 (1)若该社团计划再采购这两种材质的象棋各5盒，则需要多少元？ (2)若该社团准备购买这两种材质的象棋共50盒，且要求塑料象棋的数量不多于玻璃象棋数量的3倍，玻璃象棋至少要购进多少盒？ 【答案】(1)采购这两种材质的象棋各5盒需要60元 (2)玻璃象棋至少要购进13盒． 【分析】（1）设一盒塑料象棋的售价是元，一盒玻璃象棋的售价是元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设玻璃象棋要购进盒，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一盒塑料象棋的售价是元，一盒玻璃象棋的售价是元， 依题意得，， 解得， （元， 所以采购这两种材质的象棋各5盒需要60元； （2）设玻璃象棋要购进盒， 解得， 因为为正整数， 最小取13 答∶玻璃象棋至少要购进13盒． 4、 解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．百货商店抓住旅游文化艺术节商机，决定购进甲、乙两种纪念品若购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元：购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元． (1)购进甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？ (2)该商店决定购进甲、乙两种纪念品共100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的资金不少于6300元，同时又不能超过6430元，则该商店共有几种进货方案？ (3)若销售每件甲种纪念品可获利30元，销售每件乙种纪念品可获利12元，在第（2）问中的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进甲、乙两种纪念品每件分别需要80元和40元 (2)共有三种方案 (3)选择购进甲种纪念品60件，购进乙种纪念品40件利润最大，最大利润是2280元 【分析】（1）设购进甲、乙两种纪念品每件分别需要x元和y元，根据购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元列出方程组，求出x，y的值即可； （2）设购进甲种纪念品a件，则乙种纪念品（100−a）件，根据购进甲乙两种纪念品100件和购买这些纪念品的资金不少于6300元，同时又不能超过6430元列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a只能取整数，得出进货方案； （3）根据实际情况计算出各种方案的利润，比较即可． 【详解】（1）解：设购进甲、乙两种纪念品每件分别需要x元和y元， 根据题意，得， 解得， 答：购进甲、乙两种纪念品每件分别需要80元和40元． （2）设购进甲种纪念品a件，则乙种纪念品件， 根据题意，得， 解得：， ∵a取正整数， ∴或59或60， ∴共有三种方案，分别为： 方案1：购进甲种纪念品58件，购进乙种纪念品42件； 方案2：购进甲种纪念品59件，购进乙种纪念品41件； 方案3：购进甲种纪念品60件，购进乙种纪念品40件； （3）由（2）得：方案1利润为：（元）， 方案2利润为：（元）， 方案3利润为：（元）， ∵， ∴方案3获利最大，则选择购进甲种纪念品60件，购进乙种纪念品40件利润最大，最大利润是2280元． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用，读懂题意，找到相应的关系列出式子是解题的关键，注意第二问应求得整数解． 20．对任意非零的三位数，如果其个位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字，则称为“巧合数”，现将的个位数作为百位数，百位数作为十位数，十位数作为个位数，得到一个新数，并规定．例如532是一个“巧合数”，个位数作为百位数，百位数作为十位数，十位数作为个位数，得到一个新数，所以． （1）求的值； （2）若除以8恰好余4，则称是“十分巧合数”，求出所有的“十分巧合数”． 【答案】（1）32，53；（2）或422或835或853或871 【分析】（1）由题中所给新定义可直接进行求解； （2）设n的个位数是a，十位数是b，百位数是（a+b），则，，然后可得，进而可得是整数，最后根据可求解． 【详解】解：（1）由题意得： ，； （2）设n的个位数是a，十位数是b，百位数是（a+b），则， ∴， ∴， ∵除以8恰好余4， ∴能被8整除，即是整数， ∵， ∴， ∴， ∴①，②，③，④， ∵a、b是整数，且， ∴由①得：，由②得：或，由③得：，由④得：， ∴或422或835或853或871． 21．阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你写出下列绝对值不等式的解集． ①的解集是_______________； ②解集是_______________． (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于的不等式组的解，求的取值范围． 【答案】(1)①或；② (2) (3) 【分析】（1）根据题意即可得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得； （3）先解不等式组求出的取值范围为，根据第（2）得到的不等式得出x只能取2和3两个整数，所以且，从而求出的取值范围； 【详解】（1）①的解集为：或； ②的解集为：； 故答案为：①或；②； （2）∵， ∴，即 ∴的解集可表示为， 解得， ∴的解集为； （3）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 由于（2）的整数解是2和3， ∴且， ∴m的取值范围是． 故答案为：． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图，点在第二象限内，点，点． (1)将线段平移得到，且点与点对应，直接写出点的坐标； (2)若三角形的面积不大于12，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，解一元一次不等式组，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据点A和点C的坐标可得平移方式，再结合点B的坐标即可求出点D的坐标； （2）过点A作y轴的平行线，过点B作于E，过点C作x轴的平行线，过点B作，根据列式得到与a的关系式，再根据不大于12列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵将线段平移得到，且点与点对应，且， ∴点D的横坐标为，点D的纵坐标为， ∴点D的坐标为； （2）解：如图所示，过点A作y轴的平行线，过点B作于E，过点C作x轴的平行线，过点B作， ∵点，点，点， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ∵三角形的面积不大于12， ∴， ∴， 又∵点在第二象限内， ∴， ∴． 23．我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)③ (3) 【分析】（1）先求出方程的解为，再将代入不等式进行验证即可； （2）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （3）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出的取值范围﹒ 【详解】（1）解：由方程得：， 当时，， ∴方程与不等式的“梦想解”是． （2）解：解方程得， 解不等式得，故方程与不等式①没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式②没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式③的梦想解为﹒ （3）解：解二元一次方程组， 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒ 2 学科网（北京）股份有限公司 $