专题强化01：不等式（组）题型精讲精练【十一大题型 培优】-2024-2025学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

专题强化01：不等式（组）题型精讲精练 【题型归纳】 · 考点一：不等式的性质 · 考点二：一元一次不等式（组）的解（数轴表示） · 考点三：一元一次不等式的整数解问题 · 考点四：一元一次不等式解的最值 · 考点五：解含绝对值的不等式 · 考点六;列不等式（组）问题 · 考点七：一元一次不等式组整数解问题 · 考点八：由一元一次不等式组的解求参数问题 · 考点九：不等式组和方程组的结合问题 · 考点十：不等式（组）的实际应用问题 · 考点十一：不等式组与几何交汇问题 【题型通过】 题型一：不等式的性质 1．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知，下列结论中成立的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可． 【详解】解：当时， A、，该选项错误； B、，该选项错误； C、若，则，该选项错误； D、，，该选项计算正确； 故选：D 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列四个不等式：①；②；③；④中，能推出的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，结合不等式的性质进行作答即可． 【详解】解：①，且时，，故①不符合题意； ②，且时，，故②不符合题意； ③， ， ，故③符合题意； ④， ， ，故④符合题意， 故选：B． 3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此求解即可． 【详解】解：（1）只有当时，才能由，推出，不符合题意； （2）只有当时，才能由，推出，不符合题意； （3）由可以推出，符合题意； （4）只有当时，才能由，推出推出，不符合题意； 故选：A。 题型二：一元一次不等式（组）的解（数轴表示） 4．（24-25七年级下·四川内江·期中）解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】（1）根据解不等式的基本步骤解答即可． （2）根据解不等式组的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式，不等式组，熟练掌握解题步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： 将不等式的解集在数轴上表示如下： ． （2）解： 解：解不等式①，得： 解不等式②，得： 将不等式①②的解集在同一数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为：． 5．（24-25七年级下·山西晋城·期中）解下列不等式（组），并将解集表示在数轴上． (1)； (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式以及不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得，然后在数轴上表示即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】（1）解： 移项，合并同类项，得，     两边都除以4，得；     在数轴上表示： （2）解： 解不等式①，得，     解不等式②，得，     所以不等式组的解集为：．     在数轴上表示： 6．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）解决下面问题 (1)解不等式； (2)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)； (2)，数轴见解析． 【分析】此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集．解一元一次不等式组需分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （1）不等式移项，合并同类项，化系数为1即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：将不等式两边同乘以得， ， 移项合并得， 解得； （2）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示： 题型三：一元一次不等式的整数解问题 7．（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知关于的不等式的正整数解恰好是1、2、3，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，根据的取值范围正确确定的范围是解题的关键．再解不等式时要根据不等式的基本性质． 先求出不等式的解集，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可求解． 【详解】解：解不等式得到：， 正整数解为，，， ， 解得． 故选：C． 8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）若关于的不等式有三个正整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解不一元一次不等式，由不等式的解集求参数，解不等式得出，再根据的不等式有三个正整数解可得出三个正整数解是1，2，3，则，即可解出a的取值范围． 【详解】解：， 则， ∵关于的不等式有三个正整数解， ∴三个正整数解是1，2，3 ∴， 解得：， 故选：C． 9．（23-24七年级下·山东威海·期末）不等式的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查含字母的不等式，根据题意得出，．再由不等式的性质求解即可，熟练掌握解不等式的方法是解题关键． 【详解】解：由得， ∵， ∴，． ∵的整数解是1，2，3，4， ∴，且 解得且， ∴， 故选C． 题型四：一元一次不等式解的最值 10．（20-21七年级下·河南南阳·期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】先解二元一次方程组，再根据条件列出不等式，解不等式即可求得答案． 【详解】 ①②得： ①②得： 解得 的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键． 11．（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 12．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）已知非负实数，，满足，设，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，，可得；利用，，为非负实数可得的取值范围，从而求得最大值． 【详解】解：设，则，，， ． ，，为非负实数， ， 解得：． 当时，取最小值，当时，取最大值． ，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设 是解题的关键． 题型五：解含绝对值的不等式 13．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可． 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 14．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 15．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识： （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 题型六;列不等式（组）问题 16．（23-24七年级下·广西南宁·期末）一艘轮船从某江上游的A地匀速驶到下游的B地用了，从B地匀速返回A地用了不到，这段江水流速为，轮船在静水里的往返速度v不变，根据题意可以列出不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，直接利用总路程不变得出不等关系进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 故选：C． 17．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组． 设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得． 故选：C． 18．（22-23八年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 题型七：一元一次不等式组整数解问题 19．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）若不等式组恰有三个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质分别求解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，由此即可求解． 【详解】解：， 解①得，， ∴， ∵不等式组恰有三个整数解，即， ∴， 故选：C ． 20．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组解集的情况求参数的取值范围，正确求解不等式的解集是关键；先解不等式组，求得其解集，再根据解集恰有3个整数解，得关于a的不等式，从而求得a的取值范围． 【详解】解：解第一个不等式得：； 解第二个不等式得：； 由题意知，不等式组有解，则； 由于不等式组恰有3个整数角，则， 解得：； 故选：C． 21．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．33 B．28 C．27 D．22 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程．首先解不等式组，根据不等式组有且只有2个整数解得出关于a的不等式组，求出a的取值范围，再解方程，根据方程的解是负整数求出所有的a可能的值，进而得到符合条件的所有整数，求和即可得到答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴， ∵关于的不等式组有且只有2个整数解， ∴， ∴， 解方程得：， ∵关于的方程的解是负整数， ∴或或或或或， ∴或或或或或， ∴符合条件的所有整数为和， ∵， ∴符合条件的所有整数的和是， 故选：D． 题型八：由一元一次不等式组的解求参数问题 22．（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组．解题关键在于掌握其方法步骤． 解不等式组，根据其解集得出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，再还原方程，解方程即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ∴． ∴，． ∴． ∴方程为． 解得． 故选：D． 23．（23-24七年级下·山东济宁·期末）已知关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．根据题意解不等式组可得原不等式组的解集为，再根据原不等式组有3个整数解即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的不等式组仅有3个整数解， ∴整数解为，，， ∴， 故选C． 24．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如果关于x，y的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先算出每个不等式，则，，再结合关于x的不等式组的解集为列式，，即可求解． 【详解】解：解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 故选：D． 题型九：不等式组和方程组的结合问题 25．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意，求出k的范围是解题的关键．先求出关于x，y的方程组的解，再根据，，列不等式求出k的范围，再根据关于k的不等式的解集为，可得，进一步缩小k的范围，最后再根据k为整数，即可得出k的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵，， ∴， 解得， 又∵关于k的不等式的解集为：， ∴， 解得， ∴k的范围为． 又∵k为整数， ∴． 故选：B． 26．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组结合的问题，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解为正数得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解为正数， ∴， ∴， 故选：D． 27．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案． 【详解】解：解方程组得：， ∵方程组的解为整数， ∴、、， 解得：或0或1或或3或， 解不等式组，得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：， ∴， 解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4， 综上所述：满足条件的整数a的值是1、3， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故选：D． 题型十：不等式（组）的实际应用问题 28．（24-25七年级下·安徽蚌埠）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号的电风扇，第一周销售A型号2台，B型号5台，销售收入为1150元；第二周销售A型号8台，B型号2台，销售收入为1900元． (1)求A，B两种型号电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不超过7000元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1700元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A，B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； (2)A型号的电风扇最多能采购25台； (3)能实现利润超过1700元的目标，方案见解析． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用． （1）设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据等量关系列方程组求解即可； （2）设采购A型号的电风扇a台，则采购B型号的电风扇台，根据不等关系列不等式求解即可； （3）根据不等关系列不等式求解，结合（2）得到a的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元． 依题意，得， 解得． 答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； （2）设采购A型号的电风扇a台，则采购B型号的电风扇台． 依题意，得， 解得， ∴a最大取25． 答：A型号的电风扇最多能采购25台； （3）由题意，得， 解得． 由（2），可得，且a应为整数， 故超市能实现利润超过1700元的目标．相应的方案有5种，方案如下： 当时，采购A型号的电风扇21台，B型号的电风扇29台； 当时，采购A型号的电风扇22台，B型号的电风扇28台； 当时，采购A型号的电风扇23台，B型号的电风扇27台； 当时，采购A型号的电风扇24台，B型号的电风扇26台； 当时，采购A型号的电风扇25台，B型号的电风扇25台． 29．（2025七年级下·全国·专题练习）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 【答案】(1)A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张 (2)有两种进货方案：①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． （1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，根据销售两种品牌的儿童床的利润相同列方程求解即可； （2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张，根据购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张． 由题意，得， 解得，． 故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张； （2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张． 由题意，得， 解得，所以正整数解有， 所以有两种进货方案： ①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张； ②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张． 30．（23-24七年级下·福建泉州·期末）“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 【答案】(1)石榴花每朵元，玫瑰花每朵元 (2)共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式组． （1）设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元，可得：，即可解得答案； （2）设石榴花朵，玫瑰花朵，根据两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元得：，解得范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元， 根据题意得：， 解得：， ， 答：石榴花每朵元，玫瑰花每朵元； （2）解：设石榴花朵，玫瑰花朵， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 或， 答：共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵． 题型十一：不等式组与几何交汇问题 31．（23-24七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，a是36的算术平方根，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到对应线段，连接，． (1)求A、B、C的坐标； (2)如图1，点D是y轴上的一动点，且位于直线上方，当时，求此时的度数． (3)如图2，点M，N分别是x轴和线段上的两个动点，点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时，点N从点B出发，以每秒0.5个单位长度的速度向C点匀速运动．设运动时间为t秒（），在运动过程中，记三角形的面积为，记三角形的面积为，是否存在一段时间，使得，若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，当或时，使得 【分析】本题考查坐标与图形、平移性质、三角形的内角和定理、不等式的应用等知识，理解题意，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）先求得a，进而得到点A坐标，再根据坐标与图形和平移性质得到点B、C坐标即可； （2）先根据平移性质得到，，进而得到，，根据三角形的内角和定理结合已知求解即可； （3）先根据题意得到，，分两种情况：当时，；和当时，，根据已知条件解不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵是36的算术平方根， ∴，则点， ∵将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到对应线段，点，点， ∴点，点， ∴点，点，点； （2）解：如图，延长交y轴于H， ∵将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到对应线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， （3）解：存在， ∵点N从点B出发，以每秒0.5个单位长度的速度向C点运动， ∴， ∴， ∴， ∵点M从点O出发，以每秒2个单位长度向右运动， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴； 综上所述：当或时，使得． 32．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则的取值范围是 ； (2)当为何值时，； (3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论； （2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 当时，， 故答案为：； （2）由题意得：，， 或， ， 或， 解得：或， 即或时，； （3）， 点在线段上， ， 和的高相等， ， 即， 解得：， 即当秒时，． 33．（23-24七年级上·山西大同·期中）【综合与探究】数轴是一个重要概念．利用“数轴”这个工具，从数形结合的观点出发，我们研究了相反数、绝对值、有理数的大小比较以及有理数的运算等内容． (1)数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上移动3个单位长度得到点，则点表示的数是 ； (2)折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，两点的距离为7(A在的左侧)，且折叠后A，两点重合，则点表示的数为 ，点B表示的数为___________； (3)我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点的“雅中点”． ①若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点的“雅中点”，则点M表示的数为___________； ②若A、两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、两点的距离为9(A在的左侧)，则点A表示的数为___________，点表示的数为___________； (4)点A表示的数为，点，表示的数分别是，，点O为数轴原点，点为线段上一点（点可与、两点重合）． ①设点M表示的数为m，若点M为点A与点的“雅中点”，则m可取的所有整数为___________； ②若点A以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为秒，直接写出的所有整数值 ，使得原点O为点A与点的“雅中点”． 【答案】(1)1或 (2)①6；②，5.5 (3)①；②，6.5 (4)①，；②4，5 【分析】（1）分向左平移和向右平移两种情况解答即可； （2）①先确定折痕处的数轴，然后再根据折叠的性质即可解答；②根据对称性求解即可； （3）①根据“雅中点”的定义求解即可；②根据“雅中点”的定义求解即可； （4）①根据“雅中点”的定义求解即可；②根据“雅中点”的定义列不等式组组求解． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是， ∴点A在数轴上向右移动3个单位长度得到点表示的数为：； 点A在数轴上向左移动3个单位长度得到点表示的数为：． 故答案为：1或． （2）解：∵折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合， ∴折痕表示的数为：， ①表示的点与表示a的点重合，则有：，解得：； 故答案为：6； ②设 A表示的数为a，则B表示的数为：， 由题意可得：，解得： 所以A表示的数为，则B表示的数为：． 故答案为：，5.5 ． （3）解：①设点M表示的数为m，则有：，解得：； 故答案为：； ②设 A表示的数为n，则B表示的数为：， 由题意可得：，解得： 所以A表示的数为，则B表示的数为：． 故答案为：，6.5． （4）解：设B表示的数为， ①由题意可得：，即， ∵， ∴ ∴整数m的值为：，； 故答案为：，； ②由题意得：A表示的数为：， O可以为点A与点B的“雅中点”， ∴B表示的数为：， ∵点B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）， ，解得：， ∴t的所有整数值为：4，5． 【点睛】本题主要考查了数轴、新定义、点的移动、解一元一次方程、解不等式等知识点，掌握数形结合思想、方程思想和不等式思想都是解题的关键． 【专题训练】 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知实数a，b满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先根据题意得到，则，据此可求出，进而可得，计算出的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）某商场购进一批精美的节日礼盒，每盒的进价为100元，出售标价为150元，后来商场为了促销，准备打折销售，但要保证每盒的利润率不低于，则每盒最多可打（   ） A．七折 B．八折 C．八五折 D．九折 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设打x折销售，根据利润不低于，即可列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：设打x折销售，根据题意可得： ， 解得． ∴最多可以打八折． 故选：B． 3．（24-25七年级上·重庆丰都·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式的应用、多项式的次数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．先解一元一次方程可得，从而可得，则，再根据多项式的次数可得所有满足条件的正整数的值，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， ∴， ∵关于的多项式是四次多项式， ∴所有满足条件的正整数的值为1和2， ∴所有满足条件的正整数的和是， 故选：A． 4．（24-25七年级上·四川眉山·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根据不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，得出或，然后关于a的不等式即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：B． 5．（23-24七年级下·全国·期末）已知三个非负数a、b、c，满足，，c的最大值为m，最小值为n，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，由题意得，用表示，，再根据、、，为非负数得不等式组即可求得，进而可得，的值，即可求解．熟练掌握相关运算是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故排除C和D， 由题意，得，解得， ∵a、b、c均非负，∴， 解得， ∵c的最大值为m，最小值为n， ∴，， ∴， 故选：B． 6．（23-24七年级下·全国·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．首先求得不等式组的解集，然后根据该不等式组整数解共有4个，即可获得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 由题意该不等式组的解集为 ， 因为该不等式组整数解共有4个，即为4、5、6、7， 所以的取值范围是． 故选：D． 7．（23-24七年级下·四川资阳·期末）若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求参数的范围，先解不等式组，根据其有三个整数解，得a的一个范围，再判断整数求和即可． 【详解】解：由关于x的不等式组， 得， ∵有且仅有三个整数解， ∴1，2，或3． ∴， ∴； a的整数解有． ∴所有满足条件的整数a的值之和是0． 故选：A． 8．（23-24七年级下·山东威海·期末）若关于x的不等式组解集为，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的值，以及解一元一次不等式，先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集，求出m的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 故选：A． 9．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）对实数x、y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次不等式组、由一元一次不等式组的整数解求参数，分两种情况：，，根据新定义列不等式组，求得x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数求m的取值范围即可． 【详解】解：当时，，不合题意（舍）； 当时，则 ．由，得 ∵有4个整数解， 整数解为 ． 故选D． 二、填空题 10．（2025·上海·模拟预测）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解集情况，熟练掌握不等式组的解集取值方法是解题的关键． 根据不等式组解集情况分析求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴； 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·期末）某医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理名病人，则有名病人没人护理，如果每名护士护理名病人，有一名护士护理的病人多于人不足人，那么这个医院安排了 名护士护理病人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确列出不等式组．设这个医院安排了名护士护理病人，根据题意列不等式组即可求解． 【详解】解：设这个医院安排了名护士护理病人， 根据题意可得：， 解得：， 为整数， ， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·河南焦作·期中）若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有四个整数解，即为， ∴， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查解二元一次方程组的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程组和不等式的方法． 根据关于、的方程组的解满足，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决． 【详解】解：， ①+②得， ， 关于、的方程组的解满足， ，得， 解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ，得，由上可得，， 符合条件的整数的值的和为：． 故答案为：5． 14．（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式（组）的解法、不等式（组）的特殊解等知识点，熟知方程组、不等式（组）的解法是解题的关键．先求出二元一次方程组的解，由得出a的范围；再由给出的不等式组有解的条件求出a的范围．综合考虑a的范围，即可确定符合条件的整数a的个数． 【详解】解：方程组的解为 ， ， ， 解得，， 解不等式组， 不等式①的解集是， 不等式②的解集是， ∵不等式组有解， ∴， 解得，， ， ∵a取整数， ， ∴符合条件的整数a有7个． 故答案为：7． 三、解答题 15．（24-25七年级下·重庆·期中）解不等式或不等式组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，以及一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有、两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如下表： 型 型 价格（万元/台） 24 20 产量（吨/月） 720 540 (1)经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案（每一种新设备至少买1台）； (2)在（1）的条件下，若要求每月产量不低于6120吨，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)有5种购买方案； (2)最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式的应用． （1）设购买型设备x台，型设备台，根据该公司购买节能设备的资金不超过220万元，列出不等式，求出x的值即可得出答案； （2）根据型、型的产量和公司要求每月的产量不低于6120吨，列出不等式，求出x的值，确定出方案，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设购买型设备x台，型设备台， 根据题意，得，解得， 因为每一种新设备至少买1台， 所以，2，3，4，5， 所以有5种购买方案； （2）解：根据题意，得， 解得， 则x为4或5， 当时，购买资金为(万元)， 当时，购买资金为 (万元)， 因为， 所以最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台． 17．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查由一元一次不等式组的解集求参数，正确计算是解题的关键． 先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴， 解得：． 18．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）为解决山区复杂地形中的旅游垃圾问题，某无人机设计改造团队用万元购进两种原型无人机进行升级改造为“擒龙手”新型无人机捡拾垃圾，已知两种原型无人机的进价分别为万元/台和万元/台，且种原型机比种原型机少台． (1)求该团队分别购进两种原型无人机的台数 (2)该团队的每台无人机经升级改造后均在其原价的基础上提价进行销售．黄山景区某物业管理公司准备从该团队购进两种型号的升级无人机共台（每种型号至少一台），为景区卫生“保驾护航”．该团队给出了以下两种优惠方案，并规定购买时只能选择其中一种： 方案一：全部打八折： 方案二：按标价购买，赠送每种型号的升级无人机各台． ①设方案一、二的最终花费分别为元、元，购买种型号升级无人机台，求、与的关系式． ②若采用方案一购买时花费较少，则最多购买种升级无人机多少台？ 【答案】(1)该团队分别购进两种原型无人机台、台 (2)①，； ②最多购买种升级无人机台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设该团队分别购进两种原型无人机台、台，得到，解得； （2）①根据题意得购买种升级无人机台，得到，； ②由题意得，得到，所以最多购买种升级无人机台． 【详解】（1）解∶ 设该团队分别购进两种原型无人机台、台， 根据题意得， 解得， 答：该团队分别购进两种原型无人机台、台； （2）解：①根据题意得购买种升级无人机台， ， ； ②由题意得， ， 最多购买种升级无人机台． 19．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 【答案】(1)无缘组合 (2) 【分析】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解． （1）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，然后根据“有缘组合”和“无缘组合”的定义判断即可． （2）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据“有缘组合”的定义一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解进而求出a的取值范围． 【详解】（1）解：， 解得： ， 解得：， ∵一元一次方程的解不是一元一次不等式的解， ∴组合是“无缘组合”； （2）解： 解得：， 解不等式， 解得：， ∵关于x的组合是“有缘组合”， ∴在范围内， ∴ 20．（24-25七年级上·北京·期中）已知图形和线段，若图形上存在不同的两点和，使得点与点到线段中点的距离相等，则称图形为线段的“关联图”．已知：、、在数轴上对应的数分别为、0和． (1)若．请回答以下两个问题： ①记以下数在数轴上对应的点为，则满足线段是线段的“关联图”的有______．（填序号） ①    ②3    ③5 ②设点、对应的数分别为、，若线段为线段的“关联图”，则满足的所有整数的值为______． (2)已知数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、18，现将、均以每秒4个单位长度沿数轴向右移动，将以每秒2个单位长度沿数轴向左移动，移动时间为秒．当时，线段上总存在点，使线段为线段的“关联图”，则的取值范围为______． 【答案】(1)①：②③；②：2、3、4； (2) 【分析】（1）①由题意可知，线段的中点在数轴上对应的数为，再结合“关联图”的定义求解即可；②根据“关联图”的定义，得到，再由绝对值的意义，得到，最后确定的取值范围，再写出满足条件的所有整数解即可； （2）线段的中点在数轴上对应的数为，由题意可知，移动后数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、，分三种情况讨论：①当时，点在点的左侧；②当时，点在线段上，③当时，点在点的右侧，结合“关联图”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：、在数轴上对应的数分别为、， 线段的中点在数轴上对应的数为， 线段是线段的“关联图”， 线段上存在不同的两点到线段中点的距离相等， 在数轴上对应的数为0， 点在数轴上对应的数， ②③满足条件； ②设点、对应的数分别为、， 线段为线段的“关联图”， 线段上存在不同的两点到线段中点的距离相等， ，， ， ， 到点的距离与到点的距离之和为5， ， ， 满足的所有整数的值为2、3、4； （2）解：、在数轴上对应的数分别为、， 线段的中点在数轴上对应的数为， 由题意可知，移动后数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、， 若点和点重合，则，解得； 若点和点重合，则，解得：； ①当时，点在点的左侧， 此时， 解得：， ； ②当时，点在线段上， 此时或， 解得：或， 或； ③当时，点在点的右侧， 此时， 解得：， ， 综上可知，的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用数轴表示有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解“关联图”的定义是解题关键． 21．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 22．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，解得∶． 综上，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化01：不等式（组）题型精讲精练 【题型归纳】 · 考点一：不等式的性质 · 考点二：一元一次不等式（组）的解（数轴表示） · 考点三：一元一次不等式的整数解问题 · 考点四：一元一次不等式解的最值 · 考点五：解含绝对值的不等式 · 考点六;列不等式（组）问题 · 考点七：一元一次不等式组整数解问题 · 考点八：由一元一次不等式组的解求参数问题 · 考点九：不等式组和方程组的结合问题 · 考点十：不等式（组）的实际应用问题 · 考点十一：不等式组与几何交汇问题 【题型通过】 题型一：不等式的性质 1．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知，下列结论中成立的是（   ） A． B． C．若，则 D． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列四个不等式：①；②；③；④中，能推出的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：一元一次不等式（组）的解（数轴表示） 4．（24-25七年级下·四川内江·期中）解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 5．（24-25七年级下·山西晋城·期中）解下列不等式（组），并将解集表示在数轴上． (1)； (2) 6．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）解决下面问题 (1)解不等式； (2)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 题型三：一元一次不等式的整数解问题 7．（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知关于的不等式的正整数解恰好是1、2、3，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）若关于的不等式有三个正整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·山东威海·期末）不等式的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型四：一元一次不等式解的最值 10．（20-21七年级下·河南南阳·期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　） 11．（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）已知非负实数，，满足，设，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型五：解含绝对值的不等式 13．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 14．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 15．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 题型六;列不等式（组）问题 16．（23-24七年级下·广西南宁·期末）一艘轮船从某江上游的A地匀速驶到下游的B地用了，从B地匀速返回A地用了不到，这段江水流速为，轮船在静水里的往返速度v不变，根据题意可以列出不等式（    ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 18．（22-23八年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 题型七：一元一次不等式组整数解问题 19．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）若不等式组恰有三个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．33 B．28 C．27 D．22 题型八：由一元一次不等式组的解求参数问题 22．（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·山东济宁·期末）已知关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 24．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如果关于x，y的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九：不等式组和方程组的结合问题 25．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 26．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 题型十：不等式（组）的实际应用问题 28．（24-25七年级下·安徽蚌埠）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号的电风扇，第一周销售A型号2台，B型号5台，销售收入为1150元；第二周销售A型号8台，B型号2台，销售收入为1900元． (1)求A，B两种型号电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不超过7000元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1700元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 29．（2025七年级下·全国）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 30．（23-24七年级下·福建泉州·期末）“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 题型十一：不等式组与几何交汇问题 31．（23-24七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，a是36的算术平方根，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到对应线段，连接，． (1)求A、B、C的坐标； (2)如图1，点D是y轴上的一动点，且位于直线上方，当时，求此时的度数． (3)如图2，点M，N分别是x轴和线段上的两个动点，点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时，点N从点B出发，以每秒0.5个单位长度的速度向C点匀速运动．设运动时间为t秒（），在运动过程中，记三角形的面积为，记三角形的面积为，是否存在一段时间，使得，若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由． 32．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则的取值范围是 ； (2)当为何值时，； (3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由． 33．（23-24七年级上·山西大同·期中）【综合与探究】数轴是一个重要概念．利用“数轴”这个工具，从数形结合的观点出发，我们研究了相反数、绝对值、有理数的大小比较以及有理数的运算等内容． (1)数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上移动3个单位长度得到点，则点表示的数是 ； (2)折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，两点的距离为7(A在的左侧)，且折叠后A，两点重合，则点表示的数为 ，点B表示的数为___________； (3)我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点的“雅中点”． ①若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点的“雅中点”，则点M表示的数为___________； ②若A、两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、两点的距离为9(A在的左侧)，则点A表示的数为___________，点表示的数为___________； (4)点A表示的数为，点，表示的数分别是，，点O为数轴原点，点为线段上一点（点可与、两点重合）． ①设点M表示的数为m，若点M为点A与点的“雅中点”，则m可取的所有整数为___________； ②若点A以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为秒，直接写出的所有整数值 ，使得原点O为点A与点的“雅中点”． 【专题训练】 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知实数a，b满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）某商场购进一批精美的节日礼盒，每盒的进价为100元，出售标价为150元，后来商场为了促销，准备打折销售，但要保证每盒的利润率不低于，则每盒最多可打（   ） A．七折 B．八折 C．八五折 D．九折 3．（24-25七年级上·重庆丰都·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25七年级上·四川眉山·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（23-24七年级下·全国·期末）已知三个非负数a、b、c，满足，，c的最大值为m，最小值为n，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·全国·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·四川资阳·期末）若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．0 B． C． D．1 8．（23-24七年级下·山东威海·期末）若关于x的不等式组解集为，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）对实数x、y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2025·上海·模拟预测）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是为 ． 11．（24-25七年级下·全国·期末）某医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理名病人，则有名病人没人护理，如果每名护士护理名病人，有一名护士护理的病人多于人不足人，那么这个医院安排了 名护士护理病人． 12．（23-24八年级下·河南焦作·期中）若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 13．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 14．（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ． 三、解答题 15．（24-25七年级下·重庆·期中）解不等式或不等式组： (1)． (2)． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有、两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如下表： 型 型 价格（万元/台） 24 20 产量（吨/月） 720 540 (1)经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案（每一种新设备至少买1台）； (2)在（1）的条件下，若要求每月产量不低于6120吨，请你设计一种最省钱的购买方案． 17．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 18．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）为解决山区复杂地形中的旅游垃圾问题，某无人机设计改造团队用万元购进两种原型无人机进行升级改造为“擒龙手”新型无人机捡拾垃圾，已知两种原型无人机的进价分别为万元/台和万元/台，且种原型机比种原型机少台． (1)求该团队分别购进两种原型无人机的台数 (2)该团队的每台无人机经升级改造后均在其原价的基础上提价进行销售．黄山景区某物业管理公司准备从该团队购进两种型号的升级无人机共台（每种型号至少一台），为景区卫生“保驾护航”．该团队给出了以下两种优惠方案，并规定购买时只能选择其中一种： 方案一：全部打八折： 方案二：按标价购买，赠送每种型号的升级无人机各台． ①设方案一、二的最终花费分别为元、元，购买种型号升级无人机台，求、与的关系式． ②若采用方案一购买时花费较少，则最多购买种升级无人机多少台？ 19．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 20．（24-25七年级上·北京·期中）已知图形和线段，若图形上存在不同的两点和，使得点与点到线段中点的距离相等，则称图形为线段的“关联图”．已知：、、在数轴上对应的数分别为、0和． (1)若．请回答以下两个问题： ①记以下数在数轴上对应的点为，则满足线段是线段的“关联图”的有______．（填序号） ①    ②3    ③5 ②设点、对应的数分别为、，若线段为线段的“关联图”，则满足的所有整数的值为______． (2)已知数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、18，现将、均以每秒4个单位长度沿数轴向右移动，将以每秒2个单位长度沿数轴向左移动，移动时间为秒．当时，线段上总存在点，使线段为线段的“关联图”，则的取值范围为______． 21．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 22．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$