第十一章不等式与不等式组 单元练习 2025--2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 初中数学“不等式与不等式组”单元卷，涵盖选择、填空、解答题，注重基础巩固与能力提升，通过实际情境（如铁球体积测量、商品销售）和新定义题型（子集、青-距离）考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|11/55|不等式性质、解集数轴表示、实际应用|第1题以测量实验为情境，考查不等式组实际应用，体现数学眼光| |填空题|5/25|不等式组解集、点坐标与不等式、利润问题|第15题结合商品打折，强化模型意识，联系生活实际| |解答题|7/70|解不等式组、实际应用（家电/文化衫销售）、新定义|22题“子集”、23题“青-距离”引入新定义，考查推理能力与创新思维|

十一章不等式与不等式组 一 、单选题 （本大题共11小题，共55.0分） 1.  如图，小明设计一组测量实验．①将200mL的水倒入一个容积为600mL的杯子中；②若将5颗完全相同的大铁球放入水中，水刚好到杯口，没有溢出；③若将8颗完全相同的小铁球放入水中，水没有满；④再加入1颗大铁球，水满且溢出来．根据以上的实验过程，推测1颗小铁球的体积可能是 A. 35cm3 B. 45cm3 C. 55cm3 D. 60cm3 2.  若a+b＞0，且a＞b,则下列结论中一定正确的是 A. a＜0 B. b＞0 C. ab＞0 D. |a|＞|b| 3.  已知a-3＞0，则下列结论正确的是 A. -3＜-a＜a＜3 B. -a＜-3＜3＜a C. -a＜-3＜a＜3 D. -3＜-a＜3＜a 4.  一个不等式的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是 A. -2x＜-6 B. x-1＜2 C. x-3≤0 D. x+3＞0 5.  如果x＜y,那么下列不等式正确的是 A. 3x＜3y B. -2x＜-2y C. x+2＞y+2 D. x-1＞y-1 6.  一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是 A. -1＜x＜2 B. -1＜x≤2 C. -1≤x＜2 D. -1≤x≤2 7.  下列说法中，错误的是 A. 不等式x＜5的整数解有无数多个 B. 不等式x＞-5的负整数解是有限个 C. -3是不等式2x＜-8的一个解 D. 不等式-2x＜8的解集是x＞-4 8.  若x=2是关于x的不等式3x-a+2＞0的一个解，则a可取的最大整数为 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9.  如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为 A. -5 B. -8 C. -9 D. -12 10.  已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则实数m的最大值为 A. 64 B. 13 C. 25 D. 12 11.  若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k,且关于y的方程2y=3+k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为 A. 5 B. 8 C. 9 D. 15 二 、填空题 （本大题共5小题，共25.0分） 12.  不等式组的解集为____． 13.  已知点（-1，2a-3）位于第三象限，则a的取值范围是____． 14.  若不等式组无解，则m的取值范围是 ____． 15.  某商品进价8元，标价10元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于15%，则最多可打 ____折． 16.  若6a=3b+12=2c,且b≥0，c≤9，设t=2a+b-c,则t的取值范围为 ____． 三 、解答题 （本大题共7小题，共70.0分） 17.  解不等式组，并写出所有的整数解． 18.  解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 请结合解题过程，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 ____； （Ⅱ）解不等式②，得 ____； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 ____． 19.  某家电专卖店销售A，B两种型号的环保空调，已知其中两单的销售情况如表： A型空调数量/台 B型空调数量/台 总销售额/元 1 2 14000 2 3 24000 （1）求两种型号的空调的销售单价各是多少； （2）为了响应国家家电以旧换新政策，更多让利于老百姓，专卖店决定推出“以旧换新”和打折促销两种优惠政策．小李计划购买A，B型空调各一台，其中一台用家中旧空调以旧换新购买．可采取如下两种方案． 方案一：旧空调可以抵消A型空调的售价的1000元，B型空调优惠a%； 方案二：旧空调可以抵消B型空调的售价的800元，A型空调优惠10%． 若方案一优惠额不小于方案二，求a的最小值． 20.  某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．若购进5件蓝文化衫，4件红文化衫，共需要200元，若购进2件蓝文化衫，3件红文化衫，共需要115元． （1）学校购进红、蓝两种颜色的文化衫每件进价分别是多少元？ （2）若该校购进蓝文化衫的数量比红文化衫的数量的2倍少25件，且购进红文化衫、蓝文化衫的总数量不少于200件，则学校最少购进红文化衫多少件？ （3）在（2）的条件下，若红文化衫、蓝文化衫的售价分别是40元/件和30元/件，且总进价不超过6000元，那么如何设计购买方案，使当所有文化衫卖出后利润有最大，最大值是多少元？ 21.  解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①；得 ____； （2）解不等式②，得 ____； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 ____． 22.  【定义新知】 给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 （1）请写出不等式x＜2的一个子集 ____； （2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 ____是不等式组M：的“子集”（填：A或B）； （3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ____； （4）若a,b,c,d为互不相等的整数，a＜b,c＜d,下列三个不等式组D：a≤x≤b,E：c≤x≤d,F：4＜x＜9，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则a（b+c+d）的值为 ____； （5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，且m,n为正整数，则的最大值为 ____． 23.  请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间．对于解集取中间的不等式组（比如：p＜x＜q,p＜x≤q,p≤x＜q,p≤x≤q），我们规定其“青-距离”均为L=q-p（p＜q），不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如：-3＜x≤2的“青-距离”L=2-（-3）=5，“求真点”为x=-2，-1，0，1，2． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分． （1）不等式组的“青-距离”L= ____；“求真点”为 ____； （2）若不等式组的“青-距离”L=3，求m的取值范围； （3）若不等式组0.5a-1＜x＜2.5a+2的“青-距离”L=4.5，此时是否存在实数n使得关于y的不等式组恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案解析 1. 【答案】： B 【知识点】： 柱体、锥体、球体和台体的概念 、 一元一次不等式组的实际应用 【难度】： 较易 【解析】： 解：杯子还能装的体积：600-200=400mL=400cm3． 由②设大铁球体积为V大，则5V大=400，V大=80； 设小铁球体积为V小， 由③得8V小＜400，  V小＜50． 由④得8V小+80＞400，  V小＞40． ∴根据以上的实验过程，推测1颗小铁球的体积可能是45cm3． 故选：B． 2. 【答案】： D 【知识点】： 不等式的基本性质 、 绝对值 【难度】： 较易 【解析】： 解：∵a＞b,a+b＞0， ∴a＞0，|a|＞|b|． 故选：D． 3. 【答案】： B 【知识点】： 不等式的基本性质 【难度】： 较易 【解析】： 解：∵a-3＞0， ∴a＞3， ∴-a＜-3， ∴-a＜-3＜3＜a. 故选：B． 4. 【答案】： B 【知识点】： 解一元一次不等式 、 在数轴上表示不等式的解集 【难度】： 中等 【解析】： 解：由数轴可得， 不等式的解集为x＜3， -2x＜6的解集为x＞-3，故选项A不符合题意； x-1＜2的解集为x＜3，故选项B符合题意； x-3≤0的解集为x≤3，故选项C不符合题意； x+3＞0的解集为x＞-3，故选项D不符合题意； 故选：B． 5. 【答案】： A 【知识点】： 不等式的基本性质 【难度】： 中等 【解析】： 解：∵x＜y, ∴3x＜3y, ∴选项A符合题意； ∵x＜y, ∴-2x＞-2y, ∴选项B不符合题意； ∵x＜y, ∴x+2＜y+2， ∴选项C不符合题意； ∵x＜y, ∴x-1＜y-1， ∴选项D不符合题意． 故选：A． 6. 【答案】： B 【知识点】： 在数轴上表示不等式的解集 【难度】： 较难 【解析】： 解：由数轴知，该不等式组的解集为：-1＜x≤2， 故选：B． 7. 【答案】： C 【知识点】： 解一元一次不等式 、 一元一次不等式的整数解 【难度】： 较难 【解析】： A、不等式x＜5的整数解有无数个，故不符合题意； B、不等式x＞-5的负整数解有-4，-3，-2，-1，共4个，是有限个，故不符合题意； C、不等式2x＜-8的解集是x＜-4，-3不是它的一个解，故符合题意； D、不等式-2x＜8的解集是x＞-4，故不符合题意． 故选：C． 8. 【答案】： B 【知识点】： 解一元一次不等式 、 一元一次不等式的整数解 【难度】： 较难 【解析】： 解：∵x=2是关于x的不等式3x-a+2＞0的一个解， ∴6-a+2＞0， ∴a＜8， ∴a是最大整数为7， 故选：B． 9. 【答案】： B 【知识点】： 一元一次不等式组的整数解 、 一元一次方程的解 、 解一元一次不等式组 【难度】： 困难 【解析】： 解：， 解得：， ∵关于y的方程有非负整数解， ∴， 解得：a≥-5，且为整数， 关于x的不等式组整理得： ， ∵不等式组的解集为x≥1， ∴a+4≤1， 解得：a≤-3， ∴-5≤a≤-3且为整数， ∴a=-5，-3， 于是符合条件的所有整数a的值之和为：-5-3=-8． 故选：B． 10. 【答案】： C 【知识点】： 不等式的基本性质 【难度】： 困难 【解析】： 解：由a＞0，b＞0，得a+b＞0， 则不等式m≤•（a+b）恒成立， ∵•（a+b）=（+）（a+b）=13++≥13+2=25， 当且仅当=时， 即b=a时，等号成立， 所以m≤25，即实数m的最大值为25． 故选：C． 11. 【答案】： B 【知识点】： 一元一次不等式组的整数解 、 一元一次方程的解 、 解一元一次不等式组 【难度】： 困难 【解析】： 解：， 解不等式①得x≤k, 解不等式②得x＜7， 由题意得k＜7， 解关于y的方程2y=3+k得， y=， 由题意得，≥1， 解得k≥-1， ∴k的取值范围为：-1≤k＜7，且k为整数， ∴k的取值为-1，0，1，2，3，4，5，6， 当k=-1时，y==1， 当k=0时，y==， 当k=1时，y==2， 当k=2时，y==， 当k=3时，y==3， 当k=4时，y==， 当k=5时，y==4， 当k=6时，y==， ∵为整数，且k为整数， ∴符合条件的整数k为-1，1，3，5， ∵-1+1+3+5=8， ∴符合条件的所有整数k的和为8． 故选：B． 12. 【答案】： -6＜x≤2     【知识点】： 解一元一次不等式组 【难度】： 容易 【解析】： 解：解不等式1-2x≥-3得x≤2， 解不等式得x＞-6， ∴不等式组的解集为：-6＜x≤2， 故答案为：-6＜x≤2． 13. 【答案】： a＜1.5     【知识点】： 点的坐标 、 解一元一次不等式 【难度】： 中等 【解析】： 解：∵点（-1，2a-3）位于第三象限， ∴2a-3＜0， ∴a＜1.5， 故答案为：a＜1.5． 14. 【答案】： m≤2     【知识点】： 解一元一次不等式组 、 不等式的解与解集 【难度】： 较难 【解析】： 解：∵不等式组无解， ∴m≤2． 故答案为：m≤2． 15. 【答案】： 9.2     【知识点】： 一元一次不等式的实际应用 【难度】： 较难 【解析】： 解：设可打x折，由题意，得：， 解得x≥9.2， 因此最多可打9.2折， 故答案为：9.2． 16. 【答案】： -2≤t≤-1     【知识点】： 不等式的基本性质 【难度】： 困难 【解析】： 解：∵6a=3b+12=2c, ∴3a=c,2a=b+4． ∴b=2a-4． ∴t=2a+b-c=2a+2a-4-3a=a-4． ∵b≥0，c≤9， ∴3b+12≥12，2c≤18． ∴6a≥12，6a≤18． ∴2≤a≤3． ∴-2≤a-4≤-1． ∴-2≤t≤-1． 故答案为：-2≤t≤-1． 17. 【答案】： ＜x≤2，整数解为1、2． 【知识点】： 一元一次不等式组的整数解 、 解一元一次不等式组 【难度】： 较难 【解析】： 解：由5x-1≤3（x+1）得：x≤2， 由+＞1得：x＞， 则不等式组的解集为＜x≤2， 所以整数解为1、2． 18. 【答案】： （Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x≤4；（Ⅳ）x≤1． 【知识点】： 解一元一次不等式组 【难度】： 较易 【解析】： ， （Ⅰ）解不等式①，得x≤1； （Ⅱ）解不等式②，得x≤4； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为x≤1． 故答案为：（Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x≤4；（Ⅳ）x≤1． 19. 【答案】： （1）A型空调的销售单价为6000元，B型空调的销售单价为4000元； （2）a的最小值为10． 【知识点】： 一元一次不等式的实际应用 、 二元一次方程组的其他实际应用 【难度】： 较难 【解析】： （1）设A型空调的销售单价为x元，B型空调的销售单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A型空调的销售单价为6000元，B型空调的销售单价为4000元； （2）根据题意得：≥800+600， 解得：a≥10， ∴a的最小值为10． 20. 【答案】： （1）红文化衫每件的进价为25元，蓝文化衫每件的进价为20元； （2）该校最少购进红文化衫75件； （3）购买100件红色文化衫，175件蓝色文化衫时获利最大，最大利润为3250元． 【知识点】： 一元一次不等式的实际应用 、 一元一次方程的其他实际问题 、 二元一次方程组的其他实际应用 【难度】： 较难 【解析】： 解：（1）设红文化衫每件的进价为x元，蓝文化衫每件y元， 根据题意列二元一次方程组得： ， 解得， 即红文化衫每件的进价为25元，蓝文化衫每件的进价为20元， 答：红文化衫每件的进价为25元，蓝文化衫每件的进价为20元； （2）设购进红文化衫m件，则购进蓝色文化衫（2m-25）件， 根据题意得：2m-25+m≥200， 整理得，3m≥300， 解得m≥75， 答：该校最少购进红文化衫75件； （3）∵总进价不超过6000元， ∴根据题意列一元一次不等式得，25m+20（2m-25）≤6000， 解得m≤100， 由（2）得m≥75， ∴75≤m≤100， ∵蓝色文化衫购买数量为（2m-25）件， ∴红色文化衫越多，蓝色文化衫越多， 又∵购买的越多获利越多， ∴当购买100件红色文化衫，购买2×100-25=175（件）蓝色文化衫时获利最大，且最大利润为： 100×（40-25）+175×（30-20）=3250（元）． 21. 【答案】： （1）x≥-2； （2）x≤5； （3）见解析； （4）-2≤x≤5． 【知识点】： 解一元一次不等式组 、 在数轴上表示不等式的解集 【难度】： 较难 【解析】： （1）2x+3≥-1， 两边同时减3，得到2x+3-3≥-1-3，即2x≥-4， 两边再同时除以2，不等号方向不变，解得x≥-2． 故答案为：x≥-2； （2）不等式两边同时减7x,得到8x-7x≤7x+5-7x,即x≤5． 故答案为：x≤5； （3）把两个不等式的解集在数轴上表示，如图所示： （4）不等式组的解集为-2≤x≤5． 故答案为：-2≤x≤5． 22. 【答案】： 见试题解答内容 【知识点】： 不等式的概念 、 解一元一次不等式组 【难度】： 困难 【解析】： （1）∵x＜1的任意一个解都是不等式x＜2的一个解， ∴不等式x＜2的一个子集为：x＜1．（答案不唯一）． 故答案为：x＜1．（答案不唯一）． （2）解不等式组A得：3＜x＜6； 解不等式组B得：x＞1； 解不等式组M得：x＞2． ∵不等式组A的任意一个解，都是不等式组M的一个解， ∴不等式组A是不等式组M：的“子集”． 故答案为：A． （3）∵不等式组的解集为：x＞2，关于x的不等式组是不等式组的“子集”， ∴关于x的不等式组的解集为x＞a. ∴． ∴a≥2． 故答案为：a≥2． （4）∵E：c≤x≤d,F：4＜x＜9，E是F的“子集”，a,b,c,d为互不相等的整数， ∴5≤x≤8． ∴c=5，d=8． ∵D是E的“子集”，D：a≤x≤b, ∴6≤x≤7． ∴a=6，b=7． ∴a（b+c+d）=6（7+8+5）=120． 故答案为：120． （5）∵不等式组G：有解， ∴解集为：≤x＜． ∵不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”， ∴． 解得：． ∵m,n为正整数，求的最大值， ∴m最大为2，n最小为10． ∴的最大值=． 故答案为：． 23. 【答案】： （1）“青-距离”L=1-（-2）=3；“求真点”为x=-1，0，1； （2）m≤2； （3）或． 【知识点】： 一元一次不等式组的整数解 、 不等式的概念 、 解一元一次不等式组 【难度】： 困难 【解析】： 解：（1）解不等式组， 由①，得x＞-2， 由②，得x≤1， ∴解集为-2＜x≤1， 故“青-距离”L=1-（-2）=3；“求真点”为x=-1，0，1； （2）， 由①，得x≥2， 由②，得x≤5， ∴前两个不等式的解集为2≤x≤5， 由③，得（m-1）x≤5， ∵不等式组的“青一距离”L=3， ∴不等式组的解集为：2≤x≤5， ∴当m-1＞0，即m＞1， ∴不等式（m-1）x≤5的解集为， ∴， ∴5（m-1）≤5， 解得：m≤2， 此时1＜m≤2， 当m-1=0时，即m=1时，不等式③-3≤2成立， 当m-1＜0时，即m＜1， ∴不等式（m-1）x≤5的解集为， ∴， ∴2（m-1）≤5， ∴m≤， 此时，m＜1； 综上：m≤2． （3）∵不等式组0.5a-1＜x＜2.5a+2的“青一距离”L=4.5， ∴2.5a+2-0.5a+1=4.5， 解得：a=0.75， ∴化为， 由①得：y＞n-1， 由②得：， ∵关于y的不等式组恰有2个“求真点”， ∴不等式组的解集为：，且有2个整数解， 则存在这样的整数k满足：， 由③得：k≤n＜k+1， 由④得：， 当k=-1时，可得：， 此时； 当k=0时，可得：， 此时； 当n=0时，符合题意， 当k为另外的整数时，不等式组无解； 综上：或． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $