专题强化06：一次函数压轴类型【六大题型 培优】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

该初中数学讲义通过题型归纳系统构建一次函数知识体系，以框架图呈现图像与性质、规律探索、面积问题等六大压轴题型，清晰梳理各题型重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点是分层练习设计，典例结合变式题，如实际问题中租车费用比较培养模型意识，规律探索题中正方形坐标规律发展推理意识。专题强化题覆盖不同难度，助力学生分层提升，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

专题强化06：一次函数压轴类型 【题型归纳】 · 题型一：一次函数的图像与性质 · 题型二: 一次函数规律探索问题 · 题型三：一次函数围成面积问题 · 题型四：一次函数与方程问题 · 题型五：一次函数实际问题 · 题型六：一次函数几何综合问题 【题型过关】 题型一：一次函数的图像与性质 【典例1】．（25-26八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点，，和，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·安徽蚌埠·一模）已知一次函数，（，为常数，且）的图象经过点和点，其中且，下列说法中，正确的是（    ）． A．若，则函数图象一定经过第三象限 B．若将函数图象向上平移个单位长度后，与轴交点的纵坐标大于，则 C．若函数图象与轴交于正半轴，则 D．若将函数图象向下平移个单位长度后经过原点，则 【变式2】．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象与坐标轴围成的面积为8，则下列关于一次函数的结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象经过第二、三、四象限 C．函数图象与x轴的交点坐标是 D．函数图象可由函数的图象平移得到 题型二: 一次函数规律探索问题 【典例2】．（25-26九年级上·山西运城·期末）若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……，依次进行下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型三：一次函数围成面积问题 【典例3】．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为__________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为___________． 【变式1】．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）我们规定一次函数是一次函数的“孪生函数”，如是的“孪生函数”．若和它的“孪生函数”的图象与轴围成的三角形面积为2，则的值为_________． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·周测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，过点的直线平分的面积且与轴交于点，则直线对应的函数解析式为__________． 题型四：一次函数与方程问题 【典例4】．（25-26八年级下·山东济南·阶段检测）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：①，②，③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是________． 【变式1】．（25-26八年级下·山东聊城·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④．其中正确的有______． 【变式2】．（25-26八年级下·四川内江·期中）已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，对于以下结论，正确的序号有___________． 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 题型五：一次函数实际问题 【典例5】．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）某校八年级班学生要去实验基地进行实践活动，现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生六折优惠，乙旅行社表示可先免去两位同学的车费，然后给予其他同学七折优惠． (1)若用表示乘车人数，请用含的式子分别表示选择甲、乙旅行社所支付的费用与； (2)该班选择哪一家旅行社所支付的费用较少？ 【变式1】．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有，两种品牌的共享电动车可选择．已知：品牌电动车骑行，收费元，且；品牌电动车骑行，收费元，且，，两种品牌电动车所收费用与骑行时间之间的函数图象如图所示． (1)说明图中函数与图象的交点表示的实际意义． (2)求函数解析式中的和． (3)请直接写出当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 【变式2】．（25-26八年级下·广东深圳·期中）2026亚太经合组织第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了、两款有关会场的纪念品，已知10个款纪念品和15个款纪念品的售价为2400元；30个款纪念品和20个款纪念品的售价为5200元． (1)每个款纪念品和款纪念品的售价分别为多少元？ (2)已知款纪念品和款纪念品的成本分别为80元／个和50元／个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进这两款纪念品共600个，其中款纪念品的数量不超过款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对款纪念品降价后再销售，而款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出．则款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？ 题型六：一次函数几何综合问题 【典例6】．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图1，直线图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C、D分别是射线、射线上一动点（点C与点A不重合），且． (1)求点A、B坐标； (2)点C、D在线段上时（不与端点重合），如图2，设点C的坐标为，的面积为S，用含m的代数式表示S，并写出m的取值范围； (3)若E为坐标平面内的一点，当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，直接写出C的坐标． 【变式1】．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，直线与轴、轴分别相交于点，．直线与轴相交于点．两条直线相交于点． (1)的值为_____．点的坐标为_____． (2)如图，是直线在第一象限内的点，连接、，且的面积为． ①求与之间的关系式，并写出的取值范围． ②点关于轴的对称点为点，连接，．若直线恰好将四边形分为两部分，且满足，求此时的值． 【变式2】．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，， ，点C为上一动点． (1)点A的坐标为________； (2)连接，并延长交y轴于点D，若的面积恰好被x轴分成两部分，求点C的坐标； (3)如图2，若，将绕点O顺时针旋转，得到，如图2所示，所在直线交直线于点，当为直角三角形时，直接写出点的坐标． 【专题强化】 一、单选题 1．（2026·陕西安康·模拟预测）一次函数的图象经过点，，，且，则的值可能为（　　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，将一个等腰直角三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为16 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 5．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）已知，，m为正整数．下列说法：其中正确的个数是（   ） ①始终大于； ②函数，点在该函数的图象上，若时，则； ③若满足条件的整数n有且只有4个，则m的值为1010或． A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26八年级下·四川广安·阶段检测）如图，一次函数与的图象交于点P，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（     ） A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 7．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（   ） A．， B．关于x的方程的解为 C．直线上有两点，，若时，则 D．关于x的不等式的解集为 8．（25-26八年级下·广东深圳·期中）小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为的等腰；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点出发，撞击边上的点后反弹，再撞击边上的点反弹，最后回到点．则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26八年级下·四川达州·期中）若实数a使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得关于x的一次函数不经过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为______． 10．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（，是常数），当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是，那么该一次函数的表达式是________． 11．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线与相交于点，已知点的横坐标为，则关于的不等式的解集为_____． 12．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）将一块等腰直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，已知直角顶点的坐标为，点落在轴上，所在直线与轴交于点，若，点在第一象限，点的坐标为_______．则点的坐标为________． 13．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，点M的坐标为，点P从出发，以每秒2个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线l也随之平移，且直线l与直线平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值可以是______． 14．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）直线的解析式为，点在轴上，点在轴上，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交直线于点，则直线的解析式为________． 三、解答题 15．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，过点的直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)若点在正半轴上运动时，点运动到何处时与面积相等？并求出此时面积． 16．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，A型号进价为30元/个，B型号进价为35元/个，若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)该超市A、B型号吉祥物售价分别为多少？ (2)若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 17．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的表达式及C点坐标； (2)将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（25-26八年级下·上海·期中）如图，已知点在一次函数（）的图像上，过点作轴垂线，垂足为点，点、都在一次函数（）的图像上，直线与直线交于点． (1)求的值； (2)如果的面积是，求、的值； (3)在（2）的条件下，点在函数的图像上，如果，求点的坐标． 19．（25-26八年级下·广东河源·期中）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 20．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应线段，连接．分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，两点同时出发，速度均为每秒个单位长度； (1)请直接写出坐标：(________，______)，(______，______)； (2)能否平行于轴？若能，请求出几秒后轴；若不存在，请说明理由； (3)点是线段上一点，在点运动过程中是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 21．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化06：一次函数压轴类型 【题型归纳】 · 题型一：一次函数的图像与性质 · 题型二: 一次函数规律探索问题 · 题型三：一次函数围成面积问题 · 题型四：一次函数与方程问题 · 题型五：一次函数实际问题 · 题型六：一次函数几何综合问题 【题型过关】 题型一：一次函数的图像与性质 【典例1】．（25-26八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点，，和，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设直线的解析式为， ∵直线经过二、三、四象限， ∴， ，随的增大而减小． A．∵，∴，故A错误； B．∵，∴，故B错误； C．∵，∴，故C错误； D．在直线上，∵，∴， 将点 和代入，得： ， 解得， 又时，代入解析式得，且 ，即 ， ∵， ∴ ，解得， 代入得， ∵，即 ，可得 ， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得 ， 整理得，故D正确． 【变式1】．（2026·安徽蚌埠·一模）已知一次函数，（，为常数，且）的图象经过点和点，其中且，下列说法中，正确的是（    ）． A．若，则函数图象一定经过第三象限 B．若将函数图象向上平移个单位长度后，与轴交点的纵坐标大于，则 C．若函数图象与轴交于正半轴，则 D．若将函数图象向下平移个单位长度后经过原点，则 【答案】C 【分析】根据函数的增减性可判断，则当时，图象过一二四象限；平移后与轴交点的纵坐标为，得到；函数图象与轴的交点坐标为，可得；平移后的解析式为，过原点可得，进一步得到，而． 【详解】解：对于A：∵图象经过点和点，其中且， ∴随的增大而减小， ∴， 当时，图象过一、二、四象限，不经过第三象限，故A错误； 对于B：向上平移后得到，当时，， ∴新函数的图象与轴交点的纵坐标为，则， 解得，故B错误； 对于C：当时，，解得， ∵函数图象与轴交于正半轴， ∴，即，故C正确； 对于D：将函数图象向下平移个单位长度后得到， ∵新函数的图象经过原点， ∴，则， ∵， ∴，故D错误． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象与坐标轴围成的面积为8，则下列关于一次函数的结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象经过第二、三、四象限 C．函数图象与x轴的交点坐标是 D．函数图象可由函数的图象平移得到 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题，一次函数的增减性和一次函数图象经过的象限，求出一次函数与坐标轴的交点坐标，结合围成的面积求出k的值，再根据一次函数的性质逐一判断选项正误． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴一次函数（k为常数且）的图象与x轴、y轴分别交于点， ∵一次函数（k为常数且）的图象与坐标轴围成的面积为8， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∴函数值随自变量的增大而减小，函数图象经过第二、三、四象限，函数图象与x轴的交点坐标是，函数图象可由函数的图象平移得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论错误，符合题意， 故选：C． 题型二: 一次函数规律探索问题 【典例2】．（25-26九年级上·山西运城·期末）若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线与轴的夹角为，， ∴直线与轴交点坐标为， 设直线解析式为， 代入点，， 得， 解得， ∴直线解析式为， 四边形是正方形， ∴，把代入，得， ∴的坐标为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理可得的坐标为， ∴的坐标为， ∴的坐标为， 故选：A． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把代入：得， ∴， ∴，即， ∵过点A作x轴的平行线交直线于点，把代入得， ∴， ∵过点作轴的平行线交直线于点，把代入得， ∴， ∴，即， 同理可得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时得到：， 故选：． 【变式2】．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……，依次进行下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，在直线上， ∴在中，当时，，则， ∵在直线上， ∴在中，当时，，则， 同理可得：，，，，，， ∴，，，（为自然数）， ∵， ∴的坐标为，即， 故选：D． 题型三：一次函数围成面积问题 【典例3】．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为__________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为___________． 【答案】 6 【详解】（1）解：∵直线交轴正半轴于点， ∴， ∴． ∵，且在轴正半轴， ∴，解得， ∴． 将代入得，解得； 故答案为：． （2）解：∵在轴上，， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入得：，解得， ∴直线的解析式为． ∵在直线上， ∴，解得， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）我们规定一次函数是一次函数的“孪生函数”，如是的“孪生函数”．若和它的“孪生函数”的图象与轴围成的三角形面积为2，则的值为_________． 【答案】5或 【详解】解：∵， ∴它的“孪生函数”为， 令，代入 得，即点． 令，代入得，即点． ∴， ． 当时，， 代入，得， 即交点． ∵和它的“孪生函数”与y轴围成的三角形面积为2， ∴三角形顶点为、和， ∴底边在轴上，长度为，高为交点横坐标的绝对值，面积． 解得或． 故答案为：5或． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·周测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，过点的直线平分的面积且与轴交于点，则直线对应的函数解析式为__________． 【答案】 【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则，令，则， ，． 过点的直线平分的面积， ， ． ， 设直线对应的函数解析式为． 把代入，得，解得， 直线对应的函数解析式为． 故答案为：． 题型四：一次函数与方程问题 【典例4】．（25-26八年级下·山东济南·阶段检测）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：①，②，③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是________． 【答案】3 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与轴、轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：一次函数经过第一、二、三象限， ，故①正确； 一次函数与轴交于负半轴，与轴交于， ，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式组的解集是，故⑤正确； 正确的一共有3个． 【变式1】．（25-26八年级下·山东聊城·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④．其中正确的有______． 【答案】①②③④ 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：函数中，随的增大而减小；故①正确； ②由图象可知：， ∴函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限；故②正确； ③由图象可知：两直线交点横坐标为，则，整理得；故③正确； ④由可得，， ∵， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 【变式2】．（25-26八年级下·四川内江·期中）已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，对于以下结论，正确的序号有___________． 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 【答案】①②④ 【详解】解：直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故结论①正确； 将，代入，得， 解得， 直线的函数解析式为， 直线直线且经过原点， 直线的函数解析式为， 将代入，得，解得， 直线的函数解析式为， 解，解得， 点的坐标为， 在中，令，得， 解得， 点的坐标为， ，故结论②正确； 在中，令，得，解得， 点的坐标为， ， ，故结论③错误； 直线交轴于点， ， 作点C关于x轴的对称点，则，连接交x轴于点， 此时的值最小， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，得，解得， 点坐标为，故结论④正确； 综上所述，正确的结论为①②④． 故答案为：①②④． 题型五：一次函数实际问题 【典例5】．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）某校八年级班学生要去实验基地进行实践活动，现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生六折优惠，乙旅行社表示可先免去两位同学的车费，然后给予其他同学七折优惠． (1)若用表示乘车人数，请用含的式子分别表示选择甲、乙旅行社所支付的费用与； (2)该班选择哪一家旅行社所支付的费用较少？ 【答案】(1)， (2)当乘车人数满足时，选择甲旅行社支付的费用较少；当时，两家旅行社支付费用相同；当时，选择乙旅行社支付的费用较少. 【详解】（1）解：甲旅行社支付的费用是， 乙旅行社支付的费用是； （2）解：当时， 可得：， 解得：； 当时， 可得：， 解得：； 当时， 可得：， 解得：； 综上所述，当乘车人数满足时，选择甲旅行社支付的费用较少；当时，两家旅行社支付费用相同；当时，选择乙旅行社支付的费用较少. 【变式1】．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有，两种品牌的共享电动车可选择．已知：品牌电动车骑行，收费元，且；品牌电动车骑行，收费元，且，，两种品牌电动车所收费用与骑行时间之间的函数图象如图所示． (1)说明图中函数与图象的交点表示的实际意义． (2)求函数解析式中的和． (3)请直接写出当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 【答案】(1)当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费都为8元 (2) (3)5或40 【分析】（1）函数图象的交点表示两函数值相等，即两品牌收费相同． （2）由图象可知在时的图象经过点和交点，利用待定系数法列方程组求解和． （3）分两种情况讨论：当时，；当时，．根据列方程求解，注意检验解是否在对应区间内． 【详解】（1）解：由图象可知，点的坐标为， 点表示的实际意义为：当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费都为元． （2）解：由图象可知，在时的图象经过点和点， 将和代入得： ， 解得． （3）解：当时，，， 由题意得， 即， 当时，，解得（舍去，不合题意）， 当时，，解得． 当时，，， 由题意得， 即， 整理得， 当时，，解得， 当时，，解得（舍去，不合题意）． 综上所述，当或时，两种品牌共享电动车收费相差元． 【变式2】．（25-26八年级下·广东深圳·期中）2026亚太经合组织第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了、两款有关会场的纪念品，已知10个款纪念品和15个款纪念品的售价为2400元；30个款纪念品和20个款纪念品的售价为5200元． (1)每个款纪念品和款纪念品的售价分别为多少元？ (2)已知款纪念品和款纪念品的成本分别为80元／个和50元／个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进这两款纪念品共600个，其中款纪念品的数量不超过款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对款纪念品降价后再销售，而款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出．则款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每个A款纪念品售价为120元，每个B款纪念品售价为80元 (2)购进A款纪念品200个时，该商店销售利润最大，最大利润为17600元 【分析】（）设两个未知数，根据题干给出的两种售价总和的条件，列出二元一次方程组求解即可； （）设购进A款纪念品的数量，根据单利润乘以数量得到总利润，整理出总利润关于A款数量的一次函数，再根据题干给出的数量关系和总价限制列出不等式组，得到自变量的取值范围，结合一次函数的增减性即可求出最大利润及对应的购进数． 【详解】（1）解：设每个A款纪念品售价为元，每个B款纪念品售价为元， 根据题意可得解得 答：每个A款纪念品售价120元，每个B款纪念品售价80元； （2）设购进A款纪念品个，总销售利润为元，则购进B款纪念品个， ∴降价后A款纪念品的售价为（元）， 每个A款的利润为（元），每个B款的利润为（元） ∴总利润； 根据题意列不等式组得解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：购进A款纪念品200个时该商店当月销售利润最大，最大利润为17600元． 题型六：一次函数几何综合问题 【典例6】．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图1，直线图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C、D分别是射线、射线上一动点（点C与点A不重合），且． (1)求点A、B坐标； (2)点C、D在线段上时（不与端点重合），如图2，设点C的坐标为，的面积为S，用含m的代数式表示S，并写出m的取值范围； (3)若E为坐标平面内的一点，当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，直接写出C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）分别令，求解即可； （2）取的中点，连接，证明为等边三角形，则，即可得到为等边三角形，那么，过点作于点，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理求出，即可建立函数关系式； （3）当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，则为等腰三角形，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，； 当时，，解得 ∴，； （2）解：∵， ∴ ∴ 取的中点，连接， 则 ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴ 过点作于点 ∴ ∴ ∴ ∴ 即； （3）解：当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，则为等腰三角形， 当时，则， ∴， ∴； 当时， ∴ ∴ ∴为等边三角形， ∵为等边三角形，且点在射线上 ∴点重合， ∴； 当时，连接交于点， ∴根据菱形可得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 综上：点C的坐标为或或． 【变式1】．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，直线与轴、轴分别相交于点，．直线与轴相交于点．两条直线相交于点． (1)的值为_____．点的坐标为_____． (2)如图，是直线在第一象限内的点，连接、，且的面积为． ①求与之间的关系式，并写出的取值范围． ②点关于轴的对称点为点，连接，．若直线恰好将四边形分为两部分，且满足，求此时的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 解得， ∴直线， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：①将代入，得， ∴点的坐标为， ∵是直线在第一象限内上的点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，延长交轴于点， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 又∵点在轴上， ∴直线与直线关于轴对称， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴，， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为，， ， ， ， ， ∴， ∵在四边形内部， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式2】．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，， ，点C为上一动点． (1)点A的坐标为________； (2)连接，并延长交y轴于点D，若的面积恰好被x轴分成两部分，求点C的坐标； (3)如图2，若，将绕点O顺时针旋转，得到，如图2所示，所在直线交直线于点，当为直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)或或或 【分析】（1）由含 30 度角的直角三角形的性质以及平面直角坐标系即可求解； （2）分两种情况讨论，时，时，由三角形的面积关系可求点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分两种情况，当时，当时，根据含 30 度角的直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ． （2）解：根据题意分两种情况讨论： ①时， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点； ②时， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点； 综上所述：点的坐标为或． （3）解：如图，当时，过点作于， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴， ∴点在轴上， ∴点； 如图，当旋转角大于时，由中心对称的性质可得：点的坐标或， 综上所述：点的坐标或或或． 【专题强化】 一、单选题 1．（2026·陕西安康·模拟预测）一次函数的图象经过点，，，且，则的值可能为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知不等式判断一次函数的增减性，得到的取值范围，再代入点的坐标求出的范围，最后结合选项得到答案． 【详解】解：， 与异号， 随增大而减小， 一次函数中， 把代入函数解析式得：， ， ， ， 的值可能为． 2．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再根据30度角的直角三角形的性质得，运用勾股定理得，然后代入数值计算，得，再结合旋转性质以及勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵直线与轴，轴分别交于、两点 ∴令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 在中，， 即， 解得， ∵把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上）， ∴，， 过点作，如图所示： 则在中，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得的长，利用平移的性质结合一次函数图象上点的坐标特征，可得的长，进而可得的长，再利用平行四边形的面积公式，即可求出线段扫过的面积． 【详解】解：如图所示，线段扫过的面积为平行四边形的面积， 点、的坐标分别为，． ， ，， ， ， 点的纵坐标为， 点在直线上， ，解得， 即， ， ， 即线段扫过的面积为． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，将一个等腰直角三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为16 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 【答案】D 【分析】先求出直线与轴交于点，由图2可得：当时，开始大于，即此时直线开始与相交，直线向左平移了两个单位长度，故点的坐标为，即可判断A选项错误；当时，该直线被的边截得的线段最大，结合图1可得，此时经过点，平移了秒，从而可得点的坐标为，进而得出，求出，，的面积为，即可判断B选项错误；待定系数法求出直线的解析式为，即可判断C选项错误；当时，该直线被的边截得的线段最大，且过点，此时截得的线段长度，即可判断D选项正确． 【详解】解：在直线中，令，则， 解得， ∴直线与轴交于点， 由图2可得：当时，开始大于，即此时直线开始与相交，直线向左平移了两个单位长度， 故点的坐标为，即，故A选项错误，不符合题意； 当时，该直线被的边截得的线段最大，结合图1可得，此时经过点，平移了秒， ∴点的坐标为，即， ∴， ∴，，的面积为，故B选项错误； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为，故C选项错误； 当时，该直线被的边截得的线段最大，且过点，此时截得的线段长度，即D点坐标为，故D选项正确． 5．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）已知，，m为正整数．下列说法：其中正确的个数是（   ） ①始终大于； ②函数，点在该函数的图象上，若时，则； ③若满足条件的整数n有且只有4个，则m的值为1010或． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法，代数式求值，不等式的应用，先计算，再结合为正整数的条件，依次验证三个说法即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵ m为正整数， ∵， ∴， ∴， ①正确； ∵， 当时，， ②正确； ∵， ∴，为正整数， ∴整数n有且只有4个， ∴不等式整理为， ∵满足条件的整数n有且只有4个，即整数n的取值为， ∴， 解得， ∵ m是正整数， 因此m只有一个值为1010， ③错误； 综上，正确的说法共2个， 故选：C． 6．（25-26八年级下·四川广安·阶段检测）如图，一次函数与的图象交于点P，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（     ） A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象并结合一次函数的性质逐项分析即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：一次函数与轴交于正半轴，则，故①说法错误； 一次函数的图象经过第一、二、四象限，则；一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，故，②说法正确； 当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，即，故③说法错误； 当时，，故④说法正确； 一次函数的图象与轴交于负半轴，即，故，⑤说法正确； 综上所述，说法正确的有②④⑤． 7．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（   ） A．， B．关于x的方程的解为 C．直线上有两点，，若时，则 D．关于x的不等式的解集为 【答案】D 【详解】解：A、∵直线经过一、二、四象限， ∴，，故正确，不符合题意； B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3， ∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意； C、根据函数图像得到：直线上，y随x的增大而增大， ∵直线上有两点，，， ∴．故正确，不符合题意； D、根据函数图像得到：关于x的不等式的解集为，即不等式的解集为，故选项错误，符合题意． 8．（25-26八年级下·广东深圳·期中）小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为的等腰；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点出发，撞击边上的点后反弹，再撞击边上的点反弹，最后回到点．则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作交直线于点，延长交轴于点，连接，可证明，则可证明，得到，，即可得到；同理可证明，可得垂直平分，则，推出，得到；求出直线和直线的解析式，进而可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作交直线于点，延长交轴于点，连接， 由题意得，，， ， ， 又，， ， ，， ， ， ； 同理可证明， ， 垂直平分， ； 是等腰直角三角形， ； ， ， ， 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， 点的坐标为， 故选：B． 二、填空题 9．（25-26八年级下·四川达州·期中）若实数a使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得关于x的一次函数不经过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为______． 【答案】 【分析】先解不等式组，根据不等式组的解只有2个整数解，列出关于a的不等式，求出此时a的取值范围；再根据一次函数的图像不过第四象限，列出关于a的不等式组，再次求出a的取值范围，两项综合求出a最终的取值范围，则问题得解． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式有解，则解为：， ∵不等式组有两个整数解， 则这两个整数解为3，2， ∴， 解得； ∵一次函数不过第四象限， ∴则有， 解得； 综上： ∴a的整数值有：，，， 则其和为：． 10．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（，是常数），当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是，那么该一次函数的表达式是________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论①，②，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：①当时，一次函数（，是常数），随增大而增大，函数必过，，则， 解得． ∴该一次函数的表达式是． ②当时，一次函数（，是常数），随增大而减小，函数必过，，则， 解得． ∴该一次函数的表达式是． 综上所述，该一次函数的表达式是或． 11．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线与相交于点，已知点的横坐标为，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】利用交点的横坐标，数形结合思想求解即可； 【详解】解：因为直线与相交于点， 且点的横坐标为， 故关于的不等式的解集为； 12．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）将一块等腰直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，已知直角顶点的坐标为，点落在轴上，所在直线与轴交于点，若，点在第一象限，点的坐标为_______．则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点作，由题意易得，，即，然后可得，则有，进而可得点的坐标，求出直线的解析式为，最后问题可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点的坐标为，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有，解得：， ∴． 13．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，点M的坐标为，点P从出发，以每秒2个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线l也随之平移，且直线l与直线平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值可以是______． 【答案】或 【详解】解：由题意设直线的解析式为， 点从出发，以每秒个单位的速度沿轴向上移动， 点的坐标为， 直线过点， ， ∴直线的解析式为， 直线平行于直线， 直线与坐标轴的夹角为， ①当点关于直线的对称点落在轴上时，设直线与轴交于点， 点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段，， 直线平分， 直线与轴夹角为，即， ， 轴， 点的坐标为， 点的坐标为，， ， 点在点左侧， 点的坐标为， 直线垂直平分， 线段的中点在直线上， 线段的中点坐标为，即， 将代入，得，解得； ②当点关于直线的对称点落在轴上时， 点与点关于直线对称，且点在直线上， ，直线平分， 直线与轴夹角为，即， ， 轴， 点的坐标为， 点的坐标为， ，解得， 综上所述，的值为或． 14．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）直线的解析式为，点在轴上，点在轴上，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交直线于点，则直线的解析式为________． 【答案】 【分析】先根据直线的解析式求出点和点的坐标，利用翻折变换的性质及平行线的性质得出，从而判定是等腰三角形，设出点的坐标，利用勾股定理建立方程求出点的坐标，最后利用待定系数法求出直线的解析式． 【详解】解：对于直线， 当时，，当时，， ，， 将沿翻折，点的对应点为点， ，，， ， ， ， 即， ， 且轴， 设点的坐标为，且， ，， ， 在中， ， ， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入中得： ， 解得， 直线的解析式为． 三、解答题 15．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，过点的直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)若点在正半轴上运动时，点运动到何处时与面积相等？并求出此时面积． 【答案】(1)点P的坐标为， (2)点M运动到时，与面积相等， 【分析】（1）先把代入，求出m得到P点坐标，然后利用待定系数法求直线l1的解析式； （2）由与有相同的高，即．当时， 与面积相等，可求，求得，则点M运动到时， 与面积相等，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：把点代入中，得 ， ∴点P的坐标为． 把点分别代入中，得 ， 解得， ∴直线l1的解析式为； （2）解：对于直线，当时，， 解得， ∴， 由（1）得点P的坐标为， ∵与有相同的高，即．要使与面积相等，且点M在x轴正半轴上， 如图， ∴在x轴上取点M，当时，与面积相等． ∵在直线中，当时， ，即点B的坐标是 ， ∴， 即， ∴， 则点M运动到时，与面积相等． ∴． 16．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，A型号进价为30元/个，B型号进价为35元/个，若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)该超市A、B型号吉祥物售价分别为多少？ (2)若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 【答案】(1)A型号吉祥物售价为40元/个，B型号吉祥物售价为50元/个 (2)1090元 【分析】（1）根据“购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要元”建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）根据“购买种型号吉祥物的数量个不少于种型号吉祥物数量的”建立不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性，即可求解； 【详解】（1）解：设A型号吉祥物售价为元/个，B型号吉祥物售价为元/个； 由题知，， 解得：； 答：A型号吉祥物售价为40元/个，B型号吉祥物售价为50元/个． （2）解：∵购买种型号吉祥物的数量个，则购买种型号吉祥物的数量个， 且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的， ∴， 解得， ∴且为正整数， 该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为： ， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∵x取正整数， ∴当时，w最大，且最大值为： （元）． 17．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的表达式及C点坐标； (2)将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据对称可得，设直线的解析式为： ，代入即可求解； （2）根据题意得平移后解析式为：；再得点，即可求得直线解析式为：，根据A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形可得 ，即可求解. 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵直线与直线关于y轴对称， ∴点与点A关于y轴对称， ∴， ∵直线过点与点B，设直线的解析式为：， ∴ ，解得， ∴直线的解析式为： ； （2）解：存在 ∵直线向右平移8个单位后与直线交于点D， ∴平移后解析式为：， ∵平移后的解析式与直线交于点D， ∴，解得， ∴点， 设直线解析式为：， ∴，解得， ∴直线解析式为：， ∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形，E为直线上一动点，F为y轴上一动点， ∴ ， 设，则 ， ∴ ，解得：， ∴或. 18．（25-26八年级下·上海·期中）如图，已知点在一次函数（）的图像上，过点作轴垂线，垂足为点，点、都在一次函数（）的图像上，直线与直线交于点． (1)求的值； (2)如果的面积是，求、的值； (3)在（2）的条件下，点在函数的图像上，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)​， (3)或 【分析】（1）将代入即可求解． （2）过作x轴垂线，垂足坐标为，则，根据，，得出，求出或．根据直线过，得出，结合，得，则，．将代入即可求解． （3）联立直线方程，求出，再求出​，​，设，则，根据，或，求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得：． （2）解：过作x轴垂线，垂足坐标为， 则， ∵，， ∴， ∴或． ∵直线过， ∴， 解得：， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 将代入，得方程组：， 解得：． （3）解：联立直线方程， 解得：， ∴​， ∴​， ∵点在直线上， ∴设， 则， ∴， ∴， 解得； 或， ∴， 解得：． ∴点的坐标为或． 19．（25-26八年级下·广东河源·期中）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②P点坐标为或或或 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①通过观察图象求解即可；②分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是． （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是． （3）解：①∵， ∴的解集是， ∵， ∴的解集是， ∴的解集是； ②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下： 设点P的坐标为：， ∵，， ∴，，， 当时，则， 解得或(舍去)， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴或， ∴P点坐标为或； 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或或或． 20．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应线段，连接．分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，两点同时出发，速度均为每秒个单位长度； (1)请直接写出坐标：(________，______)，(______，______)； (2)能否平行于轴？若能，请求出几秒后轴；若不存在，请说明理由； (3)点是线段上一点，在点运动过程中是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)能平行，秒 (3)存在， 【分析】（1）由图形的平移方式，得到点的平移方式即可得出答案； （2）设秒后轴，由平行于轴的直线上点的纵坐标相等列方程求解即可； （3）由等腰直角三角形的性质，结合“一线三垂直”模型求，根据列方程组求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应点， ， 点的坐标为，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应点， ； （2）解：能平行， 理由如下： 设秒后轴， 由题意得， 解得， 即时，轴； （3）解：存在． 设运动秒时成为以点为直角顶点的等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴的平行线，过作于点，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点坐标为， 由题可知， 则，， 由可得， 解得， 当时，， ∴， ∴当点坐标为时，成为以点为直角顶点的等腰直角三角形． 21．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则，∴， ∴，∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $