专题强化01：二次根式【九大题型 培优】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化01：二次根式 【题型归纳】 【题型探究】 题型一：二次根式的混合计算 【例1】．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算． （1）先算开方、绝对值，再算加减； （2）先计算括号内的，再根据二次根式除法计算即可； （3）先根据乘法公式计算，再算加减． 【详解】（1）解： （2）解： （3） 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再由完全平方公式去括号，最后计算加减法即可； （2）先计算二次根式除法，同时化简分式中的二次根式，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二：二次根式的性质化简 【例2】．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知、满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性和二次根式混合运算顺序与运算法则．先根据二次根式的非负性得出，解之求得、的值，再代入计算可得． 【详解】解：， ，解得， ． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点，表示的数分别为，．化简为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，实数与数轴，二次根式性质的化简与求值，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据勾股定理求得，，求得，，代入式子后根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知，根据勾股定理： ， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判断，，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案． 【详解】解：原式， ， ，， 原式 ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定，进而确定，再运用二次根式的混合运算法则化简，最后将、代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ． 当时，原式． 题型三：分母的有理化 【例3】9．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知，，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握分母有理化的方法以及代数式的变形技巧是解题的关键． 先对、进行分母有理化，再计算和的值，最后将代数式变形为后求值． 【详解】解：，， ∴，， ∴． 故答案为 ． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·四川成都·期中）设，，则_______；_______． 【答案】 15 【分析】本题考查二次根式的计算：通过有理化分母化简a和b的值，然后分别计算和． 【详解】解：， ， ； ， ， ， ． 故答案为：；15． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________． 【答案】/ 【详解】解：∵，， 又∵，∴，∴，， ∴的整数部分，的整数部分为， ∴的小数部分， ∴．故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）化简：＝__________． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴原式． 故答案为：4． 题型四：复合二次根式的化简 【例4】．（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的加减是关键． （1）将配方成，即可得到答案； （2）将配方成，即可得到答案； （3）先对两个被开方数配方，再开方求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：原式 ． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 2．（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 【答案】(1)①；② (2) (3)见解析 【分析】本题考查二次根式化简、新定义问题，熟练掌握二次根式化简方法和正确理解新的定义是解题的关键． （1）①根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； ②根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； （2）观察式子发现，，据此进行分母有理化，化简式子即可； （3）根据“和谐二次根式”的定义，化简，求出b的值，再求出的值，据此证明即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：，， 原式 （3）证明：根据“和谐二次根式”的定义得， 由于 则 由于的小数部分为b， 则 、 所以 因此． 题型五：二次根式的比较大小 【例5】．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 【举一反三】 1．（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 2．（21-22七年级下·江西抚州·月考）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化为再结合从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 而 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2019×2021-2019×2020=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020=20202-1-20202+2020=2019； ∵20222-4×2021=（2021+1）2-4×2021=20212+2×2021+1-4×2021=20212-2×2021+1=（2021-1）2=20202， ∴b=2020； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：A． 题型六：已知字母的值，化简求值 【例6】．（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知：，，则代数式的值是（    ） A．6 B．24 C．42 D．96 【答案】A 【分析】先根据、的值，利用完全平方公式推导出和的值，再将所求代数式变形为含这两个式子的形式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知 ，则二次根式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，先化简，再利用因式分解和完全平方公式把转化为，把化简后的值代入计算得到的值，即可求出的值，掌握二次根式的化简和完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴ ， ， ， ， ， ∴， 故选：． 3．（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知，，则的值等于（　　） A．0 B．4 C． D．16 【答案】D 【分析】根据完全平方公式可得，再将x和y的值代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式． 题型七：已知条件等式，化简求值 【例7】．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： (1)化简：． (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方式，二次根式的性质，因式分解，整体代入的思想方法，准确利用整体代入的思想方法解答是解题的关键； 将代数式适当变形后利用整体代入的方法解答即可； 利用完全平方式的特征与整体代入的方法解答即可； 利用二次根式的性质和整体代入的方法解答即可； 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：，， ，， ， 由知：， 则， 原式； 2．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）（1）计算； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6；（3）54 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的混合运算，熟知平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式求解即可； （2）根据已知条件和平方差公式可得，据此可得答案； （3）设，则可推出，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）； （2）∵，， ∴， ∵， ∴； （3）设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1)(2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：， ∴ ； （4）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 题型八：二次根式的应用 【例8】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 【答案】(1)2，1 (2)的最小值为5， (3)矩形地块面积的最大值为，此时矩形地块的长与宽的值均为 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算． （1）根据题目中给出的信息进行解答即可； （2）先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可； （3）由 ，可得，根据四边形的面积为，求出最大值，再进一步求解可得矩形地块的长与宽． 【详解】（1）解：当时，， 当时，即1，取最小值，最小值为2， 故答案为：2，1； （2）解：， ， 的最小值为5 此时，． （3）设，则， ， ， ， ， ． ∴矩形地块面积的最大值为． 此时矩形地块的长与宽的值均为． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，勾股定理． （1）根据公式求得，然后将和p的值代入公式即可求解； （2）设的边上的高为h，根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解． （3）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，勾股定理求得，利用海伦公式求得，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， 答：的面积是； （2）解：设的边上的高为h， ， ， 答：边的高是． （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴周长的一半为 ∴ ∴四边形的面积为 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长） 任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴＝______（填最终结果） 根据海伦公式可得＝______（结果化到最简） 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】任务一：11，；任务二： 【分析】本题考查二次根式的应用，正确计算是关键． 任务一：把数值代入直接计算即可； 任务二：先求出，，，再代入秦九韶公式计算即可． 【详解】解：任务一：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴， 根据海伦公式可得 ， 故答案为：11，； 任务二：设三角形的三边长分别是，，， ，，， 秦九韶公式： ． 题型九：二次根式的综合问题 【例9】．（25-26八年级上·江西宜春·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； … 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简：． (2)计算：________（为正整数）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【答案】问题初探：，发现规律：，应用规律：（1）；（2）9 【详解】问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，分式加减混合运算，二次根式的混合运算，解分式方程（化为一元一次）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】先阅读下列材料： 材料一：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法，进而将二次根式化为最简，例如：， 材料二：小刚利用材料一的内容解决了如下问题：已知，求的值．他是这样解答的：， ， 【学以致用】请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：_____；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1)；(2)； (3)． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∴的值为． 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义（形如且的式子），逐一判断每个式子是否符合二次根式的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：根据二次根式的定义是形如（）的式子，需满足根指数为2且被开方数非负， ①：被开方数，根指数为2，是二次根式， ②：被开方数，无意义，不是二次根式， ③：，，根指数为2，是二次根式， ④：根指数为3，是三次根式，不是二次根式， ⑤：被开方数，根指数为2，是二次根式， ⑥：被开方数的取值随变化，可能小于0，不满足被开方数非负的确定性，不是二次根式， ⑦：，，，根指数为2，是二次根式， ∴符合条件的二次根式有①③⑤⑦，共4个． 故选：C． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与运算法则，根据二次根式的相关性质逐一判断每个变形的正误，统计错误个数后确定答案． 【详解】解：①∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴①变形错误； ②∵二次根式被开方数需为非负数，与无意义，正确做法为，∴②变形错误； ③∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴③变形错误； ④∵，符合（a≥0,b≥0）的性质，∴④变形正确； 综上，错误的变形有3个， 故选：C． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用算术平方根的非负性求出x、y值，估算的取值范围求得m值，进而可求解． 【详解】解：x，y满足等式，，， ∴，， 解得，， ∵m是的小数部分，， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，无理数的估算，二次根式的乘法运算，由得，估算出，可得，再根据二次根式的运算法则可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和为两个连续的正整数， ∴， ∴． 故选：B． 6．（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质，首先利用完全平方公式得到，然后利用二次根式的性质化简得到，然后计算其近似值，确定整数m的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 7．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，因式分解的应用，实数的大小比较，熟练掌握二次根式的性质与化简，完全平方公式，二次根式的比较大小进行求解是解决本题的关键． 分别计算、、的值并比较大小，通过提取公因数简化，利用平方差公式简化，通过完全平方公式简化． 【详解】解：， ， ， ， 故选C． 8．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的形式； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的性质，掌握其性质是关键； 根据算术平方根的性质化简表达式，说法①有4种结果，说法②结果有3种，说法③先计算出，计算当时，即可判断． 【详解】解：① ∵，，， ∴， 由于a和b符号组合，有4种结果：， 故①正确； ② ∵要求，即， ∴原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 结果有3种不同结果，故②错误； ③ ∵， ∴， 当时，均为负，均为正， ， 当时，， 故③错误； 综上，①正确； 故选B． 二、填空题 9．（25-26八年级上·福建泉州·期末）求出的值为_____． 【答案】89 【分析】将原式中四个乘数合理分组，通过变形凑出平方差公式，再利用二次根式的性质计算出结果即可． 【详解】解： ． 10．（2026·重庆·模拟预测）已知整数满足，则整数的值为__________． 【答案】3 【分析】先计算，判断出，结合，可得，解得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵整数满足， ∴，解得． 11．（25-26九年级上·重庆·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______. 【答案】/0.5 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，解二元一次方程组，负整数指数幂，熟知把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数相等，列出方程组并求解，得到和的值，再计算． 【详解】解：由与是同类二次根式，得到， 整理得， 由最简二次根式与是同类二次根式，得到， 整理得， ∴， 解方程组得， 因此， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）计算_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律，二次根式的性质，发现数字规律并裂项是解题的关键． 通过观察一般项，发现每一项可化为 的形式，然后利用裂项法裂项，然后求和即可． 【详解】解：设一般项为 ，其中 从 1 到 2019， ∵ ∴原式． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级下·广东江门·开学考试）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 【答案】 （1），；（2）；（3）. 【详解】（1）解：；； （2）解：； （3）解： ． 14．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）阅读与思考： 知识与方法的探索是数学发展的重要途径，可以从中发现新问题和新结论．配方法是初中数学学习中的一种重要思想方法，用配方法可以简化数学运算，常用的公式有：，． 请用配方法，解答下列问题： (1)已知：，求； (2)已知：，求； (3)已知：，（其中，），求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ， ∴，， ∴， （3）∵，， ∴． 15．（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：_________，_________，_________； (2)已知：，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)，，(2)36(3)2025 【详解】（1）解：；； ； （2）解： ；； ∴； （3）解： ． 16．（25-26九年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知是两个正整数，且记作，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如： 任务： (1)分母有理化：___________； 化简“理想二次根式”：___________． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值． 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）解：； ； （2）解： ．．． 17．（25-26八年级上·江西·期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：①当时， ，，，∴中最长边的长度为． ②∵， ∴，， ∴， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化01：二次根式 【题型归纳】 【题型探究】 题型一：二次根式的混合计算 【例1】．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)； (3) 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 题型二：二次根式的性质化简 【例2】．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知、满足，求的值． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点，表示的数分别为，．化简为___________． 2．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简______． 3．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知，求的值． 题型三：分母的有理化 【例3】9．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知，，则代数式的值为______． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·四川成都·期中）设，，则_______；_______． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）化简：＝__________． 题型四：复合二次根式的化简 【例4】．（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 2．（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 题型五：二次根式的比较大小 【例5】．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·江西抚州·月考）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型六：已知字母的值，化简求值 【例6】．（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知：，，则代数式的值是（    ） A．6 B．24 C．42 D．96 【举一反三】 1．（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知 ，则二次根式的值是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知，，则的值等于（　　） A．0 B．4 C． D．16 题型七：已知条件等式，化简求值 【例7】．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： (1)化简：． (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 2．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）（1）计算； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 3．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 题型八：二次根式的应用 【例8】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【举一反三】 1．（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积. 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长） 任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴＝______（填最终结果） 根据海伦公式可得＝______（结果化到最简） 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 题型九：二次根式的综合问题 【例9】．（25-26八年级上·江西宜春·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； … 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简：． (2)计算：________（为正整数）． (3)计算：． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】先阅读下列材料： 材料一：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法，进而将二次根式化为最简，例如：， 材料二：小刚利用材料一的内容解决了如下问题：已知，求的值．他是这样解答的：， ， 【学以致用】请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：_____；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 5．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 7．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的形式； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 9．（25-26八年级上·福建泉州·期末）求出的值为_____． 10．（2026·重庆·模拟预测）已知整数满足，则整数的值为__________． 11．（25-26九年级上·重庆·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______. 12．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）计算_____． 三、解答题 13．（25-26八年级下·广东江门·开学考试）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 14．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）阅读与思考： 知识与方法的探索是数学发展的重要途径，可以从中发现新问题和新结论．配方法是初中数学学习中的一种重要思想方法，用配方法可以简化数学运算，常用的公式有：，． 请用配方法，解答下列问题： (1)已知：，求； (2)已知：，求； (3)已知：，（其中，），求的值． 15．（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：_________，_________，_________； (2)已知：，求的值． (3)计算：． 16．（25-26九年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知是两个正整数，且记作，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如： 任务： (1)分母有理化：___________； 化简“理想二次根式”：___________． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值． 17．（25-26八年级上·江西·期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $