24.2 数据的离散程度【六大考点+六大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦数据的离散程度核心知识点，系统梳理方差、极差、标准差的定义、计算及意义，构建从基础概念理解到实际决策应用的学习支架，涵盖方差计算、稳定性判断、数据变换影响等六大考点。 该资料通过分层题型设计（典例+变式+精练），结合射击成绩分析、竞赛评分决策等真实情境，培养数据意识与应用意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过多样练习查漏补缺，提升分析数据的推理能力。

24.2 数据的离散程度 【考点梳理】 · 考点一：方差 · 考点二：根据方差判断稳定性 · 考点三：加减数据对方差的影响 · 考点四：离差平方和问题 · 考点五：决策中参考量的选择 · 考点六：数据的波动程度的综合问题 【知识梳理】 方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 极差 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体数据的实际波动情况. 标准差 定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 【题型探究】 题型一：方差 【典例1】．（25-26八年级下·全国）求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 【变式1】．（25-26九年级下·山东东营·开学考试）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 【变式2】．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 题型二：根据方差判断稳定性 【典例2】．（25-26九年级下·四川达州·期中）甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 9.6 9.5 9.5 9.6 方差 0.25 0.25 0.27 0.27 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1】．（25-26八年级下·浙江台州·期中）校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【变式2】．（25-26八年级下·四川广安·阶段检测）一班和二班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 一班 45 83 86 82 二班 45 83 84 135 某同学分析上表后得到下列结论：①一班和二班学生的平均水平相当；②一班优秀率高于二班优秀率（竞赛得分分为优秀）；③二班成绩比一班稳定．上述结论正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型三：加减数据对方差的影响 【典例3】．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据的方差为， 则 的方差为___________． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏南京·期末）组数据，，．的方差是，那么数据，，的方差为_________． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知数据的方差是3，则一组新数据的方差是_____． 题型四：离差平方和问题 【典例4】．（25-26八年级下·浙江金华·期中）数据组，的组内离差平方和为_______． 【变式1】．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 【变式2】．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将位同学的英语口语成绩，，，，，分成前个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为______． 题型五：决策中参考量的选择 【典例5】．（25-26八年级上·山西太原·期末）学校七年级要选拔6名同学组成年级篮球队．报名后，体育老师对12名候选人进行了一场技能测试，并记录了个人的得分（单位：分），选拔规则是：依据本次测试得分，从高到低录取前6名．如果小明也是这12名候选人之一，他考完后想知道自己是否有机会入选，在老师公布全部数据后，他最应该关注这组数据的（   ） 选手 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 分数 35 41 42 38 36 37 48 39 40 38 35 40 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【变式1】．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）A、B、C、D四名同学参加数学竞赛选拔赛，每人10次考试成绩的平均数（单位：分）和方差如下表所示：观察下表，从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学代表学校参加比赛，应该选择（　　） A B C D 95 90 85 83 0.11 0.73 0.18 3.12 A．A同学 B．B同学 C．C同学 D．D同学 【变式2】．（25-26九年级上·福建·期末）某地拟从三个超大型居民区中选择一个普通家庭日常消费能力较强的居民区，在其附近建设一个能为居民提供一站式便捷服务的综合商场．项目组分别在三个居民区随机抽取相同数量的家庭，调查各家庭日常消费支出．对所收集的三组样本数据，项目组要作出合理决策宜重点关注的统计量是（    ） A．中位数和众数 B．平均数和方差 C．中位数和平均数 D．众数和方差 题型六：数据的波动程度的综合问题 【典例6】．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）某学校为了更好地推动人工智能教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，在每个年级中选出15名同学参加比赛，并对他们的成绩（单位：分）进行收集和分析，具体如下． 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：75，76，78，78，84，85，86，87，87，87，88，90，90，91，93． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 86 a 41.9 八年级 85 b 87 30.1 根据表中的信息，解答下列问题． (1)请补全条形统计图． (2)填空：________，________． (3)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请说明理由． 【详解】（1）解：八年级的有4人，的有2人， 补全统计图如下： 【变式1】．（25-26八年级下·湖南株洲·期中）某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队每个队员的身高（单位：）如下： 甲队 177 179 178 179 177 178 178 179 178 177 平均数 中位数 众数 方差 甲队 178 a 178 c 乙队 d 177 b 0.89 (1)表中_____，_____，_____． (2)请计算甲队的方差，并判断哪队队员身高更整齐． 【变式2】．（2026·北京朝阳·一模）某学校举办了七、八年级智能机器人应用比赛，比赛包括机器人基础知识、结构搭建、编程控制、综合应用四个分项，采用百分制记录比赛成绩（成绩取整数，单位：分），比赛分为两个阶段． (1)第一阶段为机器人基础知识比赛，该校七、八两个年级智能机器人应用代表队各有8名学生参赛，对他们的成绩进行描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的折线图： b．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的中位数分别为，91，方差分别为，18． 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为________； ②________18；（填“”“”或“”） (2)七、八年级各选派基础知识比赛成绩前三名的学生，参加第二阶段结构搭建、编程控制、综合应用的比赛，部分数据如下： 年级 学生 基础知识 结构搭建 编程控制 综合应用 平均数 方差 七年级 A 91 93 96 95 93.75 3.6875 B 92 92 92 97 93.25 4.6875 C 96 92 88 八年级 D 98 90 92 96 10 E 95 92 93 95 93.75 1.6875 F 94 91 91 95 92.75 3.1875 ①表中的值为________； ②根据比赛成绩，学校对这六名学生进行最后的排序，排序标准为：平均数较大的优先；若平均数相等，则综合应用成绩较高的优先；若综合应用成绩也相等，则方差较小的优先．按上述标准排序后，这六名学生的排序由高到低依次为，，，，，，则表中所有可能的值为________． 【高分精练】 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如图所示表格，如果每个评委打分都提高0.15，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（   ） 平均数 众数 中位数 方差 9.15 9.35 9.25 0.15 A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 3．（25-26八年级下·浙江·期中）在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．方差 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）八（2）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 96 96 98 98 方差 2.6 0.3 0.3 1.8 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（2026·山西运城·二模）在“探究重力与质量的关系”的实验中，小明和小亮使用同一套器材，多次测量同一物体的重力（单位：），记录数据如下：小明：；小亮：，关于小明和小亮测量数据的波动程度，下列说法正确的是（    ） A．小明的测量数据波动更大 B．小亮的测量数据波动更大 C．两人的测量数据波动一样 D．无法确定 6．（2026·山东青岛·一模）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 7．（2026·山西吕梁·模拟预测）2025年11月25日、神舟二十二号飞船发射任务取得圆满成功．为进一步增强同学们对航天知识的了解、某实验学校组织了以“青春飞扬，筑梦远航”为主题的航天知识竞赛．甲、乙两个班各派5名学生参加，两个班学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（2026九年级下·山东青岛·专题练习）已知甲、乙两队员参加“青翼杯小组赛”射击的成绩如图，则下列结论不正确的是（    ） A．统计样本是“射击成绩” B．甲同学射击成绩的中位数是2环 C．乙同学射击成绩的平均分是8环 D．甲乙两位同学中射击成绩更稳定的是乙同学 9．（2026·山西吕梁·一模）某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分）：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 乙店（10人评分）：5，6，7，7，8，8，9，9，10，10． 丙店（10人评分）：7，7，7，8，8，8，8，8，9，9． 下列基于统计量的判断，正确的是（　　） A．甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B．乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C．丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D．甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 10．（25-26八年级上·山西运城·期末）已知一组数据的平均数是5，方差是2．那么另一组数据的平均数和方差分别是（   ） A．5；2 B．5；5 C．8；2 D．8；5 11．（25-26八年级上·河北保定·期末）在篮球选修课上，男、女各有名编号分别为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（   ） A．男生投篮水平比女生投篮水平高 B．男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为 D．男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定 二、填空题 12．（2026·江苏南京·一模）小建进行5次射击训练，环数如下：10，8，9，10，9，其方差为，随后他又进行了5次训练，环数如下：9，10，9，8，10．小建这10次成绩的方差为，则____________（填“”“”或“”号）． 13．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 14．（2026·黑龙江佳木斯·二模）已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 15．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一组数据的离差平方和计算式为 ，则这组数据的方差是______． 16．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 三、解答题 17．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）我国人工智能机器人产业正处于高速发展的关键时期，2026年春晚名为《武BOT》的节目中，机器人们精彩的动作惊艳了观众．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校举办了“机器人”知识竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 八年级10名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 【整理数据】两组数据各分数段如下表所示： 成绩 七年级 1 5 2 2 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 ① ② 66.6 八年级 80 80 80 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)①______；②______； (2)根据以上数据，你估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？为什么？ (3)按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共800人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数； 18．（2026·山东临沂·二模）为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分（满分10分）． 【数据收集与整理】 一班和二班学生综合素质评分的数据整理如下表： 分数（分） 6 7 8 9 10 一班人数（人） 4 11 ▲ 10 3 二班人数（人） 1 7 ▲ 13 5 【数据分析与运用】 为了更深入地对比两种课后服务模式下学生综合素质的情况，学校对两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 7.925 1.219 二班 8 8 0.978 (1)表中的值为___，的值为____，的值为___； (2)对于这次测试，班级成绩比较整齐的是_____班；（填“一”或“二”） (3)在第二学期，八年级一班也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数为9，则评分为10分的同学最多有多少人？ 19．（2026·北京顺义·一模）某学校举办歌唱比赛，5位评委对每位同学进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙、丁每位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学得分的折线图： b．丙同学的得分：，，，，； c．四位同学得分的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中n的值为_____； (2)对每位同学，计算5个得分的平均数和方差，平均数较大的同学排序靠前；若平均数相同，则方差较小的同学排序靠前．已知丙在四位同学中排序第三，则这四位同学中排序最靠前的是____，m（m为整数）的值为_____． 20．（2026·北京石景山·一模）某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．评委给甲、乙的打分的折线图： b．评委给丙的打分：5，6，8，8，8，8，9，10，10，10； c．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩： 中位数 众数 方差 实践操作测试成绩 甲 10 1.84 84 乙 8.5 87 (1)表中的值为______，的值为______； (2)表中______1.84（填“>”“=”或“<”）； (3)企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2 数据的离散程度 【考点梳理】 · 考点一：方差 · 考点二：根据方差判断稳定性 · 考点三：加减数据对方差的影响 · 考点四：离差平方和问题 · 考点五：决策中参考量的选择 · 考点六：数据的波动程度的综合问题 【知识梳理】 方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 极差 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体数据的实际波动情况. 标准差 定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 【题型探究】 题型一：方差 【典例1】．（25-26八年级下·全国）求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 【答案】C 【详解】解：∵方差算式中共有5个平方项， ∴， ∴A选项说法正确，不符合题意； 原数据为6，8，8，6，7计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 将平均数代入： ； ∴离差平方和为4，不是5 ∴C选项说法错误，符合题意． ， ∴D选项说法正确，不符合题意； 【变式1】．（25-26九年级下·山东东营·开学考试）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 【答案】A 【分析】根据方差公式可从给出的方差表达式中得到数据个数与这组数据的平均数，再计算数据总和即可． 【详解】解：， ， 这组数据的总和为 ． 【变式2】．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】解：∵由6个实数组成的一组数据的方差为， 将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变， 得到新的一组数据的方差为， ∴前后两组数据的平均数不变，设为， 设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s， 则． 故选：B． 题型二：根据方差判断稳定性 【典例2】．（25-26九年级下·四川达州·期中）甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 9.6 9.5 9.5 9.6 方差 0.25 0.25 0.27 0.27 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【详解】解：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． ∵甲的平均分比乙高，方差比丁小，最稳定， ∴应选甲． 【变式1】．（25-26八年级下·浙江台州·期中）校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【答案】D 【分析】根据折线统计图读取男、女生各5次的达标次数数据，分别计算平均数、中位数和方差（或观察波动情况），逐一判断选项即可． 【详解】由图可知， 男生数据为：； 女生数据为：. ，， 男、女生训练达标次数的平均数相同， 故A错误； 将男生数据从小到大排列为：，中位数为； 将女生数据从小到大排列为：，中位数为， 男、女生训练达标次数的中位数均为， 故C错误； 男生离差平方和为：， 女生离差平方和为：， 男、女生训练达标次数的离差平方和不相等， 故B错误； ，， ， 女生达标情况更稳定， 故D正确． 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级下·四川广安·阶段检测）一班和二班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 一班 45 83 86 82 二班 45 83 84 135 某同学分析上表后得到下列结论：①一班和二班学生的平均水平相当；②一班优秀率高于二班优秀率（竞赛得分分为优秀）；③二班成绩比一班稳定．上述结论正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：由图表可得，一班和二班的平均数均为，则一班和二班学生的平均水平相当，结论①正确； 两个班参赛人数都为，是奇数，中位数是排序后第个成绩，一班中位数为，满足，二班中位数为，满足，一班得分不低于分的人数比二班多，因此一班优秀率高于二班，结论②正确； ∵方差越小，成绩越稳定，一班方差为，二班方差为，，则一班成绩比二班稳定，结论③错误； 综上，正确的结论是①②，A选项符合． 题型三：加减数据对方差的影响 【典例3】．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据的方差为， 则 的方差为___________． 【答案】12 【详解】解：∵数据，，，…，的方差为3， 设这组数据，，，…的平均数为，则另一组新数据，，，…，的平均数为， ∵， ∴另一组数据的方差为 ． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏南京·期末）组数据，，．的方差是，那么数据，，的方差为_________． 【答案】 【详解】解：根据方差的性质：一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数，方差不变． 本题中，原数据每个数都减去了常数2，因此新数据的方差与原数据方差相同，仍为． 故答案为：． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知数据的方差是3，则一组新数据的方差是_____． 【答案】3 【详解】解：∵数据整体加常数不改变离散程度， ∴的方差不变， ∴的方差为3， 故答案为：3． 题型四：离差平方和问题 【典例4】．（25-26八年级下·浙江金华·期中）数据组，的组内离差平方和为_______． 【答案】7 【分析】先分别计算两组数据的平均数，再分别计算每组的离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 【详解】解：对于第一组数据，其平均数为 ， 第一组离差平方和为 ； 对于第二组数据，其平均数为 ， 第二组离差平方和为 ； 总的组内离差平方和为． 【变式1】．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】14 【分析】直接用离差平方和的公式求解即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为， 由题意得，，，， ∴这组数据的离差平方和是． 【变式2】．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将位同学的英语口语成绩，，，，，分成前个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【详解】解：由题意得，前个数据为，，，后个数据为，，， 计算第一组的平均数：， 第一组的离差平方和：， 计算第二组的平均数：， 第二组的离差平方和：， 总的组内离差平方和为． 题型五：决策中参考量的选择 【典例5】．（25-26八年级上·山西太原·期末）学校七年级要选拔6名同学组成年级篮球队．报名后，体育老师对12名候选人进行了一场技能测试，并记录了个人的得分（单位：分），选拔规则是：依据本次测试得分，从高到低录取前6名．如果小明也是这12名候选人之一，他考完后想知道自己是否有机会入选，在老师公布全部数据后，他最应该关注这组数据的（   ） 选手 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 分数 35 41 42 38 36 37 48 39 40 38 35 40 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【详解】解：∵共有12名候选人，按得分从高到低录取前6名，将12个得分排序后，中位数是排名第6和第7位得分的平均值，是录取的分界点， ∴小明只需将自己的得分与中位数比较，即可判断自己是否能入选前6名． 因此小明最应该关注这组数据的中位数． 【变式1】．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）A、B、C、D四名同学参加数学竞赛选拔赛，每人10次考试成绩的平均数（单位：分）和方差如下表所示：观察下表，从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学代表学校参加比赛，应该选择（　　） A B C D 95 90 85 83 0.11 0.73 0.18 3.12 A．A同学 B．B同学 C．C同学 D．D同学 【答案】A 【分析】此题考查了平均数和方差，解答本题的关键是明确方差的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 首先比较平均数，选平均数较大的并且方差小的同学参赛发挥更稳定． 【详解】解：∵，， ∴A同学的平均成绩高，方差小； 故选：A． 【变式2】．（25-26九年级上·福建·期末）某地拟从三个超大型居民区中选择一个普通家庭日常消费能力较强的居民区，在其附近建设一个能为居民提供一站式便捷服务的综合商场．项目组分别在三个居民区随机抽取相同数量的家庭，调查各家庭日常消费支出．对所收集的三组样本数据，项目组要作出合理决策宜重点关注的统计量是（    ） A．中位数和众数 B．平均数和方差 C．中位数和平均数 D．众数和方差 【答案】C 【详解】解：∵项目组需比较三个居民区的普通家庭日常消费能力，中位数不受极端值影响，能代表典型水平；平均数反映整体平均消费水平； ∴宜重点关注中位数和平均数， 故选：C． 题型六：数据的波动程度的综合问题 【典例6】．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）某学校为了更好地推动人工智能教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，在每个年级中选出15名同学参加比赛，并对他们的成绩（单位：分）进行收集和分析，具体如下． 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：75，76，78，78，84，85，86，87，87，87，88，90，90，91，93． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 86 a 41.9 八年级 85 b 87 30.1 根据表中的信息，解答下列问题． (1)请补全条形统计图． (2)填空：________，________． (3)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请说明理由． 【详解】（1）解：八年级的有4人，的有2人， 补全统计图如下： （2）解：七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 15个数据中86出现的次数最多，为3次， 所以； 八年级：75，76，78，78，84，85，86，87，87，87，88，90，90，91，93． 已按照从小到大排列，中间第8个数是87， 所以； （3）解：七年级和八年级的平均数相同，都是85分，但众数和中位数相比，八年级要高，并且七年级成绩的方差要大于八年级成绩的方差，所以八年级的成绩要更加稳定， 综上，八年级的学生人工智能技术的总体水平较好. 【变式1】．（25-26八年级下·湖南株洲·期中）某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队每个队员的身高（单位：）如下： 甲队 177 179 178 179 177 178 178 179 178 177 平均数 中位数 众数 方差 甲队 178 a 178 c 乙队 d 177 b 0.89 (1)表中_____，_____，_____． (2)请计算甲队的方差，并判断哪队队员身高更整齐． 【详解】（1）解：将甲队身高数据按从小到大的顺序排列，且数据个数为偶数，则中间两个数和的平均数为这组数据的中位数，即中位数． 乙队身高数据中，出现次数最多的数据为，所以这组数据的众数． ． （2）解： 又∵， ∴， ∴甲队队员身高更整齐． 【变式2】．（2026·北京朝阳·一模）某学校举办了七、八年级智能机器人应用比赛，比赛包括机器人基础知识、结构搭建、编程控制、综合应用四个分项，采用百分制记录比赛成绩（成绩取整数，单位：分），比赛分为两个阶段． (1)第一阶段为机器人基础知识比赛，该校七、八两个年级智能机器人应用代表队各有8名学生参赛，对他们的成绩进行描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的折线图： b．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的中位数分别为，91，方差分别为，18． 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为________； ②________18；（填“”“”或“”） (2)七、八年级各选派基础知识比赛成绩前三名的学生，参加第二阶段结构搭建、编程控制、综合应用的比赛，部分数据如下： 年级 学生 基础知识 结构搭建 编程控制 综合应用 平均数 方差 七年级 A 91 93 96 95 93.75 3.6875 B 92 92 92 97 93.25 4.6875 C 96 92 88 八年级 D 98 90 92 96 10 E 95 92 93 95 93.75 1.6875 F 94 91 91 95 92.75 3.1875 ①表中的值为________； ②根据比赛成绩，学校对这六名学生进行最后的排序，排序标准为：平均数较大的优先；若平均数相等，则综合应用成绩较高的优先；若综合应用成绩也相等，则方差较小的优先．按上述标准排序后，这六名学生的排序由高到低依次为，，，，，，则表中所有可能的值为________． 【答案】(1)①；②； (2)①94；②96，97 【分析】（1）①根据中位数的定义即可得； ②方法一：先求出平均数，再求出方差即可；方法二：根据折线图观察七、八年级的成绩波动的大小关系即可； （2）①根据算术平均数的计算公式即可得； ②先求出的取值范围，再结合为整数求出的值，然后根据排序标准逐个分析即可． 【详解】（1）解：①七年级参赛学生基础知识比赛成绩从小到大排序为， ∴其中位数； ②方法一：七年级基础知识比赛成绩的平均数为， ∴其方差． 方法二：从折线图可看出七年级成绩波动比八年级小，所以七年级成绩的方差更小，即． （2）解：①． ②由题意得：， 解得， ∵为整数， ∴或或， 当时，学生C成绩的平均数为， 方差为， 此时C会排在F后面，不符合题意，舍去； 当时，学生C成绩的平均数为， ∵， ∴此时后面三名学生的排序为B，C，F，符合题意； 当时，学生C成绩的平均数为， 方差为， ∴此时后面三名学生的排序为B，C，F，符合题意； 综上，表中所有可能的值为96，97． 【高分精练】 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【答案】D 【分析】根据方差计算公式确定原数据和数据个数，再结合中位数、众数定义判断各选项即可． 【详解】解：∵方差计算公式为， ∴这组数据为，，，，，数据个数，故B正确； ∵这个数的第个数据是， ∴中位数为，故A正确； ∵数据中出现次，次数最多， ∴众数为，故C正确； 计算平均数得， 代入方差公式得， ∴D不正确． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如图所示表格，如果每个评委打分都提高0.15，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（   ） 平均数 众数 中位数 方差 9.15 9.35 9.25 0.15 A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】本题考查统计量的性质，需掌握所有数据同时加同一个常数时各统计量的变化规律，明确方差是反映数据波动程度的统计量. 【详解】解：∵每个评委打分都提高 ， ∴这组数据的平均数、众数、中位数均会增加 ，这三个统计量都会发生变化， 又∵方差是衡量数据波动幅度的统计量，所有数据同时加上同一个常数，数据间的差值不变，波动幅度不变， ∴方差不会发生变化， 因此答案选D 3．（25-26八年级下·浙江·期中）在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．方差 【答案】B 【分析】根据平均数、中位数、离差平方和、方差的意义即可判断结果； 【详解】解：∵9个互不相等的数从小到大排序后，中位数是排在中间位置的第5个数，去掉一个最高分和一个最低分后，剩余7个分数重新排序，中位数仍是原数据中的第5个数， ∴中位数一定不会发生改变， 平均数受极端值影响，去掉两端分数后会改变，离差平方和与方差反映数据波动程度，数值也会发生改变． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）八（2）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 96 96 98 98 方差 2.6 0.3 0.3 1.8 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题根据平均数和方差的意义选择参赛同学，平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表成绩越稳定，据此决策即可． 【详解】解：∵丙、丁同学的平均数为，大于甲、乙同学的平均数， ∴应从丙和丁同学中选择， ∵丙同学的方差小于丁同学的方差， ∴丙同学的成绩更好且状态稳定，应选丙同学． 5．（2026·山西运城·二模）在“探究重力与质量的关系”的实验中，小明和小亮使用同一套器材，多次测量同一物体的重力（单位：），记录数据如下：小明：；小亮：，关于小明和小亮测量数据的波动程度，下列说法正确的是（    ） A．小明的测量数据波动更大 B．小亮的测量数据波动更大 C．两人的测量数据波动一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】数据的波动程度由方差判断，方差越大，数据波动越大，据此计算两组数据的方差，再比较大小即可得到结论． 【详解】解：∵ 小明测量数据为 ， ∴ 小明数据的平均数 ， 小明数据的方差 ， ∵ 小亮测量数据为 ， ∴ 小亮数据的平均数 ， 小亮数据的方差 ， ∵ ， ∴ 小明的测量数据波动更大． 6．（2026·山东青岛·一模）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【分析】本题考查方差公式的意义，以及平均数和方差的计算，解题思路是先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有4个平方项， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为，，，，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数后，新数据为，，，，，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∵， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 7．（2026·山西吕梁·模拟预测）2025年11月25日、神舟二十二号飞船发射任务取得圆满成功．为进一步增强同学们对航天知识的了解、某实验学校组织了以“青春飞扬，筑梦远航”为主题的航天知识竞赛．甲、乙两个班各派5名学生参加，两个班学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】分别求出两个班的5名学生的成绩的平均数和方差，即可求解． 【详解】解：根据题意得：甲班的5名学生的成绩为70，80，80，70，90， 乙班的5名学生的成绩为60，70，70，60，80， ， ， ， ． 8．（2026九年级下·山东青岛·专题练习）已知甲、乙两队员参加“青翼杯小组赛”射击的成绩如图，则下列结论不正确的是（    ） A．统计样本是“射击成绩” B．甲同学射击成绩的中位数是2环 C．乙同学射击成绩的平均分是8环 D．甲乙两位同学中射击成绩更稳定的是乙同学 【答案】B 【分析】根据样本、中位数、平均数的定义以及方差的意义，逐项分析判断即可． 【详解】解：统计样本是“射击成绩”，故A选项结论正确，不符合题意； 甲同学射击成绩的中位数是8环，故B选项结论不正确，符合题意； 乙同学射击成绩的平均分环，故C选项结论正确，不符合题意； 甲同学射击成绩的平均分环， 甲同学射击成绩的方差， 乙同学射击成绩的方差， ∵, ∴， ∴射击成绩更稳定的是乙同学，故D选项结论正确，不符合题意． 9．（2026·山西吕梁·一模）某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分）：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 乙店（10人评分）：5，6，7，7，8，8，9，9，10，10． 丙店（10人评分）：7，7，7，8，8，8，8，8，9，9． 下列基于统计量的判断，正确的是（　　） A．甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B．乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C．丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D．甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 【答案】B 【详解】A选项：众数仅代表评分中出现次数最多的数值，不能全面反映普遍满意度的高低，A错误； B选项：乙店共10个数据，从小到大排列后，第5和第6个数据均为8， ∵中位数为排序后中间两个数的平均数， ∴乙店中位数为；根据中位数的定义，10个数据中至少有一半数据不小于中位数，因此乙店至少有一半学生的评分不低于8分，B正确； C选项：分别计算三家店的平均数：甲店总分，平均数为； 乙店总分，平均数为； 丙店总分，平均数为； 可知甲店平均数最高，C错误； D选项：方差越小，数据的差异越小，甲店方差比乙店小，说明甲店评分差异比乙店小，D错误． 10．（25-26八年级上·山西运城·期末）已知一组数据的平均数是5，方差是2．那么另一组数据的平均数和方差分别是（   ） A．5；2 B．5；5 C．8；2 D．8；5 【答案】C 【分析】本题考查的是平均数，方差的计算，利用平均数、方差的定义公式，结合原数据的平均数和方差，计算新数据的平均数和方差即可． 【详解】解：∵原数据的平均数是5， ∴， 则新数据的平均数为： ， ∵原数据的方差是2 ∴， 新数据的方差为： ∴新数据的平均数是8，方差是2， 故选C． 11．（25-26八年级上·河北保定·期末）在篮球选修课上，男、女各有名编号分别为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（   ） A．男生投篮水平比女生投篮水平高 B．男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为 D．男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定 【答案】D 【分析】本题考查统计量的计算，统计图表的读取，数据稳定性分析，准确提取数据是解题关键． 先从折线图中提取男、女生的投篮命中次数，再分别计算平均数、方差和中位数，然后对选项依次进行判断． 【详解】解：选项：男生投篮的平均数为，女生投篮的平均数为，则男生和女生的投篮水平一样，错误； 选项：男生投篮的离差平方和为，女生投篮的离差平方和为，则男生和女生投篮的离差平方和不一样，错误； 选项：男生的投篮数据为，，，，，中位数为，女生的投篮数据为，，，，，中位数为，男生和女生的中位数均为，错误； 选项：男生投篮的方差为，女生投篮的方差为，则男生和女生投篮成绩平均数相等，男生投篮的方差比女生高，故女生投篮更稳定，正确． 故选：． 二、填空题 12．（2026·江苏南京·一模）小建进行5次射击训练，环数如下：10，8，9，10，9，其方差为，随后他又进行了5次训练，环数如下：9，10，9，8，10．小建这10次成绩的方差为，则____________（填“”“”或“”号）． 【答案】 【分析】分别计算出和的大小，比较即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ∴． 13．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 【答案】10 【分析】按照组内离差平方和的定义，先分别计算每组的组平均数，再计算每组内数据的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加得到结果． 【详解】解：第一组： 该组的平均数为， 则第一组离差平方和为； 第二组： 该组的平均数为， 则第二组离差平方和为， 因此，总组内离差平方和为：． 14．（2026·黑龙江佳木斯·二模）已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 【答案】8 【详解】把数据1，3，5，7，9每个数加10得到新数据11，13，15，17，19， 因为一组数据加上同一个常数，方差不变，故方差仍为8． 15．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一组数据的离差平方和计算式为 ，则这组数据的方差是______． 【答案】 【分析】根据方差是离差平方和的平均值，数据个数为，离差平方和为，代入公式计算即可． 【详解】解：，即这组数据的方差是． 16．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 【答案】或/或 【详解】解：∵一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等， ∴这组数据可能为m，，，，或，m，，，， ∴x的值为或． 三、解答题 17．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）我国人工智能机器人产业正处于高速发展的关键时期，2026年春晚名为《武BOT》的节目中，机器人们精彩的动作惊艳了观众．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校举办了“机器人”知识竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 八年级10名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 【整理数据】两组数据各分数段如下表所示： 成绩 七年级 1 5 2 2 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 ① ② 66.6 八年级 80 80 80 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)①______；②______； (2)根据以上数据，你估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？为什么？ (3)按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共800人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数； 【答案】(1)①，② (2)八年级的竞赛成绩更整齐，见解析 (3)估计两个年级竞赛成绩达到优秀的总人数是人 【详解】（1）解：将七年级10名学生的成绩从小到大排列为： 10个数据的中位数为第5个和第6个数据的平均数 ∴中位数为 出现次数最多， ∴众数为 ； （2）∵七年级方差为，八年级方差为， ∴八年级成绩波动更小，因此八年级的竞赛成绩更整齐； （3）由样本数据得，七年级抽取的10人中优秀人数为人， 八年级抽取的10人中优秀人数为人 七年级估计优秀人数： （人） 八年级估计优秀人数： （人） 总优秀人数：（人） 答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数为人 18．（2026·山东临沂·二模）为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分（满分10分）． 【数据收集与整理】 一班和二班学生综合素质评分的数据整理如下表： 分数（分） 6 7 8 9 10 一班人数（人） 4 11 ▲ 10 3 二班人数（人） 1 7 ▲ 13 5 【数据分析与运用】 为了更深入地对比两种课后服务模式下学生综合素质的情况，学校对两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 7.925 1.219 二班 8 8 0.978 (1)表中的值为___，的值为____，的值为___； (2)对于这次测试，班级成绩比较整齐的是_____班；（填“一”或“二”） (3)在第二学期，八年级一班也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数为9，则评分为10分的同学最多有多少人？ 【答案】(1) (2)二 (3)人 【分析】（1）先求出一班、二班得分人数，再由众数、中位数和平均数的求法求解即可； （2）通过比较题中数据里方差的大小即可得到答案； （3）由题中得分情况、得分中位数及众数分析即可得到答案． 【详解】（1）解：学校对八年级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分， 一班得分的人数为；二班得分的人数为； 则一班得分的众数为，即；一班成绩的中位数为第名成绩的平均数，为，即；二班成绩的平均数为，即； （2）解：由题中数据可知，一班成绩的方差为；二班成绩的方差为， ， 二班得成绩比较整齐； （3）解：设得7分、8分、9分、10分的人数分别为， 全班同学的评分中位数为8.5， 由一班成绩的中位数为第名成绩的平均数，可知第名成绩为分、第名成绩为分， 则班级得分学生的总人数为人，即， 一班成绩的众数为9， ， 则， ， 则取得的最小整数为，此时有最大值，为， 当全班得或分的人数不超过人时，即、时，分为10分的同学最多，有人． 19．（2026·北京顺义·一模）某学校举办歌唱比赛，5位评委对每位同学进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙、丁每位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学得分的折线图： b．丙同学的得分：，，，，； c．四位同学得分的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中n的值为_____； (2)对每位同学，计算5个得分的平均数和方差，平均数较大的同学排序靠前；若平均数相同，则方差较小的同学排序靠前．已知丙在四位同学中排序第三，则这四位同学中排序最靠前的是____，m（m为整数）的值为_____． 【答案】(1) (2)乙； 【分析】（1）根据中位数的定义分析即可求解； （2）比较平均数和方差，即可求解． 【详解】（1）解：甲同学的得分从小到大排列为：，，， 则中位数； （2）解：依题意，丙在四位同学中排序第三， 乙、丁的平均成绩较大，排前两位，乙、丁平均数相同，而乙的方差较小，则这四位同学中排序最靠前的是乙； 当丙在四位同学中排序第三，则， ∴ 当时，则甲排第三，不合题意； 当时，则则丙排第三，符合题意 20．（2026·北京石景山·一模）某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．评委给甲、乙的打分的折线图： b．评委给丙的打分：5，6，8，8，8，8，9，10，10，10； c．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩： 中位数 众数 方差 实践操作测试成绩 甲 10 1.84 84 乙 8.5 87 (1)表中的值为______，的值为______； (2)表中______1.84（填“>”“=”或“<”）； (3)企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为______． 【答案】(1)， (2) (3)乙、甲、丙 【详解】（1）解：由折线图可知，甲的次得分为：， 将甲的得分从小到大排列为：， 处于中间位置的两个数分别是和则甲的中位数， 由折线图可知，乙的次得分为：， 其中出现了次，出现次数最多则乙的众数， 故答案为：，． （2）解：乙的平均数为， 乙的方差 ， 因为， 所以， 故答案为：． （3）解：丙的实践操作测试成绩为， 甲的综合成绩为， 乙的综合成绩为， 丙的综合成绩为， 因为， 所以乙的综合成绩最高甲和丙的综合成绩相等， 比较实践操作测试成绩的平均数甲的实践操作测试成绩平均数为， 丙的实践操作测试成绩平均数为， 因为， 所以甲的综合素质高于丙， 综上所述，这三名员工按综合素质由高到低依次为乙、甲、丙， 故答案为：乙、甲、丙 2 学科网（北京）股份有限公司 $