精品解析：2025年湖北省恩施州中考二模九年级数学试卷

2025年九年级下学期调研考试 数学 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. “微信支付”是人们普遍使用的一种支付方式．若转入8元记作元，那么转出6元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 古代中国诸多技艺领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 小明同学要烧水泡茶招待客人．已知：烧水需要4分钟；洗茶具需要5分钟；准备茶叶需要2分钟；冲泡茶需要1分钟．则小明完成上述所有工作最短用时为（ ） A. 7分钟 B. 8分钟 C. 10分钟 D. 12分钟 6. 已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 把一块含角（）的直角三角板按如图方式放置，，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（ ） A 正比例函数关系 B. 反比例函数关系 C. 一次函数关系 D. 二次函数关系 9. 如图，A，B，C三点在上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（a，b，c是常数且）过和两点，且，下列四个结论：①；②；③若关于x的方程有实数根，则；④方程有两个实数根，，则．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若分解因式：，则k的值为_____． 12. 计算：_____． 13. 如图，某地铁站的进站口共有3个检票闸机，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票进站，则甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的概率是______． 14. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离A处的距离是__________海里．（参考数据：，，） 15. 如图，在正方形中，点M在上，，，沿折叠，设点A的对应点为N，延长交的延长线于点P．则的长为_____． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在平行四边形中，M为的中点，． （1）按要求尺规作图：延长至点N，使得，并连接； （2）判定四边形的形状，并说明理由． 18. 数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． （1）当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； （2）当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 19. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”，主题是“海上生明月，九天揽星河”．在第十个“中国航天日”主题活动期间，学校对八年级学生进行了航天知识测试，测试成绩全部合格．现随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成如下不完整的图表： 分数段 频数 频率 6 01 12 a 24 c b 0.3 请根据上述统计图表，解答下列问题： （1）本次共抽取了______名学生，表中______； （2）请补全频数分布直方图； （3）学生成绩的中位数在______分数段； （4）如果80分以上（含80分）为优秀，若该校八年级学生有800名，请你估算该校八年级学生成绩优秀的人数． 20. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线在第一象限交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求点A坐标及k的值； （2）连接，若四边形的面积为时，求a的值． 21. 如图，在中，，O为上的一点，以O为圆心，为半径的交于点E，交于点D．已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 如图，斜坡上有若干树木，在斜坡的点A处有一喷水管，与点C的水平距离为，树高．某时刻从A处喷出的水流恰好经过树的顶端点B处，水流呈抛物线状．以的单位长度建立如图所示的平面直角坐标系，得到点．已知小树及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为． （1）求该抛物线解析式； （2）若抛物线恰好过树的树顶N，点M在斜坡上，且． ①求M的坐标； ②求树的高． 23. （1）如图1，在中，，，过点A作于点O，点M为的中点，则与的数量关系是______； （2）如图2，在中，，，过点A作于点O，将绕点C顺时针旋转到，点M为的中点，连接，，． ①求证：； ②试判断与数量关系，并说明理由． 24. 如图1，二次函数图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点． （1）求的值； （2）连接，为二次函数图象上的一点，若，求点的坐标； （3）如图2，连接，过点作的垂线交二次函数图象于点，连接，设直线的函数表达式为． ①直接写出的值； ②如图2，点，均为二次函数图象上的一点（点在第一象限的图象上），若，直线是否平行于？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级下学期调研考试 数学 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. “微信支付”是人们普遍使用的一种支付方式．若转入8元记作元，那么转出6元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数表示具有相反意义的量，根据题意，理解表示相反意义的量，用正负数表示即可得到答案．读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：若转入8元记作元，那么转出6元记作元， 故选：A． 2. 古代中国诸多技艺领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可． 本题考查了三视图的意义，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键． 【详解】解：“榫”的俯视图是： 故选：B． 3. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、合并同类项、单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键． 直接利用相关运算法则分别计算即可得出答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，该选项不符合题意； B、，原式计算错误，该选项符合题意； C、，原式计算正确，该选项不符合题意； D、，原式计算正确，该选项不符合题意； 故选：B． 4. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 5. 小明同学要烧水泡茶招待客人．已知：烧水需要4分钟；洗茶具需要5分钟；准备茶叶需要2分钟；冲泡茶需要1分钟．则小明完成上述所有工作最短用时（ ） A. 7分钟 B. 8分钟 C. 10分钟 D. 12分钟 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合理安排时间问题，可以利用已知得出烧水时间里完成准备茶叶和洗茶具的一部分时间，这样可以节省时间进而得出答案． 【详解】解：小明先烧水4分钟，在烧水期间，准备茶叶2分钟和洗茶具2分钟，然后继续洗茶具3分钟，水开后冲泡茶1分钟，小明完成上述所有工作最短用时（分钟）， 故选：B 6. 已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与数据集中性的关系，方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中， ∵甲和乙的平均成绩相同， ∴， 故选：C． 7. 把一块含角（）的直角三角板按如图方式放置，，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质．先根据三角板求出，根据平行线的性质得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D 8. 在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（ ） A. 正比例函数关系 B. 反比例函数关系 C. 一次函数关系 D. 二次函数关系 【答案】B 【解析】 【分析】根据杠杆平衡条件：F1L1=F2L2，并结合题意可得左侧F1L1是定值，从而进行判断． 【详解】解：由杠杆平衡条件：F1L1=F2L2， ∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡， ∴力F与力臂L的乘积是定值，即力F与力臂L满足反比例函数关系 故选：B． 【点睛】此题属于跨学科综合题目，考查杠杆平衡条件及反比例函数xy=k（k≠0），理解相关概念是解题关键． 9. 如图，A，B，C三点在上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，平行线的性质．利用半径相等结合等边对等角求得，，再根据平行线的性质列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 10. 已知抛物线（a，b，c是常数且）过和两点，且，下列四个结论：①；②；③若关于x的方程有实数根，则；④方程有两个实数根，，则．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，判别式及方程根的存在性条件，解题时要熟练掌握二次函数的性质与代数变形技巧是关键，结合条件解参数范围时要注意分母符号． ①根据题意得出开口向下，对称轴在轴的右侧，即可判断出；②根据抛物线（，，是常数）过和两点，且，由对称轴与根的关系即可求得；③抛物线（，，是常数且）与直线有交点，可知抛物线的顶点纵坐标大于等于，列出不等式化简即可；④根据抛物线过和两点，可得出方程有两个实数根，，则可求出，然后根据不等式的性质并结合求解即可． 【详解】解：抛物线（，，是常数）过和两点，且， ，即， 故②正确； 对称轴在轴右侧， ，， ， 故①正确； 若关于的方程有实数根， 抛物线（，，是常数且）与直线有交点， ， 抛物线开口向下， 抛物线的顶点纵坐标大于等于， ， 又， ， 故③错误； 抛物线（，，是常数且）过和两点， 方程有两个实数根为，， 不妨设，， ， ， ， ，即 故④正确， 故正确的结论有：①②④， 故答案选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若分解因式：，则k的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法因式分解．把原式提公因式法因式分解，对比即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴k的值为5， 故答案为：5 12. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可． 【详解】原式 ． 故答案为1． 【点睛】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减． 13. 如图，某地铁站的进站口共有3个检票闸机，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票进站，则甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键；先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两人从相邻闸机检票进站的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设三个闸口分别用A、B、C表示，列表格如下： A B C A B C 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的结果有4种， 甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的概率为， 故答案为：． 14. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离A处的距离是__________海里．（参考数据：，，） 【答案】140 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题．正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键． 如图：过作于，在中解直角三角形可得、，再在中可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过作于， 在中，，海里， （海里），（海里）， 在中，， 海里， （海里）． 15. 如图，在正方形中，点M在上，，，沿折叠，设点A的对应点为N，延长交的延长线于点P．则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，推出，设，则，，在中，由勾股定理列式计算求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：记与相交于点，连接， ∵正方形， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了有关负整数指数幂和零指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键． 分别计算负整数指数幂和零指数幂，以及计算绝对值，再进行加减计算． 【详解】解： ． 17. 如图，在平行四边形中，M为的中点，． （1）按要求尺规作图：延长至点N，使得，并连接； （2）判定四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定． （1）根据题意作出图形即可； （2）利用等腰三角形的性质求得，，推出四边形是平行四边形，根据，即可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 解：所作图形如图， ； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，理由如下， ∵M为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 18. 数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． （1）当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； （2）当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的实际应用，长方体的体积公式，正确理解题意是解题的关键． （1）设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为，根据礼盒底面的长是宽的4倍，建立一元一次方程求解，即可求解长、宽、高，即可求解体积； （2）设剪去的小正方形的边长为，由题意得：，再解一二次方程即可． 【小问1详解】 解：设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为， 由题意得：， 解得：， ∴长为，宽为6，高为， ∴体积为：； 【小问2详解】 解：设剪去的小正方形的边长为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴剪去的小正方形的边长为． 19. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”，主题是“海上生明月，九天揽星河”．在第十个“中国航天日”主题活动期间，学校对八年级学生进行了航天知识测试，测试成绩全部合格．现随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成如下不完整的图表： 分数段 频数 频率 6 0.1 12 a 24 c b 0.3 请根据上述统计图表，解答下列问题： （1）本次共抽取了______名学生，表中______； （2）请补全频数分布直方图； （3）学生成绩的中位数在______分数段； （4）如果80分以上（含80分）为优秀，若该校八年级学生有800名，请你估算该校八年级学生成绩优秀的人数． 【答案】（1）60； （2）见解析 （3） （4）该学校八年级学生成绩优秀的人数约为560人． 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布表，频数以及频率的定义，理解样本与总体、频数与频率之间的区别与联系是求解本题的关键． （1）根据分数段的频数和频率即可计算调查的总人数，然后根据分数段的频数计算频率求得a的值； （2）先求得b的值，根据表中数据绘制条形图即可； （3）根据中位数的定义求解即可； （3）使用样本中的优秀率估计总体学生的优秀人数即可． 【小问1详解】 解：参与调查的总人数为：（人）， ∴， 故答案为：60；； 【小问2详解】 解：， 补全的频数分布直方图如图所示， ； 【小问3详解】 解：中位数在第30和31个数， ，， ∴学生成绩的中位数在分数段； 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵， ∴该学校八年级学生成绩优秀的人数约为560人． 20. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线在第一象限交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求点A的坐标及k的值； （2）连接，若四边形的面积为时，求a的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出，进而求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）由（1）知，反比例函数解析式为，结合已知得到点C的坐标为，则，根据梯形面积公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解；∵点A和B的刻度分别为和， ∴， ∵轴， ∴， 把代入得，，解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，反比例函数解析式为 ∵直尺的宽度为，， ∴， ∴点C的横坐标为， 又点C在双曲线， ∴点C的坐标为，则， ∵四边形的面积为， ∴， 解得或（舍去）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，涉及求反比例函数解析式，求反比例函数值，坐标与图形，解一元二次方程等知识，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． 21. 如图，在中，，O为上一点，以O为圆心，为半径的交于点E，交于点D．已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，推出，由，得到，即可证明； （2）分别过点作，垂足分别为，证明，得到，求出，再证明，推出，利用勾股定理求出，，证明，推出，设，则，得到，求出，利用勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，点D在上， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：分别过点作，垂足分别为， ∵为直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理．综合运用以上知识是解题的关键． 22. 如图，斜坡上有若干树木，在斜坡的点A处有一喷水管，与点C的水平距离为，树高．某时刻从A处喷出的水流恰好经过树的顶端点B处，水流呈抛物线状．以的单位长度建立如图所示的平面直角坐标系，得到点．已知小树及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为． （1）求该抛物线解析式； （2）若抛物线恰好过树的树顶N，点M在斜坡上，且． ①求M的坐标； ②求树的高． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，准确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①延长交于点H，证明，利用相似三角形的性质解得，，则，即可得到答案；②求出，得到，即可得到． 【小问1详解】 解：在斜坡的点A处有一喷水管，与点C的水平距离为，树高． ∴， 把，代入得到 解得 ∴该抛物线解析式为； 【小问2详解】 ①延长交于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 解得， ∴， ∴ ②当时， 即， ∴， ∴ 即树的高为 23. （1）如图1，在中，，，过点A作于点O，点M为的中点，则与的数量关系是______； （2）如图2，在中，，，过点A作于点O，将绕点C顺时针旋转到，点M为的中点，连接，，． ①求证：； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，旋转的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）先求出，再证明是等腰直角三角形，得到，再证明，解直角三角形即可得到结论； （2）①由三线合一定理得到点O为的中点，则为的中位线，可得，则有，由旋转的性质可得，可证明，，则可证明； ②由旋转知，，．解直角三角形可得，，由三角形中位线定理可得，则可证明，进而证明，根据相似三角形性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴点O为的中点，， ∵点M为的中点， ∴为的中位线， ∴ ， 由旋转的性质可得， ， ， ， ； ②，理由如下： 由旋转知，，． ，， ∴点O为的中点，． ，， ∵为的中位线， ∴ ， ， ∵ ， ， 即． 24. 如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点． （1）求的值； （2）连接，为二次函数图象上的一点，若，求点的坐标； （3）如图2，连接，过点作的垂线交二次函数图象于点，连接，设直线的函数表达式为． ①直接写出的值； ②如图2，点，均为二次函数图象上的一点（点在第一象限的图象上），若，直线是否平行于？请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得对称轴为直线，据此根据对称轴计算公式求解即可； （2）先求出二次函数解析式为，则可求出，则直线解析式为；再求出；当点在对称轴右侧时，设交y轴于，可证明，则可求出直线解析式为，联立直线与抛物线，求出此时点的坐标为；再由对称性求出点在对称轴左侧时的坐标即可得到答案； （3）①设交轴于，由（2）可得，，则，据此可证明，则是等腰直角三角形，可得．利用待定系数法求出直线的表达式，与抛物线联立求出点的坐标，最后将点和点的坐标代入，求出的值； ② 设直线的函数表达式为，将点代入，求出，利用对称性求出直线的函数表达式．分别将直线、直线与抛物线联立，求出点和点的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，即可证明． 【小问1详解】 解：∵对称轴交x轴于点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵二次函数的图象与y轴交于点， ∴， ∴二次函数解析式为， 将代入，得， ， 解得或， ∴，， 设直线解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线解析式为； 将代入，得， ∴； 如图1，当点在对称轴右侧时，设交轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∴可设直线解析式为， 将代入，得， ，解得， ∴直线解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为； 由对称性可知，当点在对称轴左侧时，此时点与点关于对称轴对称， ∴此时点的坐标为，即， 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：①设交轴于， 由（2）可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 将代入，得 ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴， 将，代入，得， ， 解得； ∴直线的函数表达式为， ∴； ②，理由如下： 设直线的函数表达式为， 将代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵， ∴直线与直线关于轴对称， ∴直线的函数表达式为，即， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 由①可得，直线的函数表达式为， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质与判定等，解（2）的关键在于证明（点P在对称轴右侧时），解（3）的关键在于求出直线解析式，进而求出直线解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $