精品解析：2026年北京密云区九年级中考一模数学试题

九年级数学阶段练习 2026.5 考生须知 1．本试卷共8页，共3道大题，28道小题，满分100分，练习时间120分钟 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和练习编号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用2B铅笔． 4．练习结束，请将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的． 1. “农历二十四节气”被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，被誉为“中国的第五大发明”，下列关于二十四节气的设计简图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 霜降 B. 大雪 C. 谷雨 D. 小满 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由数轴可知：，； ∴，， ∴ ，故B选项错误； ∵，，且， ∴，故C选项正确. ，. 又∵， ∴，故 A 选项错误； ∵， ∴； 又， ∴ ， 故 D 选项错误. 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程的系数列方程即可求解的值. 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得 . 4. 为推进城市生态环境建设，某市计划种植一批生态防护林，目前已完成种植面积亩．整体规划完成后，累计种植面积将是目前已有种植面积的4倍，则规划完成后的累计种植面积为（ ） A. 亩 B. 亩 C. 亩 D. 亩 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 目前已种植面积为亩，累计种植面积是目前的倍， ∴ 累计种植面积为： （亩）. 5. 若一个边形的每个内角都是，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用任意多边形外角和为的性质求解，思路为先求出多边形每个外角的度数，再用外角和除以单个外角的度数得到边数． 【详解】解：∵ 该边形每个内角都是， ∴ 每个外角的度数为 ， ∵ 任意多边形的外角和为， ∴ ． 6. 《数学之美》是中国邮政为向数学学科致敬，于2025年3月14日发行的特种邮票，一套4枚，分别呈现了“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”和“莫比乌斯带”，这些邮票除图案外，质地与规格完全相同．若将此套邮票背面朝上，随机抽取两张，则抽到的邮票恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法求概率即可. 【详解】解：设4枚邮票分别为（圆周率）、（勾股定理）、（欧拉公式）、（莫比乌斯带）， 从4枚邮票中随机抽取2枚，所有可能出现的结果有：，，，，，，共种等可能的结果，其中恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的结果只有这种，  抽到的邮票恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的概率. 7. 如图，，点在射线上，，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接．则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质和等边对等角得到，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 8. 如图，在正方形中，对角线、相交于点，是线段上一动点（不与点重合），过点分别作、的垂线交、边于点、．记的面积为，的面积为．当点在线段上运动的过程中，给出下列四个结论： ①点与点重合时，；②；③一定存在；④当是的中点时，．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质，结合垂直定义，可知与都是等腰直角三角形，对于①，当点E与点O重合时，分别计算与即可判断；对于②，当点E与点O重合时，对比结论即可判断；对于③，需要，结合，即可判断；对于④，当是的中点时，求出与的相似比，进而求出面积比． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， 与都是等腰直角三角形， ，，， ①点与点重合时，，， ， ， ，故结论①正确； ②点与点重合时，，此时，故结论②错误； ③若，则， ，即， 又， 点必然在之间，故结论③正确； ④当是的中点时，， ， 设，则， ， ， 与都是等腰直角三角形， ， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可知，解得． 10. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因数，再利用完全平方公式即可直接分解． 【详解】原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查运用完全平方公式分解因式，熟记其公式是解题关键． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 12. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】判断一个命题是假命题可以举出反例，只需找到满足但不满足的一组的值即可. 【详解】解：取， 则，，满足， 但，即不成立，因此该命题是假命题. 故（答案不唯一）. 13. 已知点是反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作轴，作轴，先求出再说明，然后根据，则此题可解． 【详解】解：过点A作轴于点C，作轴于点D， ∵点A在函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 某种水果按照果径大小可分为四个等级：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批该种水果中随机抽取100个，根据果径分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 果径范围（单位：） 个数 10 30 40 20 若该采购商采购的这批水果共计2000个，估计等级为“精品果”的个数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先计算抽取样本中精品果的频率，再根据用样本估计总体的思想，用总体总个数乘以样本频率，得到这批水果中精品果个数的估计值. 【详解】解：由题意可得，样本中精品果的频率为， 故个水果中，精品果的个数估计为 . 15. 如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理即可求解. 【详解】解：过点作交于点， ∵正方形中，， ∴ ∴， ∵点为线段的中点，， ∴ ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴. 16. 某烘焙小组为制作一款庆典蛋糕，需完成（胚体烘烤）、（奶油打发）、（水果处理）、（糖霜制作）、（胚体抹面）、（裱花装饰）、（料胚组装）七道工序，工序完成需满足以下流程要求： （1）只能在均完成后才能开始； （2）只能在完成后才能开始； （3）只能在和均完成后才能开始； （4）可与并行进行，无先后干扰； （5）一项工序同一时间只能由一名学生完成，完成后可接续其他工序，各工序所需时间如下表： 工序 胚体烘烤 奶油打发 水果处理 糖霜制作 胚体抹面 裱花装饰 料胚组装 时间/分钟 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成，至少需要________分钟才能全部完成；若要在最短时间内完成，最少需要________名学生参与． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题为工序统筹优化问题，首先根据工序先后约束，计算学生数量足够时的最短总时间，再在最短总时间要求下，通过合理安排工序得到最少学生数量． 【详解】解：首先梳理所有工序：工序可并行进行，其中耗时最长的是，需要分钟， 工序：只能在都完成后开始，需要分钟，因此结束的最早时间为分钟, 工序：只能在完成后开始，需要分钟，因此结束的最早时间为分钟， 工序：需要和都完成后开始，分钟就可以完成并不受其他工序约束，因此的开始时间取决于的结束时间（第分钟），需要分钟，因此结束的最早时间为分钟， ∴最短总时间即为结束的最早时间，即分钟， ∵工序可并行进行， ∴工序需由至少两名同学来完成才能保证在分钟内完成， ∴学生负责完成工序需要的时间为分钟，后续三道工序可由最初完成工序的学生接续完成，无需其他人手， ∵如果工序均由一人完成，工序完成后还要保证后续工序的顺利进行，不影响总时长为分钟， ∴工序的时长：分钟，无法保证完成工序的同时，工序也同时完成， ∴工序至少需要由两人完成，即由学生负责完成工序，共计分钟，由学生负责完成工序，为分钟， ∴可以保证在学生完成工序用了分钟的同时，工序也同时完成，不影响后续工序的顺利进行，并保证总时长为分钟， ∴至少需要人完成． 三、解答题（本题共68分，其中17-21每题5分，22题6分，23题5分，24-26每题6分，27、28题每题7分） 17. 计算． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解不等式组：，并写出它的正整数解． 【答案】 不等式组的解集为，正整数解为 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集，最后写出正整数解即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵是正整数， ∴. 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知等式得到的值，再对所求分式进行化简约分，最后代入计算即可得到结果. 【详解】解：由得，， ∴ . 20. 如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出答案即可； （2）先求出直线的解析式，再根据函数的图象在上方，且在函数的下方解答即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得一次函数的关系式为． ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数，又小于函数的值， ∴当一次函数与重合时，，不合题意， 当时，在时，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值； 当函数经过点时，， 解得， 此时当时，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值； 所以当时，当时，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值． 22. 如图，学校的跳远训练场地由助跑道、起跳板和落地区三个长方形区域组成，其中各长方形中较长的一边为长．已知起跳板的长度与助跑道的宽度相等，助跑道的长度是起跳板宽度的100倍，落地区的宽度与长度的比为，且落地区的长度比助跑道长度的少3米，落地区的宽度比助跑道的长度少22米，求起跳板的宽度（单位：米）． 【答案】起跳板的宽度为米 【解析】 【分析】设起跳板的宽度为米，由题意，表示出助跑道的长度，落地区的宽度，再根据落地区的宽度比助跑道的长度少22米，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设起跳板的宽度为米，由题意，得助跑道的长度为米，落地区的长度为米， ∵落地区的宽度与长度的比为， ∴落地区的宽度为米， ∵落地区的宽度比助跑道的长度少22米， ∴， 解得； 答：起跳板的宽度为米. 23. 水质被称作生态的“血脉”．为净化水质，环保部门计划为某水源地选择合适的净水植物有效降低水中的磷含量，其中总磷去除量（单位：）是衡量水质净化效果，尤其是水体脱氮除磷能力的关键指标．该部门随机抽取了20块自然条件相同的水域进行实验，得到各水域每立方米水体中的总磷去除量，并对数据（总磷去除量）进行了整体描述和分析，下面给出了部分信息： ①20块水域每立方米总磷去除量的频数分布表如下： 总磷去除量 频数 3 2 8 1 ②水域总磷去除量在 这一组的是： ； ③20块水域每立方米总磷去除量的统计图如下： （1）写出表中的值； （2）随机抽取的这20块水域每立方米总磷去除量的中位数为________； （3）下列推断合理的是________（填序号） ①12号水域的总磷去除量在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名； ②20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为 ； ③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于 的水域数量与水域总数的比为 （4）号水域种植的是甲种净水植物，号水域种植的是乙种净水植物．已知甲、乙两种植物的每立方米总磷去除量的平均数分别为 和 ；若某种植物在各水域每立方米总磷去除量的10个数据的方差越小，则这种植物的净水效果越稳定．据此推断：甲、乙两种植物中，这个地区比较适合种植的净水植物是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】（1）； （2）； （3）①③； （4）乙． 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表即可求解； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据统计图和频数分布表逐一分析即可； （4）由统计图和频数分布表可知，甲种植物（）数据分布较分散，乙种植物（）数据更集中于均值附近，得到乙的方差小于甲，得出答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：每立方米总磷去除量在 的数有3个，在 的数有2个， ∴20块水域每立方米总磷去除量从小到大排列，排在第10和11的两个数是， ∴中位数为：； 【小问3详解】 解：①12号水域的总磷去除量是， 总磷去除量在 的有6个，在 的有1个， ∴在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名的，符合题意； ②由统计图可知，20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为，不符合题意； ③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于 的水域数量有个， ∴20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于 的水域数量与水域总数的比为，符合题意； 【小问4详解】 解：由统计图和频数分布表可知，甲种植物（）数据分布较分散，乙种植物（）数据更集中于均值附近， ∴乙的方差小于甲， ∴这个地区比较适合种植的净水植物是乙． 24. 如图，是的直径，，连接交于点，为上一点，连接、和，． （1）求证：点为的中点； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，，得到，即可证明结论成立； （2）设交于点，求出设的半径为，则，，由勾股定理列方程解得，得到，证明，则，代入数值即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴，即， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴点为的中点； 【小问2详解】 解：设交于点， 在中，，，，可设， ∴， 即 解得， ∴ ∵， ∴ 设的半径为，则，，由勾股定理可得， ， 即， 解得， 则， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 25. 某农业研究所研究两种植物生长调节剂（制剂和制剂）对某种蔬菜产量的影响．制剂的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于抑制生长等原因，产量反而下降．制剂的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其产量与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系： ，其中为单位面积产量（单位：），为浓度（单位：）．在固定栽培条件下，改变制剂的施用浓度，测得单位面积产量数据如下： 浓度 产量 （1）通过分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①若要求单位面积产量至少为，且希望使用制剂的浓度尽可能低，则选择制剂比选择制剂可以节省________的制剂； ②若使用制剂的单位面积产量至少比使用制剂的单位面积产量多，则浓度的取值范围是_____（注：取值保留整数） （3）研究人员发现，每增加制剂，制剂和制剂的成本分别增加元和元．该蔬菜的目标产量为，若实际产量低于目标，则每短缺会造成元的损失（不足的部分按比例计算）．当制剂和制剂的浓度均为时，总成本（制剂成本与损失之和）较低的是制剂_____（填写或），其最低总成本为_____元． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）， 【解析】 【分析】（1）根据表格中制剂的浓度与产量对应数据，在坐标系中描点，再依次连接各点即可； （2）先根据产量条件，分别找到制剂、对应的最低浓度，再用制剂的浓度减去制剂的浓度，得到节省的浓度差； 先根据分段数据，求出制剂在各区间的产量函数解析式，再根据题意列不等式，分别求解两个区间的不等式，最后取公共解并按要求取整，得到浓度范围； （3）先计算浓度为时两种制剂的实际产量，再分别计算它们的制剂成本和产量损失成本，求和得到总成本，最后比较两者总成本，确定更低的制剂和成本． 【小问1详解】 解：如图为函数的图象． 【小问2详解】 解：若要制剂的浓度尽可能低，则单位面积产量为， 此时需要制剂，制剂， 故选择制剂比选择制剂可以节省制剂． 设当时，函数图象解析式为， 其过点，， 可得， 解得， 则， 设当时，函数图象解析式为， 其过点，， 可得， 解得， 则， 根据题意可得， 保留整数后解得． 【小问3详解】 解：当，，， 则制剂的成本为（元）， 则制剂的成本为（元）， 故总成本较低的是制剂，最低总成本为元． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示） （2）已知和是抛物线上的两点，若对于， ，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）通过配方将一般式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）分和两种情况，根据开口方向，利用点到对称轴的距离与纵坐标大小的关系列不等式，求解得到的取值范围 ． 【小问1详解】 解：   ∴抛物线的顶点坐标为 ； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 点的横坐标， ∴到对称轴的距离为 ， ∵点满足 ， ∴ ， 当时，抛物线开口向上，点离对称轴越远，纵坐标越大， 要使对所有 都有，则到对称轴的距离不小于到对称轴距离的最大值， ∴ ， ∵， 所∴， 解得，符合条件； 当时，抛物线开口向下，点离对称轴越近，纵坐标越大， 要使对所有 都有，则到对称轴的距离不大于到对称轴距离的最小值， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得， 结合得 ，符合条件 综上，的取值范围是  或 ． 27. 在中，，，．点是边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接和，取线段的中点，连接． （1）依据题意，补全图形； （2）求证：； （3）连接，直接用等式表示线段、和之间的数量关系． 【答案】（1） （2）证明：延长至，使得，连接， ∵， ∴, ∵是线段的中点, ∴ 在中，，，, ∴,, ∵, ∴, 在和中， , ∴， ∴, ∴ （3）; 过点作,延长交于点,连接， 在中，，， ∴, 由（2）可知， , ∵， ∴, ∴点在上运动， ∴, ∵，， ∴是等边三角形， ∴, ∴, 在和中， ∴, ∴, ∵是等边三角形， 则, ∴是等腰三角形， ∵， ∴, ∴, 设， ,, ∴, ∴, 在和中， ∴ ∴, ∵ ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, , ∴, ∴ 【解析】 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）延长至，使得，连接,根据三角形的中位线可知，进而证明即可求解； （3）过点作,延长交于点,连接，根据以及三角形的中位线可知，证明是等边三角形，进一步可知，从而得到是等腰三角形，证明，根据全等三角形的性质可知，，进而根据正切值可转化线段之间的关系 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴翻折得到点，再将点绕点Q顺时针旋转得到点，则称点为点P的“ 折旋点”．例如：点的“折旋点”是点． （1）如图1，已知点． ①点，若点B是点A的“ 折旋点”，则点B的坐标为________； ②若点是点的“ 折旋点”，则点E的坐标为________； （2）已知点． ①如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M的“折旋点”，且点在直线上，求b的取值范围； ②已知是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N的“折旋点”，且点在直线上，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据“折旋点”的定义，先求出点关于x轴的对称点，再利用旋转的性质构造全等三角形或利用坐标变换规律求解目标点坐标即可； （2）①设出点M的坐标，根据定义表示出的坐标，代入直线方程得到M满足的直线方程，转化为直线与圆有交点的问题，利用圆心到直线的距离小于等于半径求解即可； ②先求出点N满足的直线方程，转化为圆心T到该直线的距离小于等于半径，解不等式求t的取值范围． 【小问1详解】 解：①点关于x轴翻折，横坐标不变，纵坐标取相反数，得到， ∵绕点顺时针旋转至B， ∴，， 如图，过点B作x轴的垂线，垂足为点H， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵点B在第三象限， ∴点B的坐标为； ②点沿x轴翻折得， 在直线上方作， ∴，， ∴点D可以看作点绕点E顺时针旋转得到， ∴点是点的“ 折旋点”， 如图，过点E作，则，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴点E与点A的纵坐标相同，点E与G的横坐标相同， ∵点E在第二象限， ∴点E的坐标为． 【小问2详解】 解：①设动点，折旋后对应点， ∵点在直线上， ∴，即， ∴点M在直线上， 当直线与圆相切时，与y轴交点最高或最低， 如图，当点M在第二象限时，连接，记与y轴交点L，与x轴交点I， ∴， 令，则；令，则， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 同理可得：当点M在第四象限时，连接，记与y轴交点J，与x轴交点K， ∴， 令，则；令，则， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴b的取值范围为； ②由题意知，关于“ 折旋点”坐标为， ∴点N关于x轴—点的折旋点在以为圆心，半径为2的圆上， 如图，当圆在直线左侧与直线相切时， 过点作轴交x轴于点Q， 交于点R，过点作 交于点P， ∴ ， 将代入得：，即， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴，， ， ∴ ，解得：； 如图，当圆在直线右侧与直线相切时， 过点作 交于点S，过点作 轴交y轴于点V， 与交点W， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在中， ， ， ∴ ， 在 中， ， ∴， ∴ ， ∴ ，解得：， 综上所述，t的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段练习 2026.5 考生须知 1．本试卷共8页，共3道大题，28道小题，满分100分，练习时间120分钟 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和练习编号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用2B铅笔． 4．练习结束，请将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的． 1. “农历二十四节气”被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，被誉为“中国的第五大发明”，下列关于二十四节气的设计简图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 霜降 B. 大雪 C. 谷雨 D. 小满 2. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 为推进城市生态环境建设，某市计划种植一批生态防护林，目前已完成种植面积亩．整体规划完成后，累计种植面积将是目前已有种植面积的4倍，则规划完成后的累计种植面积为（ ） A. 亩 B. 亩 C. 亩 D. 亩 5. 若一个边形的每个内角都是，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 6. 《数学之美》是中国邮政为向数学学科致敬，于2025年3月14日发行的特种邮票，一套4枚，分别呈现了“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”和“莫比乌斯带”，这些邮票除图案外，质地与规格完全相同．若将此套邮票背面朝上，随机抽取两张，则抽到的邮票恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，点在射线上，，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接．则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，对角线、相交于点，是线段上一动点（不与点重合），过点分别作、的垂线交、边于点、．记的面积为，的面积为．当点在线段上运动的过程中，给出下列四个结论： ①点与点重合时，；②；③一定存在；④当是的中点时，．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____． 10. 分解因式：____________． 11. 方程的解为______． 12. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 13. 已知点是反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为________． 14. 某种水果按照果径大小可分为四个等级：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批该种水果中随机抽取100个，根据果径分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 果径范围（单位：） 个数 10 30 40 20 若该采购商采购的这批水果共计2000个，估计等级为“精品果”的个数是_____． 15. 如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 16. 某烘焙小组为制作一款庆典蛋糕，需完成（胚体烘烤）、（奶油打发）、（水果处理）、（糖霜制作）、（胚体抹面）、（裱花装饰）、（料胚组装）七道工序，工序完成需满足以下流程要求： （1）只能在均完成后才能开始； （2）只能在完成后才能开始； （3）只能在和均完成后才能开始； （4）可与并行进行，无先后干扰； （5）一项工序同一时间只能由一名学生完成，完成后可接续其他工序，各工序所需时间如下表： 工序 胚体烘烤 奶油打发 水果处理 糖霜制作 胚体抹面 裱花装饰 料胚组装 时间/分钟 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成，至少需要________分钟才能全部完成；若要在最短时间内完成，最少需要________名学生参与． 三、解答题（本题共68分，其中17-21每题5分，22题6分，23题5分，24-26每题6分，27、28题每题7分） 17. 计算． 18. 解不等式组：，并写出它的正整数解． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围． 22. 如图，学校的跳远训练场地由助跑道、起跳板和落地区三个长方形区域组成，其中各长方形中较长的一边为长．已知起跳板的长度与助跑道的宽度相等，助跑道的长度是起跳板宽度的100倍，落地区的宽度与长度的比为，且落地区的长度比助跑道长度的少3米，落地区的宽度比助跑道的长度少22米，求起跳板的宽度（单位：米）． 23. 水质被称作生态的“血脉”．为净化水质，环保部门计划为某水源地选择合适的净水植物有效降低水中的磷含量，其中总磷去除量（单位：）是衡量水质净化效果，尤其是水体脱氮除磷能力的关键指标．该部门随机抽取了20块自然条件相同的水域进行实验，得到各水域每立方米水体中的总磷去除量，并对数据（总磷去除量）进行了整体描述和分析，下面给出了部分信息： ①20块水域每立方米总磷去除量的频数分布表如下： 总磷去除量 频数 3 2 8 1 ②水域总磷去除量在 这一组的是： ； ③20块水域每立方米总磷去除量的统计图如下： （1）写出表中的值； （2）随机抽取的这20块水域每立方米总磷去除量的中位数为________； （3）下列推断合理的是________（填序号） ①12号水域的总磷去除量在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名； ②20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为 ； ③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于 的水域数量与水域总数的比为 （4）号水域种植的是甲种净水植物，号水域种植的是乙种净水植物．已知甲、乙两种植物的每立方米总磷去除量的平均数分别为 和 ；若某种植物在各水域每立方米总磷去除量的10个数据的方差越小，则这种植物的净水效果越稳定．据此推断：甲、乙两种植物中，这个地区比较适合种植的净水植物是________（填“甲”或“乙”）． 24. 如图，是的直径，，连接交于点，为上一点，连接、和，． （1）求证：点为的中点； （2）若，，求的长． 25. 某农业研究所研究两种植物生长调节剂（制剂和制剂）对某种蔬菜产量的影响．制剂的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于抑制生长等原因，产量反而下降．制剂的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其产量与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系： ，其中为单位面积产量（单位：），为浓度（单位：）．在固定栽培条件下，改变制剂的施用浓度，测得单位面积产量数据如下： 浓度 产量 （1）通过分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①若要求单位面积产量至少为，且希望使用制剂的浓度尽可能低，则选择制剂比选择制剂可以节省________的制剂； ②若使用制剂的单位面积产量至少比使用制剂的单位面积产量多，则浓度的取值范围是_____（注：取值保留整数） （3）研究人员发现，每增加制剂，制剂和制剂的成本分别增加元和元．该蔬菜的目标产量为，若实际产量低于目标，则每短缺会造成元的损失（不足的部分按比例计算）．当制剂和制剂的浓度均为时，总成本（制剂成本与损失之和）较低的是制剂_____（填写或），其最低总成本为_____元． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示） （2）已知和是抛物线上的两点，若对于， ，都有，求的取值范围． 27. 在中，，，．点是边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接和，取线段的中点，连接． （1）依据题意，补全图形； （2）求证：； （3）连接，直接用等式表示线段、和之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴翻折得到点，再将点绕点Q顺时针旋转得到点，则称点为点P的“ 折旋点”．例如：点的“折旋点”是点． （1）如图1，已知点． ①点，若点B是点A的“ 折旋点”，则点B的坐标为________； ②若点是点的“ 折旋点”，则点E的坐标为________； （2）已知点． ①如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M的“折旋点”，且点在直线上，求b的取值范围； ②已知是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N的“折旋点”，且点在直线上，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $