精品解析：2026年北京市海淀区教师进修学校附属实验学校中考数学零模试卷

2026年北京市海淀区教师进修学校中考数学零模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分 1. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解. 【详解】解：A：既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C：既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意； 故选：D ． 2. A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），若点A，B分别对应的实数为a，b，且，则中最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），确定点A在原点左侧，点B在原点右侧，从而得到b＞a，又根据|a|>| b| ，得到-a>b，即-b＞a，即可得出最大的数. 【详解】∵A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧）， 所以点A在原点左侧，点B在原点右侧， 所以a＜0，b＞0，即b＞a， 又因为|a|>|b| ，所以-a>b，即-b＞a， 所以-a＞b＞a， 又因为b＞0，所以-b＜0， 所以-a＞b＞-b＞a； 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数轴比较大小，以及不等式的性质，熟练掌握数轴上的点的表示方法是解题的关键. 3. 若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（ ） A. 十边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和问题，设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为列出方程求解即可． 【详解】解；设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得：， ∴该多边形的边数为8，即该多边形为八边形， 故选：B． 4. 小明的讲义袋里放了大小相同的试卷共12张，其中语文6张、数学4张、英语2张，他随机地从讲义袋中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，根据概率公式，所求概率等于数学试卷数量与总试卷数量的比值． 【详解】解：共有12张试卷，随机抽取1张，总共有12种等可能结果， ∵数学试卷有4张，恰好抽到数学试卷的结果有4种， ∴抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为， 故选：B． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能取的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及定义，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据一元二次方程根的情况，可知一元二次方程根的判别式，再根据一元二次方程根的定义得到，即可解题． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且， ∴四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 6. 据相关资料显示每年的有860万吨塑料垃圾进入海洋，而超过50种鱼类被发现正在食用塑料垃圾，每年至少10亿个海洋生物因塑料制品而失去生命，860万这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数． 【详解】解：将万用科学记数法表示为． 故选：C 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 7. 已知锐角．如图， （1）在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接； （2）分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论： ①；②；③；④若，则．所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查作图复杂作图，等边三角形的判定及性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系．根据弦、弧、圆心角的关系判断①；连接，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，再根据圆周角定理得到，即可求出，得到判断②，根据两点间线段最短判断③；连接，然后根据三角形的内角和求出，即可得到是等边三角形，判断④解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 连接， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； 又∵， ∴，即，故③正确； 连接，设，则，， 在中，， 解得， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，直线交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，与交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①设点的坐标为，点的坐标为，分别用含a的式子得出，，，，再列式证明即可；②证明四边形是矩形，得出，结合由结论①，即可判断②是否正确；③由结论①正确得，得出，利用，即可证明；④连接，证明，得出，证明四边形和四边形都是平行四边形，得出，，即可证明． 【详解】①点，在函数的图象上， 设点的坐标为，点的坐标为， 轴于点，轴于点，与交于点， ，，，， ，， ，， ， 故结论①正确； ②轴于点，轴于点，与交于点， ， 四边形是矩形， ， ， 由结论①正确得：， 无法判定， 不一定成立， 故结论②不正确； ③， ，， 由结论①正确得：， ， ， ， 即， 故结论③正确； ④连接，如图所示： 四边形是矩形， ， 由结论①正确得：， 在和中， ，， ， ， ， 即， 轴于点，轴于点， ，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论的序号是①③④． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】x≥-3 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案． 【详解】解：由题意得:x+3≥0． 解得x≥-3， 故答案为：x≥-3． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围及二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键． 10. 在实数范围内因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，掌握分解因式的方法是解题的关键； 原式先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：． 12. 为了解某市中学生上学采用的交通方式的情况，某数学兴趣小组进行了问卷调查，共收回300份有效调查问卷．分析统计后形成如下统计表：根据以上调查结果，试估计从该市随机抽查900名中学生中采用的交通方式为“自行车”的中学生大约为 ________ 人． 采用的交通方式 公交车 自行车 私家车 走路 人数 81 39 120 60 【答案】117 【解析】 【分析】本题考查了统计表以及用样本估计总体，通过统计表求出采用的交通方式为“自行车”的中学生比例是解答本题的关键． 用900乘采用的交通方式为“自行车”的中学生比例即可． 【详解】解：（人） 故答案为：117． 13. 能说明“若，则”是假命题的一个反例可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：命题写成“如果．．．，那么．．．”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 选取的的值不满足“若，则”即可． 【详解】解：当时，满足，但不满足， ∴可以作为说明命题“若，则”是假命题的一个反例， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，，为的切线，点在圆周上，且，，连接，则的长为__________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，特殊角的正弦值求边长等知识， 连接，根据圆周角定理可得，再证明，即可得出，在中求出的长即可． 【详解】解：连接， ， ， ，为的切线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2． 15. 如图，四边形是边长为2的正方形，点在正方形内，是等边三角形，则的面积为 _________________． 【答案】## 【解析】 【分析】的面积为，根据题意分别求出这三个三角形的面积即可解答． 【详解】过作于，于， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∴四边形是矩形， 是等边三角形， ∴，，， ∴， ， ， ， 的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质和三角形的面积，找出三角形面积之间的关系是解题关键． 16. 某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入n万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与n的对应关系如表： 投入（万元）渠道 1 2 3 4 5 6 甲 50 75 - - - - 乙 35 59 80 95 105 110 丙 25 45 60 70 78 84 丁 20 43 64 80 92 100 （1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向_____渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）； （2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为_____千人． 【答案】 ①. 甲 ②. 180 【解析】 【分析】（1）分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量进行比较； （2）将方案列出来找到最大值即可． 【详解】解：（1）分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量： 若向丁渠道投入2万元，则新增用户量为 （千人）； 若向丙渠道投入2万元，则新增用户量为 （千人）； 若向乙渠道投入2万元，则新增用户量为 （千人）； 若向甲渠道投入2万元，则新增用户量为 （千人）； ， 如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向甲渠道投入2万元； （2）方案如下： 甲 乙 丙 丁 总新增用户量 0 0 0 6 0 0 1 5 0 0 2 4 0 0 4 2 0 0 3 3 0 0 6 0 0 0 5 1 0 1 0 5 0 1 1 4 0 1 2 3 0 1 3 2 0 1 4 1 0 1 5 0 0 2 0 4 0 2 1 3 0 2 2 2 0 2 3 1 0 2 4 0 0 3 0 3 0 3 1 2 0 3 2 1 0 3 3 0 0 4 0 2 0 4 1 1 0 4 2 0 0 5 0 1 0 5 1 0 0 6 0 0 1 0 0 5 1 0 1 4 1 0 2 3 1 0 3 2 1 0 4 1 1 0 5 0 1 1 0 4 1 1 1 3 1 1 2 2 1 1 4 0 1 1 3 1 1 2 0 3 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 3 0 1 3 0 2 1 3 1 1 1 3 2 0 1 4 0 1 1 4 1 0 1 5 0 0 2 0 0 4 2 0 1 3 2 0 2 2 2 0 3 1 2 0 4 0 2 1 0 3 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 0 2 2 0 2 2 2 1 1 2 2 2 0 2 3 0 1 2 4 0 0 2 3 1 0 ∴如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为180千人． 三、解答题：本题共12小题，共68分． 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】先计算绝对值，零次幂，代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，再进一步运算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先对等式进行变形，再对分式进行约分，最后代入求值即可． 【详解】解：由得，， 将代入上式得， 原式． 20. 如图，菱形的对角线，交于点，点，分别在，的延长线上，且，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的边长． 【答案】（1）见详解 （2）菱形的边长为5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到是平行四边形，然后根据，即可证明四边形是矩形； （2）由可得出，在中，利用正切函数设，则，在中，利用勾股定理求得的长． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，， ， ，即， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ∵， ∴， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：或（舍去）， ， 菱形的边长为5． 21. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图形的性质，掌握待定系数法，图象法确定不等式的解集是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据（1）得到函数解析式，结合图形即可得到取值范围． 【小问1详解】 解：∵函数与的图象交于点， ∴， 解得，， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）可得，，， ∴当时，对于函数，则，对于函数，则， ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值， 如图所示， ∴， ∴的取值范围为． 22. 某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有，两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度． 【答案】每本书籍厚度为 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设每本书籍厚度为，桌子高度为，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每本书籍厚度为，桌子高度为， 由题意可得：， 解得， 答：每本书籍厚度为． 23. 一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．一队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：）： b．二队成绩如下： 68 69 70 70 71 73 77 78 80 81 82 82 82 82 83 83 83 86 91 94 c．一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 一队 79.6 77 P 二队 79.25 m q 根据以上信息，回答下列问题： （1）m的值为___________，p___________q（填“”“”或“”）； （2）若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是___________； A．一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B．两队成绩的方差都增大 C．一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D．两队成绩的方差都减小 （3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 94 90 94 91 乙 91 92 92 92 93 丙 93 90 92 93 k 若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为___________． 【答案】（1）82， （2）D （3）91或92 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数、众数、中位数、方差． （1）根据众数以及中位数的定义解答即可； （2）根据方差的定义意义求解即可； （3）根据方差的定义和平均数的意义求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，二队成绩中82出现的次数最多， 故众数， 一队成绩的中位数位于， 二队成绩的中位数为， ∴， 故答案为：82，； 【小问2详解】 解：若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，两队的成绩波动都变小，则两队成绩的方差都减小； 故答案为：D； 【小问3详解】 解：甲选手的平均数为：，甲选手的方差为：， 乙选手的平均数为：，乙选手的方差为：， 丙选手的平均数为：， ∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前． ∴， 解得， ∵k为整数， ∴当时，丙选手的平均数为：，丙选手的方差为：，此时甲丙平均数一致，但是丙的方差更小，符合排名； 当时，丙选手的平均数为：，丙选手的方差为：，此时乙丙平均数一致，但是乙的方差更小，符合排名； ∴k（k为整数）的值为92或91， 故答案为：92或91． 24. 如图，为的直径，弦，垂足为点，直线与延长线交于点，且． （1）求直线与的位置关系：并说明理由． （2）若，求线段的长． 【答案】（1）直线是的切线，理由见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，进而得到，即；根据平行线的性质可得，再根据垂径定理可得，即直径，即可证明结论； （2）连接，由垂径定理可得，设，解直角三角形求得，在中，利用勾股定理求出，由可得即可解答． 【小问1详解】 证明：直线是的切线，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、切线的判定和性质、三角函数解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 25. 某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：． 在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 5 8 10 9 7 4 （1）以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接． （2）①工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失．若增加添加剂能使保质期延长超过____天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）． ②若面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为时，总成本（添加剂成本与损失之和）为____元． （3）①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省____的添加剂（保留整数）． ②当浓度在________范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）． 【答案】（1）见解析 （2）①；②18 （3）①60；②20；80 【解析】 【分析】（1）根据题意描点并连线即可； （2）①设增加添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，根据损失大于成本列出不等式，求解即可； ②即当添加剂A浓度为时，保质期为8天，根据总成本等于添加剂成本与损失之和列出式子求解即可； （3）①分别求出保质期至少为8天时，添加剂A和添加剂B的浓度，求差即可解答； ②结合表格中添加剂A的浓度，求出相应保质期下添加剂B的浓度，找出符合题意要求的浓度范围即可． 【小问1详解】 解：描点并连线为： 【小问2详解】 解：①设增加添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，则 ， 解得， 即增加添加剂能使保质期延长超过天，增加浓度是有利的． ②由题意可得，当时，， 即当添加剂A浓度为时，保质期为8天， 此时总成本为：（元）． 【小问3详解】 解：①由表格可知，若选择添加剂A，当时，， 即当保质期至少为8天时，添加剂A至少需要； 若选择添加剂B，当时，，解得， 即当保质期至少为8天时，添加剂B至少需要， 所以选择添加剂A比选择添加剂B可以节省添加剂为； ②当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 由上可知，当时，， ∴当浓度在范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线过点和点 （1）用含的式子表示； （2）点在抛物线上，且，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性求解即可； （2）先由求得，由题意，，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和点， ∴点A、B关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为， ∴，则； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵点在抛物线上，且，， ∴，则， 由题意，，， ∴， 解方程得，， ∵的长随着的增大而增大， ∴或， 解得：无解或， 故满足条件的a的取值范围为． 27. 在中，，，点在边上，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在边上． （1）如图1，点F与点C重合，，求证：E是的中点； （2）如图2，点在的延长线上时，作 交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据角的直角三角形的性质解答即可； （2）在上取一点M，使得，连，取的中点N，连接，即可得到，，然后证明，得到，，即可得到，解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴点是的中点； 【小问2详解】 解：，证明如下： 在上取一点M，使得，连接，取的中点N，连接， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和点给出如下定义：若点在弦的垂直平分线上，且点关于直线的对称点在上，则称点是弦的“关联点”． （1）直线与交于，两点．写出一个弦的“关联点”的坐标为_______； （2）若点是弦的“关联点”，直接写出的长； （3）已知点，对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”，记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】根据轴对称的性质可知，当“关联点”关于弦的对称点在直线的上方时，“关联点”恰好是原点，当“关联点”关于弦的对称点在直线的下方时，“关联点”的坐标是； 点是弦的“关联点”，根据垂径定理和“关联点”的定义可知弦轴，当点关于弦的对称点是时，利用勾股定理可以求出；当点关于弦的对称点是时，利用勾股定理可以求出； 当点在线段上时，因为的半径，当越小时，的值越大，根据垂线段最小，可以计算出的最小值是，所以的最大值是，根据“关联点”的定义可知，所以，利用勾股定理求出，根据垂径定理即可得到；点越接近点，的长度越接近，所以可得：点在线段上时，当点与点重合时，可知点 关于弦的对称点的是，从而可求，利用勾股定理求出，根据垂径定理可得；当点与点重合时，可知，所以． 【小问1详解】 解：如下图所示，原点关于弦的对称点是在上， 点是弦的“关联点”； 点关于弦的对称点是在上， 点是弦的“关联点”； 综上所述，弦的“关联点”的坐标是或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：由垂径定理可知弦的垂直平分线过圆心， 又点在弦的垂直平分线上， 弦轴， 点关于弦的对称点是或， 如下图所示， 当点关于弦的对称点是时， 直线是， 设点的坐标是， 的半径为， ， 解得：， 点的坐标是或， ； 如下图所示， 当点关于弦的对称点是时， 直线是， 设点的坐标是， 的半径为， ， 解得：， 点的坐标是或， ， 综上所述，的长为或； 【小问3详解】 解：如下图所示，设交于点， 当于点时，设交于点，作线段的垂直平分线交于点、，交于点，连接， 点，， ，， ， ， ， 解得：， ， 点是的中点， ， ， 在中，， ； 当点运动越接近点 ，则越接近， ； 如下图所示，当点运动到点的位置时， ， ， 在中，， ； 如下图所示，当运动到点的位置时， ； ； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了垂径定理、轴对称的性质、中点坐标、勾股定理等知识．解决本题的关键是根据垂径定理、轴对称的性质找到边之间的关系，利用中点坐标和勾股定理计算边的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市海淀区教师进修学校中考数学零模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分 1. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），若点A，B分别对应的实数为a，b，且，则中最大的数是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（ ） A. 十边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 四边形 4. 小明的讲义袋里放了大小相同的试卷共12张，其中语文6张、数学4张、英语2张，他随机地从讲义袋中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能取的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 据相关资料显示每年的有860万吨塑料垃圾进入海洋，而超过50种鱼类被发现正在食用塑料垃圾，每年至少10亿个海洋生物因塑料制品而失去生命，860万这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知锐角．如图， （1）在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接； （2）分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论： ①；②；③；④若，则．所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，直线交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，与交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 10. 在实数范围内因式分解：________． 11. 分式方程的解为_______． 12. 为了解某市中学生上学采用的交通方式的情况，某数学兴趣小组进行了问卷调查，共收回300份有效调查问卷．分析统计后形成如下统计表：根据以上调查结果，试估计从该市随机抽查900名中学生中采用的交通方式为“自行车”的中学生大约为 ________ 人． 采用的交通方式 公交车 自行车 私家车 走路 人数 81 39 120 60 13. 能说明“若，则”是假命题的一个反例可以是__________． 14. 如图，，为的切线，点在圆周上，且，，连接，则的长为__________ 15. 如图，四边形是边长为2的正方形，点在正方形内，是等边三角形，则的面积为 _________________． 16. 某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入n万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与n的对应关系如表： 投入（万元）渠道 1 2 3 4 5 6 甲 50 75 - - - - 乙 35 59 80 95 105 110 丙 25 45 60 70 78 84 丁 20 43 64 80 92 100 （1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向_____渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）； （2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为_____千人． 三、解答题：本题共12小题，共68分． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，菱形的对角线，交于点，点，分别在，的延长线上，且，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的边长． 21. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围． 22. 某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有，两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度． 23. 一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．一队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：）： b．二队成绩如下： 68 69 70 70 71 73 77 78 80 81 82 82 82 82 83 83 83 86 91 94 c．一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 一队 79.6 77 P 二队 79.25 m q 根据以上信息，回答下列问题： （1）m的值为___________，p___________q（填“”“”或“”）； （2）若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是___________； A．一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B．两队成绩的方差都增大 C．一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D．两队成绩的方差都减小 （3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 94 90 94 91 乙 91 92 92 92 93 丙 93 90 92 93 k 若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为___________． 24. 如图，为的直径，弦，垂足为点，直线与延长线交于点，且． （1）求直线与的位置关系：并说明理由． （2）若，求线段的长． 25. 某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：． 在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 5 8 10 9 7 4 （1）以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接． （2）①工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失．若增加添加剂能使保质期延长超过____天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）． ②若面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为时，总成本（添加剂成本与损失之和）为____元． （3）①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省____的添加剂（保留整数）． ②当浓度在________范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线过点和点 （1）用含的式子表示； （2）点在抛物线上，且，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 27. 在中，，，点在边上，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在边上． （1）如图1，点F与点C重合，，求证：E是的中点； （2）如图2，点在的延长线上时，作 交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和点给出如下定义：若点在弦的垂直平分线上，且点关于直线的对称点在上，则称点是弦的“关联点”． （1）直线与交于，两点．写出一个弦的“关联点”的坐标为_______； （2）若点是弦的“关联点”，直接写出的长； （3）已知点，对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”，记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $