精品解析：2025年北京市密云区中考一模数学试卷

九年级数学阶段练习 考生须知 1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用2B铅笔． 4.考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的． 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 圆柱 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的相关知识，其中主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面观察物体所得到的图形，三视图的掌握程度和空间想象能力是解题关键．结合选项，根据主视图和俯视图确定是柱体，锥体还是球体，再根据左视图确定具体形状． 【详解】解：由主视图和左视图为长方形可知，这个几何体是柱体， 由俯视图为三角形可知，这个柱体是三棱柱， 故选：A． 2. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000015米，将数据0.000000015用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定a和n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：C． 3. 如图，实数在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，掌握无理数的大小估算是解题的关键．先判断出的取值范围，即可求解． 【详解】解：， ， 点符合题意． 故选：C． 4. 下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据作图过程得到，因为，所以，即可得到答案． 【详解】解：根据作图过程得， ， ， 判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等， 故选：A． 5. 若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的内角和外角的关系，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．设多边形的每个外角的度数为，则内角为，根据一个正多边形的内角和外角互补关系列方程求解出正多边形的外角，再根据多边形的外角和等于即可求出正多边形的边数． 【详解】解：设多边形的每个外角的度数为，则内角为， 根据题意，可得， 解得， ∴这个多边形的数是． 故选：A． 6. 九年级（1）班羽毛球小组共有4名队员，其中两名男生，两名女生．从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了运用列表法或画树状图求随机事件的概率，掌握其求随机事件概率的方法是解题的关键． 根据题意，列表或画树状图表示所有等可能结果，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：两名男生表示为男1，男2，两名女生表示为女1，女2，如图所述，画树状图表示所有等可能结果， 共有种等可能结果，其中恰好能组成一组混双搭档的结果有种， ∴恰好能组成一组混双搭档的概率是，   故选：D ． 7. 如图，等边三角形的边长为a，分别以A，B，C为圆心，以长为半径作弧，得到三段相等的弧，，，将，，组成的图形称为“洛尔三角形”．设的中心为O．下列说法中： ①“洛尔三角形”上任意一点到O的距离相等； ②将“洛尔三角形”绕点O按逆时针方向旋转后与原“洛尔三角形”重合； ③“洛尔三角形”的周长等于以A为圆心，长为半径的半圆的周长； ④若P是“洛尔三角形”上一个定点，Q是“洛尔三角形”上一个动点，则的最大值是a． 所有正确说法的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质求解，解题关键是理解“洛尔三角形”的定义． 根据的圆心与的中心不同，可判断①；根据各条弧绕点O按逆时针方向旋转后，找到旋转后的弧即可判断②；分别求出“洛尔三角形”的周长和长为半径的半圆的周长，就可判断③；根据“洛尔三角形”任一边的圆心到这一边的最远距离可判断④． 【详解】解：∵是以点C为圆心，的中心为O， ∴点O为的垂直平分线上的点与点C为不同的点， ∴上的点到点O的距离不相等，故①错误； ∵绕点O按逆时针方向旋转后与重合， 绕点O按逆时针方向旋转后与重合， ∴将“洛尔三角形”绕点O按逆时针方向旋转后与原“洛尔三角形”重合，故②正确； ∵“洛尔三角形”的周长等于，长为半径的半圆的周长为， ∴“洛尔三角形”的周长等于以A为圆心，AB长为半径的半圆的周长，故③正确； ∵，，都是以a为半径的圆弧，P是“洛尔三角形”上一个定点，Q是“洛尔三角形”上一个动点， ∴“洛尔三角形”任一边的圆心到这一边的最远距离为a， ∴的最大值是a，故④正确． 综上所述，正确说法的序号是②③④． 故选： C． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 8. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由在实数范围内有意义，列不等式再解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键． 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键． 10. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，理解并掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时乘以，再按照去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，检验是否为增根，即可获得答案． 【详解】解：， 等号两边同时乘以，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 经检验，是该分式方程的解， ∴方程的解为． 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点A关于y轴的对称点B在双曲线上，则的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和对称的性质，解题的关键在于根据对称求出点B的坐标，从而求得k值． 先求出，而点A与点B关于y轴的对称，则，即可得到，即可求解． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴； 又∵点A与点B关于y轴的对称， ∴ ∵点B在双曲线上， ∴； ∴； 故答案为：0． 12. 如图，为直径，为的一条弦，于E，连接，．，则的大小为 _______ °． 【答案】70 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，由可得，可得，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13. 某校为了解学生跳绳情况，从校1000名学生中随机抽取了50名同学，统计了他们60秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表： 次数 频数 5 20 12 9 4 根据以上数据，估计该年级的1000名学生中60秒跳绳次数在范围的学生有_______人． 【答案】820 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，样本估计总体，解题的关键是数形结合．用1000乘以跳绳次数在范围的占比，即可求解． 【详解】解：由题意得：（人）， 故答案为：820． 14. 如图，矩形中，垂足为E，延长交于F，，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，∴， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 15. A、B、C三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现A共当裁判9局． ①若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了_______局比赛； ②三人至少进行了_______局比赛． 【答案】 ①. 21 ②. 17 【解析】 【分析】本题考查推理与论证，解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题． ①先确定了B、C之间打了9局，A与B打了8局，A与C打了4局，进而确定三人一共打的局数； ②可推导出A当裁判9局，B当裁判3局，C当裁判5局，A当裁判的局次只能是1，3，5，…15，17，由此能求出结果，即可得到答案． 【详解】解：①∵A当了9局裁判， ∴B、C之间打了9局， 又∵B，C分别进行了17局，13局比赛， ∴A与B打了局，A与C打了局， ∴三人共打了局， 故答案为：21． ②∵A当了9局裁判，而从1到17共9个奇数，8个偶数， ∴A当裁判的局为奇数局， ∴三人至少进行了17局比赛， 故答案为：17． 三、解答题（本题共68分，其中17－20题每题5分，21题6分，22－23每题5分，24－26每题6分，27、28题每题7分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的化简，求一个数的绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值等内容，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 利用二次根式的化简，求一个数的绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值等运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先求出各不等式的解集，求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练进行分式化简是解题关键．首先将括号内部分通分，并将除法转化为乘法，再进行括号内的运算，之后约分即可完成化简，根据题意可得，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 19. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E为的中点，连接并延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，菱形的周长为40，求的值． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的判定与性质是解题关键． （1）首先根据菱形的性质可得，结合“对角线相互平分的四边形为平行四边形”可证明四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”，即可证明结论； （2）过点作于点，首先确定菱形的边长，在中利用勾股定理解得的长度，在由矩形的性质可得，，，，利用面积法求得的值，然后在中，由正弦的定义求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴，即， ∵点E为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 如下图，过点作于点， ∵四边形为菱形，且周长为40， ∴， ∵， ∴， ∴在中，可有， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴，解得， ∴在中，可有． 20. 某校组织科技节活动，计划投入4000元购进A、B两种型号展板共100块，其中A型展板至少50块．已知购进2块A型展板和3块B型展板共需210元，购进3块A型展板和1块B型展板共需140元．为了满足基本需求，请判断该校计划投入的资金是否够用，并说明理由． 【答案】该校计划投入的资金够用，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键．设购进1块A型展板需要元，1块B型展板需要元，根据题意列出方程组，解方程组可得，设购进A型展板块，则购进B型展板块，根据题意列出不等式，求出的范围，即可得出结论． 【详解】解：该校计划投入的资金够用，理由如下： 设购进1块A型展板需要元，1块B型展板需要元， 由题意得，， 解得：， 设购进A型展板块，则购进B型展板块， 由题意得，， 解得：， 投入的资金购进A型展板至少50块， 该校计划投入的资金够用． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像与几何变换、一次函数图像与系数的关系，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质． （1）依据题意，由函数的图像由函数的图像平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，结合 （1）可得为，在同一坐标系中画出，的图像，根据题意，结合图像即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵函数的图像由函数的图像平移得到 ∴， 又∵平移后的直线经过点， ∴将点代入直线， 可得，解得； 【小问2详解】 由题意，结合（1）可得为，在同一坐标系中画出，的图像，如下图所示， 对于直线，令，可得，即， 对于直线，令，可得，即， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值． 若，取（），则，，如时，，不满足条件，故；同时需满足． 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值． 若，取（），则，，如时，，不满足条件，故． ∴结合图像可知，的取值范围为． 22. 一项生态环保知识竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．乙队成绩如下： 69 69 70 70 71 73 77 78 80 81 82 82 82 82 83 83 83 86 91 96 c．甲、乙两队成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲队 79.6 77 p 乙队 79.4 m q 根据以上信息，回答下列问题： （1）m的值为____，p____q（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是____； A.甲队成绩的方差增大，乙队成绩的方差减小 B.两队成绩的方差都增大 C.甲队成绩的方差减小，乙队成绩的方差增大 D.两队成绩的方差都减小 （3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 94 90 94 91 乙 91 92 92 92 93 丙 94 90 90 94 k 若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为________． 【答案】（1）82， （2）D （3）92 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数、众数、中位数、方差． （1）根据众数以及中位数的定义解答即可； （2）根据方差的定义意义求解即可； （3）根据方差的定义和平均数的意义求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，乙队成绩中82出现的次数最多， 故众数， 甲队成绩的中位数位于， 乙队成绩的中位数为， ∴， 故答案为：82，； 【小问2详解】 解：若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，两队的成绩波动都变小，则两队成绩的方差都减小； 故选：D； 【小问3详解】 解：甲选手的平均数为：， 甲选手的方差为：， 乙选手的平均数为：， 乙选手的方差为：， 丙选手的平均数为：， ∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前． ∴， 解得， ∵k为整数， ∴当时，丙选手的平均数为：， 丙选手的方差为：， 此时甲丙平均数和方差一致，不符合排名； 当时，丙选手的平均数为：， 丙选手的方差为：， 此时乙丙平均数一致，但是丙的方差更大，符合排名； ∴k（k为整数）的值为92， 故答案为：92． 23. 如图，是的直径，点E在上，连接交于点F，连接交于点G，． （1）求证：； （2）过点D作的切线交的延长线于点H．若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得，得出，由圆周角定理得，从而可得结论； （2）设，则，，证明，推出，，求得，即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， 设，则，， ∵是的切线，是的直径， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 整理得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 24. 中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． （1）可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； （2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为______时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为_______（结果保留小数点后一位）； （3）在探究普洱茶茶水温度与放置时间函数关系的活动中选取了三个时刻、、，、、对应的温度分别为、、，若，则_______（填“”“”或“”）． 【答案】（1）见解析 （2），（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题考考查了画函数图象，根据图象获取信息，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据表格中的数据描点画图即可； （2）根据绿茶茶水温度降至饮用时口感最佳，结合表格数据解答即可； （3）观察图表数据可知，普洱茶放置时间每增加，茶水温度下降的速度降低，即可求解． 【小问1详解】 解：如下图，即为与x的函数图象； 【小问2详解】 解：由题意可知，绿茶茶水温度降至饮用时口感最佳， 由表格可知，时，；时，， 当绿茶茶水的放置时间约为时，其饮用口感最佳， 此时普洱茶茶水的温度约为 【小问3详解】 解：观察图表数据可知，普洱茶放置时间每增加，茶水温度下降的速度降低， 即若，则， 故答案为： 25. 在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点，且抛物线经过． （1）求抛物线的对称轴； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过，得到且，求抛物线的对称轴即可． （2）根据，，都有，分和，解答即可． 【小问1详解】 解：根据抛物线经过， 得到且， 故即， 故抛物线的对称轴为：直线． 【小问2详解】 解：根据题意，得，， ∴ 解得， ∴， ∵，是抛物线上两点，且对称轴为直线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 当，且时，，即， 根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴中点在对称轴的右侧， 则即， 解得，无解； 当，且时，，即， 根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴中点在对称轴的左侧， 则即， 解得； 当，且时，，即， 则即，无解； 当，且时，，即， 则，无解， 综上所述，符合题意的范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性和增减性，解一元一次不等式组，熟练掌握性质是解题的关键． 26. 如图，在等腰直角三角形中，，是线段上一点（），连接，过点作的垂线，交延长线于点，交延长线于点． （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）若点在线段上，且，连接，用等式表示，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）图见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，构造出等腰直角三角形和全等三角形是解本题的关键； （1）根据题意画出图形解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可； （3）如图2，连接交于点，延长交于点，证明，得出，可得，、是等腰直角三角形，即可解答． 【小问1详解】 解：补全图形，如图1， 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图2，连接交于点，延长交于点， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， ，即， ， ， ， 、、是等腰直角三角形， ∴，，， 设，， ，， ， ． 27. 在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点的“关联弦”． （1）如图1，已知点，点，，，，，，在弦，，中，点的“关联弦”是 ； （2）如图2，已知点，在上，弦是点的“关联弦”，直接写出长度的最大值； （3）如图3，已知点，，对于线段上一点，存在的弦，使得弦是点的“关联弦”，若对于每一个点，将其对应的“关联弦”长度的最大值记为，则当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）长度的最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意判断角是否为即可； （2）根据直径所对的圆周角为，找出的运动轨迹后求解即可； （3）先确定的范围，根据定义求关联弦的取值范围，再结合的取值范围求解即可． 【小问1详解】 连接，，，，，，如图所示： 解：∵点，点，，，， ∴，，和是点的关联点； ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 综上点的“关联弦”是和； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设的中点为，则， ∵，的长为定值， ∴点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上，如图所示： ∴当在轴上时最大，此时，， ∴； 【小问3详解】 解：连接，，当时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是点的关联弦，则， 如图，都点的关联弦，显然， 由（2）可知时，取得最大值， 如图，过点作于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， 当取得最大值时，为的直径，即，则， 当取得最小值时，与相切，此时与重合，如图， ∴， 又， ∴四边形是正方形， ∴，即，则， 又∵，， ∴当时，可以取得最大值，最小值， ∴． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，点与圆的位置关系，几何变换等知识点，根据所给的信息合理分类讨论弦的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段练习 考生须知 1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用2B铅笔． 4.考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的． 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 圆柱 2. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000015米，将数据0.000000015用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，实数在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 4. 下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 5. 若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 九年级（1）班羽毛球小组共有4名队员，其中两名男生，两名女生．从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，等边三角形的边长为a，分别以A，B，C为圆心，以长为半径作弧，得到三段相等的弧，，，将，，组成的图形称为“洛尔三角形”．设的中心为O．下列说法中： ①“洛尔三角形”上任意一点到O的距离相等； ②将“洛尔三角形”绕点O按逆时针方向旋转后与原“洛尔三角形”重合； ③“洛尔三角形”的周长等于以A为圆心，长为半径的半圆的周长； ④若P是“洛尔三角形”上一个定点，Q是“洛尔三角形”上一个动点，则的最大值是a． 所有正确说法的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 8. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 9. 因式分解：__________． 10. 方程的解为________． 11. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点A关于y轴的对称点B在双曲线上，则的值为_______． 12. 如图，为直径，为的一条弦，于E，连接，．，则的大小为 _______ °． 13. 某校为了解学生跳绳情况，从校1000名学生中随机抽取了50名同学，统计了他们60秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表： 次数 频数 5 20 12 9 4 根据以上数据，估计该年级的1000名学生中60秒跳绳次数在范围的学生有_______人． 14. 如图，矩形中，垂足为E，延长交于F，，，则的长为_______． 15. A、B、C三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现A共当裁判9局． ①若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了_______局比赛； ②三人至少进行了_______局比赛． 三、解答题（本题共68分，其中17－20题每题5分，21题6分，22－23每题5分，24－26每题6分，27、28题每题7分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）． 16. 计算：． 17. 解不等式组：． 18. 已知，求代数式的值． 19. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E为的中点，连接并延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，菱形的周长为40，求的值． 20. 某校组织科技节活动，计划投入4000元购进A、B两种型号展板共100块，其中A型展板至少50块．已知购进2块A型展板和3块B型展板共需210元，购进3块A型展板和1块B型展板共需140元．为了满足基本需求，请判断该校计划投入的资金是否够用，并说明理由． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 22. 一项生态环保知识竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．乙队成绩如下： 69 69 70 70 71 73 77 78 80 81 82 82 82 82 83 83 83 86 91 96 c．甲、乙两队成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲队 79.6 77 p 乙队 79.4 m q 根据以上信息，回答下列问题： （1）m的值为____，p____q（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是____； A.甲队成绩的方差增大，乙队成绩的方差减小 B.两队成绩的方差都增大 C.甲队成绩的方差减小，乙队成绩的方差增大 D.两队成绩的方差都减小 （3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 94 90 94 91 乙 91 92 92 92 93 丙 94 90 90 94 k 若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为________． 23. 如图，是的直径，点E在上，连接交于点F，连接交于点G，． （1）求证：； （2）过点D作的切线交的延长线于点H．若，，求的长． 24. 中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． （1）可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； （2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为______时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为_______（结果保留小数点后一位）； （3）在探究普洱茶茶水温度与放置时间函数关系的活动中选取了三个时刻、、，、、对应的温度分别为、、，若，则_______（填“”“”或“”）． 25. 在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点，且抛物线经过． （1）求抛物线的对称轴； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 26. 如图，在等腰直角三角形中，，是线段上一点（），连接，过点作的垂线，交延长线于点，交延长线于点． （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）若点在线段上，且，连接，用等式表示，，之间的数量关系并证明． 27. 在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点的“关联弦”． （1）如图1，已知点，点，，，，，，在弦，，中，点的“关联弦”是 ； （2）如图2，已知点，在上，弦是点的“关联弦”，直接写出长度的最大值； （3）如图3，已知点，，对于线段上一点，存在的弦，使得弦是点的“关联弦”，若对于每一个点，将其对应的“关联弦”长度的最大值记为，则当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $