第3章 勾股定理 习题课件 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，从定理的探究发现切入，通过夯实四基（基础计算、易错题）巩固核心知识，再以提升四能（综合应用、新考法）和发展素养（新定义题）递进，构建完整学习支架。 其亮点在于分层设计与素养融合，如分类讨论题（第13题）培养推理意识，以形助数题（第14题）强化几何直观，新定义题（第15题）发展创新意识。学生能夯实基础提升能力，教师可高效开展分层教学。

第3章 勾股定理 阶段练习（3.1~3.3） 1 建议用时45分钟 一、选择题（每小题6分，共30分） 1.下列各组数中，是“勾股数”的一组是( ) C A.4，5，6 B.，2， C.6，8，10 D.1， ，2 2 2.在中， ，若，则 ( ) B A.2 B.4 C. D. 3 （第3题） 3.如图，在中， ，， ， 以 为一条边作正方形，则正方形的面积是( ) A A.100 B.80 C.48 D.24 4 4.三角形的三边长分别为，，，都是正整数 ， 则这个三角形是( ) A A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 5 （第5题） 5.如图，正方形 由四个全等的直角三角形 和中间一个小正方形 组成，连接.若,，则 ( ) C A.5 B. C. D.4 6 二、填空题（每小题6分，共30分） 6. 一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形最长边 上的中线长为___. 5 7 7.在中，若，，则 的面积是____. 12 8 8.如图是长为，宽为，高为 的长方体纸箱，这个纸 箱能容纳的木棒最长为_____ . 130 （第8题） 9 9.如图，在中，，，于点，为 上 任意一点，则 ____. 45 （第9题） 10 10. 如图，在中， ，以点 为圆心，适当长 为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点， 为圆心，大 于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线 交 于点.已知，，则 的长为___. 6 （第10题） 11 [解析] 点拨：方法一：如图，过作于 ， 由作图得平分，又 ， ，在 中， ， ，.设 ， 则.又，在 中， ， 12 ，解得 . 方法二：由方法一可知，，设 ，则 ， ， 解得 . 13 三、解答题（每小题10分，共40分） 11. 如图，在中， 于点 ，，， . （1）求 的长； 解：， . 在中，由勾股定理得 .在 中，由勾股定理得 . 14 （2）求证： . 解：证明：， , . 在中，， ， . . ,， . 15 12.如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度 ， 将它往前推送（水平距离 ）时，秋千的踏板离地的垂直高 度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索 的长度. 16 解：设秋千的绳索长为 ， 则 . 易知. ， , . 在中， ， ，解得 . 答：绳索的长度是 . 17 13.在 中. （1）如图①，， ， ，，求 的 面积； 解：， ， . 是直角三角形，且 . . 的面积 18 （2）如图②，，，，求 的面积. 解：过点作交的延长线于点 ， 则 .设，则 .由勾股定理得 ， ， ， 即，解得 . . 的面积 . 19 14. 如图，在中， ， ， ，，是边上的两个动点，其中点从点 开始沿 方向运动，且速度为，点从点开始沿 方向 运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为 . 20 （1）出发时，求 的长； 解：当时，， . ， . 在 中，由勾股定理可得， ， 即出发时，的长为 . 21 （2）当点在边上运动时，出发几秒时， 是等腰三角形？ 解：由题意可知， . 点在上， . ， . 易知当 为等腰三角形时， . ，解得 . 出发时， 是等腰三角形. 22 （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的 的值. 解：在中，由勾股定理可得 ，当点 在上运动时，. 为等腰三 角形， 有，和 三种情况. 23 ①当时，过点作于点 ，则 ， 在中，， . 在中，由勾股定理可得 ，即 ，解得或 （舍去）; 24 ②当时，，解得 ; ③当时， ， ，， ， ，即，解得 . 综上可知，当的值为6.6或6或5.5时， 为等腰三角形. 25 $第3章 勾股定理 3.1 勾股定理的探究 第1课时 勾股定理的发现 1 1.在中，,,的对边长分别为,,，若 ，则下列 等式中错误的是( ) A A. B. C. D. 1 夯实四基 2 （第2题） 2.如图，在中， ， ，则 的值是( ) C A.10 B.34 C.25 D.41 1 夯实四基 3 3.如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为， ， ，且，，则 ____. 12 （第3题） 1 夯实四基 4 4. 如图，在下列横线上填上适当的值： （第4题） ____；____； ___. 10 2.5 9 1 夯实四基 5 5. 若一个长方体的长、宽、高分别为4，3，5，则这个长方体的 对角线长为_____. 1 夯实四基 6 6.若直角三角形两直角边长的比为 ，斜边上的中线长为10，则此直 角三角形的面积为____. 96 1 夯实四基 7 7.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，各点均在网格线的交 点处，则与点的距离为 的点是____. （第7题） 1 夯实四基 8 8. 如图，数轴上的点表示的数是0，点 表示的数是2， ，垂足为，且，以为圆心， 长为半径画弧，交数 轴于点，则点 表示的数为________. 1 夯实四基 9 9.如图，在中， ，， . （1）求 的值； 解：在中， ， ， ， . 1 夯实四基 10 （2）过点作，垂足为，求 的值. 解：， ， . . 在中， . 1 夯实四基 11 （第10题） 10.如图，点在的高上，且 和 都是等腰直角三角形，若， ， 则 的长为( ) D A.17 B.15 C.14 D.13 2 提升四能 12 11.如图，在中，平分，平分，且交 于点，若，则 的值为____. 36 （第11题） 2 提升四能 13 12.在中，，，边上的高，则边 的 长为_______. 21或9 2 提升四能 14 13. 如图，在长方形中，，， 是 直线上的一个动点，若将沿折叠，得到，且， ， 三点在同一条直线上，则此时 ______. 1或9 （第13题） 2 提升四能 15 14. 在中， . （1）如图①，若以 的三边为直径的三个半圆形的面积分别为 ，，，则，， 之间有什么关系？证明你的结论； 2 提升四能 16 解：.证明：由题意可得 ，同理， ，， , ， ， , . 2 提升四能 17 （2）如图②，将图①中面积为的半圆形沿斜边 所在的直线折叠， 折叠后的半圆形恰好经过直角顶点，若， ，请你利用 （1）中的结论求出图②中阴影部分的面积. 解：由（1）可得， ， 在中，， ， ， . 2 提升四能 18 15. 定义：如图，点，把线段分割成， ， 三部分，若以，， 为边的三角形是一个直角三角形，则称 点，是线段 的勾股分割点. 3 发展素养 19 （1）已知点，把线段分割成，，三部分，若 ， ，，则点，是线段 的勾股分割点吗？请说明理由； 解：是.理由：， ， . 以，， 为边的三角形是一个直角三角形. 点，是线段 的勾股分割点. 3 发展素养 20 （2）已知点，是线段的勾股分割点，且 为直角边，若 ，，求 的长. 解：设，则 . ①当为斜边时，依题意得 ，即 ，解得, ； ②当为斜边时，依题意得 ，即 ，解得, . 综上所述，的长为或 . 3 发展素养 21 $第3章 勾股定理 3.1 勾股定理的探究 第2课时 勾股定理的证明 1 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算 经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为 “商高定理”.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( ) C A. B. C. D. 1 夯实四基 2 2. 对勾股定理的一种证法采用了如图所示的方 法，其中两个全等的直角三角形的边, 在同一条直线上，证明中用 到的面积相等关系是( ) B （第2题） A. B. C. D. 1 夯实四基 3 （第3题） 3. 中国古代数学家们对于 勾股定理的发现和证明，在世界数 学史上具有独特的贡献和地位.学习 了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵 爽弦图”，如图①所示，已知他绘制 10 的图①中的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间 的小正方形恰好能拼成如图②所示的长方形，则 的长为____. 1 夯实四基 4 4.用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个 正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为 , ,斜边长为 . 1 夯实四基 5 （1）结合图①，求证： ; 解：证明： , ， ,即 . 1 夯实四基 6 （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙、无重叠地拼接在一起， 得到图形.若该图形的周长为48， ，求该图形的面积. 解：由题意知 该图形的周长为48， . 设,则 . 在中，由勾股定理，得 ,即 ,解得 . 该图形的面积为 . 1 夯实四基 7 5.如图，在中， ，，， 的垂直平 分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接 .求 的长. 1 夯实四基 8 解：是线段 的垂直平分线， ， . ， ， . . 故的长为 . 1 夯实四基 9 6. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的 “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大 正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为， .若小正方形 的面积为5， ，则大正方形的面积为( ) B A.12 B.13 C.14 D.15 2 提升四能 10 7. 我国古代称直角三角形为“勾股形”.如图，数学家刘徽 （约公元225年-公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的 直角三角形.若， ，则此勾股形的面积为____. 30 2 提升四能 11 8.两个全等的直角三角板和直角三角板如图所示放置，顶点 在边上，顶点，重合，连接，.设，交于点 ， ，， ， 请你回答以下问题. 2 提升四能 12 （1）请猜想与 的位置关系，并加以证明； 解： . 证明：由题意，得 ， . ， . . . 2 提升四能 13 （2）请尝试利用此图形证明勾股定理. 解：证明： ， ， ，即 . 2 提升四能 14 9. 在中，，，.若 为直 角，则；若为锐角或钝角，则与 之间有怎样 的大小关系呢？我们一起进行探究吧! 3 发展素养 15 （1）阅读并填空：如图①，若为锐角，则 . 证明：如图②，过点作于点，则 . 在中，，在中， _________ ____， ________________________,即 ，整理， 得 . ，， . 3 发展素养 16 （2）解答问题：如图③，若为钝角，试推导与 的大小关系. 解：如图所示，作，交的延长线于点 ， 则 . 在中， ， 在中， ， . ， 3 发展素养 17 整理，得 . ，， ， . 3 发展素养 $第3章 勾股定理 章末整合练 1 考点1 一个概念——勾股数 1.下列各组数为勾股数的是______（填序号）. ，2，3；，4，7；，12，13；，15，17； ，40，41. ④⑤ 2 考点2 两个定理 定理1 勾股定理 （第2题） 2. 如图，点是线段 上的一点，分别以 ，为边向两侧作正方形.若 ，两个正方 形的面积和，则图中 的面积为 ( ) A A.4 B.6 C.8 D.10 3 （第3题） 3. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定 理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦 图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组 成的.如图，直角三角形的直角边长分别为， ，斜 边长为，若， ，则每个直角三角形 的面积为____. 96 4 4.如图，在中， ，点是上一点， ， 若，，则 ____. 1.4 （第4题） 5 5. 如图，四边形中，于点，， ， 则 ____. 34 （第5题） 6 定理2 勾股定理的逆定理 6.下列各组长度的线段中，可以构成直角三角形的是( ) C A.1，5，6 B.2，3，4 C.1，1， D.1， ，3 7 7.已知的三边长分别为5，12，13，则 的面积为____. 30 8 8.如图，在四边形中， ， ，，，且 . （1）求证： 是直角三角形； 解：证明：在中， ， ， ， .在中， ， ，, 是 直角三角形，且 . 9 （2）求四边形 的面积. 解： . 10 考点3 三种方法 方法1 等积法 9.如图，将直角三角形纸片折叠，恰好使直角顶点落在斜边 的 中点的位置，是折痕，已知，，则 ___. （第9题） 11 方法2 割补法 10.如图，在 的正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1， 则图中正方形 的面积为____. 40 （第10题） 12 方法3 作垂直构造直角三角形 11.如图，在中，，，，则点到 的距 离是____. 12 （第11题） 13 考点4 两个应用 应用1 勾股定理的应用 12. 某隧道的截面是由如图所示 的图形构成的,图形下面是长方形 ,上面是半 圆形,其中， ,隧道设双向 通车道,中间有宽度为 的隔离墩，一辆满载家 具的卡车,宽度为,高度为 ,请计算说明这辆卡车是否能安全通过 这个隧道. 14 解：如图，作于点,在上取一点 ， 使，作于点,交半圆于点 ,交 于点,连接,则易得, ， . 根据题意易得, , . 在中， 易知, . ， 这辆卡车能安全通过这个隧道. 15 应用2 勾股定理的逆定理的应用 13.如图，笔直的河流一侧有一旅游地 ，河边有 两个漂流点，.其中 ，由于某种原因， 由到 的路现在已经不通了，为方便游客，决定 在河边新建一个漂流点（，， 在同一直线 上），并新修一条路，测得，， . 求原路线 的长度. 16 解：在中，， ， ， 是直角三角形， 且. . 设，则 ， 在 中，由勾股定理， 得 ， ，解得 . 故原路线的长度为 . 17 考点5 三种思想 思想1 方程思想 14.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底 端到左墙脚的距离为，顶端距离地面 .如果保持梯子底端位 置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 ，则小巷的宽度为 ____ . 2.2 18 思想2 转化思想 15. 葛藤是一种多年生藤本植物，为获得更多的雨露和阳光， 其茎蔓常绕着附近的树干盘旋而上.如果把树干看成圆柱体，它的底面 周长是，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高 时，这段葛藤的长 最短是____ . 思想3 分类讨论思想 15 19 16.如图，在中， ，， ，动 点从点出发沿射线以的速度运动，设运动的时间为 . （1）求 边的长； 解：在中， . 20 （2）当为直角三角形时，求 的值； 解：由题意知 . ①如图①，当为直角时，点与点重合， ，即 ， ； ②如图②，当 为直角时， ， . 在中， ， 21 在中， ， 即，解得 . 综上所述，当为直角三角形时，或 . 22 （3）当为等腰三角形时，求 的值. 解：①如图③，当 时， ，即， ； ②如图④，当 时， ，即，；③如图⑤，当 时，， ， 在中， ， 即 ，解得 .综上所述，当 为等腰 三角形时，或或 . 23 $第3章 勾股定理 3.3 勾股定理的简单应用 第1课时 勾股定理的实际应用 1 1.某公园里新修建了两座观景塔，观景塔A的高度为 ，观景塔B的高 度为，两座塔之间隔着一条 宽的人工湖，维修工人需要使用绳 索从观景塔A的塔顶滑到观景塔B的塔顶进行设备检修，那么这条绳索 最短（接头处忽略不计）需要( ) D A. B. C. D. 1 夯实四基 2 2.如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长 为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为_____. （第2题） 1 夯实四基 3 3. 如图，货车车高，卸货时后面挡板 折落在地面 处，已知点，，在一条直线上， ，经过测量知 ，则____ . 1.5 （第3题） 1 夯实四基 4 4. 如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖 直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆 在地面的部分有二尺（绳索比木柱长2尺），牵着绳索退行，在距木柱 底部6尺（ 尺）处时绳索用尽，则木柱长为___尺. 8 （第4题） 1 夯实四基 5 5.如图，一个梯子长 ，斜靠在一面墙上，梯子底端 离墙脚 . （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ 解：根据勾股定理，得 ， 这个梯子的顶端距地面的高度为 . 1 夯实四基 6 （2）如果梯子的顶端下滑了 ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 解：由题意得， . 根据勾股定理，得，即 ， . . 即梯子的底端在水平方向滑动了 . 1 夯实四基 7 6.《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一 丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问 水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是 边长为10尺的正方形，一棵芦苇 生长在池塘的中央， 高出水面部分 为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直 的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的 （如图），求芦苇长多少尺. 1 夯实四基 8 解：根据题意可得 （尺）. 设水深尺，则芦苇长 尺， 在中， ， 即，解得 ， ，即芦苇长13尺. 1 夯实四基 9 （第7题） 7.如图，一支长为 的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔 筒的长、宽、高分别为、、 ，那么这支铅 笔露在笔筒外的部分的长度 的范围是( ) B A. B. C. D. 2 提升四能 10 （第8题） 8.《九章算术》是古代东方数学代 表作，书中记载：今有开门去阃 （读 ，门槛的意思）一尺，不 合二寸，问门广几何？题目大意是： 如图①②（图②为图①的平面示意 图），推开双门，双门间隙 为2 101 寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），则 的长是_____寸. 2 提升四能 11 9. 如图，公路和公路在点 处交汇，且 .点处有一栋居民楼， 假设一拖拉机在公路 上沿方向行驶，周围 以内会受到噪声的影响. 2 提升四能 12 （1）该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由； 解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下：如图，作 ，则 ， ， ， .， 该居民楼会受到噪声的影响. 2 提升四能 13 （2）若受影响，已知拖拉机的速度为 ，则居民楼受到影响的 时间有多长？ 解：如图，假设拖拉机到达 处，居民楼开始受到 影响，过处后，居民楼不再受影响，连接, , 则 ， ， ， . . ，.故居民楼受到影响的时间有 . 2 提升四能 14 10.如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆 柱的侧面上，过点， 嵌有一圈长度最短的金属丝. （1）现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ___； A A. B. C. D. （2）金属丝的长为____； 20 3 发展素养 15 （3）如图②，圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为 ，在杯内 壁离杯底的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯 上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁 处所爬 行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 3 发展素养 16 解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点 ， 连接交于点，连接，则 ，易知 为最短路程.作，交的延长线于点 . 外壁处到内壁处所爬行的最短路程为 . 易得, .在 中，由勾股定理得 ,即蚂蚁从 3 发展素养 17 $第3章 勾股定理 3.3 勾股定理的简单应用 第2课时 勾股定理在几何图形中的应用 1 （第1题） 1.如图，以点为圆心， 的长为半径画 弧，交数轴于点，则点 表示的数为 ( ) C A. B. C. D. 1 夯实四基 2 （第2题） 2.如图，在的正方形网格中，点，，，， 是格点，则下列线段长度最长的是( ) C A. B. C. D. 1 夯实四基 3 3. 如图，平分，在上取一点，作 ，已 知，，点是射线上一动点，则 长度的最小值为 ___. 5 （第3题） 1 夯实四基 4 4.如图，中，，，为 的中点， 于点，则 的长是___. （第4题） 1 夯实四基 5 5.在中， ，的垂直平分线分别交，于点， ， 若，，则 的长为_____. 1 夯实四基 6 6.如图，等腰三角形的底边， 是腰 上一点，且， . （1）求证： ； 解：证明：，， ， 且， ， 为直角三角形，且. . 1 夯实四基 7 （2）求 的面积. 解：为等腰三角形，为底边， . 设，则 ， ，. ，即 ，解得， . . 1 夯实四基 8 7.如图，在中，为上一点，，，且 . 记的长为，的长为，当， 变化时，下列代数式的值不变的是 ( ) A A. B. C. D. 2 提升四能 9 8.在中，，，高，则 的周长为 ________. 84或64 2 提升四能 10 9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古 算书《周髀算经》中早有记载.如图①，以直角三角形的各边为边分别 向外作正方形，再把较小的两个正方形按图②的方式放置在最大正方形 内.若, ，则图②中阴影部分的面积为___. 2 2 提升四能 11 10. 如图，中， ， ， ，，，，是直线 上一动点， 把沿所在的直线翻折使点落在直线 上，然后再展开，则 _ _____. 10或 2 提升四能 12 11. 如图，在中， . （1）若是边上的中点，连接 ，求证： ； 解：证明：，是 的中点， ， . . 2 提升四能 13 （2）若是 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明； 若不成立，请说明理由. 解：成立.证明：过点作于点 ， 方法一：， . ， ， .当点在点 左 侧时，， .又 2 提升四能 14 ，.当点在点 右侧时， , . 2 提升四能 方法二：由（1）易知 , . .当点在点 右 侧时，易得, . 当点在点左侧时，易得, . . 2 提升四能 16 12. 定义：在中，，， ，若 ，，满足 ，则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据 以上定义解决下列问题： 3 发展素养 17 （1）如图①所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”， ， ，求 的度数； 解：，，， . 是类勾股三角形， . 是等腰直角三角形，且 . . 3 发展素养 18 （2）如图②所示，在中，，且 ，求证： 为“类勾股三角形”.小明同学想到可以在上找一点 使得 ，再作 ，请你按小明的思路完成证明过程. 解：如图，在上找一点使得，过点 作于点 ， . . ， . 3 发展素养 19 . ， . 在中， ， 在中， ， . 为“类勾股三角形”. 3 发展素养 $第3章 勾股定理 综合与实践 估算旋梯的长度 1 实践 主题 估算旋梯的长度 实践 目标 1.结合圆柱体的特性与螺旋线模型，推导旋梯长度的计算公 式，并改进公式，增强数学建模的灵活性； 2.通过参照物对比、测量与修正，培养学生在实际场景中的数 据分析能力和估算技能； 3.通过小组讨论与成果汇报的形式，培养学生的表达能力. 2 实践 背景 楼梯作为连接两个垂直空间的桥梁，几乎是每个建筑的必备元 素.利用旋转设计的旋梯不仅可以节省建筑内部的使用空间，还 能赋予建筑独特的优雅和艺术感.不同空间中旋梯的形状不同， 如何计算旋梯的长度? _________________________________________________________________________________________________ 续表 3 解决问题 任务#1.1 （第1题） 1.如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高 是、长是、宽是 ，一只蚂蚁沿 台阶从点出发爬到点 ，其爬行的最短路线的长度 是( ) C A. B. C. D. 续表 4 2.如图，圆柱底面圆的周长为，， 分别是上、下底面的直径， 高，用一条无弹性的丝带从至 按如图所示的方式缠绕，则 丝带的最短长度为______ . （第2题） 5 3.如图，圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部的点 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正 好在与点处相对的容器外壁，且距离容器顶部的点 处，则蚂蚁 吃到饭粒需爬行的最短路径的长度是______ . （第3题） 6 4.如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为，， ，一 只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点 ，那么它爬行的最短 路程是____ . 20 （第4题） 7 $第3章 勾股定理 专题训练8 最短路径问题 1 类型1 立体图形中的最短路径问题 1. 如图，一个圆柱的底面周长为，, 分 别是圆柱的下底面和上底面的直径，高为，为 的中点.一 只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 . 2 （1）画出蚂蚁爬行的最短路线示意图； 解：如图，圆柱的半个侧面的展开图为长方形，连接 ，蚂蚁爬 行的最短路线即线段 . 3 （2）求出蚂蚁爬行的最短路程. 解：由题意，得展开图中 ， ， . 在 中，由勾股定理，得 . 答：蚂蚁爬行的最短路程为 . 4 2. 如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点 处，食物在这个 长方体和蚂蚁相对的顶点 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的 表面向上爬，请你计算出它从处爬到 处的最短路线长为多少. 5 解：①把长方体的前面和右面展开，连接 ，如图①所示， 此时 . ②把长方体的前面和上面展开，连接 ，如图②所示，此时 . 6 ③易得把长方体的左面和上面展开时计算结果同②. ， 它从处爬到处的最短路线长为 . 3.如图，在一个长，宽 的长方形草地上放着一块长 方体木块，已知该木块的较长棱和草地宽 平行且相等，横截面是边 长为的正方形，一只蚂蚁从点处，爬过木块到达点 处需要走的 最短路程是多少米？ 8 解：如图，将木块的左面、上面、右面展开，连接 ，易得最短路程为 的长. 展开图中，. 四 边形为长方形， , . 最短路程是 . 9 4.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、 高分别为，和，和 是这个 台阶的两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到 点处去吃可口的食物，求它所走的最短路线长. 解：如图，把台阶的前面和上面展开，连接 ，则 ， 在中， . 所以最短路线长为 . 10 类型2 将军饮马问题 5. 如图，，两个村庄在河 的同侧，两村庄的距离为 ，，它们到河的距离分别是和 .为了解决这两 个村庄的饮水问题，乡政府决定在河边上修建一水厂向， 两村输 送水. 11 （1）在图上作出向，两村铺设水管所用材料最省的水厂位置 ； （只需作图，不需要证明） 解：如图，作点关于直线的对称点，连接，交于点 ，则 点 即为所求. 12 （2）经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3 万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多 少万元. 13 解：如图，记交于点，过点作 ， 交的延长线于点，连接 .由题意可知 ，， . ， . 在中， . 在中， . 由对称性质可知 ， 水管长为 完成这项工程乡 政府投入的资金至少为 （万元）. 14 6. 15 （1）【探究】如图①，点,为的边, 上的两定点，在边 上求作一点,使 的周长最短. 解：如图①所示，作点关于直线的对称点 ,连接 ,交于点,连接，,则 ，易知此 时的周长最短， 点 即为所求. 16 （2）【应用】如图②,在长方形中，，，点, 分 别为边,的中点，点,分别为边, 上的动点，求四边形 的周长的最小值. 17 解：如图②所示，作点关于直线的对称点 , 作点关于直线的对称点,连接，交 于 点,交于点,连接,,则 ， 此时四边形的周长最小，为的长. , ,点 ,分别为边,的中点， 易得, , ， 在中，由勾股定理得 四 边形的周长的最小值为 . , , 18 （3）【拓展】如图③,在中，, ，点 在边 上，,，点是边上的动点，试求 的最小值. 解：如图③,过点作于点,延长到点 ,使 ,则是关于直线的对称点，连接 ,交 于点,连接.此时 ， 值最小.,,.连接 ,易知 , , , 在中，由勾股定理得, 的最小值为5. 19 $第3章 勾股定理 3.2 勾股定理的逆定理 1 1. 下列四组数中，是勾股数的是( ) C A.，， B.，， C.3，4，5 D.,, 1 夯实四基 2 2. 在中，，，所对的边分别是，， ，由下 列条件不能判定 为直角三角形的是( ) B A. B. C. D.,, 1 夯实四基 3 3.若一个三角形的三边长，，满足 ，则这个三 角形是______三角形. 直角 1 夯实四基 4 4.如图，中，，，，是 边上的中 线.则 ____. 6.5 （第4题） 1 夯实四基 5 5.如图，已知 ，，， ，则 _____. （第5题） 1 夯实四基 6 6.如图，在中，，，， . （1）求 的长； 解：， . 在中，， ， . 1 夯实四基 7 （2）求证： . 解：证明：， ， . 在中， ， ， . 是直角三角形，且. . 1 夯实四基 8 7.如图，在 的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，四边形 的顶点都在格点上. 1 夯实四基 9 （1） 是不是直角？请说明理由； 解： 是直角.理由如下： 如图，连接 . ， ， ， . 是直角. 1 夯实四基 10 （2）求四边形 的面积. 解：如图， . 1 夯实四基 11 （第8题） 8. 如图，在正方形网格中，每个小 正方形的边长都是1，点，，，， 均在小正方形 网格的格点上，线段，交于点，若 ， 则 等于( ) C A. B. C. D. 2 提升四能 12 （第9题） 9.如图，已知在四边形中， ， ， ，， ， 则这个四边形的面积为( ) A A.96 B.78 C.108 D.120 2 提升四能 13 10. 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正 整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算 术》.现有勾股数，，，其中，均小于， ， ，是大于1的奇数，则___（用含 的式子表示）. 2 提升四能 14 11.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点， ， 且 . 2 提升四能 15 （1）求证： ； 解：证明：如图，连接的垂直平分线分别交,于点 , ， . ， . 是直角三角形，且 . 2 提升四能 16 （2）若,，求 的长. 解：,，且， , . . . 由（1）知 ， . 2 提升四能 17 12. 在中，, ，点 为 内一点，将绕点顺时针旋转 得到，连接，， . 3 发展素养 18 （1）如图①，当 ，，，时，求 的度数； 解：如图①，连接 ，由旋转得 ， ， ，即 . 又， . ， . 3 发展素养 19 ，， 是等边三角形. ， . ， 是直角三 角形，且. . 3 发展素养 （2）如图②，当 ，,，时，求 的度数. 解：如图②，连接 ，由旋转得 ， ， ， 即 . 又 ， . 3 发展素养 21 ， . ， ， ，易得 . ， . 是直角三角形，且 . . 3 发展素养 $第3章 勾股定理 专题训练7 折叠中的勾股定理 1 类型1 三角形折叠 1. 如图，在直角三角形纸片中， , ， ，折叠纸片使边落在边上，点落在点处，折痕为 . （1） 的长是____； 10 2 （2）求 的长. 解：方法一：由折叠的性质可知， , , ,.设，则 , , .在 中，由勾股定理得,即 ,解得 的长是3. 方法二：由方法一可知.设,则, . , , 解得 的长是3. 3 2.如图，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点 处，折痕 为.已知， . （1）猜想 的度数，并说明理由； 4 解：的度数为 .理由如下： , . 由折叠的性质可知， ， ， , , , , 的度数为 . 5 （2）若，，求 的长. 解：，， . 由折叠的性质可知， ， 设，则 ， 在中，由勾股定理得， ， 即 ， 解得，的长为 . 6 类型2 长方形折叠 3.如图，将长方形沿直线折叠，使点 落 在点处，交于点,, . （1）求证： ； 解：证明： 四边形 为长方形， , .由折叠的性质得， , ,,.又 , 7 （2）求 的面积. 解：由折叠的性质得， 四边形 是长方形， ,.设 , 则,.在中，由勾股定理得 , 即,解得 , . 8 4.在长方形中， , , . （1）如图①,为上一点，将沿直线折叠至 的位置， 其中点是点的对称点，当点落在边上时， 的长为___； 3 9 （2）如图②,是射线上的一个动点，将沿 折叠，其中点 的对称点为点,当,,三点在同一直线上时，请求出 的长. 10 解：如图①,当点在线段上时. 四边 形是长方形， , .由折叠的性质得, , . 如图②,当点在线段 的延长线上时，同理可证 , , , . 综上所述， 的长为2或8. , , 11 类型3 正方形折叠 5.如图，正方形的边长是6，点是上一点，，点 是 上一动点，连接，将沿折叠，使点落在 处，连接 ，则 的最小值是____. 6.5 12 6.如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点 处，点落在点处，折痕为 ． 13 （1）求线段 的长； 解：设的长度为 ． 由题意，得 , ， . 在 中，根据勾股定理得 ，解得 . 线段的长为 . 14 （2）求线段 的长． 解：如图，连接，设的长度为 . 由题意，得, , ,， . 在中，根据勾股定理得 . 在 中，根据勾股定理得 解得线段的长为 . ， 15 $