第2章 实数的初步认识 习题课件 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“算术平方根”核心知识点，从概念辨析（如√16的意义）切入，通过“夯实四基”的选择、填空、计算题，到“提升四能”的变式应用，再到“发展素养”的新定义探究，构建从具体到抽象的学习支架，衔接实数初步认识的后续内容。 其亮点在于融合基础巩固与能力提升，通过中考真题（如正方形面积求边长）、规律探究（小数点移动规律）和新定义“完美组合数”，培养学生的运算能力、推理意识和创新意识。采用分层训练，学生能逐步深化理解，教师可借助多样化题型提升教学效果。

第2章 实数的初步认识 2.1 平方根 第2课时 平方根 1 1. 16的平方根是( ) D A.2 B. C.4 D. 1 夯实四基 2 2.下列各数中，没有平方根的是( ) A A. B. C. D. 1 夯实四基 3 3.若方程的解分别为，，且 ，下列说法正确的是 ( ) C A.是5的平方根 B. 是5的平方根 C.是5的算术平方根 D. 是5的算术平方根 1 夯实四基 4 4.若是 的一个平方根，则( ) B A. B. C. D. 1 夯实四基 5 5.（1）25的平方根是____； （2）5的平方根是______； （3）0的平方根是___； （4） 的平方根是____. 0 1 夯实四基 6 6.比较大小：（填“ ”“ ”或“ ”） （1） ___3； （2）___ ； （3） ___2.5； （4）___ . 1 夯实四基 7 7.如果某个数的一个平方根是 ，那么这个数为____. 36 1 夯实四基 8 8.（1）当_ _____时， 有平方根； （2）若的平方根只有一个，则 ____. 1 夯实四基 9 9. 求下列各数的平方根： （1）0.64； 解：， 是0.64的平方根； （2） ； 解：，是 的平方根； （3） ； 解：，，是 的平方根； 1 夯实四基 10 （4） . 解：， ， 是 的平方根. 1 夯实四基 11 10. 求下列各式中 的值： （1） ； 解：由题意得， ； （2） ; 解：由题意得 ， ，或 ； （3） ； 解：由题意得， ； 1 夯实四基 12 （4） . 解：由题意得 ， ，或 . 1 夯实四基 13 11.下列结论中正确的是( ) B A. B.是 的算术平方根 C.一定没有平方根 D.的算术平方根是 2 提升四能 14 12.若，则 的值为( ) C A.7 B. C. D. 2 提升四能 15 13.正数的两个平方根是方程的一组解，则 ___. 4 2 提升四能 16 14.已知数3，27，加入数 ，使这三个数中，有一个数为另外两个数的 乘积的一个平方根，则 的值可以是____________.（写出所有可能的值） 或243或 2 提升四能 17 15.若一个正数的两个平方根之差为 ，则这个正数是_ __. （用含 的式子表示） 2 提升四能 18 16.已知正数的平方根是和 . （1）当时，求 的值； 解：正数的平方根是和， . ,, . （2）若，求 的值. 解：为正数， 可整理为 正数的平方根是和 ， ,,代入 ,可得 , .又, . 2 提升四能 19 17. 阅读理解：如果一个数的平方等于，记为 ，这个 数叫作虚数单位，把形如的数叫作复数，其中 叫作这个复数的 实部， 叫作这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、 乘法运算类似. 例如： ； . 3 发展素养 20 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：____， ___； 1 （2）计算： ； 解： . （3）计算： . 解： . 3 发展素养 21 $第2章 实数的初步认识 阶段练习（21~2.4） 1 建议用时45分钟 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.0.16的平方根是( ) A A. B.0.4 C. D.0.8 2 2. 由四舍五入法得到的近似数0.35精确到( ) B A.十分位 B.百分位 C.千分位 D.万分位 3 3.在实数：，， （相邻两个1之间依次 多1个0），， ， 中，无理数有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4 4.下列各式中运算正确的是( ) C A. B. C. D. 5 5.如图，已知正方形的对角线长为，点 在数轴上，且表 示的数为.现以点为圆心， 的长为半径画弧，所得弧和数轴交于 点（点在点的右侧），则点 表示的数为( ) A A. B.1.2 C. D. 6 二、填空题（每小题5分，共25分） 6.请你写出一个无理数，使得，则 为__________________. （答案不唯一） 7 7.若的整数部分是，的小数部分是，则 的值为________. 8 8.比较大小：___（填“ ”“ ”或“ ”）. 9 9.若，为实数，且，则 ____. 10 10.定义：对于实数，我们规定：表示不小于 的最小整数，例如 ，.若，则 的取值范围为____________. 11 三、解答题（每小题10分，共50分） 11. 计算： （1） ； 解：原式 ； （2） . 解：原式 . 12 12.求下列各式中 的值： （1） ； 解：， ， ，或 ； （2） . 解：， ， ， . 13 13. 已知和是某个正数的两个平方根， 的 立方根为2，是 的整数部分. （1）求 的值； 解：和是某个正数 的两个平方根， ，解得 ， ， . 14 （2）求 的平方根. 解：的立方根为2，，解得 ， 是的整数部分，的整数部分是3， ， ， 的平方 根是 . 15 14.【综合与实践】如图，把两个面积均为 的小正方形纸片分别 沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片. （1）大正方形纸片的边长为___ ； 6 16 （2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁 剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为 ？若能，求裁 剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由. 解：能裁剪出符合要求的长方形纸片. 长方形纸片的长、宽之比为 ，设长方形纸片的长和宽分别是，， ， ，，，长方形纸片的长是 ，宽是 .， 能裁剪出符合要求的长方形纸片，长方形纸片的 长和宽分别为， . 17 15. 给出如下定义：若点的坐标， 满足 ，则称这个点为“秀点”,如： ，故点 是“秀点”. （1）点，点，点 中，是“秀点”的是________； 点 （2）若点是“秀点”，求 的值； 解： 点是“秀点”， . ，解得 . 18 （3）是否存在点，使点 是“秀点”，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 解：存在. 点 是“秀点”， ，整理得 ， 或 . 当时， ； 当时， . 综上所述，的值为0或 . 19 $第2章 实数的初步认识 专题训练5 算术平方根双重非负性的 应用 1 类型1 中被开方数 的应用 1.已知是整数，则非零整数 的最小值为___. 3 2 2.若整数满足，则使为整数的 的值是_______. 或3 3 3.已知，求 的平方根. 解：由题意得，，解得，， ， ， . 的平方根是，的平方根是 . 4 4.已知有理数满足，求 的值. 解：依题意得，则， . 又 ， ， ， ， . 5 类型2 的应用 5.（1）当_ ___时， 有最小值，最小值是___； （2）代数式 的最大值是___. 6 3 6 6.已知与互为相反数，求 的平方根. 解：与互为相反数， ， ，，， ，解得 ，，的平方根为， 的平 方根为 . 7 7.若，求 的值. 解：，， ， ，，， ， . 8 8.若实数，， 满足关系式： ， 试确定 的值. 解：由被开方数的非负性可得即 原式可化为 .由 算术平方根的非负性得结合 ,可得 . 9 $第2章 实数的初步认识 2.3 实数 第1课时 无理数 1 1.下列实数，，，， 中，无理数有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 夯实四基 2 2. 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发 现了一个新数——无理数 .他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨 大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”.请估计 的值在 ( ) A A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 1 夯实四基 3 3.已知， ，，则，， 的大小关系是( ) C A. B. C. D. 1 夯实四基 4 4.下列结论中正确的是( ) B A.无限小数是无理数 B.无限不循环小数是无理数 C.有理数就是有限小数 D.无理数就是开方开不尽的数 1 夯实四基 5 5.请你写出一个无理数，使得，则 为_ _________________. （答案不唯一） 1 夯实四基 6 6.（1） 是________; （2）有理数有理数 ________； （3）有理数无理数 ________.（填“无理数”或“有理数”） 无理数 有理数 无理数 1 夯实四基 7 7.已知为整数，且，则 等于___. 5 1 夯实四基 8 8.比较大小：（填“ ”“ ”或“ ”） （1）___ ； （2） ___3； （3）1___ ； （4）___ . 1 夯实四基 9 9.若的平方根是，的立方根为，是 的整数部分，求 的值. 解：的平方根是 ， ，解得 . 的立方根为，， . ， ， 的整数部分 . . 1 夯实四基 10 10.满足的整数 的值可能是( ) A A.3 B.2 C.1 D.0 2 提升四能 11 11.正整数，分别满足，，则 ( ) A A.16 B.9 C.8 D.4 2 提升四能 12 12. 若为正整数，且满足，则 ___. 5 2 提升四能 13 13. 因为，即，所以 的整数部分 为1，小数部分为，类比以上推理， 的小数部分为_________. 2 提升四能 14 14. 我们用表示不大于的最大整数，如： ， ， . （1） ___； （2）若，则 的取值范围是__________. 1 2 提升四能 15 15.仿照课本中“证明是无理数”的方法求证： 是无理数. 证明：假设是有理数，那么它可以表示成与 是互质的两个正整 数.于是 ， 所以.于是是3的倍数，所以 也是3的倍数， 从而可设，所以，即，于是可得 也是3 的倍数. 这与“与是互质的两个正整数”相矛盾.从而可知“ 是有理数”的假设 不成立，所以 是无理数. 2 提升四能 16 16. 新定义：若无理数为正整数 的被开方数满足 （其中为正整数），则称无理数 的“青一区间”为 ；同理规定无理数的“青一区间”为 .例如： 因为，所以的“青一区间”为， 的“青一区间”为 ，请回答下列问题： 3 发展素养 17 （1）的“青一区间”为______； 的“青一区间”为_________； [解析] 点拨： ， 的“青一区间”为 . ，的“青一区间”为 . 3 发展素养 18 （2）实数，满足关系式： ，求 的“青一区间”. 解： ， ， 即 ， ,,，， . ，的“青一区间”为 . 3 发展素养 19 $第2章 实数的初步认识 章末整合练 1 考点1 三个概念 概念1 算术平方根与平方根 1.（1）6的算术平方根是____； （2） 的平方根是____. 2 2.下列计算正确的是( ) A A. B. C. D. 3 概念2 立方根 3. 的立方根是____. 4 4.已知的平方根是，的立方根是2，求 的值. 解：由题意得, ， ， ， . 5 概念3 实数 5.下列四个数中，属于有理数的是( ) A A. B. C. D. 6 6.在下列各数：， ，，，，， （每相邻两个1之间依次多一个0）， 中，其中无理数有___个. 4 7 考点2 一个关系——实数与数轴的关系 7.将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是 ），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“ ”， 则 的值为________. 8 考点3 两个性质 性质1 算术平方根、平方根和立方根的性质 8.若一个正数的两个不同的平方根分别为与 ，则这个正数 为( ) A A.9 B.8 C.3 D.1 9 9.如果，那么 的算术平方根为____. 10 10. 我们知道时，也成立，若将看成 的立方根，看成 的立方根，我们可以得出这样的结论：若两个数的 立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数. （1）试举一个例子来验证上述结论； 解：（答案不唯一），， ， ， 结论成立. （2）若与互为相反数，求 的值. 解：由结论知， ， 解得， . 11 性质2 实数的性质 11.下列各组数中互为相反数的是( ) A A.与 B.与 C.与 D.2与 12 12. 的绝对值是________. 13 考点4 一种运算——实数的运算 13.下列整数中，与 最接近的是( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 14 14.若，其中和都是正整数，则 的值是___. 4 15 15.计算： （1） ； 解：原式 ； （2） ； 解：原式 ； （3） ； 解：原式 ； 16 （4） . 解：原式 . 17 考点5 一个技巧——比较实数大小的技巧 16. 试比较与 的大小. 解：， ， . 18 考点6 两种思想 思想1 数形结合思想 17. 图①是一个4阶魔 方，由完全相同的64个棱长为1的小 正方体组成. （1）已知图①中的四边形 是 一个正方形，求该正方形的面积； 解：该正方形的面积为 . 19 （2）如果把正方形放在数轴上，如图②，使得点 与表示1的点 重合，那么点 在数轴上表示的数为_________，这个数的相反数是 _________. 20 思想2 分类讨论思想 18.比较,, 的大小. 解：易知 .分情况讨论： 当时, ； 当时， ; 当时， . 21 $第2章 实数的初步认识 专题训练6 比较实数大小的常用方法 1 方法1 直接比较法 1.在， ，0，2这四个数中，最大的数是( ) A A.2 B.0 C. D. 2 2.比较大小：-___（填“ ”“ ”或“ ”）. 3 方法2 数轴比较法 3.先将下列各实数在如图所示的数轴上标出大致位置，再用“ ”把它们 连接起来. ，，0， ，， . 解：如图所示： 用“ ”把它们连接起来为 . 4 方法3 平方比较法 4.比较2，， 的大小，正确的是( ) A A. B. C. D. 5 5.比较大小：___，___.（填“ ”“ ”或“ ”） 6 方法4 作差比较法 6.比较大小：___4，___.（填“ ”“ ”或“ ”） 7 7.比较与 的大小. 解： ， . 8 方法5 作商比较法 8.用“ ”或“ ”填空：-___ . 9 方法6 取近似值比较法 9.比较大小：- ___.（填“ ”“ ”或“ ”） 10 方法7 放缩比较法 10.比较大小：___3.75.（填“ ”“ ”或“ ”） 11 方法8 特殊值比较法 11.若 ，则下列四个不等式中正确的是( ) A A. B. C. D. 12 $第2章 实数的初步认识 2.4 近似值 1 1.下列各个数属于准确数的是( ) A A.我国目前共有34个省级行政单位 B.半径为的圆的周长是 C.一只没洗干净的手，约带有各种细菌40万个 D.据第七次全国人口普查数据，上海市常住人口达到了 万人 1 夯实四基 2 2.用四舍五入法按要求对 分别取近似值，其中错误的是( ) A A.（精确到） B. （精确到百分位） C.（精确到十分位） D.（精确到 ） 1 夯实四基 3 3.黄金分割比是 ，将这个分割比用四舍五入法 精确到百分位的近似数是_____. 0.62 1 夯实四基 4 4. 我国台湾岛的面积约为3.58万平方千米，近似数3.58 万精确到____位. 百 1 夯实四基 5 5.小亮的体重为，精确到得到的近似值为_____ . 49.7 1 夯实四基 6 6. 已知向月球发射无线电波，无线电波传播到月 球并返回地面需要，且无线电波每秒传播 ，则地球与 月球之间的距离约为__________ .（精确到万位） 1 夯实四基 7 7. 按括号里的要求对下列各数取近似值. （1）（精确到 ）； 解： ； （2）（精确到 ）； 解： ； （3） （精确到百位）； 解： ； 1 夯实四基 8 （4）（精确到 ）. 解： . 1 夯实四基 9 8. 用计算器求下列各式的近似值（结果精确到 ）. （1） ； 解： ； （2） ； 解： ； 1 夯实四基 10 （3） ； 解： ； （4） . 解： . 1 夯实四基 11 9.如果数的近似值为，那么 的真实值的范围是( ) B A. B. C. D. 2 提升四能 12 10.用四舍五入法得到的近似数，，那么， 的关系是 ( ) D A. B. C. D.以上情况都有可能 2 提升四能 13 11.10位裁判给一位运动员打分,每个人给的分数都是整数,去掉一个最高 分,再去掉一个最低分,其余得分的平均数为该运动员的得分.若用四舍五 入取近似值的方法精确到十分位,该运动员得9.4分,如果精确到百分位,该 运动员得分应当是_____分. 9.38 2 提升四能 14 12.车间工人小王加工生产了两根轴,当他把轴交给质检员验收时,质检员 说:“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到 ，我加 工生产的一根长为，另一根长为 ，怎么不合格？”请你利 用所学的知识解释这两根轴不合格的原因. 解：由图纸要求精确到可知轴长需精确到， 车间工人加 工完的轴长满足的条件应该是 . 轴长为与 的两根轴不合格. 2 提升四能 15 13.一个四位数先四舍五入到十位，所得的数为，再将 四舍五入到百 位，所得的数为，再将四舍五入到千位，所得的数恰好为 . （1）数 的最大值和最小值分别是多少？ 解：根据题意和四舍五入法的原则可知，数的最大值为 ，最小值 为2445. 2 提升四能 16 （2）将数 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来.（精确到千位） 解：最大值为，最小值为 ， . 2 提升四能 17 14. 下面是小李探索 的近似值的过程： 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知 ，因此可设 ，可画出如图所示的示意图.由图可知 ，且由题意知 ，所以 略去,得方程，解得 ,所以 . 仿照上述方法，探究 的近似值.（画出示意图，标明数据， 并写出求解过程） 3 发展素养 18 解：面积是5的正方形的边长是，易知 ， 因此可设 ，如图，将面积为5的正方形分成2 个小正方形和2个长方形. ， ， .略去,得方程,解得 . . 3 发展素养 19 $第2章 实数的初步认识 综合与实践估计圆周率 的范围 1 实践主题 计算圆周率的近似值 实践目标 1.通过恰好能“包住”圆的正多边形及其内接正多边形的周 长，估算圆周率 的范围，逐步逼近其真实值，体会“夹 逼”与极限思想； 2.通过查询资料，了解圆周率的其他计算方法及应用，开阔 视野，培养自主学习能力. 2 实践主题 计算圆周率的近似值 实践背景 圆周率 认识的里程碑： 1.约公元前1650年，莱因德纸草书中取 ; 2.约公元前240年，阿基米德（前 前212）算得 ; 3.刘徽（约 约295）用更简便、科学的方法求出了 ; 续表 3 实践主题 计算圆周率的近似值 实践背景 4.祖冲之将 精确到小数点后七位： ; 5.数学家朗伯 证明圆周率不能精确表示为有 限小数或循环小数. 从圆周率的出现，到确认它是无理数，人类花了三千多年 的时间. 续表 4 实践主题 计算圆周率的近似值 解决问题 任务1 下列关于圆周率 的近似值正确的是( ) B A.精确到个位为3.0 B.精确到千分位为3.142 C.精确到百分位为3.141 D.精确到十分位为3.14 续表 5 任务2 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提 到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少.割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术” 孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近 3 似值为.如图， 的半径为1，运用“割圆术”，用圆内接正六 边形的面积近似估计的面积，可得 的估计值为 ，若用圆内接正十二边形进行近似估计， 可得 的估计值为___. 6 任务3 数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率” 与“密率” ，它们可用“调日法”得到：称小于 的近似值为弱率，大 于的近似值为强率，由 ，取3为弱率，4为强率， 得，故为强率，与上一次的弱率3计算得到 ， 故为强率，继续计算， ，若某次得到的近似值为强率，则与上一次 的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，则与上 一次的强率继续计算得到新的近似值，依次类推，___；若 ， 则 ___. 8 7 $第2章 实数的初步认识 2.1 平方根 第1课时 算术平方根 1 1. 表示( ) B A.16的 B.16的算术平方根 C. D. 1 夯实四基 2 2. 下列各式计算正确的是( ) B A. B. C. D. 1 夯实四基 3 3.下列各数中，算术平方根不是整数的是( ) C A.1 B.4 C.5 D.9 1 夯实四基 4 4. 已知一个正方形的面积为2，则其边长为____. 1 夯实四基 5 5. 已知，则 ___. 1 1 夯实四基 6 6.填表： 原数 __ __ ____ _____ ______ 算术平方根 6 _ __ 0.8 ___ ____ _ _ 36 15 0.64 1 1 夯实四基 7 7.（1）请写出一个正整数的值使得是整数： _____________ _____； （2）若为整数，为正整数，则 的值为_________. 2（答案不唯 一） 3或6或7 1 夯实四基 8 8. 求下列各数的算术平方根. （1）121； 解：121的算术平方根是11； （2）1.69； 解：1.69的算术平方根是1.3； （3） ； 解：的算术平方根是 ； 1 夯实四基 9 （4） ； 解：，它的算术平方根是 ； （5） ； 解：，它的算术平方根是 ； （6） . 解： ，它的算术平方根是0.3. 1 夯实四基 10 9. 求下列各式的值. （1） ； 解：原式 ; （2） ； 解：原式 ; （3） ； 解：原式 ; 1 夯实四基 11 （4） . 解：原式 . 1 夯实四基 12 10.一个自然数的算术平方根为 ，则与这个自然数相邻的下一个自然数 是( ) B A. B. C. D. 2 提升四能 13 11.已知 是二元一次方程组的解，则 的算 术平方根是( ) B A.4 B.2 C. D. 2 提升四能 14 12.若，为有理数，且，则 的值为 ___. 1 2 提升四能 15 13.观察表格，然后回答问题： … 0.01 1 100 10 000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … （1）根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将规律用文字表达 出来. 解：被开方数的小数点向左（或向右）移动（ 为正整数）位，算术 平方根的小数点就向左（或向右）移动 位. 2 提升四能 16 （2）利用你发现的规律解决下面两个问题： ①已知，则 _____（保留一位小数）; 31.6 ②已知，若，求的值（用含 的代数式表 示）. [答案] 因为 ， 所以 . 又因为 ， 所以 . 2 提升四能 17 14. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相 等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完 美组合数”.例如：，，这三个数， ， ， ，其结果6，3，2都是整数，所 以，， 这三个数称为“完美组合数”. 3 发展素养 18 （1），， 这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由. 解：，， 这三个数是“完美组合数”.理由如下： ， ， ， 其结果12，6，4都是整数， ，， 这三个数是“完美组合数”. 3 发展素养 19 （2）若三个数，， 是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算 术平方根为12，求 的值. 解： ， 分两种情况讨论： ①当时， ， ，此时 ,符合题意； ②当时， ， （不符合题意，舍去）. 综上，的值是 . 3 发展素养 20 $第2章 实数的初步认识 2.2 立方根 1 1. 的立方根是( ) A A. B.2 C. D.不存在 1 夯实四基 2 2.下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 1 夯实四基 3 3.下列说法正确的是( ) C A.的立方根是 B.的平方根是 C.11的算术平方根是 D.的立方根是 1 夯实四基 4 4.的立方根是___;的立方根是3，则 的值是____. 2 10 1 夯实四基 5 5.立方根为它本身的数有_______. 和0 1 夯实四基 6 6.半径为的球的体积是，若一个球的体积是 ，则这个球 的半径是___ . 3 1 夯实四基 7 7. 求下列各数的立方根： （1）125； 解：125的立方根是 ，即5; （2） ； 解：的立方根是，即 ; （3） ； 解：的立方根是，即 ； 1 夯实四基 8 （4） . 解：的立方根是,即 . 1 夯实四基 9 8. 求下列各式中 的值： （1） ； 解：，，， ； （2） ； 解：，，， ； （3） ； 解：， ， ， ； 1 夯实四基 10 （4） . 解：， ， ，， . 1 夯实四基 11 9.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的整数为 时，输出 的 值是( ) A A. B. C. D.2 2 提升四能 12 10.如果，那么 ____. 2 提升四能 13 11.若将一个棱长为的立方体体积减少 ，且形状不变，则 棱长应减少__________________（用含 的代数式表示），若 ，则棱长应减少___ . 5 2 提升四能 14 12.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有 共8个基本数字.八进 制数3 752换算成十进制数是 ，若一个进制数 ，换 算成十进制数是707，则 的值为___. 7 2 提升四能 15 13.计算： （1） ； 解：原式 ； （2） . 解：原式 . 2 提升四能 16 14.已知的平方根是， 的立方根是3. （1）求 的平方根； 解：由题意，得，，解得， . 的平方根是 . （2）若的算术平方根是4，求 的立方根. 解：由题意，得，即，解得 . . 的立方根是 . 2 提升四能 17 15. 据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到他的 助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是 ，求它的立方根.华 罗庚立即将答案脱口而出，他的助手十分惊奇，忙问计算的奥妙.你知 道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 3 发展素养 18 （1）【发现与思考】 ，, , 是两位数. 的个位数字是9, 的个位数字是___. ，, 的十位数字是___. ____. 9 3 39 3 发展素养 19 （2）【运用并解决】 请类比上述的发现与思考，推理求出110 592的立方根. 解：， , , 是两位数. 的个位数字是2, 的个位数字是8. 3 发展素养 20 , ， 的十位数字是4. . 3 发展素养 21 $第2章 实数的初步认识 2.3 实数 第2课时 实数及其分类 1 1. 如图，数轴上点 表示的数可能是( ) （第1题） C A. B. C. D. 1 夯实四基 2 2. 下列各数中，属于有理数的是( ) D A. B. C. D.0 1 夯实四基 3 3. 实数， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正 确的是( ) （第3题） C A. B. C. D. 1 夯实四基 4 4.如图，将数，， 表示在数轴上，其中被墨迹覆盖的数是 ____. （第4题） 1 夯实四基 5 5. 把下列各实数填在相应的大括号内： ， ，，，0，，，，，， ， （相邻两个1之间依次多1个 ）. 整数{__________________…}； 分数{_ _______________…}； 正有理数{_ ___…}； 无理数{_______________________________________________________ _______________________________ …}. ，0，， , , ，，，，， （相邻两个1之间依次多1个0）， 1 夯实四基 6 6. 仔细观察下列各数，回答问题：-，0，， ， ， . （1）在如图所示的数轴上标出上述各数中的非负数（数写在数轴上方， 无理数标出大致位置），并把它们用“ ”连接； 1 夯实四基 7 解：属于非负数的有0，，， ， 在数轴上表示如图. . 1 夯实四基 8 （2）上述各数中介于与 之间的数有_ ______________. ， 1 夯实四基 9 7.已知边长为3的正方形的对角线的长为 ，请用直尺与圆规在如图所 示的数轴上画出表示 的点（不写作法，但要保留作图痕迹）. 解：如图所示. 1 夯实四基 10 8.如图①,将两个 的长方形分别沿对角线剪开，得到四个全等的直 角三角形，它们与一个 的正方形可以拼成一个大正方形，如图②， 以原点为圆心，以的长方形的对角线 长为半径作弧，与数轴相 交于点.若点表示的数为 ，则下列说法正确的是( ) B A. B. C. D.无法确定 2 提升四能 11 9.如图，数轴上表示1，的点分别为，，且，则点 所表 示的数是________. （第9题） 2 提升四能 12 10.如图，半径为的圆周上有一点落在数轴上表示 的点处，圆在数 轴上向右滚动一周后点所处的位置在连续整数，之间，则 ___. 3 （第10题） 2 提升四能 13 11.在，，， ，这50个数中，有理数的个数为 ，无理数 的个数为，则 _____. 2 提升四能 14 12. 定义：已知，都是实数，若，则称与 是关于3的“实验数”. （1）4与____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则 是 ________，表示 的值的点落在如图所示的数轴上的位置位于____； ④ 2 提升四能 15 [解析] 点拨：，与是关于3的“实验数”.与 是 关于3的“实验数”，，. ， ，，即 ， 表示 的值的点落在数轴上的位置位于④. 2 提升四能 16 （2）若，判断与 是不是关于3的“实验数”，并说 明理由. 解：与 是关于3的“实验数”，理由如下： ， 与 是关于3的“实验数”. 2 提升四能 17 13.如图，细心观察，认真分析各式，然后解答 下列问题： ，； ， ；， ；… （1） 的长为_____； （2）请用含是正整数的式子表示和 ； 解：, . 3 发展素养 18 （3）求 的值. 解： . 3 发展素养 19 $第2章 实数的初步认识 2.3 实数 第3课时 实数的运算 1 1. 的相反数是( ) B A. B. C. D. 1 夯实四基 2 2.在用计算器求45的算术平方根时，需要用到的按键是( ) B A. B. C. D. 1 夯实四基 3 3.下列各组数中相等的是( ) C A.与 B.与 C.与 D.与 1 夯实四基 4 4.下列各组数中，互为相反数的一组是( ) B A.与 B.与 C.与 D.3与 1 夯实四基 5 5.（1）若实数的倒数是，则 的相反数为______； （2） 的相反数是_________，绝对值是_________; （3）的相反数与 的平方根的和是________________. 或 1 夯实四基 6 6. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，祖冲之给 出圆周率的一种分数形式的近似值为.比较大小：___ （填“ ”或“ ”）. 1 夯实四基 7 7.利用计算器，得，， ， ，按此规律，可得 的值约为______. 22.36 1 夯实四基 8 8.计算： （1） ； 解：原式 ; （2） ； 解：原式 ; （3） ； 解：原式 ; 1 夯实四基 9 （4） . 解：原式 . 1 夯实四基 10 9. 文昌阁是扬州的标志性建筑，其阁高约24米，24中包 含 的个数为( ) C A.5 B.6 C.7 D.8 2 提升四能 11 10.下列数中，在与 之间的是( ) C A.3 B.4 C.5 D.8 2 提升四能 12 11. 若与、均不为0互为相反数，则 的值 为( ) A A. B. C. D. 2 提升四能 13 12.如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是 的中点， 线段，则点 表示的数是_________. 2 提升四能 14 13. 我们规定符号 的意义为当 时， ；当时， ，按上述规定，计算 的结果为___. 3 2 提升四能 15 14. 已知，， 均为正整数. （1）若，则 ___； （2）若，，则满足条件的 的个数总比 的个数少___. 3 2 2 提升四能 16 15.已知实数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为 ，求代 数式 的值. 解：，互为相反数， . ，互为倒数， . 的绝对值为， . 当时，原式 ； 当时，原式 所求 代数式的值为6或 . 2 提升四能 17 16.我们知道， 是一个无理数，将这个数减去它的整数部分，差就是 它的小数部分.即的整数部分是1，小数部分是 ，请回答以下问 题： （1） 的整数部分是___，小数部分是_________； 4 3 发展素养 18 （2）若是的整数部分，是的小数部分，求 的 平方根； 解：是的整数部分， ， 的整数部分是2，而是的小数部分， ， ， 的平方根是 ， 的平方根是 . 3 发展素养 19 （3）若，其中是整数，且 ，求 的值. 解：， ， 的整数部分是15，小数部分是 ， ,是整数，且，， ， . 3 发展素养 20 $