3.1　勾股定理的探究 习题课件 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的探究与应用，以中国古代数学文化（如《周髀算经》记载）导入，通过基础夯实（直角三角形边长计算、面积求解）到能力提升（方程思想、最值问题）的例题分层设计，搭建从概念理解到综合应用的学习支架。 其亮点在于融入数学文化（秦九韶沙田问题、勾股树模型）与实际情境（橡皮筋拉升、折叠问题），借助几何直观（网格图形构造）和推理意识（分类讨论、证明推导）培养核心素养。分层例题适配不同学情，学生能提升运算能力与模型意识，教师可直接用于课堂教学，丰富教学资源。

第3章　勾股定理 第1课时　勾股定理 3.1　勾股定理的探究  　勾股定理 1.(2025江苏无锡江阴期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8, BC=6,以AB为一条边向三角形外部作正方形,则正方形的面 积是 ( ) A.100　    B.80　    C.48　    D.24     A     解析　在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6, ∴AB2=AC2+BC2=82+62=100, ∴正方形的面积=AB2=100,故选A. 2.(2025江苏苏州姑苏期中)中国是发现和研究勾股定理最早 的国家之一.中国古代数学家称直角三角形为勾股形,如图,较 短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股 定理也称为勾股弦定理.若小立发现勾是9,股是40,则弦长为  ( ) A.7　    B.31　    C.41　    D.49     C     解析　　由勾股定理得弦长= =41,故选C. 3.(2025宁夏中卫期末)如图,将长为8 cm的橡皮筋放置在水平 面上,固定两端A和B,然后把中点C竖直向上拉升3 cm至点D, 则橡皮筋被拉长了 ( ) A.2 cm　　B.3 cm　　C.4 cm　　D.6 cm     A     解析　在Rt△ACD中,AC= AB=4 cm,CD=3 cm,根据勾股定 理,得AD2=AC2+DC2=25=52, ∴AD=5 cm,∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm), ∴橡皮筋被拉长了2 cm.故选A. 4.【新考向·数学文化】(2023江苏南京中考)我国南宋数学家 秦九韶的著作《数书九章》中有这样一道题:“问沙田一段, 有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三 百步,欲知为田几何?”问题大意:在△ABC中,AB=13里,BC=14 里,AC=15里,则△ABC的面积是 ( ) A.80平方里　    B.82平方里 C.84平方里　    D.86平方里     C     解析　如图,过点A作AD⊥BC于D, 设BD=x里,则CD=(14-x)里, 在Rt△ABD中,AD2+x2=132, 在Rt△ADC中,AD2=152-(14-x)2, ∴132-x2=152-(14-x)2, ∴132-x2=152-196+28x-x2,解得x=5, 在Rt△ABD中,AD2=132-52=144,∴AD=12里, ∴△ABC的面积= BC·AD= ×14×12=84(平方里).故选C. 5.【学科特色·勾股树模型】(2025江苏宿迁宿豫期中)如图,由 正方形和直角三角形拼成的勾股树中,正方形中的数字表示 该正方形的面积,字母A所表示的正方形的面积为______.  　　      13 解析　根据勾股定理和正方形面积公式,可知字母A所表示的 正方形的面积=2+3+3+5=13. 6.(2025江苏镇江丹阳期中)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=5, BC=12,CD⊥AB于点D,则CD= . 解析　∵∠ACB=90°,AC=5,BC=12, ∴AB= = =13, ∵CD⊥AB,∴S△ABC= AB·CD= AC·BC, ∴AB·CD=AC·BC,即13CD=5×12, ∴CD= ,故答案为 . 7.一直角三角形的斜边长比一直角边长大1,另一直角边长为 5,则斜边长为______. 13 解析　设未知的直角边长为a,则斜边长为a+1.∵另一直角边 长为5,∴(a+1)2=a2+52,解得a=12,∴a+1=12+1=13.故答案为13. 8.(2025江苏无锡宜兴期中)在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,则 △ABC的面积为______. 12 解析　如图,过点A作AD⊥BC于点D, ∵AB=AC=5,BC=8,∴BD=CD= BC= ×8=4, 在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2+BD2=AB2, 即AD2+42=52,解得AD=3(舍去负值), ∴S△ABC= BC·AD= ×8×3=12, 故答案为12. 9.(2025江苏宿迁沭阳期中)已知一个直角三角形的两边长分 别是3和4,则第三边长的平方是_______. 25或7 解析　①当长为3的边是直角边,长为4的边是斜边时,第三边 长的平方为42-32=7; ②当长为3,4的边都是直角边时,第三边长的平方为42+32=25. 综上,第三边长的平方为25或7. 10.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C均在格 点上,求AB2-CA2的值.   解析　如图,在BC上选一点D,连接AD,使AD⊥BC,易得△ABD 与△ACD是直角三角形,BD=3,CD=2,∴AB2=AD2+BD2,AC2= AD2+CD2,∴AB2-AC2=AD2+BD2-AD2-CD2=BD2-CD2=32-22=9-4=5. 11.(2025江苏扬州江都期中)如图,在Rt△ABC中,已知∠A= 90°,D是斜边BC的中点,DE⊥BC交AB于点E,连接CE. (1)求证:BE2-AE2=AC2. (2)若AC=6,BD=5,求AE的长. 解析    (1)证明:∵DE⊥BC,D是边BC的中点, ∴DE是线段BC的垂直平分线,∴BE=CE, 在Rt△ACE中,由勾股定理得CE2=AC2+AE2, ∴BE2=AC2+AE2,∴BE2-AE2=AC2. (2)∵BD=5,D是边BC的中点,∴BC=2BD=10, 在Rt△ABC中,由勾股定理得AB= = =8, ∴AB=BE+AE=8, 设AE=x,则BE=CE=8-x, 在Rt△ACE中,由勾股定理得CE2=AC2+AE2, 即(8-x)2=62+x2,解得x= , ∴AE= ,即AE的长为 .   12.【新课标·中华优秀传统文化】(2025江苏苏州五校联考, ★★☆)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算 书《周髀算经》中已有记载.如图1,以直角三角形的各边为边 分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按图2的方式放置 在最大的正方形内.下列选项中一定正确的是( )     D     A.S阴影=直角三角形的面积 B.S阴影=S正方形① C.S阴影=S正方形② D.S阴影=较小两个正方形重叠部分的面积 解析　由题意得两个小正方形的面积之和等于大正方形的面 积,所以两个小正方形重叠部分的面积等于阴影部分的面积. 故选D. 13.(2025江苏苏州张家港月考,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB =90°,分别以各边的长为直径作半圆,图中阴影部分在数学史 上称为“希波克拉底月牙”,当AC=6,BC=3时,阴影部分的面积为     ( ) A.9　    B.3 π　    C.4 π　    D.18     A     解析　阴影部分的面积=以AC,BC的长为直径的半圆面积的 和+△ABC的面积-以AB的长为直径的半圆的面积= AC2+ BC2+ AC·BC- AB2= (AC2+BC2-AB2)+ AC·BC= AC·BC= ×6×3=9. 14.(2025江苏泰州靖江期中,★★☆)如图所示的是勾股树衍 生图案,它由若干个正方形和直角三角形构成,S1,S2,S3,S4分别 表示其对应正方形的面积,若已知上方左右两端的两个正方 形的面积分别是64,9,则S1-S2+S3-S4的值为_______. 55　     解析　如图, ∵图案由若干个正方形和直角三角形构成, ∴S1=64+a,S2=a+b,S3=b+c,S4=c+9, ∴S1-S2+S3-S4=64+a-(a+b)+b+c-(c+9)=55. 故答案为55. 15.【学科特色·最值问题】(2025江苏扬州江都期中,★★☆) 如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E是对角线AC的 中点,F是对角线BD上的动点,连接EF.若AC=10,BD=6,则EF长 的最小值为 . 4 解析　连接BE,DE,如图:   ∵∠ABC=∠ADC=90°,E是对角线AC的中点, ∴BE= AC,DE= AC,∵AC=10,∴BE=DE=5, 过点E作EF'⊥BD于点F', 则点F'是线段BD的中点,∴BF'= BD=3, 在Rt△BEF'中,由勾股定理得EF'= = =4, ∴线段EF长的最小值为4, 故答案为4. 16.【学科特色·方程思想】(2022浙江丽水中考,★★☆)如图, 将长方形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折 痕为EF. (1)求证:△PDE≌△CDF. (2)若CD=4 cm,EF=5 cm,求BC的长. 解析    (1)证明:∵四边形ABCD是长方形, ∴AB=CD,∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°, 由折叠的性质知AB=PD,∠P=∠A=90°,∠PDF=∠B=90°, ∴PD=CD,∠P=∠C,∠PDF=∠ADC, ∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF, ∴∠PDE=∠CDF, 在△PDE和△CDF中,  ∴△PDE≌△CDF(ASA). (2)如图,过点E作EG⊥BC于点G, ∵四边形ABCD是长方形, ∴AD∥BC,∴EG=AB=CD=4 cm,又∵EF=5 cm,GF2=EF2-EG2, ∴GF=3 cm,设AE=BG=x cm,则EP=x cm, ∵△PDE≌△CDF,∴CF=EP=x cm,PD=CD=4 cm,∴DE=GC= GF+FC=(3+x)cm,在Rt△PED中,EP2+PD2=DE2,即x2+42=(3+x)2, 解得x= , ∴BC=BG+GC= +3+ = (cm). $第3章　勾股定理 第2课时　勾股定理的验证 3.1　勾股定理的探究  　勾股定理的验证 1.(2025江苏扬州月考)我国是最早了解勾股定理的国家之一, 据《周髀算经》记载,勾股定理的公式与证明是由商高发现 的,故又称之为“商高定理”.下面四幅图中,不能证明勾股定 理的是 ( )     C     A　     B　     C　     D 解析　选项A,大正方形的面积为c2,大正方形可看作是4个直 角三角形和一个小正方形组成的,则其面积为4× ab+(b-a)2= a2+b2,∴a2+b2=c2,故该选项能证明勾股定理. 选项B,大正方形的面积为(a+b)2,大正方形可看作是4个直角 三角形和一个小正方形组成的,则其面积为4× ab+c2=2ab+c2, ∴(a+b)2=2ab+c2,∴a2+b2=c2,故该选项能证明勾股定理. 选项C,大正方形的面积为(a+b)2,大正方形可看作是2个矩形 和2个小正方形组成的,则其面积为2ab+a2+b2, ∴(a+b)2=2ab+a2+b2,故该选项不能证明勾股定理. 选项D,梯形面积为 (a+b)(a+b),也可看作3个直角三角形面积 的和,即 ab×2+ c2, ∴ (a+b)(a+b)= ab×2+ c2,即(a+b)(a+b)=2ab+c2,整理,得a2+b2 =c2,故该选项能证明勾股定理.故选C. 2.(2025江苏南京鼓楼期中节选)用两个边长分别为a,b,c的直 角三角形和一个两条直角边长都是c的直角三角形拼成如图 所示的直角梯形.是否存在一个直角三角形,在直角边a不变的 基础上,斜边c与另一条直角边b都增加相同的长度,所得三角 形仍是一个直角三角形?请判断并说明理由. 解析　不存在. 理由:(反证法)假设存在,且斜边c与另一条直角边b都增加x(x≠0), 则a2+(b+x)2=(c+x)2, 即a2+b2+2bx+x2=c2+2cx+x2, ∵a2+b2=c2,∴2bx=2cx, ∵x≠0,∴b=c, 这与斜边大于直角边矛盾, ∴假设不成立,故不存在.   3.(2025江苏镇江丹徒期中,★★☆)勾股定理体现了数与形的 完美结合,小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵 感,发现新的拼图方法:两个全等的直角三角形ABC和直角三 角形DEF,顶点D在BC边上,顶点F,B重合,连接AE,AD.设AB, DE交于点G.∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=a,AC=DF=b(a>b), AB=DE=c.请你回答以下问题: (1)∠AGE=_____°,S四边形ADBE=_____(用含字母c的代数式来表示). (2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积,并以此为基础证明 勾股定理. 解析    (1)∵△ABC≌△DEF,∴∠EDF=∠BAC, ∵∠BAC+∠ABC=90°,∴∠EDF+∠ABC=90°, ∴∠DGB=180°-90°=90°, ∴∠AGE=∠DGB=90°,∴DE⊥AB, ∴S四边形ADBE=S△ADB+S△ABE= AB·DG+ AB·EG= AB·(DG+EG)=  AB·DE= c2, 故答案为90; c2. (2)方法一:S四边形ACBE= (AC+EF)·BC= (b+a)a= ab+ a2; 方法二:S四边形ACBE=S△ACD+S四边形ADBE= b(a-b)+ c2= ab- b2+ c2. 根据上面的方法可得 ab+ a2= ab- b2+ c2, ∴a2+b2=c2.   4.【新课标·推理能力】(2024浙江杭州滨江期中)我国古代数 学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其 为“赵爽弦图”.如图所示的图形是由弦图变化得到的,它是 由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD、 正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若EF=25, 则S1+S2+S3=_____. 1 875 解析　∵八个直角三角形全等,四边形ABCD、四边形EFGH 和四边形MNKT是正方形, ∴CG=KG,CF=DG=KF,CG2+CF2=GF2, ∴S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG·DG=GF2+2CG·DG, S2=GF2=EF2, S3=(KF-NF)2=KF2+NF2-2NF·KF =KF2+KG2-2CG·DG=GF2-2CG·DG, ∴S1+S2+S3=GF2+2CG·DG+GF2+GF2-2CG·DG =3GF2=3EF2=1 875. $