湖北武汉市第三中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷

2025一2026学年武汉三中高一下学期5月月考数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、应位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的若案标号试果。写在试卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效 一、单选题 1.己知复数：满足iz+2=2i,则：=() A.互 B.22 C.4 D.8 2.己知向量ā=(2，-)，6=(4,3)，则向量0在向量6方向上的投影向量是() A. (43 B. 34 43 53 5'5 C n.层 3.已知“，F是两个不同的平面，m,是两条不同的直线，则下列说法正确的是() A.若a⊥B,m⊥a,m11n,则n/1p B.若ml1B,nl1B,mca,nca,则a1lB C.若m/1a,mcB,aaB=n,则mln D.若m⊥a,n⊥B,a⊥B,则m∥n 4.在VABC中，(a+cXsin A-sinC)=b(sinA-sinB),则∠C=() A.君 B.} c. 2π D. 5.如图，点N为正方形ABCD的中心，△BCD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点， 则() A.BM=EN,且直线BM,EV是相交直线 B.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 6.在正三棱柱ABC-4BC中，AB=AM=4,E为校AC的中点，则异面直线4E与BC所成角的余弦值 为() A.- 5 B.-5 10 C. 5 D. 10 7.己知水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为x(=12,34,5),平均数为x,随机删去其任一轮 的成绩，得到一组新数据，记为(=1234)，平均数为y,对新数据和原数据，下面说法正确的是() 试卷第1页，共5页 A.两组数据的极差不可能相等 B.两组数据的中位数不可能相等 C.若x-少，则两组数据的方差不可能相等 D.若x=),两组数据的第60百分位数可能相等 8.如图，已知三棱柱ABC-AB,C的所有棱长均为2，满足AB⊥BC,则该三棱柱体积的最大值为() B B A.5 B.3 C.2W5 D.4 二、多选题 9.有下列四种变换方式，能将y=mr的图象变为y=sm2x+到的图象的是（) A.横坐标变为原来的；（纵坐标不变），再向左平移二个单位长度 B.横坐标变为原来的；（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 C.向左平移”个单位长度，再将横坐标变为原来的) (纵坐标不变) 4 D.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的 (纵坐标不变) 10.将一个直径为8cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是() A.底面直径为8cm,高为6cm的圆柱体 B.底面直径为6cm,高为4cm的圆锥体 C.底面边长为4cm,高为6cm的正四棱柱 D.棱长为6cm的正四面体 11.若正四棱柱ABCD-ABCD的底面棱长为4，侧棱长为3，且M为棱AA的靠近点A的三等分点，点 P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且满足MP与底面ABCD的所成角9=？，下列结论正确的是() D D P B A,点P形成的轨迹长度为 B.有且仅有一个点P使得MP⊥PC C.四面体P-ACD的体积取值范围为[6,8] 试卷第2页，共5页 D.线段PC长度最小值为7 三、填空题 12.已知向量a=(1,1),b=(m,-2),若a/(a+b,则m= 13. 已知smx-）子则ea2x+到月 14.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=√5，CA⊥AB,AB=AC=2,二面角P-AB-C的大小为120°， 则三棱锥P-ABC的外接球表面积为 四、解答题 15.已知平面向量a=(cosx,V5sinx,b=(2cosx,2cosx)fka.b-1. (1)求函数f(x)在[0，上的单调区间： 2当x时， 求函数y=f(x)的最小值及此时x的值. 16.“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生 创新精神和实践能力，特举办数学竞赛活动，在活动中，共有19道题。从所有答卷中随机抽取100份 作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，.， [90,100],得到如图所示的频率分布直方图. 频率组距 0.025 0.020 0.010 0.0051 0405060708090100芬数 (1)求频率分布直方图中a的值及样本成绩的上四分位数： (2)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩 合并后的平均数z和方差2 试卷第3页，共5页 17.记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依 次为SS,已知S-S+5= ,sin B=I 2 3 (1)求VABC的面积： ，求6. (2)若sin4sinc=y2 18.如图，圆锥顶点为P.底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°.AB和CD是底面圆O上的两 条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°， B D (1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面； (2)若圆锥母线长度为a,求VPAB面积的最大值。 (3)求cos∠COD. 19.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥ 平面ABCD,CF=1. M (I)求证：BC⊥平面ACFE; 试卷第4项，共5页 (2)求二面角A-BF-C的平面角的余弦值； (3)若点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(O≤90)，试求cos0的范围. 试卷第5页，共5页 参考答案 强号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A C 0 B D 8 80 BO AC 1.B 【详解】由1+2=2i可得，：=2421=2+2，所以H2+2=25,放选：B. 2.A 【详解】向是ò在向量6方向上的投影向量为 -名5--传别. 25 5 3.C 【详解】若aLB,m⊥a,m/ln,则nf/B或ncB,放A错误： 当m/1B,n/IR,mca,nca,若mn不相交，则推不出a11B,放B错误： 若ml/a,m=B,aB=n,则m∥n,放C正确，若mLa,n⊥B,a⊥f,则m⊥n,放D错误. 4.B 【详解】因为(a+c)(cin A-sinC)=b(nA-sinB),所以由正欧定理得(a+ca-c)=b(a-b),即c2-c'=ab-b', 则GW-,故C之-六-又0C<,所以c-号放选：B 5.B 【详解】如图所示，连接BD,BE.MN,点N为正方形ABCD的中心， 则B0经过点N,且点N为BD中点，又因为M是线段D的中点， 所以在△BBD中，MN∥EB,所以M.N,BE四点共面，即直线M.EN是相交直线； 作BOLCD于O,连按ON,过M作MP⊥OD于F,连F,X平面CDE⊥平面ABCD 1Q4 BO⊥CD.EO=平面CDB,∴BO⊥平面ABCD,MF1平面ABCD, D aMPB与aEOW均为直角三角形，设正方形边长为2，易知BO=√5.ON=1 EN=2, MF=BF-BM=万.8w:N,放途B. 6.D 【详解】记AB的中点为F,连接EF,AF,因为B为校AC的中点，所以EMBC, 易知F=24E=4F=√4P+1F=25,所以a4EF为等鞭三角形，∠4EF为成角， 所以∠4PF即为异面直线4E与BC所成角。 答案第1页，共8页 配F的中点为D,则ǔsAF5,即异面直线4E与8c所成角的余弦值为S放选：D 10 7.c 【详解】解：对于选项A,若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩， 此时新数据的极差可能等于原数据的极差，所以A错误： 对于选项B,不妨假设丐<<。<无<，当：+)=丐时，若随机删去的成绩是， 此时新数据的中位数等于原数据的中位数，所以B错误； 对于C选项，若x=,即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小， 此时方差会变大，所以C正确： 对于D选项，若x=),即删去的数据恰为平均数，在按从小到大的顺序排列的5个数据中，因为5×60%=3， 此时原数据的60%分位数为第三个数和第四个数的平均数，即+：， 2 删去一个数据后的4个数据，按从小到大的顺序排列，可得4×60%=2.4， 此时新数据的60%分位数为第三个数，即x或x4, x<飞，5<当龙<4， 2 显然新数据的60%分位数不等于原数据的60%分位数，所以D错误.故选：C 8.B 【详解】如图：取AC的中点M,连接AM,BM,AB, 因为ABBA是菱形，所以AB,⊥4B,又因为BC⊥AB,AB,BCC平面AB,C,AB,∩BC=B, 所以AB⊥平面AB,C,因为ACc平面ABC,所以AB⊥AC, B 因为AM=MC,AB=BC,所以BM⊥AC,又因为AB,BMC平面ABM, AB∩BM=B, 所以AC⊥平面ABM,因为AMc平面ABM,所以AC⊥AM, AM=A4sin60°=√5，当侧面ACCA⊥底面ABC时，三棱柱的体积最大， 此时三棱柱的高即为4M=V5,r=Bsc=5x5x2=3.故选：B 4 9.BC 【详解】由函数y=sinr图象上的横坐标缩短为原来的；倍，得到y=sin2x, 再将函数)=m2x向左平移个单位，得到y=如+引m2x+到， 所以A不正确，B正确. 答案第2页，共8页 由函数y=s向左平移个单位，得到y=sm(+引，再将函数)=m（+到图象上点的横坐标缩短为 原来的倍，得到y=sm2x+, 所以C正确，D不正确.故选：BC. 10.BD 【详解】对A:若圆柱的底面直径为8，此时球心到圆柱底面的距离为0，故A错误： 对B:若圆锥的底面直径为6，则半径为3，此时球心到圆锥底面的距离为√4-32=√万， 故圆锥的高最大时为4+√万>4，故B正确： 对C:若正四棱柱底面边长为4，则底面外接圆半径为2√互，此时球心到正四棱柱底面的距离为 √4-(22)=25，故正四棱柱的高最大时为4W5<6,故C错误： 对D:法一：若正四面体的棱长为6，则底面外接圆半径为×35=25，此时球心到正四面体底面的距 离为V42-(25=2,棱长为6cm的正四面体的高为， 62 =2v6,由2+4=6>2√6，故D正确 法二：若将各棱长均为6cm的四面体放入到棱长为3√2的正方体中，此时正方体的外接球直径为 √5x3√2=3V6<8,故D正确.故选：BD. 11.AC 【分析】A选项，根据题意得到P所在区域为以A为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD内部部分（包 含边界弧长)：B选项，寻找到不止一个点使得MP⊥PC:C选项，根据P点不同位置求出点P到平 面ACD的距离最大值及最小值，求出最大体积和最小体积；D选项，结合P的所在区域及三角形两 边之和大于第三边求出PC长度最小值， 【详解】A.由线面角的定义可知，∠MPA=0=45,即MA=AP=1, 故点P所在区域为以A为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD内部部分（包含边界弧长），即圆的：， 轨迹长度为×2=，A正确： 如图，设点P的轨迹与AD,AB交于点E,F, B.不妨点P与点F重合，此时PC=√FB2+BC2+CC2=√34， 由余弦定理得：os∠MC+CFCM-2+34-360,则∠MFC= 2MF.C F 2xV2×V34 同理可得：∠MEG=交，故不止一个点P使得MP1PG,B错误： 答案第3页，共8页 C.如图，A4⊥平面ABCD,BCc平面ABCD,所以AA⊥BC,且AB⊥BC,A4∩AB=A,A4,ABC平面 ABBA4,所以BC⊥平面ABB4, BC∈平面ACD,所以平面ACD,⊥平面ABB,A,,且平面ACD∩平面ABBA=AB, 因为AE/1AD,AEa平面ACD,AD,c平面ACD, 所以AE/平面ACD,所以点A,E到平面ACD的距离相等， D 如图，当点P在点E处时，此时点P到平面ACD的距离最大，最大距离 为4H=3×412 A B 5=5 此时四面体P-4CD的体积为S4aAH子×】×4x5x号8， 11 12 32 5 当P与点F重合时，此时点P到平面ACD的距离最小，最小距离为FK, B 因为△BFK△BH,所以K-H,所以最小体积为子X8=6, 故四面体P-ACD的体积取值范围为[6,8]，C正确： D D.当PC取最小值时，线段PC长度最小， A B 由三角形两边之和大于第三边知：当A,P,C三点共线时，PC取得最小 D 值，即PCL=42-1,则1PC=42-+32=42-8五，D错误。 故选：AC B 12.-2 【详解】因为a=(1,1),b=(m,-2),所以a+6=(1,1)+(m,-2)=(m+l,-1), 又因为a/(a+b),所以1×(m+1)=1x(-1),所以m=-2, 故答案为：-2. 13.7/-0875 【详解】易知2x+骨-2（女-引x, 所以w2x+}2x-引+-m{x-司=2mfx-》1=2日-1=否 14. 49 3 【详解】取BC和AB的中点分别为O,D,过点P作PE⊥面ABC于点E, 答案第4页，共8页 连结PD,DO,DE,AB∈平面ABC,故PE⊥AB, 又PA=PB,则PD⊥AB,又PDOPE=P,PD,PEc平面PDE, 故AB⊥平面PDE,DEC平面PDE,故AB⊥DE。 则∠PDE为二面角P-AB-C的补角，∠PDE=60°， 因为PA=PB=5,AB=AC=2,则PD=2,且PE=√3，DE=1, 易知D0=1,D01⊥AB,BC=2√2=2A0 因为VABC为等腰直角三角形，所以O是VABC的外心 设三棱锥P-ABC的外接球的球心为O,则OO⊥面ABC,易知PE1/OO, 作O01PE,易知O0EQ为矩形，O9=E0,=1+1=2, Oh,OA=R,则在△A00中，R=F+2,且R1△P00中，R2=hB-h+4,解得R 所以外接球表面积为S=4R2=9x故答案为： 49 3 5,(0四的单调造增区间为利晉小，单调进减区间为怎引： (2)y=f(x)的最小值为-1，此时x=匹 【详解】（1)f倒=a-万-1=2co3x+25 Bin.co-l-cas2x+5in2x=2sn2x+君， x0,2x+[1令≤2x+5得0≤x≤： 6L66 6 6 2 令好2x+ 2π 6 2x+g,得 2 3<r≤π. 倒的单调递塔区间为0引利小， 单调递减区问为：] 2)当0引时2x+[，此时m2x+}[ f=2n2+司-L小，六y=的最小值为-1，此时2+名g即x- 16.(1)a=0.030:上四分位数为84. (2)总平均数为62；总方差为37 【详解】(1)因为每组小矩形的面积之和为1，所以(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1, 解得a=0.030 成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65， 落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9， 答案第5页，共8页 设第75百分位数为m,则me(80,90), 由0.65+(m-80)×0.025=0.75,得m=84,所以样本成绩的第75百分位数为84. (2)由图可知，成绩在[50,60)的人数为100×0.1=10， 成绩在[60,70)的人数为100x02=20,故这两组成绩的总平均数为10x54+66×20=62, 10+20 由样本方差计第总体方差公式可得总方差为：产-品[7+(4-6@门8[4+(6-6创门-7。 17.④号 (2)片 【解】由题意得89点-8 4 4 则s-5+8=556+5e-5 4 4 4 2 即0+-=2，由余弦定理得oB=力，整理得csB1,则eo分0， 又mB，则cosB 1)2 8 3W2 (2)由正弦定理得： b a b2 a c ac 4 9 sin B"sim4sin C sinBsin 4'sin C"sin Asin c 则6一3 sinB2’b=sinB= 3 1 2 · 18.(1)见解析(2)2a2(3)cos∠C0D=cos2∠C0E=2cos2∠C0E-1=2(N6-V5)2-1=17-12万 【详解】(1)由公理可知，两面相交必交于一条直线，设面PAB与面PCD的交线为1 :CD∥AB,CDE面PAB,而ABC面PAB.CD∥面PAB 又由CDc面PCD,面PABO面PCD=I·I∥CD 又由CDc底面ABDC,所以平面PAB与平面PCD的交线平行于底面 (2)由圆锥母线与底面所成的角为2,5，可得∠4PBQ, B 故Sa-号P4,pmsm∠AP9-号n∠APa,当∠B=号时，（③w- 2 (3)取CD的中点E,连接OE,PE,则OE⊥CD,PE⊥CD \CD°面OEP,CDC底面ABDC,.平面OEP⊥平面PCD, 所以直线PO在面PCD上的射影为PE。.∠OPE=60 h 设OP=h,则OE=0P.tan60=V5h,由题意∠OCP=22.5,则OC= tan22.5, 答案第6页，共8页 而tan45°= an225’am212.5">0,解得am25=2-1。 2tan22.5 cos∠COE= OE_√3h OC h 一=5-5 tan 22.5 cos∠C0D=cos2∠C0E=2cos2∠C0E-1=2(6-V5)2-1=17-12V2 19.(1)证明见解析 2) 1 (3)cm0e 【详解】(1)证明：在梯形ABCD中，：AB II CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°，AB=2, AC2=AB2+BC2-2AB.BC.cos60°=3， .AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC,:平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE平面ABCD=AC,BCc平面ABCD, ·.BC⊥平面ACFE. (2)解：取FB中点G,连接AG,CG, AF=VAC2+CF2=2,∴AB=AF,.AG⊥FB, :CF=CB=1,∴.CG⊥FB,·.∠AGC为二面角的平面角 BC-CF,FB-CG=,AG= 2 2 ÷cos∠AGC-CG+4G-AC-V万 2CG.AG 71 G B (3)由(2)知： ①当M与F重合时，os8=5 ②当M与E重合时，过B作BN∥CF,且使BN=CF,连接EN,FN,则平面MABO平面FCB=BN, :BC⊥CF,AC LCF,BCc平面ABC,ACc平面ABC,BCnAC=C,∴.CF⊥平面ABC,:.BN⊥平面ABC, 六∠ABC=0,0=60,cos8=2 1 E(M) 答案第7页，共8页 ③当M与E,F都不重合时，令FM=,0<1<√，延长AM交CF的延长线于N,连接BW,N在平 面MAB与平面FCB的交线上，：B在平面MAB与平面FCB的交线上，.平面MABO平面FCB=BN, 过C作CH⊥NB交NB于H,连接AH, 由(1)知，AC⊥BC,又：AC⊥CN,CN,BCc平面NCB,CNnBC=C, .AC⊥平面NCB,:NBc平面NCB,∴AC⊥NB. 又：CH⊥NB,AC,CHc平面ACH,ACOCH=C,∴.NB⊥平面ACH,.AH⊥NB,·∠AHC=O. 在△C中，NC=5,从而在△NCB中，CH-,5 5-九 (-√5)+3' ZACH -90AHACCH(4cos-C 1 4班-V5y+4:0<<5, 7 综上所述，m0停， C 答案第8页，共8页