精品解析：辽宁朝阳市建平县实验中学2025-2026学年高二下学期第二次阶段性训练数学试题

建平县实验中学高二年级第二次阶段性训练（数学） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.202605 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的，在试题卷草稿纸上答案无效 3.本试卷命题范围：人教B版选择性必修第二册第四章，选择性必修第三册 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平均变化率定义计算即可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为． 2. 数列1，3，6，，，…的一个通项公式为（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】观察可得，，， 所以，又， 所以． 3. 先后抛掷两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为，则表示的是（ ） A. 第一次抛硬币 B. 恰有一枚硬币正面朝上 C. 硬币正面朝上面的数字是1 D. 先抛一枚硬币 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量的含义逐项进行判断即可. 【详解】对于A选项，“第一次抛硬币”是抛掷动作，和正面朝上的硬币数为1的含义无关，描述错误，故A错误； 对于B选项，“恰有一枚硬币正面朝上”对应的正面朝上的硬币数恰好为1，符合“”表示的含义，故B正确； 对于C选项，硬币的正反面不存在“正面朝上面的数字是1”的情况，和“”的含义无关，故C错误； 对于D选项，“先抛一枚硬币”是抛掷动作，和正面朝上的硬币数为1的含义无关，故D错误. 综上所述，B选项正确. 4. 函数，则（ ） A. B. C. D. 关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】求得，结合导数的符号，即可求得的单调区间,进而可判断结果. 【详解】解：由已知可得， 令，解得． 当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增． 因为，所以. 故选：C 5. 已知回归方程，则该方程在样本处的残差为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题可以利用回归方程计算出时的值，然后即可求出方程在样本处的残差. 【详解】当时，， 则方程在样本处的残差为， 故选：A. 【点睛】本题考查线性回归方程的运用，主要考查线性回归方程在样本处的残差的相关计算，考查学生的计算能力，属于基础题． 6. 定义在R上的函数和，其各自导函数和的图像如图所示，则函数其极值点的情况是（ ） A. 只有三个极大值点，无极小值点 B. 有两个极大值点，一个极小值点 C. 有一个极大值点，两个极小值点 D. 无极大值点，只有三个极小值点 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，三个交点对应的横坐标为，，根据图像得到函数的单调区间得到答案. 【详解】如图所示：三个交点对应的横坐标为，. 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 故函数有一个极大值点，两个极小值点. 故选：. 【点睛】本题考查了函数的图像的识别，函数的极值，意在考查学生对于函数知识的综合应用， 7. 已知数列的前项和为，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分奇偶项讨论得，然后分组计算求和即可. 【详解】由题意得，当为奇数时， ， 则为偶数，有 ，两式相减得 ； 当为偶数时， ， 则为奇数，有 ，两式相加得 ； 所以 ，故D正确. 8. 已知定义在区间上的奇函数，对于任意的满足（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，再利用函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】构造函数，其中，则， 所以，函数为奇函数， 当时，， 所以，函数在上为增函数，故该函数在上也为增函数， 由题意可知，函数在上连续，故函数在上为增函数. 对于A选项，，即，则，A错； 对于B选项，，即，则，B对； 对于C选项，，即，则，C错； 对于D选项，，即，则，D错. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 已知事件A，B互斥，，，则 C. 已知事件A，B相互独立，，，则 D. 若，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】借助二项分布的方差公式计算可得A；借助互斥事件性质可得B；借助相互独立事件概率公式与对立事件性质计算可得C；利用正态分布对称性可得D. 【详解】对A：由，则，故A错误； 对B：由A，B互斥，则，故B正确； 对C：由A，B相互独立，则由A，相互独立，又， 故，故C正确； 对D：由，则， 则，解得，故D错误. 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出导函数，分析函数的单调性，求极值，判断选项A，B，由函数的单调性判断选项C，由，判断选项D. 【详解】的定义域为，且. 令，得在上单调递增，在上单调递减， 因此在处取得极大值，故A正确； 令，解得，故函数有且仅有一个零点，故B错误； 由在上单调递减，得，故正确； 因为，即，所以，则，故D正确. 故选：ACD. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 已知为等差数列的前项和，若（，且），则； B. 已知是等比数列的前项和，若，，则； C. “等额本息还款法”中每一期还款数构成的数列是常数列； D. 如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）如此继续下去，得图（3）……则第个图形的周长为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等差数列的前n项和公式及已知得 ，即可判断A，根据等比数列片段和的性质知为等比数列，应用等比中项列方程求判断B，根据等额本息还款法的定义判断C，观察题图，确定边长、边的数量变化规律，结合等比数列的定义写出通项公式判断D. 【详解】对于选项A：设等差数列的公差为，则， 所以 ，则 ，A对， 对于选项B：在等比数列中为等比数列， 则，所以，可得，B错， 对于选项C：等额本息还款法定义为每期偿还同等数额的款项，故每期还款额构成的数列为常数列，C对， 对于选项D：由题设，初始三角形的周长为，每次操作各边长度变为原来的，边数变为原来的4倍， 故周长是原来的倍，则第个图形的周长，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两个随机事件，若，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】， . 故答案为：. 13. 已知，则通过导数求的近似值为______（用分数表示）. 【答案】 【解析】 【分析】求导后得到，再根据计算可得答案. 【详解】已知，，则， 因为， 令得， 即，解得， 所以的近似值为. 14. 在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 【答案】55 【解析】 【分析】根据奇数项和与偶数项和的关系即可求解. 【详解】设等差数列的项数为， ＝＝， ＝＝， 所以，解得，所以项数， 所以此数列的中间项为，又， 所以为所求中间项. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且，，求的值. 【答案】 【解析】 【详解】令，则，得，， 由得，， 当时，也满足. 所以数列的通项公式为，则. 16. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调增区间为，，单调减区间为；极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可写出切线方程； （2）利用列表法求出单调区间和极值. 【小问1详解】 函数的定义域为R. 导函数. 所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，解得：或.列表得： x 1 3 + + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调增区间为，；单调减区间为； 的极大值为，极小值为. 17. 已知数列满足，， （1）若，求数列的通项公式； （2）若，设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知递推式变形可得，当时，，进而推出，进而得出数列的通项公式； （2）由和推出是2为首项，2为公比的等比数列，求出，进而求出，再利用错位相减法计算求出． 【小问1详解】 已知， 故， 时，，故， ． 【小问2详解】 ， ， 由可得，故， 是2为首项，2为公比的等比数列， ，，， ， 令，设数列的前项和为，则， ①， ②， 由①减②得： ， ， ． 18. 某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰. （1）若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为，求的分布列并计算甲进入决赛的概率. （2）决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立. （i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值； （ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时的取值范围. 【答案】（1）分布列见解析； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）求出的取值及对应的概率可得分布列，再结合分布列计算可得答案； （2）（i）由利用导数求出最大值可得答案；（ii）分析每名学生获得的奖金的期望，求和解不等式即可. 【小问1详解】 由已知的取值为， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 甲进入决赛的概率为； 【小问2详解】 （i）由题意得， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 可得的最大值为； （ii）由题可设每名进入决赛的学生获得的奖金为随机变量， 则的可能取值为， 所以，， ，， 所以 ， 可得，即， 整理得， 由， 得， 解得. 【点睛】关键点睛：第二问解题关键点是利用导数研究单调性，可得极大值. 19. 已知函数，若有三个实数根，，，且. （1）求实数的取值范围； （2）求证： ①； ②. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将方程的解的问题转化为函数与的交点问题，借助于求导判断函数的单调性，进而得到函数的简图，数形结合即得参数范围； （2）①构造函数，求导判断得到在区间上单调递增，推得，再由在区间上的单调性即可得证；②结合图形，判断函数的图象总在直线上方，的图象总在直线上方，设直线与直线的交点横坐标分别为，则得，即可得证. 【小问1详解】 令，可得. 设，则函数的图象与有三个交点. 当时，，则. 则函数在区间上单调递减； 当时，，则. 当时，；当时，， 则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则， 当时，，当时，， 函数的大致图象如图， 要使直线与函数的图象有三个交点，需使. 即实数的取值范围为. 【小问2详解】 ①由（1）可知. 设， 则， 当时，因，则，故在区间上单调递增， 故，即，则. 又，故. 因， 由（1）知在区间上单调递减，则，即. ②过点和的直线的方程为， 由图知直线即为曲线的割线. 当时，， 则函数的图象总在直线上方. 过点且与函数的图象相切的直线的方程为. 当时，， 则函数的图象总在直线上方，如图所示. 设直线与直线的交点横坐标分别为， 则可知， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平县实验中学高二年级第二次阶段性训练（数学） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.202605 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的，在试题卷草稿纸上答案无效 3.本试卷命题范围：人教B版选择性必修第二册第四章，选择性必修第三册 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 2. 数列1，3，6，，，…的一个通项公式为（ ） A. ， B. ， C. D. 3. 先后抛掷两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为，则表示的是（ ） A. 第一次抛硬币 B. 恰有一枚硬币正面朝上 C. 硬币正面朝上面的数字是1 D. 先抛一枚硬币 4. 函数，则（ ） A. B. C. D. 关系不确定 5. 已知回归方程，则该方程在样本处的残差为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 6. 定义在R上的函数和，其各自导函数和的图像如图所示，则函数其极值点的情况是（ ） A. 只有三个极大值点，无极小值点 B. 有两个极大值点，一个极小值点 C. 有一个极大值点，两个极小值点 D. 无极大值点，只有三个极小值点 7. 已知数列的前项和为，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在区间上的奇函数，对于任意的满足（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 已知事件A，B互斥，，，则 C. 已知事件A，B相互独立，，，则 D. 若，且，则 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 已知为等差数列的前项和，若（，且），则； B. 已知是等比数列的前项和，若，，则； C. “等额本息还款法”中每一期还款数构成的数列是常数列； D. 如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）如此继续下去，得图（3）……则第个图形的周长为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两个随机事件，若，，则_______. 13. 已知，则通过导数求的近似值为______（用分数表示）. 14. 在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且，，求的值. 16. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 17. 已知数列满足，， （1）若，求数列的通项公式； （2）若，设，求数列的前项和． 18. 某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰. （1）若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为，求的分布列并计算甲进入决赛的概率. （2）决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立. （i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值； （ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时的取值范围. 19. 已知函数，若有三个实数根，，，且. （1）求实数的取值范围； （2）求证： ①； ②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $