奥数：第10讲 空间想象力训练（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版

**基本信息** 聚焦空间想象力，通过正方体展开图等六大模块，以“立体转平面，平面构立体”为核心，系统提炼对面判断、质数拆分等方法，形成从静态到动态的知识逻辑链，培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正方体展开图|1典例|“Z”字形两端等对面判断法则|平面展开图与立体结构的对应转化| |质数长方体|1典例|质数拆分与因数分解|立体棱长属性与面积关系推导| |切割与表面积|1典例|截去操作对表面积增减分析|立体动态变化中表面积计算逻辑| |拼接组合体|1典例|重合面数量与表面积减少量计算|多立体组合的空间关系与体积不变性| |无盖容器制作|1典例|剪角折盒模型的长宽高关系|平面图形到立体容器的构建应用| |内切立体|1典例|直径与棱长相等关系|立体与内接图形的几何量关联|

【人教版】小学六年级下数学奥数：第10讲：空间想象力综合训练（上） 【课程导言】 空间想象力是小学几何学习的重难点。本讲将通过正方体展开图、立体切割、拼接组合等经典题型，帮助同学们建立三维视角，掌握“立体转平面，平面构立体”的核心思维。 一、 核心知识点梳理 本讲主要涵盖以下六大核心考点： 序号 知识模块 核心技巧与方法 1 正方体展开图 掌握“对面”与“邻面”的快速判断法则（如“Z”字形两端、间隔排列等）。 2 质数长方体 利用长、宽、高均为质数的特性，结合面积和进行因数分解（质数拆分）。 3 切割与表面积 理解“截去”操作对表面积的影响（通常减少两个面或改变接触面）。 4 拼接组合体 掌握拼接处“重合面”数量的计算，理解表面积减少量与体积不变性的关系。 5 无盖容器制作 掌握“剪角折盒”模型，明确底面长宽与剪去小正方形边长的关系。 6 内切立体 理解正方体内切圆柱（或圆）时，直径与棱长的相等关系。 二、 经典例题精讲 【例题 1】正方体的折叠与对面判断 题目：将硬纸片沿虚线折叠围成一个正方体，请问这个正方体 2 号面的对面是几号面？ 【解析】 思路：利用正方体展开图的“对面”规律。在常见的“1-3-2”型展开图中，中间一行三个面，下边两个面，利用“Z”字形两端的面互为对面。 结论：根据图形结构分析，2号面与6号面不相邻且处于相对位置。 答案：6号面。 【例题 2】质数长方体的体积求解 题目：一个长方体，正面与上面的面积之和为 209，已知长、宽、高均为质数，求这个长方体的体积。 【解析】 设未知数：设长方体的长、宽、高分别为 （均为质数）。 列方程：正面面积 = ，上面面积 = 。 质数拆分：将 209 分解质因数： 。 若 ，则 。寻找两个质数和为19： 。 若 ，则 。寻找两个质数和为11：无解（因为 2+9 不成立，9非质数；3+8不成立...）。 确定三边：故三边为 。 计算体积： 。 【答案】 ：374 【例题 3】立体切割与百分比 题目：一个棱长为 5 厘米的正方体，在左上方截去一个长、宽、高分别为 5cm、3cm、2cm 的小长方体，求原正方体表面积减少的百分比。 【解析】 原表面积： 平方厘米。 截去分析：截去的小长方体位于“角”上（左上方），会暴露出新的面。 减少的面积： 4个外表面（前、侧2、上）。 增加的面积：前，上. 两者合起来，表面积少了两个3乘2的侧面积。 答：降幅为 8%。 【答案】 ：8% 三、 拓展例题精讲 【拓展例题 1】拼接组合体的体积 题目：三个完全相同的正方体按图示粘接组合，表面积比原来总和减少 16 平方厘米，求组合后立体图形的体积。 【解析】 分析拼接：3个正方体排成一排拼接，会有 2 处接触面，每接触一次减少 2 个面的面积（共减少 4 个面）。 计算单面面积：减少的总面积为 16 平方厘米。 求棱长：正方形面积为 4，则棱长 厘米。 求体积：单个体积 = 。总体积 = 。 【答案】 ：24 立方厘米 【拓展例题 2】无盖长方体容器 题目：从长 13cm、宽 9cm 的长方形硬纸板四角，各剪掉边长为 2cm 的正方形，再沿虚线折成无盖长方体容器，求容器的容积。 【解析】 确定底面尺寸： 新长方体的高 = 剪去的正方形边长 = 2 cm。 新长方体的长 = 原长 - 2 × 高 = cm。 新长方体的宽 = 原宽 - 2 × 高 = cm。 计算容积： 【答案】 ：90 立方厘米 【拓展例题 3】内切圆柱与正方体 题目：正方体纸盒内部恰好放入一个体积为 628 立方厘米的圆柱体（圆柱底面直径、高都等于正方体棱长），取 ，求正方体纸盒的容积。 【解析】 设棱长：设正方体棱长为 。 圆柱参数：圆柱底面直径 = ，半径 ；圆柱高 。 列体积公式： 代入数值： 结论： 即为正方体的容积。 【答案】 ：800 立方厘米 四、 基础练习 1.正方体展开图折叠后，判断 2 号面的对面是几号面。 2.长方体正面与上面面积和为 209，长宽高都是质数，求体积。 3.棱长 5cm 正方体截去小长方体，求表面积减少的百分比。 五、拓展练习 1.三个相同正方体拼接，表面积减少 16 平方厘米，求组合体积。 2.长 13cm、宽 9cm 长方形纸板四角剪去 2cm 正方形，折无盖长方体求容积。 3.正方体内切圆柱体积 628 立方厘米，求正方体容积。 六、基础练习参考答案 1. 答案：5 号面 解析：依据正方体展开图对面规律直接判断。 2. 答案：374 解析：，质数拆分只有 ，长宽高为 11、17、2，体积 。 3. 答案：8% 解析：原表面积 ，减少面积 ，降幅 。 七、拓展练习参考答案 1. 答案：24 立方厘米 解析：拼接减少 4 个面，单面积 ，棱长 2cm，体积 。 2. 答案：90 立方厘米 解析：折后长 9cm、宽 5cm、高 2cm，容积 。 3. 答案：800 立方厘米 解析：由圆柱体积公式推得 ，即正方体容积 800 立方厘米。 【教学总结】 本讲重点在于“动态”思维：折叠、切割、拼接。同学们在复习时，务必牢记： ①切与拼：只改变表面积，不改变总体积（除非挖去）。 ②内切问题：找直径与棱长的等量关系。 ③展开图：多用排除法和相对位置法。 学科网（北京）股份有限公司 $