奥数：第10讲 空间想象力训练（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版

【人教版】小学六年级下数学奥数：第10讲：空间想象力综合训练（上）

【课程导言】

空间想象力是小学几何学习的重难点。本讲将通过正方体展开图、立体切割、拼接组合等经典题型，帮助同学们建立三维视角，掌握“立体转平面，平面构立体”的核心思维。

一、 核心知识点梳理

本讲主要涵盖以下六大核心考点：

序号	知识模块	核心技巧与方法
1	正方体展开图	掌握“对面”与“邻面”的快速判断法则（如“Z”字形两端、间隔排列等）。
2	质数长方体	利用长、宽、高均为质数的特性，结合面积和进行因数分解（质数拆分）。
3	切割与表面积	理解“截去”操作对表面积的影响（通常减少两个面或改变接触面）。
4	拼接组合体	掌握拼接处“重合面”数量的计算，理解表面积减少量与体积不变性的关系。
5	无盖容器制作	掌握“剪角折盒”模型，明确底面长宽与剪去小正方形边长的关系。
6	内切立体	理解正方体内切圆柱（或圆）时，直径与棱长的相等关系。

二、 经典例题精讲

【例题 1】正方体的折叠与对面判断

题目：将硬纸片沿虚线折叠围成一个正方体，请问这个正方体 2 号面的对面是几号面？

【解析】

思路：利用正方体展开图的“对面”规律。在常见的“1-3-2”型展开图中，中间一行三个面，下边两个面，利用“Z”字形两端的面互为对面。

结论：根据图形结构分析，2号面与6号面不相邻且处于相对位置。

答案：6号面。

【例题 2】质数长方体的体积求解

题目：一个长方体，正面与上面的面积之和为 209，已知长、宽、高均为质数，求这个长方体的体积。

【解析】

设未知数：设长方体的长、宽、高分别为  （均为质数）。

列方程：正面面积 =  ，上面面积 =  。

质数拆分：将 209 分解质因数： 。

若  ，则  。寻找两个质数和为19： 。

若  ，则  。寻找两个质数和为11：无解（因为 2+9 不成立，9非质数；3+8不成立...）。

确定三边：故三边为  。

计算体积： 。

【答案】 ：374

【例题 3】立体切割与百分比

题目：一个棱长为 5 厘米的正方体，在左上方截去一个长、宽、高分别为 5cm、3cm、2cm 的小长方体，求原正方体表面积减少的百分比。

【解析】

原表面积： 平方厘米。

截去分析：截去的小长方体位于“角”上（左上方），会暴露出新的面。

减少的面积： 4个外表面（前、侧2、上）。

增加的面积：前，上.

两者合起来，表面积少了两个3乘2的侧面积。

答：降幅为 8%。

【答案】 ：8%

三、 拓展例题精讲

【拓展例题 1】拼接组合体的体积

题目：三个完全相同的正方体按图示粘接组合，表面积比原来总和减少 16 平方厘米，求组合后立体图形的体积。

【解析】

分析拼接：3个正方体排成一排拼接，会有 2 处接触面，每接触一次减少 2 个面的面积（共减少 4 个面）。

计算单面面积：减少的总面积为 16 平方厘米。

求棱长：正方形面积为 4，则棱长   厘米。

求体积：单个体积 =  。总体积 =  。

【答案】 ：24 立方厘米

【拓展例题 2】无盖长方体容器

题目：从长 13cm、宽 9cm 的长方形硬纸板四角，各剪掉边长为 2cm 的正方形，再沿虚线折成无盖长方体容器，求容器的容积。