【基础+奥数】小升初重点专题：式与方程（专项训练）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

**基本信息** 以“式与方程”为核心，构建从代数式表示到方程应用的完整训练体系，通过分层题型培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数式表示|选择1-3、填空7-9|用字母抽象数量关系，结合几何图形理解式的意义|从具体情境到符号表达，建立代数思维基础| |方程求解|填空10-12、计算15|等量关系分析，利用运算律简化求解|概念（方程定义）→技能（解方程）→应用（问题解决）| |综合应用|解答16-22|复杂情境中等量关系建模，跨学科问题转化|从单一问题到多变量综合，培养数学思维与表达能力|

【基础 奥数】小升初重点专题：式与方程-2025-2026学年数学六年级下册人教版 一、选择题 1．x与y和的7倍，可以用式子（    ）表示。 A．x＋7y B．7x＋y C．7（x＋y） D．7（x－y） 2．如图，三角形a边上的高为b，c边上的高为d。根据这些信息，判断下面式子中错误的是（    ）。 A．d∶a＝b∶c B．a∶c＝b∶d C．a∶c＝d∶b D．c∶a＝b∶d 3．下面不能用方程“”来表示的是（    ）。 A． B． C． D． 4．一个长方体的长、宽、高分别是米、米、米，如果长增加2米，新长方体的表面积增加（    ）平方米。 A． B． C． D． 5．一辆客车平均每小时行驶90千米，3小时行驶的路程比货车4小时行驶的路程还多60千米。假设货车平均每小时行驶x千米，则下列方程错误的是（    ）。 A．90×3－4x＝60 B．4x－60＝90×3 C．4x＝90×3－60 D．4x＋60＝90×3 6．两个底面半径相等的圆锥体和圆柱体，它们的体积之比是1∶4，已知圆柱体的高是8分米，那么圆锥体的高是（    ）分米。 A．3 B．6 C．9 D．51 二、填空题 7．航天员投篮比赛，投中一次得2分，张明投中5次，王丁比张明多得a分，王丁投中( )次。 8．学校航模小组的预备宇航员有男生b人，女生人数比男生的3倍少8人，航模小组共有( )人；当b＝12时，航模小组共有( )人，他们将一起完成太空模拟任务。 9．某公司上半年投放了x辆共享单车，下半年比上半年多投放500辆，该公司全年一共投放了( )辆。 10．有一个空的长方体容器A和一个盛有水的长方体容器B，水深24厘米，将容器B中的水倒一部分到容器A中，使两个容器中水的高度相等，这时水深是( )厘米。 11．小马虎在计算15×（a＋0.78）时，把0.78看成了0.18，那么错误的计算结果与正确的计算结果相差( )。 12．在一道减法算式里，被减数、减数与差的和是480，差是减数的4倍，被减数是( )，差是( )。 13．用●按规律摆成下列图案，第( )个图案中有25个●。第n个图案中有( )个●。 三、计算题 14．口算。 2.4÷0.6＝    1.25×1.6＝        8.8÷0.22＝    0.25×9×4＝     0.84－0.4＝    26.26÷26＝    2－0.08＝     15．解方程。                                              四、解答题 16．东方小学新建教学大楼，实际造价45万元，比原计划节约了。原计划造价多少万元？（用方程解） 17．甲、乙两城相距360千米。两列火车分别从两城出发，相向而行。从甲城开出的火车平均每小时行驶90千米，它开出1小时后，另一列火车从乙城开出，又经过1.2小时两车相遇。从乙城开出的火车平均每小时行驶多少千米？ 18．管理员把一些竹子分给若干只大熊猫。若每只大熊猫分15棵，则还多余10棵竹子；若大熊猫的数量增加到原来的3倍还少5只，则每只大熊猫分6棵竹子还缺少8棵竹子。大熊猫有多少只？竹子有多少棵？（列方程解答） 19．某工厂五月份计划生产一批零件，上半月完成了计划的，下半月比上半月多完成了50个，结果实际比计划多生产了450个，五月份计划生产零件多少个？（用方程解答） 20．某停车场实施分段计费：不超过10个小时的部分每小时5元；超过10的小时不超过24小时的部分每小时4元；超过24小时的部分每小时3元（按整数小时计时收费，不足1小时的部分按1时间计算）。李老师两次在停车场停车共计40小时，停车费共交了176元。求两次停车各多长时间？ 21．2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为19克/立方厘米，铜的密度约为9克/立方厘米，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。 阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是950克； 第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有60毫升。 （提示：密度＝质量÷体积；纯金和铜混合后，质量、体积均等于它们两者之和） （1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。 （2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？ 22．如图，有一个圆锥体容器和一个不规则的透明容器（上下均为圆柱体，可封闭），上、下圆柱高度相等，图1圆锥体的底面直径和高都为6厘米，图2上面的圆柱体底面直径为6厘米，是下面圆柱体底面直径的（容器厚度忽略不计，结果保留）。 (1)求圆锥体的容积是多少立方厘米？ (2)将圆锥容器内装满水注入到图2的容器中，连续10次刚好装满该容器，求这个不规则容器的表面积是多少平方厘米？ (3)在（2）的条件下，如果将圆锥容器内装满水注入到图2的容器中，并且注入几次后停止，将不规则容器密封后倒置，容器倒置前与倒置后的水位高度之比为4∶5，求共注水几次？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《【基础 奥数】小升初重点专题：式与方程-2025-2026学年数学六年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B D B B B 1．C 【分析】根据题意，用加法先求出x与y的和，再乘7求出和的7倍。 【详解】（x＋y）×7＝7（x＋y），所以x与y和的7倍，可以用式子7（x＋y）表示。 2．B 【分析】三角形面积＝底×高÷2，所以a×b÷2＝c×d÷2，即ab＝cd；根据比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积，即可找到成立的比例式。 【详解】a×b÷2＝c×d÷2，即ab＝cd。 A．d∶a＝b∶c，ab＝cd，成立。 B．a∶c＝b∶d，ad＝cb，不成立。 C．a∶c＝d∶b，ab＝cd，成立。 D．c∶a＝b∶d，ab＝cd，成立。 错误的是a∶c＝b∶d。 3．D 【分析】A．从图可知：把一条线段看作单位“1”，平均分成4份，其中的3份是x，则1份的长是，3份的长＋1份的长＝60来列出方程； B．梯形被分成一个空白三角形和一个阴影三角形，且阴影三角形的底5厘米，是空白三角形底15厘米的。因为三角形的面积＝底×高÷2，所以阴影三角形的面积是空白三角形面积，根据两个三角形的面积和＝梯形的面积60平方厘米列出方程； C．圆柱的体积是与它等底等高圆锥体积的，且圆柱的体积是x立方厘米，根据圆锥的体积＋圆柱的体积＝60立方厘米列出方程。 D．从图可知：总面积60平方厘米被平均分成3份，种蔬菜的面积是x平方厘米，占其中2份，则每份是平方厘米，根据种蔬菜的面积＋空白部分的面积＝60平方厘米列出方程。 【详解】A．每段的线段长，结合图形可列出方程：，不符合题意； B．空白三角形的面积是x平方厘米，阴影三角形的面积是平方厘米，结合图形可列出方程：，不符合题意； C．圆柱的体积是x立方厘米，圆锥的体积是立方厘米，结合图形可列出方程：，不符合题意； D．每份的面积是平方厘米，种蔬菜的面积是x平方厘米，空白的1份面积是平方厘米，结合图示可列出方程：，符合题意。 4．B 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别求出原来和新长方体的表面积，再相减即可。 【详解】新长方体的表面积增加： [（a＋2）×b＋（a＋2）×h＋b×h）]×2－（a×b＋a×h＋b×h）×2 ＝[ab＋2b＋ah＋2h＋bh]×2－（2ab＋2ah＋2bh） ＝2ab＋4b＋2ah＋4h＋2bh－2ab－2ah－2bh ＝4b＋4h ＝4（b＋h）（平方米） 5．B 【分析】根据题意先找等量关系：客车3小时行驶的路程＝货车4小时行驶的路程＋60千米，代入数值可得原式：90×3＝4x＋60，对这个等式变形，判断各个选项。 【详解】A．90×3−4x＝60，根据等式性质，两边同时加4x，得到90×3－4x＋4x＝60＋4x，整理得：90×3＝4x＋60，符合变形，方程正确； B．4x－60＝90×3，根据等式性质，两边同时加60，得到4x－60＋60＝90×3＋60，整理得：4x＝90×3＋60，含义是货车4小时路程比客车3小时路程多60千米，和题意相反，方程错误； C．4x＝90×3−60，根据等式性质，两边同时加60，得到4x＋60＝90×3−60＋60，整理得：4x＋60＝90×3符合变形，方程正确； D．4x＋60＝90×3，就是原式，方程正确。 6．B 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×；圆锥体和圆柱体的底面半径相等，则圆锥体的底面积＝圆柱体的底面积，圆锥体的体积∶圆柱体的体积＝1∶4，即圆锥体的高×∶圆柱的高＝1∶4，设圆锥体的高是x分米，列比例：x∶8＝1∶4，解比例，即可解答。 【详解】解：设圆锥体的高是x分米。 x∶8＝1∶4 x×4＝1×8 x＝8 x＝8÷ x＝8× x＝6 圆锥体的高是6分米。 7．5＋a÷2/a÷2＋5 【分析】已知王丁比张明多得a分，投中一次得2分，可以求出王丁比张明多投中的次数，用张明投中的次数加上它，即可求出王丁投中的次数。 【详解】王丁比张明多投中的次数：（a÷2）次，已知张明投中5次，所以王丁投中的次数：（5＋a÷2）次，也可以写为（a÷2＋5）次。 8． 40 【分析】学校航模小组的预备宇航员有男生b人，女生人数比男生的3倍少8人，由此推导出女生人数，男生人数与女生人数加起来就是航模小组的总人数。当b＝12时，代入数值即可求得总人数。 【详解】女生人数： 总人数＝男生人数＋女生人数 （人） 代入数值b＝12 （人） 9．2x＋500/500＋2x 【分析】某公司上半年投放了x辆共享单车，下半年比上半年多投放500辆，先用上半年投放的辆数加上500，求出下半年投放的辆数，再加上上半年投放的辆数，即可求出该公司全年一共投放了多少辆。 【详解】x＋500＋x＝（2x＋500）辆 10．8 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，分析题目，设水深x厘米，容器A中水的体积等于长是40厘米、宽是30厘米、高是x厘米的长方体的体积，容器B中水的体积等于长是30厘米、宽是20厘米、高是x厘米的长方体的体积，水的总体积等于长是30厘米、宽是20厘米、高是24厘米的长方体的体积，根据等量关系：容器A中水的体积＋容器B中水的体积＝水的总体积列出方程，最后解出方程即可。 【详解】解：设水深x厘米。 40×30x＋30×20x＝30×20×24 1200x＋600x＝600×24 1800x＝14400 1800x÷1800＝14400÷1800 x＝8 这时水深是8厘米。 11． 9 【分析】首先分别写出正确的算式和错误的算式。要求错误的计算结果与正确的计算结果相差多少，即用正确的算式减去错误的算式（或反之，求差值）。观察两个算式，发现都有相同的因数15和相同的字母项15×��。利用乘法分配律或减法的性质，将相同的项抵消，只计算不同部分的差值。最后计算出数值结果。 【详解】正确的算式为：15×（��＋0.78），错误的算式为：15×（��＋0.18）， 两个结果的差为： 15×（��＋0.78）－15×（��＋0.18） ＝15×��＋15×0.78－（15×��＋15×0.18） ＝15×��＋15×0.78－15×��－15×0.18 ＝（15×��－15×��）＋（15×0.78－15×0.18） ＝15×0.78－15×0.18 ＝15×（0.78－0.18） ＝15×0.6 ＝9 错误的计算结果与正确的计算结果相差9。 12． 240 192 【分析】将减数设为，由差是减数的4倍，可知差为，即差为；在减法算式中，被减数＝减数＋差，可得被减数为即为。根据被减数、减数与差的和是480列出方程，解答即可。 【详解】解：设减数为，则差是，被减数是。 48×5＝240 48×4＝192 13． 5 n2 【分析】观察图形可知，第1个、2个、3个、4个图案中有1个、4个、9个、16个●，据此发现：1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，按此规律解答。 【详解】第1个图案中有1个●，1＝12； 第2个图案中有4个●，4＝22； 第3个图案中有9个●，9＝32； 第4个图案中有16个●，16＝42； …… 规律：第n个图案中有n2个●。 n2＝25 因为25＝52，所以n＝5。 14．4；2；0.09x；40；9； 6m；0.44；1.01；1.92；1 【解析】略 15． =0.5；=；=25 【分析】第一个：根据比例的基本性质，原式化为：12x＝15×0.4，再根据等式的性质2，等式两边同时除以12即可求解； 第二个：根据比例的基本性质，原式化为：4.2x＝6×5.1，再根据等式的性质2，等式两边同时除以4.2即可求解； 第三个：把分数和百分数化成小数，即原式变为：1.2x＋0.25x＝36.25，再化简等号左边的式子，最后根据等式的性质2，等式两边同时除以1.2＋0.25的和即可求解； 【详解】 解： 解： 解：1.2＋0.25＝36.25 1.45＝36.25 ＝36.25÷1.45 ＝25 16．50万元 【分析】把原计划造价看作单位“1”，实际造价比原计划节约了，则实际造价是原计划的。设原计划造价为万元，根据“原计划造价×＝实际造价”这一数量关系列出方程求解即可。 【详解】解：设原计划造价万元。 答：原计划造价万元。 17． 135千米 【分析】根据题意，甲车先单独行驶1小时，随后两车共同行驶1.2小时相遇。解题的关键在于找到等量关系：总路程减去甲车先行驶的路程，等于两车共同行驶的路程。设乙车速度为未知数，利用速度和乘共同行驶时间等于共同路程的关系列出方程求解。 【详解】解：设从乙城开出的火车平均每小时行驶 x 千米。 答：从乙城开出的火车平均每小时行驶135千米。 18． 16只；250棵 【分析】设原有大熊猫只，根据第一种分配方案，竹子总数可表示为（）棵；根据第二种分配方案，大熊猫数量变为（）只，竹子总数可表示为（）棵。根据“竹子总数相等”这一等量关系可列方程为，先化简，再根据等式的性质求出的值，即为大熊猫的只数，把的值代入中求出结果，即为竹子的棵数。 【详解】解：设大熊猫有只。 ＝ ＝240＋10 ＝250 答：大熊猫有16只，竹子有250棵。 19． 2400个 【分析】将五月份计划生产零件的个数看作单位“1”，设计划生产零件x个。根据题意，上半月完成量为个，下半月完成量为个。实际生产总量等于上半月与下半月完成量之和，同时也等于计划生产量加上超产的450个。依据“上半月完成量＋下半月完成量＝计划生产量＋超产量”这一等量关系列出方程求解。 【详解】解：设五月份计划生产零件x个。 答：五月份计划生产零件2400个。 20．12小时；28小时 【分析】假设一次停10小时，另一次停30小时，则停车费为：（10＋10）×5＋（24－10）×4＋（30－24）×3＝174（元），小于176元，所以判断两次停车都会超过10小时；假设两次停车都是在10—24小时内，那么停车费为：5×（10＋10）＋4×（40－10－10）＝180（元），180＞176，所以两次停车，一次停车时间在10—24小时内，另一次停车时间超过24小时；设一次停车x小时，10＜x＜24小时，则另一次停车（40－x）小时；根据停车收费标准，不超过10是小时的部分每小时5元，超过10小时没超过24小时的部分每小时4元，超过24小时部分每小时3元，列方程：5×10＋4×（x－10）＋5×10＋4×14＋3×（40－x－24）＝176，据此即可解答。 【详解】假设有一次停10小时，另一次停30小时。 （10＋10）×5＋（24－10）×4＋（30－24）×3 ＝100＋14×4＋6×3 ＝100＋56＋18 ＝174（元） 174＜176 所以两次停车都会超过10小时。 假设两次停车都是在10—24小时内。 5×（10＋10）＋4×（40－10－10） ＝100＋80 ＝180（元） 180＞176，所以两次停车，一次停车时间在10—24小时内，另一次停车时间超过24小时。 解：设一次停车x小时（10＜x＜24），则另一次停车（40－x）小时。 5×10＋4×（x－10）＋5×10＋4×14＋3×（40－x－24）＝176 50＋4x－40＋50＋56＋3×（16－x）＝176 10＋4x＋50＋56＋3×16－3x＝176 60＋56＋4x＋48－3x＝176 116＋48＋x＝176 164＋x＝176 x＝176－164 x＝12 40－12＝28（小时） 答：两次停车时间分别是12小时和28小时。 【点睛】判断出两次停车时间在哪个时间段是解答本题的关键。 21．（1）被掺了铜；计算见详解 （2）171克 【分析】（1）确定皇冠体积：根据排水法原理，物体浸没时排开水的体积等于物体自身的体积，因此皇冠体积为60毫升（即60立方厘米）；计算实际密度：利用密度公式“密度＝质量÷体积”，代入皇冠质量950克和体积60立方厘米，得到实际密度约为15.83克/立方厘米； 比较判断：纯金的密度为19克/立方厘米，实际密度（15.83克/立方厘米）小于纯金密度，说明皇冠中掺了密度更小的铜，不是纯金。 （2）根据金的体积＋铜的体积＝这顶皇冠的体积列方程解答，设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）克，再根据体积＝质量÷密度，分别表示出金的体积为（950－x）÷19，铜的体积为x÷9，相加即为皇冠的体积60立方厘米。列方程为：（950－x）÷19＋x÷9＝60，写成分数形式，先通分，再根据等式性质2两边同时乘19×9，左边的式子合并化简，利用等式性质1和2再解方程。 【详解】（1）950÷60≈15.83（克/立方厘米） 15.83＜19 答：这顶皇冠被掺了铜。 （2）解：设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）克。 答：皇冠被掺了171克铜。 【点睛】本题关键是根据题意找到等量关系式金的体积＋铜的体积＝这顶皇冠的体积列方程解答。 22．(1)18π立方厘米 (2)144π平方厘米 (3)9次 【分析】（1）已知图1圆锥体的底面直径和高都为6厘米，根据圆锥的体积（容积）公式V＝πr2h，求出圆锥体的容积。 （2）已知图2上面的圆柱体底面直径为6厘米，是下面圆柱体底面直径的，把下面圆柱体的底面直径看作单位“1”，单位“1”未知，用上面圆柱体的底面直径除以，求出下面圆柱体的底面直径。 将圆锥容器内装满水注入到图2的容器中，连续10次刚好装满该容器，用圆锥的容积乘10，求出图2容器中水的体积。图2容器上下均为等高的圆柱体，可以看作两个底面积相加的大圆柱；根据圆柱的高h＝V÷S，即用水的体积除以大、小圆柱的底面积之和，求出图2大、小圆柱的高。 因不规则容器可封闭，把小圆柱的上底面向下平移，补给大圆柱的上底面，这样大圆柱的表面积是完整的，小圆柱的表面积只需计算侧面积，即不规则容器的表面积＝大圆柱的侧面积＋大圆柱的2个底面积＋小圆柱的侧面积，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算求解。 （3）根据容器倒置前与倒置后的水位高度之比为4∶5，可以设容器倒置前与倒置后的水位高度分别为4厘米和5厘米。分三种情况： 情况一：正向放置和反向放置时，水都没有进入上面的圆柱； 情况二：正向放置时，水没有进入上面的圆柱；反向放置时，水进入上面的圆柱； 情况三：正向放置和反向放置时，水都进入上面的圆柱； 根据倒置前后水的体积不变，据此列出相应的方程，并求解，进而求出不规则容器中注入水的总体积； 最后用不规则容器中水的总体积除以圆锥的容积，求出注水的次数。 【详解】（1）×π×（6÷2）2×6 ＝×π×32×6 ＝×π×9×6 ＝18π（立方厘米） 答：圆锥体的容积是18π立方厘米。 （2）大圆柱的底面直径： 6÷ ＝6×2 ＝12（厘米） 大圆柱的底面半径：12÷2＝6（厘米） 小圆柱的底面半径：6÷2＝3（厘米） 不规则容器中水的体积：18π×10＝180π（立方厘米） 大、小圆柱的高： 180π÷（π×62＋π×32） ＝180π÷（π×36＋π×9） ＝180π÷45π ＝180÷45 ＝4（厘米） 不规则容器的表面积： π×12×4＋π×62×2＋π×6×4 ＝π×12×4＋π×36×2＋π×6×4 ＝48π＋72π＋24π ＝144π（平方厘米） 答：这个不规则容器的表面积是144π平方厘米。 （3）解：设容器倒置前与倒置后的水位高度分别为4厘米和5厘米。 情况一：正向放置和反向放置时，水都没有进入上面的圆柱。 π×62×4＝π×32×5 π×36×4＝π×9×5 144π＝45π 因为144≠45，所以＝0，不符合题意，舍去。 情况二：正向放置时，水没有进入上面的圆柱；反向放置时，水进入上面的圆柱。 π×62×4＝π×32×4＋π×62×（5－4） π×36×4＝π×9×4＋π×36×（5－4） 144π＝36π＋π×36×5－π×36×4 144π＝36π＋180π－144π 144π＝180π－108π 180π－144π＝108π 36π＝108π 36＝108 ＝108÷36 ＝3 正向放置时，水深：4×3＝12（厘米），12厘米＞4厘米，不符合正向放置时，水没有进入上面的圆柱的假设，不符合题意，舍去。 情况三：正向放置和反向放置时，水都进入上面的圆柱。 π×62×4＋π×32×（4－4）＝π×32×4＋π×62×（5－4） π×36×4＋π×9×（4－4）＝π×9×4＋π×36×（5－4） 144π＋π×9×4－π×9×4＝36π＋π×36×5－π×36×4 144π＋36π－36π＝36π＋180π－144π 108π＋36π＝180π－108π 180π－36π＝108π＋108π 144π＝216π 144＝216 ＝216÷144 ＝1.5 正向放置时，水深：4×1.5＝6（厘米），6厘米＞4厘米； 反向放置时，水深：5×1.5＝7.5（厘米），7.5厘米＞4厘米； 符合正向放置和反向放置时，水都进入上面的圆柱，假设成立。 注入水的总体积： π×62×4＋π×32×（4×1.5－4） ＝π×36×4＋π×9×（6－4） ＝π×36×4＋π×9×2 ＝144π＋18π ＝162π（立方厘米） 注水次数：162π÷18π＝9（次） 答：共注水9次。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $