第4章《三角形》期末单元复习卷（一） 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦三角形核心概念与性质，通过基础辨析、性质应用及综合探究题组，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5题（选择1、填空11等）|三角形分类、三边关系等辨析题|从三角形定义出发，建立分类标准与三边关系的概念体系| |性质应用|10题（选择2、填空12等）|中线、全等判定、折叠等图形推理题|以全等三角形判定为核心，关联中线、角平分线等性质的应用| |综合探究|10题（解答20、25等）|动态问题、多问证明等综合题|整合等边三角形、等腰直角三角形性质，形成从静态到动态的问题解决路径|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第四章 三角形 期末单元复习卷 (一 ) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（     ） A. B. C. D. 2.如图,是的中线,已知的周长为比长,则的周长为 （       ） A. B. C. D. 3.如图，，，，交于点，补充下列（     ）条件，无法得到． A. B. C. D. 4.如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A. B. C. D. 5.如图，，，，则为（       ） A. B. C. D. 6.如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，∠BAF=60°，那么∠DAE等于（     ） A.45° B.30 ° C.15° D.60° 7.如图，，．，，垂足分别是点D、E，，，则的长是（       ） A. B. C.3 D.2 8.如图，为等腰直角三角形，延长至A，连接，作的角平分线交于F，且于E．若，的面积为360，则的长度为（       ）     A.6 B.7 C.8 D.9 9.如图，是的中线，连接，的面积是20，则的面积是（       ） A.2.5 B.3 C.3.5 D.5 10.如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（       ）秒时，与全等． A.2或 B.2或或10 C.1或 D.2或或12 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.一个三角形的两边长为12和9，第三边长为整数．则第三边长的最小值为________． 12.工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．利用所学知识可知他构造全等三角形的依据是         ． 13.如图，已知：是的角平分线，是的高，，，则的度数为            ． 14.如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ________ ． 15.如图，在中，，角平分线、交于点，于点．下列结论；①；②；③；④，其中正确结论是            ． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(6分) 如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是，已知． （1）画出中边上的中线； （2）画出中边上的高； （3）直接写出的面积是________. 17.(7分) 已知三条线段、、满足，且𝑐 是能与线段 𝑎 , 𝑏 构成三角形的最大奇数． （1）求、、的值； （2）若、、分别是的三边，判断三角形形状，并求边上高的长度． 18.(7分) 如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树； ②沿河岸直走有一树，继续前行到达处； ③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处时停止行走； ④测得的长为米． 根据他们的做法，回答下列问题： （1）河的宽度是多少米？ （2）请你证明他们做法的正确性． 19.（8分）如图，已知，点C和点E，点A和点F是对应顶点，，，，，求的长，以及，的度数． 20.(8分) 如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． （1）求证：； （2）求． 21.(10分) 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）请判断、有何大小、位置关系，并证明． 22.(10分) 如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．求证： （1）； （2）． 23.(10分) 如图，，，，交于点E，．     （1）求的度数； （2）平行于吗？说明理由； （3）求∠BAC的度数． 24.(11分) 如图，等腰，，直线过顶点，分别过点，作，垂足分别为点，．的平分线交于点，交于点，连接，恰好满足，延长交于点． （1）说明：； （2）猜想：线段之间有怎样的数量关系，并说明理由． 25.(13分) 已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； （3）当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第四章 三角形 期末单元复习卷 (一 ) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据三角形按角分类的方法一一判断即可. 【解答】 解：观察图形可知: A、露出的角是直角，因此是直角三角形; B、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型; C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型; D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形. 故选：C.  2.如图,是的中线,已知的周长为比长,则的周长为 （       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题暂无解析 【解答】 是边上的中线,, 和周长的差, 的周长为比长, 的周长为故选 3.如图，，，，交于点，补充下列（     ）条件，无法得到． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据全等三角形的判定定理，结合已知条件∠ACB = ∠DBC = 90°和公共边BC，逐一分析各选项即可得出结论； 【解答】 解：∵ AC ⊥ BC，BD ⊥ BC， ∴ ∠ACB = ∠DBC = 90°， 在 △ ABC和 △ DCB中，已知公共边BC = CB， 选项 A、若∠A = ∠D，利用AAS可证 △ ABC ≌ △ DCB，不符合题意； 选项 B、若AC = BD，利用SAS可证 △ ABC ≌ △ DCB，不符合题意； 选项 D、若∠ABC = ∠DCB，利用ASA可证 △ ABC ≌ △ DCB，不符合题意； 选项 C、∠AOC与∠DOB 为对顶角，始终相等，无法得到边或角的相等关系，不能判定 △ ABC ≌ △ DCB，符合题意． 4.如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据全等三角形对应角相等求出∠D的度数，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解. 【解答】 解： 是的外角， 5.如图，，，，则为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由可得，推出，结合，，即可求解． 【解答】 解： ， ， ，即， ，， ， 故选：． 6.如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，∠BAF=60°，那么∠DAE等于（     ） A.45° B.30 ° C.15° D.60° 【答案】 C 【解析】 先根据矩形的性质得到 ，再根据折叠的性质即可得到结果. 【解答】 解： ABCD是长方形， 解： ABCD是长方形， 长方形ABCD沿AE折叠， 故选C. 7.如图，，．，，垂足分别是点D、E，，，则的长是（       ） A. B. C.3 D.2 【答案】 A 【解析】 本题考查全等三角形的判定和性质；根据已知条件可以得出 ，进而得出 ，就可以得出 BE = DC，就可以求出DE的值. ，就可以求出DE的值. 【解答】 解： 在 和 中， 故选：A. 8.如图，为等腰直角三角形，延长至A，连接，作的角平分线交于F，且于E．若，的面积为360，则的长度为（       ）     A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】 A 【解析】 证明 ，得出 ，求出 ，根据 的面积为360，得出 ，证明 ，得出 ，求出 即可. 【解答】 解： 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为360， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故A正确. 故选：A. 9.如图，是的中线，连接，的面积是20，则的面积是（       ） A.2.5 B.3 C.3.5 D.5 【答案】 D 【解析】 根据CE是AB边上的中线，得到 ，根据AD是BC边上的中线， 解答即可. 【解答】 解： CE是AB边上的中线， 的面积等于20， AD是BC边上的中线，   10.如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（       ）秒时，与全等． A.2或 B.2或或10 C.1或 D.2或或12 【答案】 A 【解析】 本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键分点Q在BC上，点P在AC上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可. 【解答】 解： ①如图1，Q在BC上，点P在AC上时，作PE ，QF 图1 由题意得， 当 时， 则PC=CQ， 即 解得：t=2； ②如图2，当点P与点Q重合时， 图2 由题意得， 当 则PC=CQ, 解得： ③如图3，当点Q与A重合时， 图3 由题意得， 当 则PC=CQ， 即 t-6=6, 解得：t=12； 此时点Q与点A不重合，舍去； 当综上所述：当 t=2秒或 秒时， 与 全等，故选A. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.一个三角形的两边长为12和9，第三边长为整数．则第三边长的最小值为__4______． 【答案】 4 【解析】 本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的三边关系，第三边必须大于两边之差且小于两边之和，求出第三边的取值范围，然后根据第三边长为整数，求出最小值即可. 【解答】 解：设第三边长为c，则 即 为整数， 的最小值为4. 故答案为：4. 12.工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．利用所学知识可知他构造全等三角形的依据是         ． 【答案】 【解析】 根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出答案即可． 【解答】 解：在和中， ， ， 即是的平分线 13.如图，已知：是的角平分线，是的高，，，则的度数为     70°        ． 【答案】 【解析】 根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再求出，然后利用三角形的内角和等于列式计算即可得解． 【解答】 解：是的角平分线，，， 是的高， ， ， ， ， 在中，， 故此题答案为：． 14.如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 __20______ ． 【答案】 20 【解析】 本题主要考查了三角形全等的性质，根据 ，得出 ，，根据 ，得出 ，即可得出答案． 【解答】 解：， ，， ， ， 故答案为：20． 15.如图，在中，，角平分线、交于点，于点．下列结论；①；②；③；④，其中正确结论是     ①③④       ． 【答案】 ①③④ 【解析】 过点作于点，由角平分线的性质定理可得，然后结合三角形面积公式即可判断结论①；首先求得，假设，则，可求得，再根据，即可判断结论②；在上截取，连接，分别证明和，由全等三角形的性质可得，即可判断结论③；由全等三角形的定义和性质易得，，可知，即可判断结论④． 【解答】 解：如下图，过点作于点， 平分，，， ， ， 故结论①正确； ， ， 平分，平分， ， ， 设，则， ， ， ， 又， ， 故结论②错误； 在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故结论③正确； ，， ，， ， ， 故结论④正确． 综上所述，结论正确的为①③④． 故答案为：①③④． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(6分) 如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是，已知． （1）画出中边上的中线； （2）画出中边上的高； （3）直接写出的面积是___6_____. 【答案】 详见解析； 详见解析； 【解析】 （1）直接利用网格得出的中点，进而得出； （2）借助网格进而得出 （3）直接利用三角形的面积公式计算可得． 【解答】 （1）如图所示：中线即为所求； （2）如图所示：高线即为所求． （3）的面积 17.(7分) 已知三条线段、、满足，且𝑐 是能与线段 𝑎 , 𝑏 构成三角形的最大奇数． （1）求、、的值； （2）若、、分别是的三边，判断三角形形状，并求边上高的长度． 【答案】 a=3，b=4，c=5 是直角三角形， 【解析】 （1）利用绝对值和平方数的非负性，得出 a-3=0、b-4=0，求出a、b；再根据三角形三边关系确定c的取值范围，结合“最大奇数”的条件确定c. （2）通过计算三边的平方关系，利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形；再根据三角形面积的两种表示方法，列等式求出c边上的高h. 【解答】 （1）解： 解得： 是a、b、c能围成三角形的最大奇数， （2）为 的三边， ， ， 是直角三角形， 18.(7分) 如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树； ②沿河岸直走有一树，继续前行到达处； ③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处时停止行走； ④测得的长为米． 根据他们的做法，回答下列问题： （1）河的宽度是多少米？ （2）请你证明他们做法的正确性． 【答案】 证明见解析 【解析】 （1）由数学兴趣小组的做法可知河宽为米． （2）由角边角即可证得和全等，再由对应边相等可知． 【解答】 （1）解：由数学兴趣小组的做法可知，，故河宽为米 （2）由题意知，米 又光沿直线传播 又在和中有 19.（8分）如图，已知，点C和点E，点A和点F是对应顶点，，，，，求的长，以及，的度数． 【答案】 【解析】 利用全等三角形性质得对应边、对应角相等．由算出的长度，再根据对应边相等得到的长．由对应角相等直接得到的度数；再利用三角形内角和定理，先算出 中 的度数，最后根据对应角相等得到 的度数． 【解答】 解：，点和点、点和点是对应顶点， 在 中， . 20.(8分) 如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． （1）求证：； （2）求． 【答案】 见解析 60° 【解析】 （1）根据等边三角形的性质，结合“SAS”进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出 ，然后求出结果即可. 【解答】 （1）证明： 和 都是等边三角形， ， 即 ， 在 和 中 (SAS)； （2）解： 是等边三角形， ， 又 由(1)得 ， ， .  21.(10分) 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）请判断、有何大小、位置关系，并证明． 【答案】 见解答 ，，理由见解答 【解析】 （1）要证，现有，，需它们的夹角，而由很易证得． （2）由知，、有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证，需证，需证可由等腰直角三角形得出． 【解答】 （1）证明：，， ， 在和中， ， ． （2），，理由如下：由知， ，， ， ． ．即． ， ，． 22.(10分) 如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．求证： （1）； （2）． 【答案】 证明见解析 证明见解析． 【解析】 （1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证． 【解答】 （1）解：， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ； （2）由已证：， ， 又， 是线段的垂直平分线， ， 由可知，， ． 23.(10分) 如图，，，，交于点E，．     （1）求的度数； （2）平行于吗？说明理由； （3）求∠BAC的度数． 【答案】 ，理由见解析 【解析】 （1）由全等三角形的性质得到 ，进而可证明 （2）先由平行线的性质得到 ，由全等三角形的性质得到 ，则 ，即可证明 ； （3）由 ，可知 ，然后由 可求得 ，从而可求得 的度数. 【解答】 （1）解： ， （2）解： ，理由如下： ， ， （3）， ， 24.(11分) 如图，等腰，，直线过顶点，分别过点，作，垂足分别为点，．的平分线交于点，交于点，连接，恰好满足，延长交于点． （1）说明：； （2）猜想：线段之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】 见解答 ，理由见解答 【解析】 （1）证明，即可； （2）证明，得到，等角的余角相等，得到，进而得到，即可． 【解答】 （1）证明：因为，所以． 因为， 所以． 又因为， 所以． 所以． （2）．理由：因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 因为是的平分线， 所以， 因为，， 所以． 所以． 所以． 所以． 25.(13分) 已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； （3）当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 【答案】 见解析 见解析 或 (1) 由垂直得 ，结合题意证 ，利用全等的性质可证； (1) 由垂直得 ，结合题意证 ，利用至尊的性质可证， (2) 如图2，过点E作EN AM交AM延长线于点N，证 ，得到EN=AC，BC=NE，再证 即可得到结果； (3) 分两种情况求出结论即可. 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）证明： （2）证明：如图，过点E作 $ E N\bot AM交AM延长线于点N， (AAS) (AAS) · RM = FM ; （3）解：如图，当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，作EN 交AC的延长线于N， 设 ，则 ， AE AD, EN AN, (AAS) (AAS) 如下图，点D在射线BC上，作 交CA的延长线于G， 即GC=BD， 设CM=GM=n，则BD=CG=2n, 综上所述， 或 同理可证： 学科网（北京）股份有限公司 $