精品解析：广西桂林市国龙外国语学校2026届高三5月全真模拟适应性考试数学试卷

国龙外国语学校2026届高三5月25日全国高考（Ⅱ） 全真模拟适应性考试数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设是小于的正整数，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，， 则. 2. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】当时，，为单调递减函数，且， 当时，，也为单调递减函数，， 所以在上单调递减. 因为，所以，解得， 所以. 故该不等式的解集为. 3. 在平行四边形中，，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用向量的加减法则和向量乘法计算公式计算即可. 【详解】， ， . 4. 在中，是角所对的边长.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理找到三角形中边之间的关系，再利用余弦定理可计算出的值，即可求解. 【详解】因，设，则 由余弦定理知 ， 由正弦定理， . 故选：B. 5. 已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导得，找到临界点和，再按、、三种情况判断极小值点，代入极小值求解，验证后得到. 【详解】. 令，得临界点，. ①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，即，符合. ③当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去. 6. 在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设大半圆半径为，小半圆半径为，圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为，由题意求得，，过作垂直，可得底面圆，是母线与底面所成角，进而求解即可. 【详解】设大半圆半径为，小半圆半径为，则， 设圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为， 将此半圆环卷成圆台侧面时，展开的扇环大弧长，对应圆台底面周长， 所以，则；小弧长对应顶面周长，所以，则， 圆台母线长，过作垂直，则，所以底面圆， 则母线与底面所成角为，底面与顶面半径差为， 在直角三角形中，，所以， 所以，即母线与底面所成角的度数是． 7. 函数，则导函数的展开式中的系数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合二项展开式的通项，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 对于展开式中最高次数为，所以的系数为； 对于的展开式中的系数为 对于的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为. 故选：B. 8. 记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率之积确定点的轨迹方程，然后结合双曲线的定义计算即可. 【详解】设，由条件得 ，得， 可知其轨迹为双曲线第三象限的一部分，易知B为该双曲线的右焦点，左焦点为， 由定义与位置知，于是， 当且仅当F，P，D三点共线时等号成立，于是的周长． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知两个变量与对应关系如下表： 1 2 3 4 5 5 8 9 10.5 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 样本数据的第60百分位数为8.5 D. 样本数据的平均数为7 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，经验回归方程的斜率为，所以与正相关，故A正确； 对于BD，由题意得， 代入经验回归方程得，所以D错误； 即，解得，所以B正确； 对于C，，样本数据从小到大排列为：，，，，， 故样本数据的第60百分位数为，故C正确． 10. 已知函数的定义域为，且，当时，，则有（ ） A. B. 是偶函数； C. 当时，； D. 是的极值点； 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法求得判断A，再利用赋值法求得，再确定奇偶性以判断B和C，根据极值的定义判断D. 【详解】对于A，在中令得，所以，A正确； 对于B，令得，所以， 在中令得，所以是奇函数，不是偶函数，B错； 对于C，当时，令，则，， ，， 又是奇函数，所以时，，，，C正确； 对于D，由上述分析知时，，时，， 所以不是极值点，D错． 11. 已知是抛物线的焦点，点在圆上，圆在点处的切线与只有一个公共点，动直线，则（ ） A. B. 与和圆各恰有一个公共点的直线有6条 C. 当时，记上一点到的距离为的最小值为3 D. 满足圆上仅有一个点到的距离为的的值有4个 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系求出，根据圆切线的性质求出斜率进而求出切线方程，联立切线和抛物线方程，根据交点唯一性得出判别式为零，求出，判断选项A；分斜率存在和不存在两种情况讨论，分别求出相应切线条数，判断选项B；根据抛物线的定义，结合图象分析判断选项C；根据已知条件得出是圆上点到距离的最大值或最小值，进而结合圆心到直线的距离构造方程求解，判断选项D． 【详解】 已知点在圆上， 则，解得， 圆心，半径为， ，设切线斜率为，则， 解得， 切线方程为，即， 联立已知切线与抛物线方程得：，即， 已知切线与抛物线只有一个公共点， ，解得或（舍去）， 故A正确； 斜率存在时，设切线方程为，圆心到直线的距离为， 则，即①， 联立直线与抛物线方程得：， 已知直线与抛物线只有一个公共点，故②， 联立①②解得或或或，共4条； 当斜率不存在时，圆的竖切线为，与抛物线各有1个交点，共2条； 综上，共有6条，故B正确； 抛物线的焦点，准线，由抛物线定义得，， 当时，直线，点到的距离， 取抛物线上点，则， 故存在点使得，故C错误； 圆上仅有一个点到的距离为，则该距离为圆上点到直线的最大或最小距离： 圆心到直线的距离， 当时，，则，解得或； 当时，，则，解得或； 故共有4个值，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知复数为实数，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数为实数，可求得，进而根据复数模长的公式，即可求解. 【详解】由题意，复数为实数， 则，解得， 所以. 13. 已知，为曲线上的两点，则______．当时，，则______； 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】因为的最大值为，最小值为，且，， 所以 ，为非负整数，解得，为非负整数， 又，，所以，为非负整数， 令，得，符合题意，取其他非负整数，均不符合题意，则， 因为过点，所以 ，，解得 ，， 令，得符合题意，取其他整数时，均不符合题意，故． 第二空：由 因为，所以 所以 所以 所以 14. 若直线l：ax＋y－4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题分析：使得△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），则点C为圆心在直线l上半径为1的动圆上的点，只需动圆与圆O有公共点即可. 【详解】根据条件：相距为2的两个动点A，B，△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点）， 可以确定点C为圆心在直线l上半径为1的动圆上的点，进而将问题转化为两个圆的位置关系解决． 记线段AB的中点为M，因为△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），所以点C在以M为圆心，半径为1的圆上，又因为点C在圆O上，所以圆M和圆O有公共点， 即0≤≤2， 只需圆心O到直线l的距离，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【点睛】此题考查圆与圆的位置关系，根据动点的关系将题目转化成求点到直线的距离问题求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知直三棱柱中，，分别为，的中点，，． （1）求证：直线平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 取的中点为，连接、， 为的中点， 为的中位线， ，且， 又在直棱柱中，侧棱，，为的中点， ， 四边形 为平行四边形， ， 又平面，平面， 直线平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据直三棱柱的性质，结合已知条件，利用线面平行判定定理证明结论； （2）利用线面垂直判定定理得出线面垂直，进而求出三棱锥的高，再利用三棱锥的体积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， 在直三棱柱中，侧棱底面，底面， ， 又、为侧面内的两条相交直线， 侧面， 由（1）得侧面， 为三棱锥的高， 三棱锥的体积． 16. 已知数列和满足，，直线上有三点满足． （1）求与； （2）设．记数列的前项和为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先由三点共线的向量系数和为，推导出数列的递推关系，再通过累乘式相除结合求出，进而确定的通项；最后将的通项代入累乘式，通过指数运算得到； （2）先将的通项代入，拆分出等比数列项和可裂项的分式项，再将前项和拆分为等比数列求和与裂项相消求和两部分，分别计算后合并化简，最终得到． 【小问1详解】 由题意，，， 所以，， 因为三点共线，且满足， 所以 ，化简得， 因为，所以数列是等比数列，且公比， 所以， 所以数列的通项公式为， 所以， 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 17. 2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为； 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为． （1）估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）； （2）该企业将AI智能质量检测投入使用． ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列； （3）企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望． 【答案】（1）71.5分 （2）① ② （3）67.5元【解析】 【分析】（1）先确定每组中点值，再结合频率分布直方图的频率/组距计算每组频率，最后代入公式计算平均数； （2）①先根据频率分布直方图计算实际合格和实际不合格的概率，再利用互斥事件概率加法公式和条件概率公式计算总概率； ②因为X服从二项分布，所以先确定二项分布的参数和，再根据二项分布的概率公式计算X取不同值时的概率，进而得到分布列. （3）先分析每种情况的收益和对应的概率，再根据离散型随机变量期望公式计算收益的期望，其中需要结合前面求出的实际合格、不合格的概率，以及AI判定的相关概率来确定各情况的概率. 【小问1详解】 平均数分 . 【小问2详解】 设事件：元件实际合格，事件：元件被AI判定为不合格， 由题意得： ，，，， ① 由全概率公式：. ②由题意，，计算概率得：  ，​， ， ， 分布列为： 【小问3详解】设每件元件收益为，分四种情况计算期望： 实际合格，AI判合格：，概率； 实际合格，AI判不合格：，概率； 实际不合格，AI判合格：，概率； 实际不合格，AI判不合格：，概率. 期望元 . 18. 已知椭圆：的离心率为，为椭圆上的动点，是直线：上的两个不同点，直线的斜率分别为，且原点到直线的距离均为． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：； （3）当周长取最小值时，将椭圆以轴为折痕折成一个直二面角，此时点为点，设异面直线与所成的角为，平面与平面的夹角为，求． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆离心率公式，求出，直接写出椭圆标准方程； （2）由原点到直线距离为，列出关于斜率的方程，判定为同解方程，用韦达定理得到斜率关系； （3）先表示出周长，代入椭圆方程化简并换元求最小值；再将椭圆沿轴翻折成直二面角，建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线角与二面角的正切值，最后用两角差正切公式计算结果． 【小问1详解】 因为，所以， 因此椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 直线：，即， 原点到直线距离为，由点到直线距离公式得①； 平方整理得， 同理， 所以是方程两根，由韦达定理得． 【小问3详解】 因为：，所以， 同理，， ，由①可得， 同理， 所以 因为，， 所以， 因为，所以， 所以， 令，，设，， 所以，，所以在单调递减， 所以的周长的最小值为． 因为，所以将椭圆以轴折成直二面角后垂直轴和轴所在的平面， 以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 此时，，， 所以，，，， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 则 ， ， 所以，取，得， 设平面的法向量为， 则 ， ， 所以，取，得， 所以， 所以， 所以． 19. 设函数，． （1）设，求函数在区间上的值域； （2）证明：函数 在定义域内单调递减； （3）设的外接圆直径为，且内角，，所对的边分别为，，，若在数值上 ，当且仅当，证明：． 【答案】（1） （2）由函数，， 可得， 要证明其单调递减，只需证明，由，只需证明分子小于0， 设 ， 当时，可得，且， 且 ，此时 ， ， 成立，故， 函数 在上单调递减； 当时，可得，要证明 ， 只需证明 ，即证明 ， 下面证明时，： 设函数，，可得 ， 当时，，在上单调递增， 由，可得，即，故得证； ， ，可得 ， 只需证明，等价于证明，即，此结论已证， ，即 ， 又，故 ，即， ，故函数 在上单调递减； 综上可得，函数 在定义域内单调递减． （3）在中，由正弦定理得 ， ，不妨设. 代入 ，可得 ，即， 设，其中，则 当且仅当， 等价于方程 在满足，且时只有唯一解， 当时，， 当时，单调递增，可得 单调递增， 求导得，令 ， 求导得 ，则在上单调递减，， 故 在上恒成立，故在上单调递减； 由的单调性可知，与均为关于的正值减函数， 则在上单调递减； 当时， ，且在该区间单调递减， 由 ，必有； 当时，由于，是的内角， 故，即， 在单调递减，可得 ， 又， ， ，且且，有 ， ， ，即 ， 联立得 ，这与 矛盾， 当时，当且仅当时， 成立， 当时，假设原命题成立， ，存在使得 ，此时， 取使得 ，则， 令，则且， 因，且，均为锐角，故 ， 只需比较，．由于 且， ，即 ，此时有， 设 ， 可得 ， ， 则根据零点存在性定理，存在使得 ，即 ， 令，则 ， 且 ，故 ；且 ，故， 这与“当且仅当”矛盾，故不成立， 综上所述，实数的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）求导，利用已知条件，结合正弦函数的性质求解； （2）求导，构造函数 ，结合正、余弦函数的性质分析导数符号，把问题转化为证明 ，进而证明结论； （3）利用正弦定理结合已知条件构造函数，把问题转化为方程 在满足，且时只有唯一解，利用反证法结合零点存在定理证明结论． 【小问1详解】 由函数，则， ， ， ， ， ， ， 所求函数在区间上的值域是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 国龙外国语学校2026届高三5月25日全国高考（Ⅱ） 全真模拟适应性考试数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设是小于的正整数，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 在中，是角所对的边长.若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A. B. C. D. 6. 在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，则导函数的展开式中的系数为（　　） A. B. C. D. 8. 记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知两个变量与对应关系如下表： 1 2 3 4 5 5 8 9 10.5 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 样本数据的第60百分位数为8.5 D. 样本数据的平均数为7 10. 已知函数的定义域为，且，当时，，则有（ ） A. B. 是偶函数； C. 当时，； D. 是的极值点； 11. 已知是抛物线的焦点，点在圆上，圆在点处的切线与只有一个公共点，动直线，则（ ） A. B. 与和圆各恰有一个公共点的直线有6条 C. 当时，记上一点到的距离为的最小值为3 D. 满足圆上仅有一个点到的距离为的的值有4个 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知复数为实数，则_________． 13. 已知，为曲线上的两点，则______．当时，，则______； 14. 若直线l：ax＋y－4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），则实数a的取值范围为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知直三棱柱中，，分别为，的中点，，． （1）求证：直线平面； （2）求三棱锥的体积． 16. 已知数列和满足，，直线上有三点满足． （1）求与； （2）设．记数列的前项和为，求． 17. 2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为； 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为． （1）估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）； （2）该企业将AI智能质量检测投入使用． ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列； （3）企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望． 18. 已知椭圆：的离心率为，为椭圆上的动点，是直线：上的两个不同点，直线的斜率分别为，且原点到直线的距离均为． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：； （3）当周长取最小值时，将椭圆以轴为折痕折成一个直二面角，此时点为点，设异面直线与所成的角为，平面与平面的夹角为，求． 19. 设函数，． （1）设，求函数在区间上的值域； （2）证明：函数 在定义域内单调递减； （3）设的外接圆直径为，且内角，，所对的边分别为，，，若在数值上 ，当且仅当，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $