广西桂林市国龙外国语学校2026届高三5月全国高考（Ⅱ）全真模拟考试数学试卷

广西桂林市国龙外国语学校2026年5月全国高考（Ⅱ)全真模拟考试 数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.高三(2)班有女生20人，男生30人，用分层抽样的方法从该班所有学生中抽取一个容量为10的样本， 则男生应抽取() A.3人 B.4人 C.5人 D.6人 2.若集合A={-1,0,1,2},函数y=V2-x(x∈N)的定义域为B,则A∩B=() A.{-1,2} B.{-1,0,1 C.{0,1,2 D.{-1,0,1,23 3.已知p:m2-8<0,q:关于x的不等式x+(-4)x+9>0的解集为R,则p是q的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.双曲线亡-上-2（以<0）的离心率与椭圆十二=1的离心率之积为 则m的值为() m 9 4 6 A.} B.月 C.2 D.4 5.己知f(x)=lnx+ex,则不等式f(x-2)<f(1)的解集为() A.{x2<x<3} B.{dx>3} c.{xx>1} D.{xx<1} 6.在等比数列{a}中，4,47是方程x2+225x+169=0的两个解，则41=（) A.25 B.-13 C.±13 D.+25 7.由数字0,1,2组成的五位数的正整数中，偶数的个数共有() A.54 B.9 C.108 D.160 8.己知非零平面向量a,五，c,满足d=4,5-d=2,若a与的夹角为，则a-d的最小值为() A.2W3-2 B.5 C.25+2 D.3 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知函数f(x)=x3-3x,则下列说法正确的有() A.f(x)在(-o,-1)上单调递增 B.f(x)的极小值为-1 C.∫(x)的图象关于原点对称 D.f(x)有两个零点 10.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算 法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外， 其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如：第4行的6为第3行中两个3的和.则下列说法正确的是() A.第6行从左到右第4个数是15 第0行 第1行 B.第2026行的第1014个数最大 第2行 1 C.C+C+C++C6=C307 第3行 133 第4行 14641 + D.记第n行的第i个数为4，则∑2-14=3” 第5行15101051 1.已知0为坐标原点，双曲线C若多-1a>0b>0)的左、右焦点分别为写（七，0，gc0),过点g作 双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为P,线段P耳交双曲线C于点Q,则下列说法正确的有() A.OP=a B.若E,Q=2QP,则双曲线C的离心率为√ C.若双曲线C的离心率为反，则cos∠PR=5 5 D.若Q为线段P的中点，则双曲线C的离心率为√2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知函数f()=2sin(2x+)(0<0<)的一个中心坐标是（音，0），则cos(π+的值等于 0 13.甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目.已知甲同学每个项目合格的概率均为p(0<p<1),合格 得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立.设6个项目测试完后甲的总得分为Y,期望为(Y), 方差为D(Y),当E()+D()最大时，P= 14.如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为1，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为2的球）.三颗汤 圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切.若汤圆与碗口等高，则上一 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚 15.(本题13分) 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者'主题游园活动，5天的人园游客量统计数据如下： 活动开展第x天 2 3 4 人园游客量y(百人) 53 64 71 79 83 (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数”（保留小数点后两位），并推断相关程度的 强弱； (2)求经验回归方程y=bx+a以及表中第3个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置3个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、②、③的概 率依次为子、子号：游客离园时。从原先入园适道离园的概率为行从另两个通谊离园的概率均为 10 求游客从通道①离园的概率 2-nx 附：参考公式：相关系数 同归直线方程=x+a,其中i=立-习 a=y-bx;参考数据： ∑y=125,=55,】 y2=25076,、 10≈3.16 16.(本题15分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2AB=4,SA=SD,SA.CD=0, SM=tMD. (I)求证：平面SAB1平面SAD: (2)若异面直线SD与BC所成角为45°，SB/平面AMC,求二面角A-CM-S的正弦值. M D B 1.(本题15分)已知ab:c分别为△5c三个内角4，B,C的对边，且a2>B2+2,+C 2b cos(π- (1)求cos(A-C)的值： 2)设△ABC的面积为S,求(a2+2-c2)simC的取值范围： 3)若simA十simB=5+L,Q=2sin2nC,求数列{a,J的前100项和71oo 2 18(本题17分).设函数f(=n(1+y-年QER),函数g)=e-(1+)xneN。 (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)当x>0时，f(x)>0,求实数的取值范围： 0)设码数90约的极小值点为a,正明：Q,>1-十 9.本题17分)已知椭圆C:5+r +示=a>b>0)的中心为o,离心率为，且过点 (1)求椭圆C的标准方程： (2)直线y=t,t>a与y轴交于点P,过点P的直线I与C分别交于点A,B,椭圆的下焦点为F,直线FA,FB 分别交直线y=t于点M,N,记直线l,FA,B的斜率分别为k,k,k, ①若t=2,探究k+k+4k是否为定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由： ②若t>a,使得O,F,M,N四点共圆，求k的取值范围。 广西桂林国龙外校2026年5月全国高考（Ⅱ）全真模拟考试数学参考答案 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案D A D A B C A AC BCD ACD 1.【详解】设男生应抽取x,女生应抽取y, 则=0且x+y=10, 则产=30 解得x=6,y=4, 故男生应抽取6人，故选D. 2.【详解】因为A={-1,0,1,2,函数y=V2-x(x∈N的定义域为B=0,1,2},则A∩B={0,1,2} 故选C 3.【详解】p:2-81<0→0<l<8, 由关于x的不等式x+(-4)x+9>0的解集为R,可得△=(m-4)-4×9<0, 解之得-2<m<10,则由{m0<<8是{-2<<10}的真子集， 可得p是g的充分不必要条件. 故选：A 4.【详解】双曲线-元=2(2<0)的标准方程为二号=1Q<0,m之0) 所以及由线的实心和：景而满州四号+芹=1伯清心率，一当 所以ee1-震9-号 V-m73 解得m=4 故选D 5.【详解】因为f(x)=+e*>0, 所以f(x)=lnx+e在(0，+o)上为增函数 由f(x-2)<∫(1)，得0<x-2<1,即2<x<3, 则不等式f(x-2)<f(1)的解集为{x2<x<3} 故选：A 6.【详解】由韦达定理得 a+47=-225 a47=169 ,得4<0,4，<0， 因为441=G>0,所以41<0 由等比数列的性质得G=4,4,=169，得41=-13（正根舍去）. 故选：B 7.【详解】 【详解】0排个位的偶数共有C}×3×3×3=54个；2排个位的偶数共有C2×3×3×3=54个， 故偶数的个数共有54+54=108个 故选C 8.【详解】如图，令OA=a,OB=b,OC=c,则i-c=CB,a-c=CA, 又5-=2，所以点C在以B为圆心，2为半径的圆上， 所以网到的最小值为-2，又O网=4，A0B=晋 所以当OLBA时，国取得最小值，最小值为4×sn写25. 所以CA的最小值为2√3-2，即-的最小值为23-2. 故选A 9.AC 【详解】函数f(x)=x3-3x的定义域为R,求导得f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 对于A,由f"(x)>0,得x<-1或x>1,函数f(x)在(-m,-1),1,+m)上单调递增，A正确： 对于B,由"(x)<0,得-1<x<1,函数f(x)在(1,1)上单调递减， 结合选项A得函数f(x)在x=1取得极小值fI)=一2，B错误； 对于C,f(-)=(-x)3-3(-x)=-x+3x=-f(x),函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，C正确； 对于D,由f(x)=0,解得x=0,x=±V3,函数f(x)有3个零点，D错误. 10.BCD 【详解】对A:第6行从左到右的第4个数为C=6x5x4=20,故A错误： 3×2×1 对B:第2026行一共有2027个数，中间的第2g-1=101个数最大，故B正第： 对C:因为C+C=Cg+C=C,C+C=C,,C06+C36=C3,,故C正确： 对D:因为a=C1,所以∑24=C2”+C42+C22++C2”=(1+2)=3”,故D正确 121 11.ACD 【详解】A,双曲线C的一条渐近线方程为y=bx,即bx-=0, a 不妨设P在浙近线-名上，则PR=: =b, Vb2+2 而O=c,则|oP=orP-Pr=a,故A正确： b B,不妨设P在渐近线y=bx上，由A知，lOr=c,PE引=b,loP=a,且PE⊥OP, 则少。=OP=。,即xp=,则P,地 c'c 因为0-2哑，所以0-rP=次2】 c2+2a 2ab (3c3c 即2 3c ’3c 将gc+2a22b (c2+2a 2ab)2 3c,3c 代入双曲线方程，得3C 3c -=1 a 63 整理得c2=5a2,则c=√5a,所以双曲线C的离心率为e=C=5,故B错误； C,由双曲线C的离心率为√2，则e=C=V2,即c=√2a, 则c=2a-a+B,即a=b,由B知，pga驰 (c,即p √2aV2a 2’2 而（√a,0,乃(2a,0）,则P灭= 32a5@,=a,a 2 2 2 2 则cos∠EP耳= PE.PE 5 故C正确： PK.PE √5a.a 5 ㎡2+c2ab D,由B知， pla ab 若Q为线段P耳的中点，则Q 2c'2c 2 a+c2 ab 将Q a+c2 ab 2c2c 代入双曲线方程，得 2c 2c -=1 63 整理得c2=22,则c=√2a,所以双曲线C的离心率为e=C=√2，故D正确。 二、填空题 12.- 2 . 14.1+2 3 12.【详解】因为函数f()=2sm(2x+)(0<0<)的一个中心坐标是(-五0) 所以f(-0)=0 所以2sn(2×（)+o)=0 解得0=君 所以cos(r+)=-c0s0=- V3 2 故填- 13.【详解】依题意，合格项目的个数X~B(6,p),则E(X)=6p,D(X)=6p1-p), 由每个项目合格得3分，不合格扣2分，得甲的总得分Y=3X-2(6-X)=5X-12, 因此E()=5E(X)-12=30p-12,D(Y)=25D(X)=150p1-p), 3)2 则E(Y)+DV)=-150p+180p-12=-150p-+42,叉0<p<1, 所以当p=时，E)+D()取得最大值42. 放顿：号 14.【详解】设半球面的球心为O,三颗汤圆的球心分别为O,O,O, 因为汤圆与碗的内壁相切，所以00=002=003=1-乃， 又因为三颗汤圆两两相切，所以002=003=003=23， 设等边三角形QQQ的中心为0'， 因为汤圆与碗口等高，所以O0=5, 在00,0中，00= 25 3, 在Rta000中，002+00=00， 财j小-66 所以② 方=1-5，所以1=1+21 3 故填1+V2 3 四、解答题 15.(1)r≈0.99，相关程度很强 ②i=75x+75,我差为1百人) 【详解】(1)由表格中的数据可得x=1+2+3+4+5=3,=53+64+71+79+83=70, 5 5 ∑xy-5可 1125-5.3.70 75 则 1=1 0.99 5 y2-5 V55-5.32)25076-5.702) V10W576 由相关系数r≈0.99，可以推断入园游客量y与活动开展第x天相关程度很强！ 86到 1125-5×3×7075 吾r-网 55-5x310=7.5,a=70-75x3=475 故经验回归方程为y=7.5x+47.5. 对于表中第3个观测，入园游客量为71（百人）， 预测值为y=7.5×3+47.5=70(百人)，残差为71-70=1（百人） (3)记从通道i入园的事件为A(i=1,2,3),从通道i离园的事件为B,(i=1,2,3), 由摆应可得P4)-号P)-P(4)广号(aA)-青P4)-Pa4)0 Pa)Pa)aA）)PaA)+P4)PaA)g号0月0号 16.()证明见解析(2厘 【详解】(I)因为ABCD是矩形，所以AB1AD 又己知SA.CD=0,所以SA⊥CD 又AB/CD,所以AB1SA 因为SA∩AD=A,SA,ADC平面SAD 所以ABI平面SAD 而ABC平面SAB 所以平面SAB1平面SAD (2)因为BCI/AD 所以SD与BC所成角的大小等于∠SDA=45 又SA=SD 所以∠SAD=45 取AD、BC的中点为分别为O、N,连SO、ON, 则S01AD,ON1AD,O=OD=2 由(1)得平面SAD1平面ABCD 又SOcC平面SAD,AD为平在SAD和平面ABCD的交线 所以SO1平面ABCD 以O为原点，ON、OD、OS分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则 A(0,-2,0),B(2,-2,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2) 因为SM=tMD 所以M(0,品)，=0，=+2品)4C=(24,5五=(-222) 设平面MAC的法向量为a=(x,y,z) 则a·AM=0,a,AC=0 所以华+2y+品2=0→212 (2x+4y=0 1x=-2y 取y=-1,得d=(2,-1,2t+1) 因为SB/平面MAC 所以a1SB,得a·SB=0→-4-2+2(2t+1)=0→t=1 所以M是SD的中点，OM是△SAD的中位线 所以OM/SA,OM⊥SD 所以由(1)知OM1CD 所以OML平面SDC, 故0M=(0,1,1)是平面SDC的一个法向量 所以cos(OM,= 9 OMa 2 所以sin(oM,= √1-cos2(0M,动=厘 故二面角A-CM-S的正弦值为厘 7 17.(1)0 ②(9,1 (3)3 【详解】(1)由正弦定理得：4+mC=2stm cosA cosC -cosB sinAcosC+cosAsinC 2sinB sin(A+C)2sinB sinB 2sinB cosA.cosC -cosB → cosAcosC cosB cosAcosC cosB 在△ABC中，sinB≠0. 所以一式得：cosB=-2CosA·cosC=-[cos(A+C)+cos(A-C)] =-[-cosB+cos(A-C)] 所以cos(A-C)=0 (3)a2>b2+c2 ÷c0sA=+cd<2a2=0 2bc 2bc A为钝角，B、C为锐角 油(1)得A-C= 2 “A=5+C,B=5-2C。 由B、C为锐角可得0<C< 号soC51 由余弦定理得a2+b2-c2=2 abcosC,△ABC的面积S=号absinC (a2+b2-c2)sinc 2abcosC.sinc 4S 2absinC cosC E @4m的取值范围是(（停1） 4S (3)由(2)得sinA+sinB=cosC+cos2C=+1 2 c0sC+2cos2C-1=→c0sC=或cosC=-(不合，舍去) 2 2 因为C为镜角，所以C。从而A=等，B=君 所以b=c 所以an=2sin2nC=2sin 2 函数y=2smx的电小正周期T=2亚=6 所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=V3+V3+0-V3-V3+0=0 所以T100=16(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a97+a98+a99+a100 =0+a1+a2+a3+a4=V3 18.(1)1-1)x-y=0(2)[1,+∞) (3)证明见解析： 【详解】(1)f(0)=0 1x+1-x 1 f()=+花一+=1+一+网 .f(0)=λ-1 .y-0=(入-1)(x-0) 即曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线方程是(-1)x-y=0 2)fe)=-=a时 入 当1<0时，f(x)<0 所以函数f)在定义域是(0，-)上的递减函数 所以f(x)f0)=0,不合题意： 当21时，f0产-a>0 11 所以函数f(x)在定义域是(0，+o)上的递增函数， 所以f(x)>f(O)=0,符合题设： 当0≤λ<1时，f(0)=1-1<0 因为函数y=(x2+x)+1-1是(0，+∞)上的增函数， 所以存在xo>0,使得当0<x<xo时，f'(x)<0 所以，函数f(x)在(0，xo)上是递减函数， 所以f(x)<f(0)=0,不合题意： 综上，的取值范围是[1，+∞) 3)9)=e-(1+) g网>0，→x>m1+动) 1 g'w)<0,x<ln(1+2) ÷g()在区间(-o,ln(1+)是减函数，在区间（(m(1+司)，+∞)是增函数， x=m(1+司)是g)的唯一的极小值点， 1 “a=m(+),neN 由(2)得，当x>0,1=1时，f(x)>0 所以n1+刘>本 令x=>0 1+ 公含a26-动1品 1905r=1 (2)①k+k+4k是定值，定值为0②(2+V2,+0)U-0,-2-2 【详解】)因为局因C号+若-a6>0的车心为0，虎心率为总，日过点 c_v2 a 2 2)2 12 02 a=√2y2 所以 -=1→ +x2=1; a b2 b=1 2 c2=a2-b2 (2)①k+k+4k是定值，定值为0，理由如下： 当t=2时，点P坐标为P(0,2),下焦点的坐标为(0，-1)， 直线1的方程为y=+2,与椭圆的方程联立，得 y=kx+2 +x=1→（公+2r+4h+2=0, 2 △=16k2-8(R+2)>0→k>V2,或k<-√2， 2 设4出B必上+22 k=k4=当+1感+2+1k+3, 居=k阳=当+1感+2+1=k+3) 4 所以所+无+4k=发+3+k+3+4k=6k+3名+五=6k+32+2 2 1X2 2 k2+2 ②假设t>a,使得O,F,M,N四点共圆成立， 此时直线l的方程为y=c+t,与椭圆的方程联立，得 y=kx+1 =1→《+2r4+-2-0, △=4k-4t2-2)k2+2>0→k2+2>2, 皮4a8 因为直线y=t与直线OF垂直，因此M,N必在纵轴同侧. 因为该椭圆关于纵轴对称，因此先考虑M,N在纵轴左侧情形，此时k>0, 直线A的方程为y=kx-1,令y=t,得M 同理可得N 显然有k,k<0, 在直角三角形ONP中， tan∠PWo= OP t PN t+1, t+1 在直角三角形FMP中， tan∠PFM= MP k, t+1t+1 因为O,F,M,N四点共圆， t+1 ,东→k=14} 所以∠PNO=∠PrM,于是有【+L 飞=当+机悠++1k++1, 店=当+1，+1+1k++1 =-1片18四 （x2x1x2 2kt →1片0-4)号-e 1 X2 t2-2 t2-2 k2+2k2+2 →=4月 设0=+4+经迈. 所以f'()=1+3-,显然函数f'"()在(W5,+∞）上单调递增， 于是当>2时，f"0>f(V2)=22+3-,2 (2 =22+2,所以f()>0, 所以函数f()在(V2,+∞)上单调递增， 于是当5时，f回>f小回-+32+4 2=6+42, 即k2>6+42=2+(2)+2x2×5=包+5j, 因为k>0,所以k>2+√2， 当M,N在纵轴右侧情形，此时k<0, 同理可得k<-2-√2， 综上所述：k的取值范围为2+5，+U(0,-2-万)