广西桂林市国龙外国语学校2026届高三5月全真模拟适应性考试数学试卷

国龙外国语学校2026届高三5月25日全国高考（Ⅱ） 全真模拟适应性考试数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设是小于的正整数，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 在中，是角所对的边长.若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A. B. C. D. 6. 在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，则导函数的展开式中的系数为（　　） A. B. C. D. 8. 记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知两个变量与对应关系如下表： 1 2 3 4 5 5 8 9 10.5 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 样本数据的第60百分位数为8.5 D. 样本数据的平均数为7 10. 已知函数的定义域为，且，当时，，则有（ ） A. B. 是偶函数； C. 当时，； D. 是的极值点； 11. 已知是抛物线的焦点，点在圆上，圆在点处的切线与只有一个公共点，动直线，则（ ） A. B. 与和圆各恰有一个公共点的直线有6条 C. 当时，记上一点到的距离为的最小值为3 D. 满足圆上仅有一个点到的距离为的的值有4个 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知复数为实数，则_________． 13. 已知，为曲线上的两点，则______．当时，，则______； 14. 若直线l：ax＋y－4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），则实数a的取值范围为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知直三棱柱中，，分别为，的中点，，． （1）求证：直线平面； （2）求三棱锥的体积． 16. 已知数列和满足，，直线上有三点满足． （1）求与； （2）设．记数列的前项和为，求． 17. 2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为； 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为． （1）估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）； （2）该企业将AI智能质量检测投入使用． ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列； （3）企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望． 18. 已知椭圆：的离心率为，为椭圆上的动点，是直线：上的两个不同点，直线的斜率分别为，且原点到直线的距离均为． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：； （3）当周长取最小值时，将椭圆以轴为折痕折成一个直二面角，此时点为点，设异面直线与所成的角为，平面与平面的夹角为，求． 19. 设函数，． （1）设，求函数在区间上的值域； （2）证明：函数 在定义域内单调递减； （3）设的外接圆直径为，且内角，，所对的边分别为，，，若在数值上 ，当且仅当，证明：． 国龙外国语学校2026届高三5月25日全国高考（Ⅱ） 全真模拟适应性考试数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） 取的中点为，连接、， 为的中点， 为的中位线， ，且， 又在直棱柱中，侧棱，，为的中点， ， 四边形 为平行四边形， ， 又平面，平面， 直线平面． （2） 【16题答案】 【答案】（1）， （2） 【17题答案】 【答案】（1）71.5分 （2）① ② （3）67.5元 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）由函数，， 可得， 要证明其单调递减，只需证明，由，只需证明分子小于0， 设 ， 当时，可得，且， 且 ，此时 ， ， 成立，故， 函数 在上单调递减； 当时，可得，要证明 ， 只需证明 ，即证明 ， 下面证明时，： 设函数，，可得 ， 当时，，在上单调递增， 由，可得，即，故得证； ， ，可得 ， 只需证明，等价于证明，即，此结论已证， ，即 ， 又，故 ，即， ，故函数 在上单调递减； 综上可得，函数 在定义域内单调递减． （3）在中，由正弦定理得 ， ，不妨设. 代入 ，可得 ，即， 设，其中，则 当且仅当， 等价于方程 在满足，且时只有唯一解， 当时，， 当时，单调递增，可得 单调递增， 求导得，令 ， 求导得 ，则在上单调递减，， 故 在上恒成立，故在上单调递减； 由的单调性可知，与均为关于的正值减函数， 则在上单调递减； 当时， ，且在该区间单调递减， 由 ，必有； 当时，由于，是的内角， 故，即， 在单调递减，可得 ， 又， ， ，且且，有 ， ， ，即 ， 联立得 ，这与 矛盾， 当时，当且仅当时， 成立， 当时，假设原命题成立， ，存在使得 ，此时， 取使得 ，则， 令，则且， 因，且，均为锐角，故 ， 只需比较，．由于 且， ，即 ，此时有， 设 ， 可得 ， ， 则根据零点存在性定理，存在使得 ，即 ， 令，则 ， 且 ，故 ；且 ，故， 这与“当且仅当”矛盾，故不成立， 综上所述，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $