期末复习专题07 函数的极值与最值【6大题型+强化训练】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题07 函数的极值与最值 知识点1：极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值． (2)极大值点与极大值 函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 【注意】1．极值点是函数单调性的转折点，因此若f (x)在(a，b)内有极值，则f (x)在(a，b)内不是单调函数． 2．极值点不是点，出现在区间的内部，端点不能是极值点． 求可导函数f (x)极值的步骤 (1)定义域：求函数的定义域． (2)求导：求函数的导数f ′(x)． (3)令f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0全部的根x0，即导函数f ′(x)的零点． (4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内． (5)结论：若导数f ′(x)在x＝x0附近左正右负，则函数f (x)在x＝x0处取得极大值；若左负右正，则函数f (x)取得极小值． 知识点2：函数的最值 1．函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【注意】函数的极值与最值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言． (2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个． (3)函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 考点一 函数图像与极值的关系 考点二 利用导数求函数的极值(点)(不含参) 考点三 利用导数求函数的最值(不含参) 考点四 利用极值（点）求参数 考点五 利用导数求函数的极值(含参) 考点六 利用导数求函数的最值(含参) 考点一 函数图像与极值的关系 1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）（多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 2．（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）（多选）函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（       ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点 3．（25-26高二下·黑龙江鸡西·阶段检测）（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递增区间 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值 4．（25-26高二下·福建福州·期中）如图是函数的导函数的部分图象，则下列判断正确的是（   ） A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数 C．当时，取得极大值 D．当时，取得极小值 考点二 利用导数求函数的极值(点)(不含参) 5．（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的所有极值点之和为__________． 6．（25-26高二下·贵州黔西南·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的极大值为2 C．有三个零点 D．曲线在处的切线斜率为 7．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 8．（25-26高二下·广东梅州·期中）已知函数，且. (1)求a的值； (2)求的单调区间和极值. 9．（25-26高二下·重庆渝北·期中），下列说法正确的是（    ） A．0是极大值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是极大值点 10．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（） A．在定义域上单调递增 B．有且仅有一个极小值点 C．恒成立 D．的图像关于点中心对称 考点三 利用导数求函数的最值(不含参) 11．（25-26高二下·北京·期中）已知函数在处取得极值. (1)求，的值； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求函数在上的最值. 12．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知函数，，且. (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 13．（25-26高二下·广东广州·期中）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．函数在区间上单调递增 C．函数的极大值为54 D．函数在区间上的最小值是 14．（25-26高二下·上海·阶段检测）设，已知函数，若曲线在点处的切线斜率为． (1)求实数的值，并求该切线方程； (2)求在区间上的最值． 15．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知函数的最小值为____. 16．（25-26高二下·天津静海·期中）函数的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．1 考点四 利用极值（点）求参数 17．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数在处取得极大值0，则________. 18．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若在处取得极值，求的所有极值； (2)若在上的最小值为，求的取值范围． 19．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数 在 处取得极大值10． (1)求的值； (2)求函数 在区间 上的最大值和最小值． 20．（25-26高二下·山东·期中）已知函数在处取得极小值． (1)求的值； (2)求在点处的切线方程． 21．（25-26高二下·江苏南通·期中）若函数有大于1的极值点，则的取值范围是________． 22．（25-26高二下·广西·阶段检测）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若的极大值与极小值之和为16，求实数的值. 考点五 利用导数求函数的极值(含参) 23．（2026·河北·三模）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________. 24．（25-26高二下·四川成都·期中）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数 ． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求实数a的取值范围． 26．（25-26高二上·湖南常德·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 27．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数． (1)在定义域内单调递减，求的范围； (2)讨论函数在定义域内的极值点的个数； (3)若函数在处取得极值，恒成立，求实数的取值范围． 28．（2023·福建南平·模拟预测）已知函数． (1)讨论的极值； 29．（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若存在极值，求a的取值范围. 30．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性： (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 31．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数在区间上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六 利用导数求函数的最值(含参) 33．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知是实数，函数 (1)若，求的值及曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求在区间上的最小值． 34．（2026·湖北黄冈·二模）设，． (1)若，讨论的单调性； (2)若，求的最大值（用表示）； (3)若有三个极值点，求的取值范围． 35．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 36．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二下·北京·期中）若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 38．（2026·山东淄博·三模）已知函数. (1)当，时，求的极值； (2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 39．（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数，在上的最小值为，则的最大值为_____________． 40．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·重庆江津·阶段检测）定义在上的函数的图象如图所示，则在上的极值点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二下·北京房山·期中）已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示.则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．0是函数的极小值点 C．2是函数的极大值点 D．函数在，上单调递增 3．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）函数的极小值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 4．（25-26高二下·吉林长春·期中）函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 5．（25-26高二下·河北石家庄·期中）若函数的最大值为，则（     ） A． B． C． D． 6．（江西九江市共青城博雅学校等校高三5月高考适应性检测数学试题）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数，存在，使得对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆·模拟预测）已知函数在区间恰有一个极值点，则函数的最小正周期可能为（　　） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·上海·阶段检测）设，，则函数的极值点的个数情况可能为（     ）． A．没有极值点 B．有无穷多个极值点 C．有且仅有2026个极值点 D．有且仅有2027个极值点 10．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）（多选）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．它的极大值为，极小值为 B．有两个零点 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 11．（25-26高二下·广东佛山·期中）（多选）设函数，为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上有且仅有2个零点 C．在上单调递增 D．在上有极小值 12．（2026·山东聊城·三模）（多选）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（    ） A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增 C．， D．， 13．（25-26高二下·河北唐山·期中）（多选）已知，下列说法不正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递增区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 14．（山东潍坊市2026届高三5月高考模拟考试数学试题）（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．为奇函数 C．在上单调递增 D．在上恰有2个极值点 15．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是上的单调递增函数，则的值为______. 16．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若，都有，则a的取值范围为______． 17．（2026·江苏扬州·三模）函数在区间上的最大值为_________． 18．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为______. 19．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 20．（25-26高二下·吉林辽源·期中）已知函数 (1)求函数的导函数； (2)若，求函数单调区间； (3)若函数在上的最小值是，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数的极值与最值 知识点1：极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值． (2)极大值点与极大值 函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 【注意】1．极值点是函数单调性的转折点，因此若f (x)在(a，b)内有极值，则f (x)在(a，b)内不是单调函数． 2．极值点不是点，出现在区间的内部，端点不能是极值点． 求可导函数f (x)极值的步骤 (1)定义域：求函数的定义域． (2)求导：求函数的导数f ′(x)． (3)令f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0全部的根x0，即导函数f ′(x)的零点． (4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内． (5)结论：若导数f ′(x)在x＝x0附近左正右负，则函数f (x)在x＝x0处取得极大值；若左负右正，则函数f (x)取得极小值． 知识点2：函数的最值 1．函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【注意】函数的极值与最值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言． (2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个． (3)函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 考点一 函数图像与极值的关系 考点二 利用导数求函数的极值(点)(不含参) 考点三 利用导数求函数的最值(不含参) 考点四 利用极值（点）求参数 考点五 利用导数求函数的极值(含参) 考点六 利用导数求函数的最值(含参) 考点一 函数图像与极值的关系 1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）（多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 【答案】ACD 【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断． 【详解】对于A选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确； 对于B选项，由图可知，在左右两侧，导函数左负右正，函数左减右增，是的一个极小值点，不是零点，B错误； 对于C选项，由图可知，在左右两侧，导函数恒大于零，函数单调递增，不是的一个极值点，C正确； 对于D选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，D正确． 2．（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）（多选）函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（       ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点 【答案】BD 【分析】由导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可. 【详解】由图可得，当，，单调递减，当，，单调递增， 可知是函数的极值点，故A正确，不是函数的极值点，故B错误， 当，，故在区间上单调递增，故C正确，不是函数的极值点，故D错误. 3．（25-26高二下·黑龙江鸡西·阶段检测）（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递增区间 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值 【答案】AC 【分析】根据时以及时，导函数图象即可判断A，B；利用导数的正负与函数极值之间的关系，即可判断C，D 【详解】对于A，B，当 时，，，，所以函数在单调递减，在单调递增，故A正确，B错误； 对于C，当时，，当时，，故是函数的极小值点，故C正确； 对于D，当时，，当时，，故是函数的极大值点，故D错误. 4．（25-26高二下·福建福州·期中）如图是函数的导函数的部分图象，则下列判断正确的是（   ） A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数 C．当时，取得极大值 D．当时，取得极小值 【答案】D 【详解】由图知，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，A、B错， 所以或时取得极小值，时取得极大值，C错，D对. 考点二 利用导数求函数的极值(点)(不含参) 5．（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的所有极值点之和为__________． 【答案】 【详解】令，解得， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以为的极小值点，无极大值点， 所以函数的所有极值点之和为. 6．（25-26高二下·贵州黔西南·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的极大值为2 C．有三个零点 D．曲线在处的切线斜率为 【答案】ABC 【详解】由题设，则，D错， 当或时，，当时，， 所以在、上单调递增，在上单调递减，A对， 所以极大值为，极小值为，时，时， 所以在、、上各有一个零点，共有3个零点，B、C对. 7．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为，的极大值为，的极小值为 (2). 【分析】（1）对进行求导，然后利用导数去求的单调区间和极值. （2）根据（1）大致作出的图象，由图象确定的取值范围. 【详解】（1），. 令，解得或. 递增 极大值 递减 极小值 递增 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. （2）由（1）可知的极大值为，的极小值为. 当，，作出的大致图象如下： 要使恰有一个实数解，则的图象与的图象有且仅有一个交点， 由图象可得的取值范围为. 8．（25-26高二下·广东梅州·期中）已知函数，且. (1)求a的值； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调递增区间：和，单调递减区间：；极大值为， 极小值为. 【分析】（1）对函数求导，将代入，建立关于的方程，求解； （2）导函数进行因式分解，确定导函数的零点，进而判断导函数的正负，再根据单调性确定极值点并计算对应极值. 【详解】（1）对求导可得： 代入，得：， 由题，即，解得. （2）将代入，得，恒成立， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 单调递增区间：和，单调递减区间：， 极大值在处： 极小值在处：. 9．（25-26高二下·重庆渝北·期中），下列说法正确的是（    ） A．0是极大值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是极大值点 【答案】D 【分析】求导，令，再根据单调性确定极值点判断即可． 【详解】， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则0不是极值点，A错误； 是极小值点，B错误； 是极大值点，C错误； 是极大值点，D正确． 10．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（） A．在定义域上单调递增 B．有且仅有一个极小值点 C．恒成立 D．的图像关于点中心对称 【答案】BC 【分析】先确定函数定义域，和导函数，再分析的单调性和零点情况，结合导数与单调性的关系判断A，结合导数与极值的关系判断B，结合函数单调性求函数的最值判断C，结合定义域判断D. 【详解】函数的定义域为，导函数， 设，则， 因此在上单调递增， 对于选项A，因为，， 所以存在唯一零点， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此不在整个定义域上单调递增，A错误； 对于选项B，由选项A知，单调递增，仅有一个零点​，且左侧递减、右侧递增， 因此仅有一个极小值点，B正确； 对于选项C，的最小值为，由​，两边取对数得， 所以， 因此，故恒成立，C正确， 对于选项D，因为函数的定义域为， 所以的图像不可能关于点中心对称，因此D错误. 考点三 利用导数求函数的最值(不含参) 11．（25-26高二下·北京·期中）已知函数在处取得极值. (1)求，的值； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求函数在上的最值. 【答案】(1) (2) (3)最小值为-14，最大值为18. 【分析】（1）已知函数在处取极值，利用与的值列方程组求. （2）先求点处的切线斜率，再结合，用点斜率求切线方程. （3）求的点，计算这些点与区间端点函数值，比较得最值. 【详解】（1）因为函数，所以， 又因为函数在处取得极值-14， 则有，即，解得：， 经检验，时，符合题意，故， （2）由（1）知：函数，则， 所以，又因为， 所以曲线过点处的切线方程为， 也即， （3）由（1）知：函数，则， 令，解得：， 在时，随的变化，的变化情况如下表所示： -3 -2 2 3 - 0 + 0 - -7 单调递减 -14 单调递增 18 单调递减 11 由表可知：当时，函数有极小值， 当时，函数有极大值， 因为， 故函数在上的最小值为，最大值为. 12．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知函数，，且. (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)，切线方程为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求导后计算可得，再利用导数的几何意义计算即可得切线方程； （2）利用导数可得原函数单调性，再利用函数单调性计算即可得其最值. 【详解】（1），则，故， 则，， ，， 故曲线在点处的切线方程为， 整理得； （2）， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上的最大值为， 又，， 故在区间上的最小值为. 13．（25-26高二下·广东广州·期中）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．函数在区间上单调递增 C．函数的极大值为54 D．函数在区间上的最小值是 【答案】AC 【详解】因为，所以. 由可得或；由可得. 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 对A：因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点，故A正确； 对B：因为函数在上单调递减，在也是单调递减，故B错误； 对C：因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为，故C正确； 对D：函数在上单调递增，在上单调递减，且，，所以函数在区间上的最小值是，故D错误. 14．（25-26高二下·上海·阶段检测）设，已知函数，若曲线在点处的切线斜率为． (1)求实数的值，并求该切线方程； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1)，切线方程为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出及切线方程. （2）确定函数在给定区间上的单调性，进而求出最大值及最小值. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线斜率为，得，因此， ，，所以所求切线方程为，即. （2）由（1）知，， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 15．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知函数的最小值为____. 【答案】 【分析】求函数的定义域，再利用导数判断其单调性，结合函数单调性求最值. 【详解】函数的定义域为，， 令，得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为. 16．（25-26高二下·天津静海·期中）函数的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．1 【答案】D 【详解】因为，由，得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在取到极小值，也是最小值，即. 考点四 利用极值（点）求参数 17．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数在处取得极大值0，则________. 【答案】/ 【分析】由和得或，分两种情况，检验后得到答案 【详解】，由题意得，即，故， 且，解得或， 当时，，则， 令得，令得，故为极大值点，满足要求， 所以， 当时，，则， 令得，令得，故为极小值点，不满足要求， 综上，. 18．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若在处取得极值，求的所有极值； (2)若在上的最小值为，求的取值范围． 【答案】(1)极大值，极小值 (2) 【分析】（1）根据在处取得极值，求出a的值，从而判断函数的单调性，求得极值； （2）分类讨论，讨论a与区间的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a的取值范围. 【详解】（1）定义域为， 则， 由于在处取得极值，故， 则， 令，则或，函数在上均单调递增， 令，则，函数在上单调递减， 故当时，取到极大值， 当时，取到极小值； （2）由于， 当时，，仅在时等号成立，在上单调递增， 则，符合题意； 当时，则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故，不符合题意； 当时，，在上单调递减， 故，不符合题意； 综上，可知的取值范围为. 19．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数 在 处取得极大值10． (1)求的值； (2)求函数 在区间 上的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)最大值为10，最小值为2. 【分析】（1）求导，即可根据函数值以及导数值列方程求解， （2）根据函数的单调性，求解极值以及端点处函数值，即可作答. 【详解】（1）， 故且，解得， 则， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取到极大值，故满足题意. （2）由（1）知：在和单调递增，在单调递减， 且极大值为, 极小值为，又因为 故函数 在区间 上的大值为10，最小值为2. 20．（25-26高二下·山东·期中）已知函数在处取得极小值． (1)求的值； (2)求在点处的切线方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题可得，即可得到的值． （2）根据导数的几何意义结合条件即得． 【详解】（1），的定义域为， ， 因为在处取得极小值，所以， 即，解得，，经检验满足题意， 所以，； （2）由（1）得，， 因为，， 所以在点处的切线方程为， 即． 21．（25-26高二下·江苏南通·期中）若函数有大于1的极值点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先对函数求导，根据极值点处导数为且两侧导函数异号的性质，结合极值点大于的条件求解参数的取值范围． 【详解】函数的定义域为， ， 令，解得，即， 由于在上单调递增， 所以当时，；当时，， 所以是函数的极小值点， 因此，解得， 所以的取值范围是． 22．（25-26高二下·广西·阶段检测）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若的极大值与极小值之和为16，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过求导得到切线斜率，再计算切点处的函数值，最后用点斜式写出切线方程即可； (2)求导找到函数的极值点，求出极大值与极小值，由题意列方程，求解方程即得参数值. 【详解】（1）当 时，， 所以，则， 又， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）的定义域为，因， 令，得或，列表如下： 3 0 + 0 单调递减 单调递增 单调递减 因此，当时，有极小值，并且极小值为， 当时，有极大值，并且极大值为， 因为的极大值与极小值之和为16， 所以，解得. 考点五 利用导数求函数的极值(含参) 23．（2026·河北·三模）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】有两个极值点等价于有两个不同的变号零点，转化为和图象上有两个交点问题. 【详解】的定义域为，且，，令，则， 令，，则，， 因为有两个极值点等价于有两个不同的变号零点，即有两个不同的实根， 设，，当，，为增函数；当，，为减函数； ，而当，，当，，故图象如下图所示： 结合和的图象，易得m的取值范围是. 24．（25-26高二下·四川成都·期中）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得有唯一变号零点，即有唯一解，先讨论时，不满足题意，从而可得，令，进而得直线与函数的图象只有一个交点，利用导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为，， 所以，有唯一变号零点， 当时，，不满足题意； 所以， 令，得， 令， 则直线与函数的图象只有一个交点， 又因为， 令，得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减； 又当时，，当时，， 所以函数在处取极小值，为0；在处取极大值，为， 作出函数、直线的图象，如图所示： 由此可得当时，满足题意； 当时，直线与函数的图象有两个交点， 一个点的横坐标为（此点为直线与函数的切点）， 且在此处不变号； 另一个点的横坐标，在此处变号，满足题意. 综上，. 25．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数 ． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时， ，求导可得 ， 当时， ， ， 所以在点处的切线方程为. （2）由（1）可知，， 设函数，要有两个极值点，即方程要有两个不相等的正实数根， 设为的两个极值点，即方程的两个正实数根， 所以，解得，即实数的取值范围为. 26．（25-26高二上·湖南常德·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论正负，从而求得的单调性， （3）由（2）可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值. 当时，在处取得极大值，极大值为. 令，解得， 所以的取值范围为. 27．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数． (1)在定义域内单调递减，求的范围； (2)讨论函数在定义域内的极值点的个数； (3)若函数在处取得极值，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，由导函数恒小于0，可求的范围； （2）分类讨论有：当时，函数没有极值点，当时，函数有一个极值点； （3）由题意可得，原问题等价于恒成立，讨论函数的性质可得实数的取值范围是. 【详解】（1）函数定义域为， ，因为在定义域内单调递减， 则在上恒成立，可得， 函数在单调递减，的取值范围为； （2）当时，在定义域内单调递减， ∴在上没有极值点； 当时，得，得， ∴在上递减，在上递增， 即在处有极小值． ∴当时在上没有极值点， 当时，在上有一个极值点． （3）∵函数在处取得极值，，∴， ∴， 令，， ，则， 可得在上递减，在上递增， ∴，即． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 28．（2023·福建南平·模拟预测）已知函数． (1)讨论的极值； 【答案】(1)答案见解析； 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论单调性确定极值作答. 【详解】（1）函数的定义域是R，求导得， 当时，单调递增，无极值； 当时，由，得，当时，， 函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，无极大值. 29．（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若存在极值，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数的图象在点处的切线的斜率，从而得到切线方程； （2）由存在极值，得有变号零点，通过分离参数，根据余弦函数给定区间上的值域可求得a的取值范围. 【详解】（1）若，则. 所以，所以. 又，所以函数的图象在点处的切线方程为. （2）因为函数， 所以. 若存在极值，则有变号零点，即有解. 因为，所以，所以. 因此有解，且. 当时，在上恒成立， 所以函数是增函数，无极值； 当时，在上有解，记为. 令，则，所以在上单调递增， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以函数在处取得极小值，即函数有极值. 故a的取值范围是. 30．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性： (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点处的切线. （2）求导，分，讨论导函数的单调性. （3）结合（2）的结论，确定函数的极小值，在根据极小值的取值范围求的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 所以，. 所以在处的切线方程为：，即. （2）因为，. 所以. 若，则在上恒成立，所以在上为减函数； 若，由，由. 所以在上为减函数，在上为增函数. 综上，时，在上为减函数； 时，在上为减函数，在上为增函数. （3）由（2）知：，即，此时函数在处取得极小值. 由， 由， 结合，得. 故的取值范围为. 31．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数在区间上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导得，导数研究的区间值域，结合的区间极值点个数列不等式求参数范围. 【详解】由题设且， 令且，则， 所以在上单调递减，时， 所以，而， 要使在上存在唯一的极值点，则，即. 32．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数在上有两个极值点，转化为在上有两不等实根，即在上有两不等实根，再令，根据导数方法判断出函数的单调性，求出最值，作出简图，结合图像即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由函数在上有两个极值点， 可得在上有两不等实根，即在上有两不等实根； 令，则， 由得； 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 即函数在上单调递减，在上单调递增；故； 又由在上有两不等实根， 即与曲线的图像有两不同交点， 结合图像可得. 考点六 利用导数求函数的最值(含参) 33．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知是实数，函数 (1)若，求的值及曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求在区间上的最小值． 【答案】(1) ，切线方程为； (2) 【分析】（1）求导，然后代入计算即可； （2）令导函数为0，对导函数零点分布讨论计算即可. 【详解】（1） 由，代入得 此时，，切线斜率为，由点斜式得切线方程 整理得 （2）令，得或， 当，即时，在区间上，，单调递减，因此最小值为 当，即时，，，单调递减； 时，单调递增，因此最小值在处取得 综上， 34．（2026·湖北黄冈·二模）设，． (1)若，讨论的单调性； (2)若，求的最大值（用表示）； (3)若有三个极值点，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) (3) 【分析】（1）对求导后分析导数符号即可得的单调性； （2）将的解析式变为，令，通过分析单调性得到使得，再利用得到，且可在处取得等号，从而最大值即为，也可以通过分析的单调性，得到其只有一个零点，进而得到在取得最大值并结合求出最大值表达式； （3）依题意有三个变号零点，从而得到有三个变号零点，首先判断出时是减函数，至多有一个零点，不合题意，再令，求得其极小值为，根据和分类讨论得到的符号变化，进而得到的单调性，最后分析的零点情况. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，则. 令，则， 所以在上单调递减， 又，所以当时，，即；当时，，即， 故在上单调递增，在上单调递减． （2）解法一：， 令，若，则在上单调递增， 又时，；当时，， 所以，使得，接下来证明一个不等式： 设，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得极小值也即最小值， 所以恒成立，当且仅当时等号成立， 于是有（当且仅当时等号成立）， 所以，时等号成立，所以． 解法二：， 令， 若，则，在上递减， 又时，，， 所以在上存在唯一的()使得， 当时，，即，递增； 当时，，即，递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，且有， 即，变形得. 设，则，在上递增， 又，所以，得， 故． （3）依题意有三个变号零点， 令，则有三个变号零点， . 若，，在上递减，至多有一个零点，不合题意； 因此，令， 则， 故当或时，，递增； 当或时，，递减， 在取得极小值，又，当时，， ①若，此时，即在上恒成立， 所以在上递减，至多有一个零点，不合题意； ②若，即，解得， 又，且，所以， 故在上有且只有两个零点，设为，如图所示， 当或时，，即，递减； 当时，，即，递增， 因为，所以，， ， 令，，则，在上递增， 所以，从而， ，由知， 设，，则， 所以在上递增，有，即， 又时，，时，，如图所示， 所以有三个变号零点， 综上，. 35．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果； （2）求导后，分别讨论、和时在上的单调性，进而确定最小值. 【详解】（1）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. （2）由得：， ，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值为； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ，，， 当时，，此时； 当时，，此时； ③当，即时，在上单调递增， 此时的最小值为； 综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 36．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可． 【详解】 ，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数 在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：． 37．（25-26高二下·北京·期中）若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可导函数在开区间内存在最小值，则其必在区间内存在极小值点，即导数存在从负到正的变号零点,对于本题，导函数的分子为二次函数，其对应的函数至多只有一个极小值点，故若在内存在最小值，则导数在区间内存在唯一的从负到正的变号零点. 【详解】已知函数的定义域为，对其求导得： ，令， 若在上存在最小值，根据本题的函数结构可知，函数在区间内先递减后递增， 即在内由负变正，等价于. . 解得，即实数的取值范围是. 38．（2026·山东淄博·三模）已知函数. (1)当，时，求的极值； (2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性和极值； （2）求导，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性和最值，结合题意可得，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】（1）当时，则， 其定义域为，且， 令，解得或；令，解得， 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为. （2）若，则的定义域为，且， 当时，则，可知函数在上单调递增， 所以函数无最大值，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数的最大值为， 因为的最大值小于，即，可得， 设，，可知在上单调递增， 且，由不等式可得， 所以的取值范围为. 39．（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数，在上的最小值为，则的最大值为_____________． 【答案】1 【分析】分三种情况，利用导数分析的单调性及最值，从而得到的取值范围，求得的最大值. 【详解】函数， 当时，. 若，则，，所以在上单调递增， 在上的最小值为，符合题意； 若，则，，所以在上单调递减， 在上的最小值为，不符合题意； 若，则当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 所以的最大值为. 40．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，函数在上存在最小值， 所以，得， 故a的可能取值为. 1．（25-26高二下·重庆江津·阶段检测）定义在上的函数的图象如图所示，则在上的极值点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由图知，的图象在区间上依次单调递减，单调递增，单调递减，单调递增，单调递减， 结合极值点的定义知，共有4个极值点. 2．（25-26高二下·北京房山·期中）已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示.则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．0是函数的极小值点 C．2是函数的极大值点 D．函数在，上单调递增 【答案】D 【详解】由导函数的图象可知，当，，当，，当，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以A错误，D正确； 因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以0是函数的极大值点，2是函数的极小值点，所以B, C错误. 3．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）函数的极小值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】可知， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值，所以极小值为. 4．（25-26高二下·吉林长春·期中）函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求解. 【详解】， 时，，递增，时，，递减， 所以是的极大值也是最大值. 5．（25-26高二下·河北石家庄·期中）若函数的最大值为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对求导分析函数单调性得到最大值，得到函数取最大值时的，进而建立关于的方程并求解. 【详解】的定义域为， 易得在上单调递减，当时，，当时，， 所以存在，使得，即， 则当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 即， 易得函数在上单调递增，且0，所以， 所以，解得． 6．（江西九江市共青城博雅学校等校高三5月高考适应性检测数学试题）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上单调递增，可得在上恒成立，得到，令，则只需（），利用导数求出的单调性，利用单调性得到，从而得到的取值范围. 【详解】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（）， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是. 7．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数，存在，使得对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出，记，然后求出即可得解. 【详解】因为，所以在上单调递增， 所以，记， 因为存在使得对任意的，恒成立， 所以，又，所以. 8．（2026·重庆·模拟预测）已知函数在区间恰有一个极值点，则函数的最小正周期可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 令，得：，解得：，其中， 当时，； 当时，，令，解得：； 当时，，此时是第一个极值点， 所以需保证，解得：，综上所述，. A选项，，则，，所以A选项错误； B选项，，则，，所以B选项正确； C选项，，则，，所以C选项错误； D选项，，则，，所以D选项错误； 9．（25-26高二下·上海·阶段检测）设，，则函数的极值点的个数情况可能为（     ）． A．没有极值点 B．有无穷多个极值点 C．有且仅有2026个极值点 D．有且仅有2027个极值点 【答案】D 【分析】先对函数求导，然后令导数为0，将问题转化为两个函数图像的交点问题，通过分析交点个数来确定极值点的个数． 【详解】对求导，可得， 令，即， 那么的极值点个数就等于的变号零点个数， 当时，，且在两侧导数符号不同， 所以此时有1个极值点； 当时，与都是奇函数，图像关于原点对称， 是周期函数，是过原点的直线，随着的取值不同，由正弦函数的对称性及有界性，两函数图像的交点（交点左右两侧函数值大小关系不同）的个数只能是有限个，且是奇数个（因为除了原点外其它交点关于原点对称）， 所以该函数可能恰有2027个极值点． 10．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）（多选）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．它的极大值为，极小值为 B．有两个零点 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【分析】先对函数求导，得到，通过分析导数的正负确定函数的单调区间与极值，再根据极值符号判断零点个数，最后利用导数的几何意义计算点处的切线方程，即可逐一验证选项． 【详解】，， 当时，， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 对于A，当时，取极大值， 当时，取极小值，A正确； 对于BC， 如图，在和上单调递增，在上单调递减，且，， 所以函数在，，各自有一个零点，分别为，共3个，B错误，C正确； 对于D，，，所以切线方程为，即， D正确． 11．（25-26高二下·广东佛山·期中）（多选）设函数，为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上有且仅有2个零点 C．在上单调递增 D．在上有极小值 【答案】ABD 【分析】通过求导代值判断A项；利用函数的零点定义解方程判断B项，利用求导判断函数的单调性即得函数的极值点，分别判断C，D两项即得. 【详解】由求导得. 对于A，，则A正确； 对于B，当时，由可得或，故B正确； 对于C，设，则， 因，则，则，故在上单调递减， 而，故存在，使得， 当时，，即；当时，，即， 故函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故在上有极小值，故D正确. 12．（2026·山东聊城·三模）（多选）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（    ） A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增 C．， D．， 【答案】BC 【分析】先根据切线斜率条件求导，由得，确定，再分析其零点、导数与单调性，结合函数在各区间的增减性，逐一判断选项． 【详解】，， 因为函数的图象在点处的切线的斜率为， 所以，解得， 所以，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 对于A，由，得，，A错误； 对于B，区间，即是， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，B正确； 对于C，当时，，所以， 因为在区间上单调递减，所以，C正确； 对于D，， ，所以恒成立， 即对所有成立，D错误． 13．（25-26高二下·河北唐山·期中）（多选）已知，下列说法不正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递增区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 【答案】BD 【分析】根据导数的几何意义即可判断A；令即可求出函数的单调增区间，即可判断B；求出函数的减区间，再根据极大值的定义即可判断C；作出函数的大致图象，结合函数图象即可判断D. 【详解】由，得， 对于A，， 所以在处的切线方程为，故A正确； 对于B，令，则，所以的单调递增区间为，故B错误； 对于C，令，则，所以函数的单调递减区间为， 所以的极大值为，故C正确； 对于D，方程的解的个数， 即为函数图象交点的个数， 当时，，当时，且， 如图，作出函数的大致图象， 由图可知，方程仅有一个解，故D错误. 14．（山东潍坊市2026届高三5月高考模拟考试数学试题）（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．为奇函数 C．在上单调递增 D．在上恰有2个极值点 【答案】ABD 【分析】A令函数最小正周期为，得恒成立，结合正余弦函数的最小正周期判断；B由，根据奇偶性的定义判断；C对函数求导得，令且，研究对应的范围，从而判断对应的范围是否包含判断；D结合C分析，令求出对应根的个数判断. 【详解】A：令函数最小正周期为，则，即恒成立， 由于正余弦函数的最小正周期均为，则恒成立，所以是的一个周期， 又，，所以不是的周期，故的最小正周期为，对， B：令，且定义域为R， 而，即，故为奇函数，对， C：由，令，且， 令且，则，即， 所以，即时，，而， 所以在上不单调，错， D：由C分析，令且，可得， 所以在上有2个不同根，即有2个不同零点， 所以在上恰有2个极值点，对. 15．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是上的单调递增函数，则的值为______. 【答案】/ 【分析】 先对进行求导，令，再分当时不符合题意和时通过求的导数求出其最小值，最后根据题意列出，求解即可. 【详解】，令，， ① 当时，，在上单调递增， 又，所以当时，；当时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为，不符合题意； ② 当时，令，解得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，有最小值， 所以当在上单调递增时，有， 令，，得， 所以时，；时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以， 又要求，所以，即. 16．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若，都有，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先将不等式化为，再构造，利用导数研究其单调性，结合恒成立得，进而有，进而问题化为在上恒成立，最后应用导数求最大值，即可得． 【详解】由题设，都有，即， 因为，所以，即， 令且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，此时，则，即不合题设； 故，所以，而在上单调递增，则， 问题化为，在上恒成立， 令且，则， 当时，，即在上单调递减， 所以，故． 则a的取值范围为． 17．（2026·江苏扬州·三模）函数在区间上的最大值为_________． 【答案】2 【详解】∵ ，， ∴ 对求导得. 令，解得，，均属于区间. 分别计算在区间端点和极值点处的函数值： 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 比较上述函数值大小：， ∴ 函数在区间上的最大值为. 18．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】首先确定函数的定义域，其次因为既有极大值又有极小值，可知导数为0有两个不相等的正根，而导数的分子正好为一元二次，所以通过根与系数的关系得到不等式. 【详解】的定义域为， 求导得， 因为函数既有极大值又有极小值， 所以在上有两个不相等的根 记为，即是的两个不相等的正根 ，解得. 19．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）先根据已知条件确定在的单调性，再对的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下的最小值. 【详解】（1）由题意可得：的定义域是，且， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，由（1）可得：在上单调递减， 所以，①当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为， ②当时，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为． 综上，． 20．（25-26高二下·吉林辽源·期中）已知函数 (1)求函数的导函数； (2)若，求函数单调区间； (3)若函数在上的最小值是，求的值． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的四则运算求得正确答案. （2）根据判断的单调区间. （3）对进行分类讨论，结合在上的最小值求得. 【详解】（1）依题意，. （2）当时，，的定义域为， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. （3）的定义域为，. 当时：在区间上，，， 所以在上单调递增． 则在上的最小值为，由，与矛盾，舍去． 当时：当时，单调递减； 当时：单调递增． 所以在上的最小值为， 由，即，解得，满足． 当时：在区间上，， 所以在上单调递减． 则在上的最小值为， 由，解得，与矛盾，舍去. 综上，的值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $