专题03 导数与切线方程、导数与单调性（含二阶导）、极值与最值8大题型（期中复习讲义）高二数学下学期人教A版

专题03 导数与切线方程、导数与单调性（含二阶导）、 极值与最值8大题型（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 由切线方程求参数 题型02 公切线问题 题型03 具体函数的单调性、极值最值 题型04 利用导数求含参可分离函数的单调性 题型05 利用导数求含参不可分离函数的单调性 题型06 二阶导 题型07 由函数单调性求参数 题型08 由极值极值点、最值求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 题型01：由切线方程求参数 能利用切点在曲线上、切线斜率等于导数值这两个条件，建立方程（组）求解参数 高频考点，常以选择题、填空题或解答题第一问出现，易错点在于忽略切点同时满足曲线和切线方程 题型02：公切线问题 能解决两个函数存在公共切线的问题，通过设两个切点、联立方程求解参数或判断存在性 难度中上，常作为小题压轴或解答题中间步骤，关键点在于正确表达两条切线相同并消去切点 题型03：具体函数的单调性、极值最值 能通过求导、解不等式确定具体函数（无参数）的单调区间、极值与闭区间上的最值 基础综合考点，要求步骤规范（求导、解不等式、列表），易错点在于忘记定义域或导数分母不为零 题型04：利用导数求含参可分离函数的单调性 能对含参函数进行参变分离，将参数与变量分开，转化为讨论不含参函数的单调性问题 中档考点，考查转化思想，注意分离后参数与变量的范围限制，简化分类讨论 题型05：利用导数求含参不可分离函数的单调性 能直接对含参函数求导，通过分类讨论参数的不同取值范围，确定导函数符号，从而得到单调区间 高频压轴考点，分类讨论的完整性与区间合并是难点，易错点在于讨论不全面或忽略参数边界 题型06：二阶导 能正确计算二阶导数，并利用二阶导符号判断函数图象的凹凸性，辅助研究极值、拐点 常以小题或大题中间步骤出现，考查对导数深层意义的理解，易与一阶导应用混淆 题型07：由函数单调性求参数 能根据函数在给定区间上单调（增、减或非单调），转化为导函数恒成立或存在零点问题，求参数范围 重要考点，常结合分离参数或分类讨论，易错点在于等号是否可取（如单调递增时导数≥0） 题型08：由极值极值点、最值求参数 能利用极值点处导数为零、极值定义或最值条件（已知最值或最值位置），建立方程（组）或不等式求解参数 高频考点，需结合单调性讨论，注意验证极值点两侧导数符号变化，最值需比较端点与极值点 知识点1 导数的几何意义 就是曲线在点（也称处）处的切线的 ，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是 ． 知识点2 导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 知识点3 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. [常用结论] 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解. 知识点4 极值的定义 极大值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ， .而且在点附近的左侧 0，右侧 0.我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ， ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 求可导函数的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数； （2）求方程 的根； （3）列表； （4）利用与随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点5 极值与导数的关系 是极值点 是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 知识点6 函数的最值与导数 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的 ； （2）将函数的各 与 处的函数值、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 知识点7二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 题型一 由切线方程求参数 解｜题｜技｜巧 已知切线方程（或斜率、切点坐标等），利用“切点既在曲线上又在切线上”和“导数等于切线斜率”建立方程组。若切点未知，设切点横坐标为 ，表达出切点坐标和斜率，再根据已知条件（如切线过某点、与某直线平行/垂直）列方程求解参数。 【典例1】（24-25高二下·吉林长春·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【典例2】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数________． 【变式1】（24-25高二下·山东济南·期中）曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A．2 B． C． D．1 【变式2】（24-25高二下·四川广安·期中）已知函数在点的切线与直线平行，求的值__________. 题型二 公切线问题 解｜题｜技｜巧 分别设两曲线的切点为 和 ，由斜率相等得 ，再由同一条直线得 （或利用切线方程截距相等）。联立解出 及参数。注意可能两切点重合的情况。 【典例1】（24-25高二下·云南·期中）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则____________. 【典例2】（24-25高二下·山东临沂·期中）已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是______ 【变式1】（24-25高二下·江西南昌·期中）曲线与曲线的公切线的斜率为（   ） A．或 B．e或 C．1或e D．1或 【变式2】（24-25高二下·广东·期中）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是_____. 题型三 具体函数的单调性、极值最值 解｜题｜技｜巧 先求定义域，再求导并令导数为零，划分区间列表，判断各区间导数的正负，从而确定单调递增/递减区间。极值点出现在导数变号处，最值需比较极值与区间端点值（闭区间）或求极限（开区间）。 【典例1】（24-25高二下·广东江门·期中）已知函数，，且．求： (1)求a的值及曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性及求函数极值． 【典例2】（24-25高二下·重庆·期中）已知函数. (1)当时，求函数在上的极值； (2)当时，求函数的单调区间． 【变式1】（24-25高二下·海南海口·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若函数在处有极大值，求的值. 【变式2】（24-25高二下·山东·月考）已知函数在处取得极值. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 题型四 利用导数求含参可分离函数的单调性 解｜题｜技｜巧 若参数能完全分离到导数符号之外（例如 或 ），则单调性由 的符号以及参数的取值共同决定。一般先求 的正负区间，再结合参数范围分类讨论。 【典例1】（24-25高二下·天津·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时， ， 求实数 的最大值． (3)当时， 设的极大值为， 求证： 【典例2】（2025·山西临汾·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当时，设的两个零点为，求证：． 【变式1】（24-25高二下·云南·期中）已知函数，． (1)若，求函数的值域； (2)求函数的单调区间； (3)若直线为的切线，求的值． 【变式2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间， (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 题型五 利用导数求含参不可分离函数的单调性 解｜题｜技｜巧 参数无法简单分离时，需对导数表达式进行结构分析（如二次型、分式型、指对型）。分类讨论的依据：最高次项系数是否为零、判别式的符号、根的大小比较、分母的正负等。最终列出不同参数区间下的单调区间。 【典例1】（24-25高二下·海南海口·期中）已知函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，证明：. 【变式1】（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 【变式2】（24-25高二下·江苏南京·期中）设函数． (1)当时， ①讨论函数的单调性； ②若存在两个极值点，且，求的取值范围； (2)当且时，若相异的满足，求证：． 题型六 二阶导 解｜题｜技｜巧 二阶导 用于判断函数的凹凸性： 时函数下凸（凹向上）， 时上凸（凹向下）。拐点处 且两侧变号。另外，若一阶导为零且二阶导不为零，可判定极值类型（正为极小，负为极大）。在不等式证明中常通过二阶导分析一阶导的单调性。 【典例1】已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)求证：有唯一极值点，且. 【变式1】已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【变式2】已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由. 题型七 由函数单调性求参数 解｜题｜技｜巧 已知 在区间 上单调递增（减），转化为 （）在 上恒成立，且不在任何子区间恒为零。常用分离参数法或直接求最值（如 或 ）。注意端点是否包含及等号成立时的验证。 【典例1】（24-25高二下·福建·期中）已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·福建福州·期中）若函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·四川遂宁·期中）若函数在上为增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数在区间单调递增，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型八 由极值、极值点、最值求参数 解｜题｜技｜巧 由极值点求参数： 且 处导数变号，列方程解参数后验证变号条件。 由极值（函数值）求参数：极值点处函数值为已知，结合 联立求解。 由最值求参数：根据参数对单调性的影响分类讨论，得到最值表达式（含参），令其等于已知最值，解出参数，注意检查最值点是否在区间内。 【典例1】（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数在处取得极大值6，则（    ） A． B．8 C． D．12 【典例2】（24-25高二下·山西吕梁·期中）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高二下·江苏南京·期中）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数的极大值为4，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极小值，则m的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 【变式3】（24-25高二下·重庆·期中）若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在区间上的最小值小于，则正数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·辽宁·期中）若直线是曲线的切线，则（   ） A．0 B． C． D． 2．（24-25高二下·四川南充·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．函数的单调减区间为 B．函数的单调增区间为 C．函数的极大值点为1 D．函数的最大值为 3．（24-25高二下·辽宁·期中）函数的极小值点为________． 4．（24-25高二下·福建·期中）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值. 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 5．（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数（），对于任意，当时，都有成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数. (1)若在处的切线斜率为2，求切线方程. (2)求的单调区间； (3)当时，求函数的极值. 7．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若函数的单调递增区间为，求实数的值. 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 8．（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数， (1)令函数. ① 讨论函数的单调性； ② 当且时，若有两个零点，求a的取值范围. (2)证明：. 9．（24-25高二下·浙江·期中）已知，. (1)令，讨论的单调性和极值； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数与切线方程、导数与单调性（含二阶导）、 极值与最值8大题型（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 由切线方程求参数 题型02 公切线问题 题型03 具体函数的单调性、极值最值 题型04 利用导数求含参可分离函数的单调性 题型05 利用导数求含参不可分离函数的单调性 题型06 二阶导 题型07 由函数单调性求参数 题型08 由极值极值点、最值求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 题型01：由切线方程求参数 能利用切点在曲线上、切线斜率等于导数值这两个条件，建立方程（组）求解参数 高频考点，常以选择题、填空题或解答题第一问出现，易错点在于忽略切点同时满足曲线和切线方程 题型02：公切线问题 能解决两个函数存在公共切线的问题，通过设两个切点、联立方程求解参数或判断存在性 难度中上，常作为小题压轴或解答题中间步骤，关键点在于正确表达两条切线相同并消去切点 题型03：具体函数的单调性、极值最值 能通过求导、解不等式确定具体函数（无参数）的单调区间、极值与闭区间上的最值 基础综合考点，要求步骤规范（求导、解不等式、列表），易错点在于忘记定义域或导数分母不为零 题型04：利用导数求含参可分离函数的单调性 能对含参函数进行参变分离，将参数与变量分开，转化为讨论不含参函数的单调性问题 中档考点，考查转化思想，注意分离后参数与变量的范围限制，简化分类讨论 题型05：利用导数求含参不可分离函数的单调性 能直接对含参函数求导，通过分类讨论参数的不同取值范围，确定导函数符号，从而得到单调区间 高频压轴考点，分类讨论的完整性与区间合并是难点，易错点在于讨论不全面或忽略参数边界 题型06：二阶导 能正确计算二阶导数，并利用二阶导符号判断函数图象的凹凸性，辅助研究极值、拐点 常以小题或大题中间步骤出现，考查对导数深层意义的理解，易与一阶导应用混淆 题型07：由函数单调性求参数 能根据函数在给定区间上单调（增、减或非单调），转化为导函数恒成立或存在零点问题，求参数范围 重要考点，常结合分离参数或分类讨论，易错点在于等号是否可取（如单调递增时导数≥0） 题型08：由极值极值点、最值求参数 能利用极值点处导数为零、极值定义或最值条件（已知最值或最值位置），建立方程（组）或不等式求解参数 高频考点，需结合单调性讨论，注意验证极值点两侧导数符号变化，最值需比较端点与极值点 知识点1 导数的几何意义 就是曲线在点（也称处）处的切线的 斜率 ，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是 ． 知识点2 导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 知识点3 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. [常用结论] 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解. 知识点4 极值的定义 极大值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 大 ， 0 .而且在点附近的左侧 0，右侧 0.我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 小 ， 0 ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 求可导函数的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数； （2）求方程 的根； （3）列表； （4）利用与随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点5 极值与导数的关系 是极值点 是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 知识点6 函数的最值与导数 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的 极值 ； （2）将函数的各 极值 与 端点 处的函数值、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 知识点7二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 题型一 由切线方程求参数 解｜题｜技｜巧 已知切线方程（或斜率、切点坐标等），利用“切点既在曲线上又在切线上”和“导数等于切线斜率”建立方程组。若切点未知，设切点横坐标为 ，表达出切点坐标和斜率，再根据已知条件（如切线过某点、与某直线平行/垂直）列方程求解参数。 【典例1】（24-25高二下·吉林长春·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用求导法则先求，再求，利用在点处的切线与直线垂直即可求解. 【详解】由题意有，所以， 因为在点处的切线与直线垂直， 所以， 故选：A. 【典例2】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数________． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，依题意，计算可得. 【详解】因为， 所以 ， 又曲线在点处的切线与直线平行， 所以，即， 所以， 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·山东济南·期中）曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】先求出导函数，再代入得出切线斜率，结合直线垂直时斜率关系计算求解. 【详解】曲线，所以在处的切线斜率为， 又因为切线与直线垂直， 则，所以. 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·四川广安·期中）已知函数在点的切线与直线平行，求的值__________. 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】，由题意可知，直线的斜率为2，所以，得. 故答案为：1 题型二 公切线问题 解｜题｜技｜巧 分别设两曲线的切点为 和 ，由斜率相等得 ，再由同一条直线得 （或利用切线方程截距相等）。联立解出 及参数。注意可能两切点重合的情况。 【典例1】（24-25高二下·云南·期中）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则____________. 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为，， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即 因两切线重合，则，解得． 故答案为：． 【典例2】（24-25高二下·山东临沂·期中）已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是______ 【答案】 【分析】由题意可知在存在公切线，由同一条切线的斜率相等，截距相等可将问题转化为方程在上有解，构造函数，利用导数求得的值域，结合题干条件可求得实数a的取值范围. 【详解】由题意可知在上分别存在两个点，使得在处的切线与在处的切线为同一条直线， 因为，由同一条切线的斜率相等可得， 由同一条切线的截距相等，可得， 即， 将斜率相等的表达式代入可得， 即方程在上有解， 令，则， 令，得，当时，；当时，， 且当时，；当时，， 所以存在极大值同时也是最大值，所以的值域为， 若方程在上有解，则， 又，所以. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·江西南昌·期中）曲线与曲线的公切线的斜率为（   ） A．或 B．e或 C．1或e D．1或 【答案】B 【分析】求导，根据导数的几何意义分别为求切线方程，进而列式求解即可. 【详解】对于，则， 设切点为，则切线斜率， 可得切线方程为，即； 对于，则， 设切点为，则切线斜率， 可得切线方程为，即； 由题意可得， 由可得， 则，整理可得，解得或， 所以公切线斜率为或. 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·广东·期中）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】设公切线为，、分别是与、的切点，应用导数的几何意义求切线方程，根据公切线列方程求得，问题化为直线与曲线有三个不同的交点，再应用导数研究交点求参数范围. 【详解】设公切线为， 是与的切点，由，得， 是与的切点，由，得， 所以的方程为，因为，整理得， 同理，因为，整理得. 依题意两条直线重合，可得， 两式相除得，所以，代入①得， 由题意此方程有三个不等实根，设，， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则或， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以有极小值为，有极大值为， 当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 所以当，即时，直线与曲线有三个交点， 故答案为： 题型三 具体函数的单调性、极值最值 解｜题｜技｜巧 先求定义域，再求导并令导数为零，划分区间列表，判断各区间导数的正负，从而确定单调递增/递减区间。极值点出现在导数变号处，最值需比较极值与区间端点值（闭区间）或求极限（开区间）。 【典例1】（24-25高二下·广东江门·期中）已知函数，，且．求： (1)求a的值及曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性及求函数极值． 【答案】(1)1， (2)增区间为：和，减区间为，的极大值是0，极小值是. 【分析】（1）求导可得，由得，再由导数的几何意义求出切线方程即可； （2）求的根，与的解集，列表格，根据极值的概念即可求解. 【详解】（1）由得，由得， 所以，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为R，，由得或， 0 + 0 - 0 + 增函数 极大值0 减函数 极小值 增函数 由上表可知，的增区间为：和，减区间为， 所以的极大值是0，极小值是. 【典例2】（24-25高二下·重庆·期中）已知函数. (1)当时，求函数在上的极值； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)的单调递增区间为，，单调递减区间为 【分析】（1）根据函数极值和导函数的关系，求出函数导数，求出函数单调区间，判断函数极值. （2）根据函数单调性和函数导数的关系，求出函数导数，求出函数单调区间. 【详解】（1）当时，函数，定义域为，则， 令，即，解得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以在上的极小值小值为，无极大值； （2）当时，函数，定义域为， 则， 令，解得或， 当，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 综上：的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【变式1】（24-25高二下·海南海口·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若函数在处有极大值，求的值. 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为 (2)6 【分析】（1）求定义域，求导，根据即可求解； （2）利用导数研究的单调性，求出函数的极大值，建立关于c的方程，解之即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以. 令，解得，或. 当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）因为，定义域为. 所以. 当，即，或时，函数可能有极值. 由题意，当时，函数有极大值，所以. 当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 因此，当时，有极大值，此时，所以. 【变式2】（24-25高二下·山东·月考）已知函数在处取得极值. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出导数，利用给定的极值点求出，进而求出单调区间. （2）由（1）结合已知，利用单调区间求出最值. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 由在处取得极值，得，解得， 则，由，得或； 由，得，则为的极小值点，符合题意 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 因此，而， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 题型四 利用导数求含参可分离函数的单调性 解｜题｜技｜巧 若参数能完全分离到导数符号之外（例如 或 ），则单调性由 的符号以及参数的取值共同决定。一般先求 的正负区间，再结合参数范围分类讨论。 【典例1】（24-25高二下·天津·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时， ， 求实数 的最大值． (3)当时， 设的极大值为， 求证： 【答案】(1)答案见解析 (2)3 (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数及其导数，再分类讨论求出的单调区间. （2）等价变形给定不等式分离参数，构造函数，利用导数探讨其最小值即可. （3）由（1）求出，再分类并结合导数证明不等式. 【详解】（1）函数定义域为R，， ①当时，令，；  ， 函数在上单调递增，在上单调递减； ②当时，令，或；，， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，，函数在上单调递增； ④当时，令，或；，； 函数在和上单调递增，在单调递减， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在单调递减. （2），不等式恒成立， 令，求导得， 令，求导得，在上递增， 而，，则使得，即， 当时，，此时；当时，，此时， 在上递减，在上递增， ，， 所以的最大整数值为3． （3）由（1）知，当时，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，，当时，， 函数的极大值等于， 令，求导得， 在上，在上，， 因此在上单调递减，在上单调递增，故， 综上可得：. 【典例2】（2025·山西临汾·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当时，设的两个零点为，求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再求切线方程即可； （2）求出导函数，讨论、，分别根据导函数符号分析函数的单调性即可； （3）结合（2）易得是是的一个较小的零点，不妨设，要证，只需证，转化问题为证，进而构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）因为函数， 所以，当时，， 则，即，， 故当时，曲线在处的切线方程为. （2）由， 则， 当时，，在上， 所以在递减； 当，， 令，则； 令，则， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）当时，， 由（2）知在上单调递增，在上单调递减， 又，是的一个较小的零点，不妨设， 要证，只需证， 因为，且在上单调递减， 从而只需证即可. ， 令， ，在上单调递增. ，即，即. 【变式1】（24-25高二下·云南·期中）已知函数，． (1)若，求函数的值域； (2)求函数的单调区间； (3)若直线为的切线，求的值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，确定函数的单调性即可求解； （2）求得导函数，并对分和讨论，即可判断函数的单调性； （3）设切点为，结合导数的几何意义可得，令，转化为仅一个零点，利用导数判断求解； 【详解】（1）时，， 求导得：， 易得时，，时，， 所以在单调递减，在单调递增， 最小值为，又时，， 所以值域为： （2）由，， 当时，，在单调递增， 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 综上， 当时，递增区间为，无递减区间； 当时，递减区间为，递增区间为. （3）设切点为，依题意，，所以， 又，代入可得，， 设，则， 所在单调递增， 因为，所以， 所以. 【变式2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间， (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程； （2）求出函数的导函数，分，，三种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （3）结合（2）分、、三种情况说明在上的单调性，再由，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）当时，则，， 所以，则切点为，切线的斜率，所以切线方程为； （2）函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. （3）由（2）可知，当时在上单调递增，， 所以当，恒成立，符合题意； 当时， 若，即时在上单调递增，， 所以当，恒成立，符合题意； 若，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，不符合题意； 综上，当时，对任意的，恒成立，即实数的取值范围为. 题型五 利用导数求含参不可分离函数的单调性 解｜题｜技｜巧 参数无法简单分离时，需对导数表达式进行结构分析（如二次型、分式型、指对型）。分类讨论的依据：最高次项系数是否为零、判别式的符号、根的大小比较、分母的正负等。最终列出不同参数区间下的单调区间。 【典例1】（24-25高二下·海南海口·期中）已知函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调性，求得其最大值，即可得证； （2）求得，令，分和，结合导数的符号和二次函数的性质，即可求解； （3）由（2）知，且在上有两个解，得到，化简，转化证明，不妨设，即证，令，得到，设，，求得，结合函数的单调性和，即可得证. 【详解】（1）证明：当时，，其定义域为，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也是最大值，则， 所以当时，； （2）解：函数的定义域为， 且， 令，， （ⅰ）当时，由（1）得在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，为开口向上的二次函数，对称轴为， 由，且， ①当时，，可得在上恒成立， 所以在上单调递增； ②当时，，令，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 在上单调递减；当时，在上单调递增. （3）证明：因为存在两个极值点， 由（2）知，且方程在上有两个解， 由韦达定理得， 则 ， 要证成立，只需证， 即证，由得， 不妨设，即证，即证， 令，即证， 设，，则， 函数在上递增，，所以成立， 所以. 【变式1】（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求解； （2）对求导，得，令，再对讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （3）根据条件，利用（2）中结果，得，且，从而将问题转化成证明在区间上恒成立，构造函数，利用导数可求得在区间上恒成立，即可求解. 【详解】（1）因为，由题知，所以的值为. （2）易知定义域为，因为， 令，则， 当，即时，恒成立，，在定义域上单调递增， 当，即时，恒成立，，当且仅当时取等号，在定义域上单调递增， 当，即时，由，得到， ①时，，此时时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减， ②时，，此时时，，时，， 在上单调递增，在单调递减上. 综上，当时，在区间上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在单调递减上. （3）证明：因为函数有两个极值点，，由（2）知，且， 要证，即证， 又 ， 即证，即证在区间上恒成立， 令，则， 令，则在恒成立，即在区间上单调递增， 又，所以时，， 则在区间上单调递减， 所以，即当时， 又，所以当时，，故命题得证. 【变式2】（24-25高二下·江苏南京·期中）设函数． (1)当时， ①讨论函数的单调性； ②若存在两个极值点，且，求的取值范围； (2)当且时，若相异的满足，求证：． 【答案】(1)①答案见解析；②； (2)证明见解析 【分析】（1）①求导，令，分，，两种情况讨论可求的单调区间；②由韦达定理得，由已知可得，进而可求的取值范围； （2）求导，当，要证结论，需证，结合已知构造新函数，可证明结论，同理可证，结论成立. 【详解】（1）时 ① 设 1°，当时，因为（当且仅当时取等），所以， 即在上单调递增 2°，当时，，令解得， 所以 + 0 - 0 + 极大值 极小值 此时在和单调递增， 在单调递减； ②由①得此时且设，由韦达定理得， 所以 因为，所以，解得， 因此的取值范围是； （2）由得，即， 当时，要证，即证，即证， 若，则恒成立，下证时. 当，，所以在单调递减， 当，，所以在单调递增， 不妨设，则有，现要证，即证， 因为，即证，即证， 设， 则 ， 所以，即得证，所以得证； 当时，要证，即证，即证， 若，则恒成立， 下证：当时有. 当，，所以在单调递减， 当，，所以在单调递增， 不妨设，则有，现要证， 即证， 因为，即证，即证， 设， 则 ， 所以，即得证，所以得证； 综上所述：． 题型六 二阶导 解｜题｜技｜巧 二阶导 用于判断函数的凹凸性： 时函数下凸（凹向上）， 时上凸（凹向下）。拐点处 且两侧变号。另外，若一阶导为零且二阶导不为零，可判定极值类型（正为极小，负为极大）。在不等式证明中常通过二阶导分析一阶导的单调性。 【典例1】已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)求证：有唯一极值点，且. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】(1)利用二次求导讨论，即可求解； (2)先对函数求导可得，再对函数求导，根据零点的存在性定理知存在唯一的使得，得出的取值情况，进而得出的单调性，则有唯一的极小值点，且，即可求解. 【详解】（1）若，，所以，， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增. 又，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； （2）的定义域为，， 令，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，， 所以存在唯一的，使得， 且当时，，当时，， 又，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以有唯一的极小值点， 因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以有唯一极值点，且. 【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数或二阶导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极值点的定义，缕清极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数或二阶导数研究新函数的性质即可解决问题. 【变式1】已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递减. (2). 【分析】（1）利用二次导数判断函数的单调性； （2）首先由单调性判断函数的最小值，转化为，再利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则， 令，解得， ，解得. ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，函数取得最大值， ∴， ∴， ∴函数在上单调递减. （2）易知在上单调递增 ∴任意，都有， ∵任意，，都有恒成立 ∴在上恒成立， 当时，不等式可化为，恒成立， 当时，， 令，， 则， ∵当时，，即， ∴当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数取得最小值，∴， 综上，实数的取值范围是. 【变式2】已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，设，得到，求得的单调性，得出，再结合和，两种情况讨论，即可求解； （2）由（1）得到，假设存在满足条件的，进而得到，设，求得，再设，利用导数求得在上单调递增，进而得到答案. 【详解】（1）由 得，. 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 若，则，，在上单调递增， 若，则当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上，当时在上单调递增；当时在（0，a）上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时在上单调递减，在上单调递增， 所以. 假设存在满足条件的，则，即 又，所以，所以， 设，则， 因为， 所以在上单调递减，所以， 设，则，所以在上单调递增， 所以，故，与矛盾， 所以不存在，使得的最小值为. 题型七 由函数单调性求参数 解｜题｜技｜巧 已知 在区间 上单调递增（减），转化为 （）在 上恒成立，且不在任何子区间恒为零。常用分离参数法或直接求最值（如 或 ）。注意端点是否包含及等号成立时的验证。 【典例1】（24-25高二下·福建·期中）已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】的定义域为， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，因为函数， 所以当时取得最大值9， 所以，即的取值范围是. 故选：D. 【典例2】（24-25高二下·福建福州·期中）若函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调递减得出导函数恒非负，再分离参数结合三角函数值域计算求参. 【详解】由题意在上恒成立， 所以，又时，是减函数，（时取得）， 所以． 故选：C. 【变式1】（24-25高二下·四川遂宁·期中）若函数在上为增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即在上恒成立，求出，即可得解. 【详解】因为，则， 因为函数在上为增函数， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立，又， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：A 【变式2】（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数在区间单调递增，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得在上恒成立，通过分离参数、构造函数可得结果． 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立，显然， 所以问题转化为在上恒成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，则， 所以，即， 所以的最小值为. 故选：A. 题型八 由极值、极值点、最值求参数 解｜题｜技｜巧 由极值点求参数： 且 处导数变号，列方程解参数后验证变号条件。 由极值（函数值）求参数：极值点处函数值为已知，结合 联立求解。 由最值求参数：根据参数对单调性的影响分类讨论，得到最值表达式（含参），令其等于已知最值，解出参数，注意检查最值点是否在区间内。 【典例1】（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数在处取得极大值6，则（    ） A． B．8 C． D．12 【答案】C 【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组即可得到，从而验证，即可求解的值. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 当时，， 当或时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此是的极大值点，故，所以. 故选：C 【典例2】（24-25高二下·山西吕梁·期中）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在处取得极大值可知其二阶导函数在处的取值为负，解不等式即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为，则， 显然可知，无论为何值，恒成立， 若在处取得极大值，可知在左侧，在右侧； 因此可知在附近自左向右从正变为负， 因此在处单调递减， 令， 可得，所以， 因此可得. 故选：D. 【典例3】（24-25高二下·江苏南京·期中）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意有两个不同正根，即有两个不同正根，则，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 又， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根（不妨设为）， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 【变式1】（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数的极大值为4，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】借助导数，判定函数单调性，再结合极大值为，求，验证即可. 【详解】∵， ∴ 令，得或 当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，解得， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，不符合题意， 综上所述，. 故选：D. 【变式2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极小值，则m的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 【答案】A 【分析】利用极值点的导数值为0，再进行检验，即可得解. 【详解】求导得，则， 解得：或， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极小值， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极大值，故舍去， 故选：A. 【变式3】（24-25高二下·重庆·期中）若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为有两个变号零点，求出零点后根据题意列不等式求解即可. 【详解】由得， 由函数在区间上有两个极值点知， 在区间上两个变号零点， 令得或，由题意， 解得，且，所以实数的取值范围是. 故选：D 【变式4】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在区间上的最小值小于，则正数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，然后分类讨论利用导函数与函数单调性的关系结合条件即得. 【详解】由得， 当时，在上单调递增，的最小值为，不符题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，解得. 故选：A. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·辽宁·期中）若直线是曲线的切线，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点坐标为，则利用结合导数的几何意义求得，再将点坐标代入直线和曲线方程，即可求解. 【详解】，则， 设切点坐标为，则，解得， 又点在直线上，又在曲线上， 即，又，解得. 故选：B 2．（24-25高二下·四川南充·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．函数的单调减区间为 B．函数的单调增区间为 C．函数的极大值点为1 D．函数的最大值为 【答案】CD 【分析】求导，根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】的定义域为，且， 当在单调递减，故单调递减区间为，A错误， 当在单调递增，故单调递增区间为，B错误， 当时，取极大值也是最大值，故C正确， ，D正确， 故选：CD 3．（24-25高二下·辽宁·期中）函数的极小值点为________． 【答案】 【分析】根据题意，求导可得，令，再由极值点的定义，即可得到结果. 【详解】由可得， 令可得，即，解得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以是的极小值点. 故答案为： 4．（24-25高二下·福建·期中）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）由导数的几何意义求切点处的切线方程； （2）求导，确定单调性后即可求解最值. 【详解】（1）由题意知，，即切点为， 由已知，则， 曲线在点处的切线方程为，即； （2），得或. 当时，，所以函数在区间上单调递增， 当时，，所以函数在区间上单调递减. 所以函数的极小值点为，极小值为， 因为，，故在区间上的最大值为，最小值为. 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 5．（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数（），对于任意，当时，都有成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，令，即在上单调递增，得在恒成立即可. 【详解】由有， 令，所以在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，令，又在上单调递减， 所以，所以，即， 故选：D. 6．（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数. (1)若在处的切线斜率为2，求切线方程. (2)求的单调区间； (3)当时，求函数的极值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)，. 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列方程求解a，然后求出，即可写出切线的点斜式方程； （2）求出导函数，分两类情况进行讨论，根据导数的正负确定单调性； （3）求出，因式分解为准二次函数型，根据导数的正负判断函数的单调性从而确定极值点，求出极值. 【详解】（1），，所以 切线方程为：，即. （2）， 若，由，得；由，得， 的单调递减区间为，单调递增区间为. 若，由，得；由，得， 的单调递减区间为，递增区间为. （3）当时，， . 由，得或. 当变化时，与的变化情况如下表： 2 - 0 + 0 - 递减 极小值 递增 极大值 递减 ， . 7．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若函数的单调递增区间为，求实数的值. 【答案】(1)0； (2). 【分析】（1）根据题意将代入函数解析式，通过求导分析函数单调性，从而求出最小值； （2）利用导函数，分类讨论和时函数的单调性，从而求出实数的值. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 当时，，则，由得， 由得；由得. 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 所以函数的最小值为. （2）由题意，， ①当时，在上恒成立，在上单调递增，不合题意； ②当时，由即得， 的单调递增区间为 ， 由已知得， 所以. 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 8．（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数， (1)令函数. ① 讨论函数的单调性； ② 当且时，若有两个零点，求a的取值范围. (2)证明：. 【答案】(1)①答案见解析；② (2)证明见解析 【分析】（1）①求出函数的导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调性；②分、两种情况讨论，结合函数的单调性，求出参数的取值范围； （2）方法一 ：依题意即证，，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可证明；方法二：即证，令，，，利用导数证明；方法三：首先证明，当时，，从而转化为证明，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）①因为  所以， 所以， 当时，当时，，即在上单调递增； 时，，即在上单调递减； 当时，当时，，即在，上单调递增； 当时，，即在上单调递减. 当时，当时，，即在，上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 综上可得：当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在，上单调递增，在上单调递减； 当时在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. ②i.当时，在上单调递增，在上单调递减， 则， 因为，，且， 所以，即. ii.当时，在，上单调递增，在上单调递减， 在时取得极大值，且 ， 因为，所以，则， 所以在只有一个零点； 综上，的取值范围为. （2）方法一 ：，，则. 要证，即证，. 令，， 则. 令，，则， 所以当时，，所以在上单调递增. 因为，， 所以在上存在唯一零点，且当时，；当时，. 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以. 由，得，所以. 两边取对数，得，所以， 所以，即. 因为，所以，即. 方法二：要证，即证，即证. 令，，，. 易得，则令，得；令，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 易得. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故. 方法三： 令，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即， 当且仅当时等号成立，所以当时，， 要证，即证， 若，即，则. 令，，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，即证得成立. 9．（24-25高二下·浙江·期中）已知，. (1)令，讨论的单调性和极值； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性及极值情况； （2）变形得到，在时恒成立，令，求导，由于，故，所以，下面证明时，恒成立，放缩得，令，；求导，得到其单调性，，证明出结论. 【详解】（1），定义域为， ，； ①时，恒成立，在上单调递增，没有极值； ②时，令，则，；解得， 令，则，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 故极大值为，无极小值； （2），恒成立；即，在时恒成立； 令，； ∵，∴即，； 下面证明：时，恒成立. ∵； 令，； ； ∴在单调递减； 又∵，∴； ∴恒成立，证毕. 所以的取值范围为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $