专题 03 导数与切线方程、导数与单调性（含二阶导）、极值与最值 8 大题型期中复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题 03 导数与切线方程、导数与单调性（含二阶导）、极值与最值 8 大题型（期中复习讲义）高二数学下学期人教 A 版 核心知识铺垫（大题、小题必备，快速回顾） 三大模块的核心是“导数工具的灵活运用”，先回顾核心知识点，再突破题型，避免解题时思路卡顿： 一、导数与切线方程核心知识 1. 切线的核心关系：函数 在点 处的导数 ，就是曲线在该点处的切线斜率（记为 ），即 ； 1. 切线方程公式：若切线斜率存在（ 存在），则切线方程为 ，整理可化为斜截式或一般式； 1. 特殊情况：若切线垂直于 x 轴，则切线斜率不存在，此时切线方程为 （切点横坐标不变）； 1. 关键提醒：切点既在曲线上，也在切线上（核心隐含条件，求解参数时必用）。 二、导数（含二阶导）与单调性核心知识 1. 一阶导数与单调性（基础）：设函数 在区间 内可导， ① 若 在 上恒成立，则 在 上单调递增； ② 若 在 上恒成立，则 在 上单调递减； ③ 若 在 上恒成立，则 为常函数（不增不减）。 1. 二阶导数与单调性（期中中档考点）：设函数 在区间 内二阶可导（即 可导，记二阶导数为 ）， ① 若 ，则 单调递增，此时 为凹函数； ② 若 ，则 单调递减，此时 为凸函数； ③ 核心用途：当一阶导数无法直接判断符号时，用二阶导数判断一阶导数的单调性，进而确定原函数的单调性（突破含参单调性难点）。 1. 解题关键：先求函数定义域，再求导数（一阶、二阶），结合导数符号分析单调性，含参数时需分类讨论。 三、极值与最值核心知识 1. 极值的判定（一阶导数法）： ① 求定义域 求 令 ，求方程的根（极值可疑点）； ② 判断可疑点两侧 的符号：符号由正变负，为极大值点；符号由负变正，为极小值点；符号不变，不是极值点； ③ 极值是函数值，不是横坐标，需代入原函数计算。 1. 最值的判定： ① 闭区间 上的可导函数：最值在极值点或区间端点处取得，需计算所有极值点和端点的函数值，比较大小； ② 开区间 上的可导函数：若只有一个极值点，则该点即为最值点；若无极值点或多个极值点，需结合单调性判断是否存在最值。 1. 易错区分：极值是局部性质（某点附近的最大值/最小值），最值是全局性质（整个区间内的最大值/最小值）；一个函数可以有多个极值，但最值最多各一个。 8 大题型详解 说明：8 大题型按“基础中档综合”排序，覆盖三大核心模块，期中考查以题型 1-6 为主，题型 7-8 为中档压轴题，无超纲内容，每个题型配套完整解析与易错提醒，贴合人教 A 版教材考点。 第一部分：基础题型（1-3 题，必考题，占期中该模块 30% 分值） 题型 1：已知切点，求切线方程（基础小题/大题） 解题思路：① 求函数一阶导数；② 代入切点横坐标，计算切线斜率 ；③ 代入切线方程公式，整理化简（一般化为一般式或斜截式）。 典型例题：求曲线 在点 处的切线方程。 详细解析： ① 求定义域：（满足切点横坐标 ）； ② 求一阶导数：； ③ 计算切线斜率：代入 ，得 ； ④ 代入切线方程：，整理得 。 易错提醒：忘记求定义域（确保切点在定义域内）；切线方程未整理，直接写点斜式； 的导数记错（应为 ，不是 ）。 题型 2：利用一阶导数判断不含参函数的单调性（基础小题/大题） 解题思路：① 求函数定义域；② 求一阶导数，对导数进行因式分解（或化简）；③ 分析导数在定义域内的符号；④ 结合符号确定函数的单调区间。 典型例题：判断函数 的单调区间。 详细解析： ① 定义域为 ； ② 求一阶导数：； ③ 分析导数符号：令 ，解得 或 ；令 ，解得 ； ④ 确定单调区间：单调递增区间为 、，单调递减区间为 。 易错提醒：先求定义域再求导数，避免忽略定义域限制；单调区间用区间表示，不可用集合或不等式；因式分解不彻底，导致符号分析错误。 题型 3：求不含参函数的极值（基础小题/大题，必考题） 解题思路：① 求定义域；② 求一阶导数，令 ，求极值可疑点；③ 判断可疑点两侧导数符号，确定极值点类型（极大/极小）；④ 代入原函数，计算极值。 典型例题：求函数 的极值。 详细解析： ① 定义域为 ； ② 求一阶导数：，令 ，解得 或 ； ③ 判断符号： 时，； 时，，故 是极大值点； 时，，故 是极小值点； ④ 计算极值：极大值 ，极小值 。 易错提醒：仅令 求根，未判断两侧符号，误将导数为 0 的点当作极值点；极值与极值点混淆（极值是函数值，不是横坐标）。 第二部分：中档题型（4-6 题，高频题，占期中该模块 40% 分值） 题型 4：已知切线斜率/切线方程，求参数（中档小题/大题，高频题） 解题思路：核心利用“切点既在曲线上，也在切线上”“切线斜率=切点处的导数值”两个隐含条件，列方程组求解参数；若已知切线方程，需先提取斜率，再结合切点条件列方程。 典型例题：已知曲线 （ 为常数）在点 处的切线方程为 ，求 和 的值。 详细解析： ① 求一阶导数：； ② 切线斜率：由切线方程 得斜率 ，而切点 处的导数值为 ，故 ，解得 ； ③ 求 ：切点 在切线上，代入 得 ，解得 ； 综上，，。 易错提醒：忽略“切点在切线上”的条件，仅利用斜率求解参数；忘记 的定义域，未验证切点横坐标是否符合 。 题型 5：利用二阶导数判断函数单调性（含参，中档小题/大题） 解题思路：当一阶导数的符号无法直接判断（含参且无法因式分解）时，求二阶导数，通过二阶导数判断一阶导数的单调性，进而确定一阶导数的符号，最终判断原函数的单调性；注意分类讨论参数取值。 典型例题：已知函数 （ 为常数），讨论函数 在 上的单调性。 详细解析： ① 定义域为 ； ② 求一阶导数：（无法直接判断符号，求二阶导数）； ③ 求二阶导数：； ④ 分类讨论： （1）当 ，即 时，在 上，，故 ，则 在 上单调递增；又 ，故 在 上恒成立， 单调递增； （2）当 ，即 时，令 ，解得 ； 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增； 此时 ，再分情况： ① 若 ，即 ，则 ， 在 上单调递增； ② 若 ，即 ，则存在 （），使得 ，故 在 、 上单调递增，在 上单调递减。 易错提醒：不会利用二阶导数判断一阶导数的符号；分类讨论标准不清晰，遗漏参数取值范围；忽略一阶导数的最小值与 0 的关系。 题型 6：含参函数的极值与闭区间最值（修正公式错误，不删减内容） 解题思路：① 求定义域；② 求一阶导数，令 ，求极值可疑点（含参）；③ 分类讨论可疑点的个数、可疑点与定义域的关系，判断极值点；④ 计算极值；若求闭区间最值，需额外计算区间端点的函数值，比较大小得出最值。 典型例题：已知函数 ，求函数在区间 上的极值与最值。 详细解析： ① 定义域为 ，区间 在定义域内； ② 求一阶导数：，令 ，解得 （ 舍去，因 ，）； ③ 分类讨论 与区间 的关系： （1）当 ，即 时，在 上，， 单调递减，无极值；最大值为 ，最小值为 ； （2）当 ，即 时， 在区间内； 判断符号： 时，； 时，，故 是极小值点，极小值 ，无极大值； 计算端点值：，； 比较大小：当 时，最大值为 ；当 时，最大值为 2；当 时，最大值为 ；最小值恒为 ； （3）当 ，即 （与 矛盾，舍去）。 易错提醒：分类讨论时，未结合区间范围判断可疑点是否在区间内；求闭区间最值时，遗漏端点函数值；计算极值时，代入错误。 第三部分：综合题型（7-8 题，中档压轴题，占期中该模块 30% 分值） 题型 7：切线方程与单调性的综合应用（综合小题/大题，高频压轴题） 解题思路：结合切线方程的求解（求斜率、求参数）与函数单调性的判断，综合运用导数工具，解决含参综合问题；核心是找到切线条件与单调性条件的关联，列方程或不等式求解。 典型例题：已知函数 （ 为常数），曲线 在点 处的切线与直线 垂直，且函数 在区间 上单调递增，求实数 的值及 的取值范围。 详细解析： ① 求 的值：直线 的斜率为 -1，切线与该直线垂直，故切线斜率为 1；求 的一阶导数：，切点 处的斜率为 ，故 ，解得 ；此时 ，； ② 求 的取值范围：函数 的定义域为 ，要使 在 上单调递增，需 在 上恒成立；因 ，且 ，故 在 上恒成立，即 在 上单调递增；因此 ，即 ，解得 ； 综上，， 的取值范围为 。 易错提醒：两直线垂直时，斜率乘积为 -1（忽略斜率不存在的情况，本题无此情况）；忽略函数定义域，导致 的取值范围出错；未判断 的符号恒正，盲目求解不等式。 题型 8：极值、最值与不等式恒成立的综合应用（综合大题，期中难点） 解题思路：核心是将不等式恒成立问题转化为函数最值问题（如 恒成立 ），结合导数求函数的极值、最值，分类讨论参数取值，最终确定参数的范围；注重逻辑推理和步骤规范。 典型例题：已知函数 （ 为常数），且 的两根为 和 ，若 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围。 详细解析： ① 求 的值：求一阶导数 ，由 的两根为 1 和 2，根据韦达定理得 ，解得 ，；故 ； ② 求 在 上的最值：定义域为 ，，令 ，解得 或 （均在区间内）；计算函数值：，，，；比较大小得，； ③ 求 的取值范围：由 在 上恒成立，得 ，故 的取值范围为 。 易错提醒：利用韦达定理求参数时，记错系数关系；求最值时，遗漏区间端点函数值；恒成立问题中，搞反最值与参数的大小关系（误将 写成 ）。 分层实战卷 基础层（共 30 分，每题 6 分） 题号 题目内容 1 在 处的切线方程。 2 的单调区间。 3 的极值。 4 在区间 上的最值。 5 在点 处的切线斜率。 提高层（共 40 分，每题 8 分） 题号 题目内容 1 已知曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值。（注：修正原题矛盾，明确 为任意实数） 2 已知函数 （ 为常数），利用二阶导数讨论 在 上的单调性。 3 已知函数 ，求函数的极值，并判断在区间 上的最值。 4 已知曲线 在点 处的切线斜率为 3，求 的值，并判断函数在 上的单调性。 5 求函数 在区间 上的最值。 冲刺层（共 30 分，每题 10 分） 题号 题目内容 1 已知函数 （ 为常数），曲线 在点 处的切线垂直于 ，且函数 在区间 上单调递减，求 的值及 的取值范围。 2 已知函数 ，且 的两根为 和 ，若 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围。 3 已知函数 ，利用二阶导数判断 的单调性，并求当 时， 恒成立的实数 的取值范围。 实战卷答案解析 基础层答案解析 1. 答案： 解析：① 求一阶导数：； ② 代入切点横坐标 ，得切线斜率 ；③ 代入切线方程 ，整理得 。 1. 答案：单调递增区间为 、；单调递减区间为 解析：① 定义域为 ； ② 求一阶导数：； ③ 令 ，解得 或 ；令 ，解得 ； ④ 确定单调区间：递增区间为 、，递减区间为 。 1. 答案：极小值 -1（无极大值） 解析：① 定义域为 ； ② 求一阶导数：，令 ，解得 ； ③ 判断符号： 时，； 时，，故 是极小值点，无极大值点； ④ 计算极值：极小值 ，无极大值。 1. 答案：最大值为 2，最小值为 -2 解析：① 定义域为 ； ② 求一阶导数：，令 ，解得 （在区间内），（舍去）； ③ 计算函数值：，，；④ 比较得，最大值为 2，最小值为 -2。 1. 答案：3 解析：① 求一阶导数：； ② 代入切点横坐标 ，得切线斜率 。 提高层答案解析 1. 答案：（任意实数） 解析：① 求一阶导数：； ② 切线斜率为 3，故 ，该式恒成立，与 的取值无关；③ 切点 代入曲线：，也恒成立； ④ 综上， 为任意实数。 1. 答案：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减 解析：① 定义域为 ； ② 求一阶导数：； ③ 求二阶导数：，故 在 上单调递减； ④ 分类讨论： （1）当 时， 恒成立， 单调递增； （2）当 时，令 ，解得 ；因 单调递减，故 时，， 单调递增； 时，， 单调递减。 1. 答案： 极值：当 时，无极值；当 时，有极大值 ，极小值 ； 最值：当 时，最大值为 ，最小值为 ；当 时，需比较极值点与区间端点函数值确定最值 解析： ① 定义域为 ； ② 求一阶导数：，判别式 ； ③ 分类讨论极值： 当 时，，，函数单调递增，无极值； 当 时，，令 ，解得 ； 或 时，； 时，，故存在极大值和极小值，分别为 和 ； ④ 闭区间 最值： 当 时，函数单调递增，最大值 ，最小值 ； 当 时，需判断极值点是否在区间 内，再计算极值点与端点 、 的函数值，比较大小确定最值。 1. 答案：，函数在 上单调递增 解析：① 求一阶导数：； ② 由题意，切线斜率为 3，故 ，解得 ； ③ 此时 ，在 上， 恒成立，故函数在 上单调递增。 1. 答案：最大值为 5，最小值为 1 解析： 1 求一阶导数：； 2 在区间 上，令 ，解得 和 （均在区间内）； 3 计算函数值：，，； ④ 比较函数值大小，得最大值为 5，最小值为 1。 冲刺层答案解析 1. 答案：， 解析： ① 求 的值：直线 的斜率为 2，切线与该直线垂直，故切线斜率为 ；函数一阶导数 ，切点 处的斜率为 ，故 ，解得 ； ② 求 的取值范围：此时 ，函数定义域为 ；令 ，因分母 ，故分子 ，解得 ；要使 在 上单调递减，需 ，即 ，解得 ；综上，， 的取值范围为 。 1. 答案： 解析：① 求 的值：函数一阶导数 ，由 的两根为 1 和 2，根据韦达定理得 ，解得 ，； ② 确定函数解析式：； ③ 求函数在 上的最值：令 ，解得 或 （均在区间内）；计算函数值：，，，； ④ 比较大小得 ； ⑤ 由 恒成立，得 ，故 的取值范围为 。 2 学科网（北京）股份有限公司 $