专题08正方形性质与判定期末复习讲义 (20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题08正方形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握正方形定义：既是矩形又是菱形，理解正方形、平行四边形、矩形、菱形之间的从属关系。 2.熟记正方形全方位性质：边、角、对角线、对称性，掌握正方形兼具矩形和菱形所有性质。 3.熟练掌握正方形四种判定方法，能区分矩形、菱形、正方形判定区别。 4.掌握正方形周长、面积公式，熟记对角线特殊结论。 1.计算能力：能利用正方形性质快速求边长、角度、对角线、周长、面积。 2.推理能力：能灵活选择判定方法，证明一个四边形是否为正方形。 3.综合能力：能结合全等三角形、矩形、菱形，解决中档几何大题。 4.归纳能力：会区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，避免混淆。 1.选择填空：秒杀图形辨析、角度计算、性质判断，杜绝基础错题。 2.解答题：掌握先证矩形 / 菱形，再升级为正方形标准答题套路，格式规范。 3.压轴题：熟练掌握正方形常见模型（折叠、旋转、对角线模型），轻松攻克期末压轴题型。 题型01.正方形性质理解 题型02.正方形性质求角度 题型03.正方形性质求线段长 题型04.正方形性质求面积 题型05.正方形中的折叠问题 题型06.正方形性质证明 题型07.正方形判定定理理解 题型08.添条件使四边形是正方形 题型09.证明四边形是正方形 题型10.正方形性质与判定求角度 题型11.正方形性质与判定求线段长 题型12.正方形性质与判定求面积 题型13.正方形性质与判定证明 题型14.正方形中的动点问题. 题型15.正方形中的最值问题 题型16.正方形与坐标系综合 题型17.正方形多结论判断题 题型18..正方形中的旋转问题 题型19.中点四边形 题型20.四边形其他综合问题 知识点01:正方形的定义 1. 三种等价定义（课本核心） 定义 图示 从平行四边形出发：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 从矩形出发：一组邻边相等的矩形是正方形。 从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。 2. 图形从属关系（必记） 知识点02:正方形的性质（重难点，分模块记忆） 类别 性质描述 几何语言 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 特殊性质（拓展） ➽一条对角线将正方形分成2 个全等的等腰直角三角形。 ➽两条对角线将正方形分成4 个全等的小等腰直角三角形。 ➽周长相等的四边形中，正方形面积最大。 知识点03.正方形的判定（核心 知识点04:正方形计算公式（直接套用） 1.周长：C=4×边长 2.面积两种算法：S=边长×边长 S=×对角线2 3.边长与对角线关系：正方形对角线 =边长 知识点05.正方形与特殊四边形的关系 图形 与正方形的区别 共性 平行四边形 无邻边相等、无直角 对边平行且相等、对角线互相平分、中心对称 矩形 邻边不一定相等 四个直角、对角线相等、轴对称 菱形 角不一定是直角 四边相等、对角线垂直、对角线平分对角 知识点06:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如下图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 题型01.正方形性质理解 1．若矩形的对称中心是直角坐标系的原点，且点A的坐标为，则点C的坐标为_____． 2．如图，正方形的对角线交于点O，M是边上一点，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是7，则的长为________． 3．如图，等边三角形的三个顶点都在边长为1的正方形的边上．对于这样的等边三角形，给出以下结论： ①等边三角形有无数个； ②等边三角形的周长的最小值为3； ③等边三角形的面积的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） . A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型02.正方形性质求角度 4．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方形与平行四边形的一边重合．若平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点，，分别在边，，上．若，，，则的度数为______（用含的式子表示）． 7．正方形中，点E是对角线上一动点，过点E作交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长； (3)当与正方形的某条边的夹角为时，直接写出的度数； (4)若点为中点，连接，试判断和的位置关系，并说明理由． 题型03.正方形性质求线段长 8．如图，正方形的边长分别为，和．则图中阴影部分的面积为______． 9．如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形边长为，正方形边长为（），点在边上，在延长线上，连接，与交于点，连接，．    (1)若，，则_______； (2)求的面积（用，的代数式表示）； (3)如图，点为中点，连接、、，若，，求的面积． 题型04.正方形性质求面积 11．在平面直角坐标系中，一个正方形的顶点坐标分别为、、、，则该正方形的面积为______． 12．如图，在中，，，以，为边做正方形，这两个正方形的面积和为（   ） A．5 B．9 C．16 D．25 13．如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在、、边上，若，，则阴影部分面积为________． 14．如图，正方形的对角线交于点，是边上的一点，连接，过点作交于点，若，求四边形的面积． 题型05.正方形中的折叠问题 15．将一个边长为4的正方形纸片按所示的方式两次折叠，折叠后再按图示沿裁剪，得到几个相同的图形纸片．那么每一个纸片的面积是______． 16．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接，现在有如下4个结论：①；②；③的周长是一个定值；④连结，的面积等于．在以上4个结论中，正确的是_______． 17．如图，将边长为9的正方形沿折叠，使顶点C落在边的P点处，点D的对应点为O，连接、，若， (1)问：线段、相等吗？ (2)求的长； (3)直接写出四边形的周长． 题型06.正方形性质证明 18．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 19．如图，四边形为正方形，点E在对角线的延长线上，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 20．如图，是边长为4的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 题型07.正方形判定定理理解 21．下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．邻边相等的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 22．如图中，阴影部分表示的四边形是______． 23．如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，将剪下的部分展开．若要剪出一个正方形，则剪口与折痕所成夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 题型08.添条件使四边形是正方形 24．在四边形中，对角线且与互相平分，若使四边形是正方形，则需再添加的一个条件为（    ）．（不添加辅助线，写出一个条件即可） A． B． C． D． 25．如图，在中，分别是的中点，连接，要使四边形是正方形，只需增加一个条件为_________．    26．如图，在中，，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE． (1)当，时，求直线MN到直线AB的距离； (2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？写出证明过程； (3)若D为AB中点，则当的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？直接写出答案． 题型09.证明四边形是正方形 27．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且，． (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)若，，求四边形ABCD的面积． 28．如图，两条外角平分线交于点，，过点作于点于点．求证：四边形是正方形． 29．如图，在矩形中，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点的运动时间为． (1)求当为何值时，四边形是正方形； (2)求当为何值时，； 题型10.正方形性质与判定求角度 30．如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则____________． 31．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    32．已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角． 题型11.正方形性质与判定求线段长 33．如图，在正方形中．若以为底边向其形外作等腰直角，连接，则的长为______． 34．如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（   ） A． B．9或6 C．9或 D．3或 35．如图，在矩形中，的平分线交于点于点于点与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 题型12.正方形性质与判定求面积 36．如图，在矩形中，，，以A为圆心，为半径画弧，分别与边交于点E，与的延长线交于点F，则阴影部分的面积为___________．（结果不取近似值）    37．如图，已知正六边形的边长为1，分别以其对角线、为边作正方形，则两个阴影部分的面积差的值为（ ） 38．如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． (1)求证：． (2)①______； ②求证：． (3)求证：． 题型13.正方形性质与判定证明 39．如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 40．如图，正方形的对角线，相交于点，且，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是正方形． 41．如图，在矩形中，O为对角线的中点，点E，F分别在边上，且． (1)求证：； (2)如图1，若， ①求证：； ②猜想线段和之间的数量关系是______； (3)如图2，若，那么（2）②中线段和之间的数量关系还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 题型14.正方形中的动点问题. 42．如图，正方形的面积为16，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是______． 43．如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为___________． 44．四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． (1)如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； (2)如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 题型15.正方形中的最值问题 45．如图，正方形中，E、F分别为边上的动点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 46．如图，E，F是正方形的边上两个动点，．连接，交于点G，连接，交于点M．若正方形的边长为4，则线段的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 47．如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 题型16.正方形与坐标系综合 48．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长是3，点A的横坐标为1，则点B的坐标为______． 49．在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 50．小熙在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），先画一个边长为1的正方形，以对角线为边长作第2个正方形，再以对角线为边长作第3个正方形，……，依次下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型17.正方形多结论判断题 51．如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连结．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有________ 52．如图，在正方形中，O是对角线与的交点，M是边上的动点（点M不与B，C重合），连接，作交于N，连接，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 53．如图，在正方形中，P是边上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N，下列结论：①；②；③；④当P是的中点时，，其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 题型18..正方形中的旋转问题 54．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，则线段的长度为_____． 55．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 56．如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则为（     ） A．2 B． C． D． 57．按要求解答问题： 【初步实践】 . (1)如图1，在长方形中，若，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，．求证：； 【问题探究】 (2)如图2，将线段绕点P逆时针旋转，使点B落在的延长线上的点E处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 题型19.中点四边形 58．顺次连接四边形各边、、、的中点E、F、G、H，得到矩形，则原四边形的对角线满足条件： _______． 59．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 60．如图，，，，分别是四边形各边的中点，且，，．依次取，，，的中点，，，，再依次取，，，的中点，，，以此类推取，，，的中点，，，，若四边形的面积为，则n的值为_________． 题型20.四边形其他综合问题 61．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作且，连接、． (1)求证：四边形为矩形； (2)若菱形的边长为8，，则_________． 62．已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 63．如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作，交的延长线于点G．    (1)若， ①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长； (2)如图2，于点M，于点N，探究： ①当为何值时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08正方形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握正方形定义：既是矩形又是菱形，理解正方形、平行四边形、矩形、菱形之间的从属关系。 2.熟记正方形全方位性质：边、角、对角线、对称性，掌握正方形兼具矩形和菱形所有性质。 3.熟练掌握正方形四种判定方法，能区分矩形、菱形、正方形判定区别。 4.掌握正方形周长、面积公式，熟记对角线特殊结论。 1.计算能力：能利用正方形性质快速求边长、角度、对角线、周长、面积。 2.推理能力：能灵活选择判定方法，证明一个四边形是否为正方形。 3.综合能力：能结合全等三角形、矩形、菱形，解决中档几何大题。 4.归纳能力：会区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，避免混淆。 1.选择填空：秒杀图形辨析、角度计算、性质判断，杜绝基础错题。 2.解答题：掌握先证矩形 / 菱形，再升级为正方形标准答题套路，格式规范。 3.压轴题：熟练掌握正方形常见模型（折叠、旋转、对角线模型），轻松攻克期末压轴题型。 题型01.正方形性质理解 题型02.正方形性质求角度 题型03.正方形性质求线段长 题型04.正方形性质求面积 题型05.正方形中的折叠问题 题型06.正方形性质证明 题型07.正方形判定定理理解 题型08.添条件使四边形是正方形 题型09.证明四边形是正方形 题型10.正方形性质与判定求角度 题型11.正方形性质与判定求线段长 题型12.正方形性质与判定求面积 题型13.正方形性质与判定证明 题型14.正方形中的动点问题. 题型15.正方形中的最值问题 题型16.正方形与坐标系综合 题型17.正方形多结论判断题 题型18..正方形中的旋转问题 题型19.中点四边形 题型20.四边形其他综合问题 知识点01:正方形的定义 1. 三种等价定义（课本核心） 定义 图示 从平行四边形出发：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 从矩形出发：一组邻边相等的矩形是正方形。 从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。 2. 图形从属关系（必记） 知识点02:正方形的性质（重难点，分模块记忆） 类别 性质描述 几何语言 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 特殊性质（拓展） ➽一条对角线将正方形分成2 个全等的等腰直角三角形。 ➽两条对角线将正方形分成4 个全等的小等腰直角三角形。 ➽周长相等的四边形中，正方形面积最大。 知识点03.正方形的判定（核心 知识点04:正方形计算公式（直接套用） 1.周长：C=4×边长 2.面积两种算法：S=边长×边长 S=×对角线2 3.边长与对角线关系：正方形对角线 =边长 知识点05.正方形与特殊四边形的关系 图形 与正方形的区别 共性 平行四边形 无邻边相等、无直角 对边平行且相等、对角线互相平分、中心对称 矩形 邻边不一定相等 四个直角、对角线相等、轴对称 菱形 角不一定是直角 四边相等、对角线垂直、对角线平分对角 知识点06:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如下图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 题型01.正方形性质理解 1．若矩形的对称中心是直角坐标系的原点，且点A的坐标为，则点C的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，中心对称以及坐标与图形的性质，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．因为矩形是中心对称图形，若对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称，从而根据A点坐标可求C点坐标． 【详解】解：∵矩形是中心对称图形， ∴当其对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴． 故答案为：． 2．如图，正方形的对角线交于点O，M是边上一点，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是7，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形与三角形综合，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式，是解题的关键． 根据正方形的性质及，可证，得到，由此将将四边形的面积转换为等腰直角的面积，可求值，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形的对角线交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积是7， 即， ∴， ∴， ∴， 在等腰直角中， ， ∴， 故答案为： ． 3．如图，等边三角形的三个顶点都在边长为1的正方形的边上．对于这样的等边三角形，给出以下结论： ①等边三角形有无数个； ②等边三角形的周长的最小值为3； ③等边三角形的面积的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） . A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】如图所示，连接正方形对角交于点O，以点O为圆心，以为半径画圆，则点D，E，F，G在圆O上，连接，并延长，交圆O于点M，N，P，结合等腰三角形、正方形的性质得到当点M，N，P在圆上运动时，对应的在正方形内部运动，可判定①；如图所示，过点作，则 ，得到 ，结合周长计算可判定②；根据题意，当最大时，等边三角形的面积最大，如图所示，当三角形一个顶点与正方形的一个顶点重合时，由勾股定理得到的值，结合面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接正方形对角交于点O，以点O为圆心，以为半径画圆，则点D，E，F，G在圆O上，连接，并延长，交圆O于点M，N，P， ∵是等边三角形， ∴ ， ∴ ，即是等边三角形， ∴当点M，N，P在圆上运动时，对应的在正方形内部运动， ∴等边三角形有无数个，故①正确； 如图所示，过点作，则 ， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵ ，且等边三角形的周长 ， ∴最小值为1， ∴等边三角形的周长的最小值为3，故②正确； 如图所示，过点作，， ∴ ， ∴， 当最大时，等边三角形的面积最大， 如图所示，当三角形一个顶点与正方形的一个顶点重合时， ∴ ， 又 ， ∴， ∴， 设，则 ， 在中，， 在中， ， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 根据上述计算可知， ， ∴的最大值为， ∴ ，故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：A ． 题型02.正方形性质求角度 4．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，正方形与平行四边形的一边重合．若平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，平行四边形的性质，角的平分线求解即可； 【详解】解：因为正方形与平行四边形的一边重合， 所以，， 因为平分， 所以， 所以． 6．如图，在正方形中，点，，分别在边，，上．若，，，则的度数为______（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，取的中点，连接，可得，进而利用正方形的性质证明，得到，即得，得到，即可得，再根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：如图，取的中点，连接，则，． ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴四边形四平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．正方形中，点E是对角线上一动点，过点E作交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长； (3)当与正方形的某条边的夹角为时，直接写出的度数； (4)若点为中点，连接，试判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 (4)，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，于点，然后证明，即可得到，即可证明； （2）先由勾股定理求解，则，再证明，即可得到； （3）分两种情况讨论，即与的夹角为或与的夹角为，根据正方形的性质以及四边形内角和定理求解即可； （4）可得此时重合，由四边形是正方形，得到． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：在正方形中， ∴ ∵ ∴， ∵在正方形中，， ∴ ∴， ∴； （3）解：当与的夹角为时，即，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵在四边形中，，而 ∴； 当与的夹角为时，即，如图，设交于点， 由题意得， ∵ ∴ 综上：的度数为或； （4）解：，理由如下： 如图， ∵在正方形中，， 又∵点为的中点， ∴，即， ∵，点在射线上， ∴此时重合， ∵四边形是正方形， ∴． 题型03.正方形性质求线段长 8．如图，正方形的边长分别为，和．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】先设三个正方形的边长，再根据图形关系用“大长方形面积减去两个白色正方形面积”表示阴影部分面积，代入边长的具体数值后，通过整式运算与根式化简，最终算出阴影面积为． 【详解】解：设正方形的边长分别为，， ， 观察图形可得：阴影部分面积右侧大长方形面积减去两个白色正方形的面积， 右侧大矩形的高等于正方形的边长，宽等于， ∴阴影面积公式为： ． 9．如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形的性质得出，，由勾股定理求出，根据等腰三角形的判定和性质得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案. 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，正方形边长为，正方形边长为（），点在边上，在延长线上，连接，与交于点，连接，．    (1)若，，则_______； (2)求的面积（用，的代数式表示）； (3)如图，点为中点，连接、、，若，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的边长，确定的底和高，直接用三角形面积公式计算． （2）采用割补法，用的面积减去的面积，推导出的面积表达式． （3）先由已知的面积和长度，求出与的值，再利用中点性质和割补法，将的面积转化为正方形、三角形面积的和差形式，结合完全平方公式代入计算． 【详解】（1）解：∵正方形边长，正方形边长， ∴，，即，， ∴点到的距离为， ∴． （2）解：正方形边长为，正方形边长为， ，点到的距离为，点到的距离为， ，， ；    （3）解：，， ，，即，， 点为中点， ， ．    题型04.正方形性质求面积 11．在平面直角坐标系中，一个正方形的顶点坐标分别为、、、，则该正方形的面积为______． 【答案】9 【详解】解：在坐标系中，画出正方形的顶点，如下图 由已知顶点坐标可得，正方形的边长为； 根据正方形面积公式（为边长），代入得． 12．如图，在中，，，以，为边做正方形，这两个正方形的面积和为（   ） A．5 B．9 C．16 D．25 【答案】B 【分析】设，两个正方形的面积分别为，根据勾股定理可得，代入数据即可求解． 【详解】解：设，则以，为边的两个正方形的面积分别为， ， 在中，由勾股定理得， 即两个正方形的面积和为， ， 面积和． 13．如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在、、边上，若，，则阴影部分面积为________． 【答案】 【分析】过点作交于点，根据正方形的性质证明，得到，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， 则， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴阴影部分面积 ． 14．如图，正方形的对角线交于点，是边上的一点，连接，过点作交于点，若，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，进而可证，得到，即得，由求出即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 题型05.正方形中的折叠问题 15．将一个边长为4的正方形纸片按所示的方式两次折叠，折叠后再按图示沿裁剪，得到几个相同的图形纸片．那么每一个纸片的面积是______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了折叠，根据将一张正方形的纸片按如图所示的方式三次折叠，折叠后再按图所示沿折痕裁剪，可以动手折叠，再进行裁剪，进而结合原正方形边长，即可得出答案． 【详解】解：严格按照图中的顺序向右上对折，向左上角对折，过直角顶点向对边引垂线，沿垂线剪开，展开后可得到四个相同的正方形， 原正方形边长为4， 面积为：， 得到的每一个纸片的面积是：． 故答案为：4． 16．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接，现在有如下4个结论：①；②；③的周长是一个定值；④连结，的面积等于．在以上4个结论中，正确的是_______． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要围绕正方形的折叠问题，通过全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积公式等来逐一判断四个结论是否正确．利用折叠性质得到相等的边和角，通过证明三角形全等得出线段和角的关系，再结合勾股定理计算边长，进而分析三角形周长和面积． 【详解】解：由折叠可知，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴，故①正确． ∵， ∴． 由折叠得． ∵，即， ∴， ，即，故②正确． 设，则，，， ∴． 在中，根据勾股定理，即． 解得． ∴，，， ∴的周长为，是定值，故③正确． 连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∴的面积等于，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键． 17．如图，将边长为9的正方形沿折叠，使顶点C落在边的P点处，点D的对应点为O，连接、，若， (1)问：线段、相等吗？ (2)求的长； (3)直接写出四边形的周长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构造直角三角形运用勾股定理计算是解题的关键． （1）利用翻折的性质得到即可解题； （2）先求出长，设，在中运用勾股定理解题即可； （3）根据，利用勾股定理得到，可以求出长，过点E作于点，则为矩形，然后利用勾股定理求出长即可解题． 【详解】（1）解：由折叠可得， ∴， ∴； （2）解：∵正方形的边长为9，， ∴， 设，则， 在中，， 即，解得：， 故； （3）解：设，则， ∵， ∴，即， 解得：， 过点E作于点，则为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 题型06.正方形性质证明 18．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，即可证明． 【详解】证明：四边形是正方形， ． ， ， ． 19．如图，四边形为正方形，点E在对角线的延长线上，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质，得，，进而可证得； （2）根据正方形的性质和三角形外角和定理可解得，又有，即可求解． 【详解】（1）证明：因为四边形为正方形， 是它的对角线， 所以，， 在和中， ， 所以； （2）解：因为四边形为正方形， 是它的对角线， 所以， 又因为， 而，所以， 由（1）可知， 所以． 20．如图，是边长为4的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，结合，利用即可证明； （2）根据正方形的性质结合角平分线的定义可得 ，由（1）知，得到 ，进而求出 ；证明，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中，， ； （2）解：平分，是正方形的对角线， ， 由（1）知， ， ， ； 在和中，， ， ， ， ，． 题型07.正方形判定定理理解 21．下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．邻边相等的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的判定，根据正方形的判定条件逐一分析选项．正方形需同时满足矩形（四角为直角，对角线相等）和菱形（四边相等，对角线垂直）的特征． 【详解】A．矩形对角线相等，若还互相垂直，则符合菱形特征，故为正方形，正确． B．菱形对角线垂直，若相等则符合矩形特征，故为正方形，正确． C．邻边相等的矩形即为菱形，同时是矩形，故为正方形，正确． D．有一个直角的平行四边形是矩形，但未说明四边相等，不一定是正方形，错误． 故选D． 22．如图中，阴影部分表示的四边形是______． 【答案】正方形 【分析】本题考查四边形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； 根据题意可知，阴影部分既要满足矩形的性质，又满足菱形的性质，从而得解； 【详解】解：当矩形的邻边相等时，矩形可称为是正方形；当菱形的邻边互相垂直时，所给菱形可称为正方形； 故正方形即是特殊的矩形，也是特殊的菱形， 所以阴影部分表示的四边形是正方形； 故答案为：正方形 23．如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，将剪下的部分展开．若要剪出一个正方形，则剪口与折痕所成夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了通过折叠变换，正方形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据翻折变换的性质和正方形的判定进行分析即可． 【详解】解：把一张长方形纸片对折两次，然后在两次折痕交汇处剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的角平分线， ∴当剪口线与折痕成45度角的时候，菱形就变成了正方形，即， 故选：C． 题型08.添条件使四边形是正方形 24．在四边形中，对角线且与互相平分，若使四边形是正方形，则需再添加的一个条件为（    ）．（不添加辅助线，写出一个条件即可） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四边形ABCD的对角线互相垂直平分，可得四边形ABCD是菱形，再添加AC=BD，即可得出四边形ABCD是正方形． 【详解】解：可添加AC=BD， 理由如下： ∵四边形ABCD的对角线互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∵AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形． 故D符合题意； 添加，，只能判断原四边形是菱形，故A，B，C不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 25．如图，在中，分别是的中点，连接，要使四边形是正方形，只需增加一个条件为_________．    【答案】 【分析】根据中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形添加条件即可． 【详解】∵分别是的中点， ∴ ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴ 故， 故添加的条件是：． 【点睛】本题考查了中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形，熟练掌握中位线定理和正方形的判定定理是解题的关键． 26．如图，在中，，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE． (1)当，时，求直线MN到直线AB的距离； (2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？写出证明过程； (3)若D为AB中点，则当的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？直接写出答案． 【答案】(1) (2)四边形BECD是菱形，证明见解析； (3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形． 【分析】（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，根据垂直定义可得∠CGB＝90°，在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出AB的长，再利用等积法求出CG的长，即可解答； （2）根据垂直定义可得∠DFB＝90°，从而可得AC∥DE，进而可证四边形ADEC是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AD＝CE，再利用线段中点的定义可得AD＝DB，从而得到CE＝DB，进而可证四边形CDBE是平行四边形，最后根据菱形的判定方法即可解答； （3）根据已知可得AC＝BC，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得CD⊥AB，从而可得∠CDB＝90°，最后再利用（2）的结论，根据正方形的判定方法即可解答． 【详解】（1）解：过点C作CG⊥AB，垂足为G， ∴∠CGB＝90°， ∵∠ACB＝90°，BC＝2 ，AC＝2， ∴AB＝， ∵， ∴， ∴CG＝， ∴直线MN到直线AB的距离为； （2）四边形BECD是菱形， 证明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∴∠DFB＝∠ACB＝90°， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴AD＝CE， ∵D为AB中点， ∴AD＝DB， ∴CE＝DB， ∴四边形CDBE是平行四边形， ∵DE⊥BC， ∴四边形BECD是菱形； （3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形， 理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝45°， ∴AC＝BC， ∵D为AB中点， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵四边形BECD是菱形， ∴四边形BECD是正方形， ∴当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的面积、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定，以及正方形的判定是解题的关键． 题型09.证明四边形是正方形 27．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且，． (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据AE=AF，可得∠AFE=∠AEF，再由∠CEF=45°，可得∠CFE=∠CEF=45°，从而得到∠AFC=∠AEC，进而得到∠AFD=∠AEB，可证得ΔABE≌ΔADF，从而得到AB=AD，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D=∠C=90°， ∵AE=AF， ∴∠AFE=∠AEF， ∵∠CEF=45°，∠C=90°， ∴∠CFE=∠CEF=45°， ∴∠AFC=∠AEC， ∴∠AFD=∠AEB， ∴ΔABE≌ΔADF（AAS）， ∴AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形． （2）解：∵由（1）可知：， 又，， 由勾股定理得：， ∵四边形ABCD是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 28．如图，两条外角平分线交于点，，过点作于点于点．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】先根据题意证明四边形是矩形，再利用角平分线得到，证明和，从而得到矩形的邻边相等，证出答案． 【详解】证明：如图所示，过点作，垂足为点， ， ∴， ∵，，， ∴ ∴四边形是矩形，， ∵两条外角平分线交于点， ∴， 在和中，， ∴， 在和中，, ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 29．如图，在矩形中，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点的运动时间为． (1)求当为何值时，四边形是正方形； (2)求当为何值时，； 【答案】(1)8 (2)6 【分析】（1）由已知可得，由菱形的性质得出，根据正方形的判定可得出答案； （2）由矩形的性质得，，进而证明四边形为平行四边形，然后根据菱形的判定及勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：由已知可得， ∴， 若，四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴时，四边形是正方形； （2）解：∵在矩形中，， ∴，， 由已知可得，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∵， ∴， ∴时，四边形为菱形， 解得， 故当时，四边形为菱形， 即当时，． 题型10.正方形性质与判定求角度 30．如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则____________． 【答案】64° 【分析】由正方形的性质得出BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS证明△BCE≌△DCF，得出对应角相等即可求出∠BEC的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC，∠BCE=90°， ∴∠DCF=90°， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴∠BEC＝∠DFC， ∵CE=CF，∠ECF=90°， ∴△ECF为等腰直角三角形， ∴∠EFC=45°， 则∠DFC=∠EFD+∠EFC=19°+45°=64°， ∴∠BEC＝64°， 故答案为：64°. 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 31．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    【答案】 180 5 【分析】作于点，交的延长线于点，由正方形的性质得，，而，所以；再证明，得，，则四边形是正方形，所以，则，所以，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 四边形是正方形， ，，，， ，， ， ； ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：180，5．    【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、四边形的内角和等于、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 32．已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角． 【答案】(1)见解析 (2)度数为的度数2倍的角有：,，， 【分析】（1）直接由得出，得出，．再由证明，得出．由得出，从而，根据等角对等边得出，从而，由菱形的判定可知四边形是菱形； （2）如图2，利用正方形的性质可得，求得，再求得，然后利用三角形的外角性质求得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）知四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴度数为的度数2倍的角有：,，，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质，三角形的外角性质等知识．关键是由得出． 题型11.正方形性质与判定求线段长 33．如图，在正方形中．若以为底边向其形外作等腰直角，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作的延长线于点，连接，根据题意求得，进而勾股定理即可求得 【详解】如图，过点作的延长线于点，过作于， 是等腰直角三角形， ，， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是正方形， ， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理求解是解题的关键． 34．如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（   ） A． B．9或6 C．9或 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，分两种情况讨论：当或，再结合图形进一步求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 当落在对角线上时， ，，， 设，则，， ∴， 解得：，即， 如图，当时， ∴， 同理可得：，， ∴四边形为正方形， ∴． 综上：当为直角三角形，则的长为或． 故选：C 35．如图，在矩形中，的平分线交于点于点于点与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接，证明，设，则，可得为等腰直角三角形，，则，即可求解． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴． ∵， ∴ ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵，而由（1）得 ∴， ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，二次根式的运算，熟悉正方形的性质与判定是解题的关键是解决问题的关键． 题型12.正方形性质与判定求面积 36．如图，在矩形中，，，以A为圆心，为半径画弧，分别与边交于点E，与的延长线交于点F，则阴影部分的面积为___________．（结果不取近似值）    【答案】/ 【分析】过E作交于点G，证明四边形，都是矩形，得到矩形是正方形，推出阴影部分的面积矩形的面积，据此求解即可． 【详解】解：过E作交于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形，都是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∴阴影部分的面积矩形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理的应用，掌握矩形的判定和性质是正确解答的前提． 37．如图，已知正六边形的边长为1，分别以其对角线、为边作正方形，则两个阴影部分的面积差的值为（ ） A．0 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据正多边形的性质结合勾股定理求解即可； 【详解】∵六边形是正六边形， ∴则AD是其对称轴，则EF∥AD∥BC，E、C关于AD对称，则， ∵四边形ADPQ、四边形CEHG是正方形， ∴， ∴四边形MCND是矩形， ∴， 连接OB、OC， ∴， ∴， ∴， ∵正六边形内角和为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，结合正多边形的内角和求解是解题的关键． 38．如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． (1)求证：． (2)①______； ②求证：． (3)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)①15°；②详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）由正方形的性质和等边三角形的性质可证明，从而得出； （2）①；②首先证明，由，可以得出垂直平分； （3）设，表示出与，利用三角形的面积公式分别表示出和再通过比较大小就可以得出结． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ． （2）①； 故答案为：； ②证明： ，即， 垂直平分， 即． （3）设，由勾股定理得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键． 题型13.正方形性质与判定证明 39．如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，由正方形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明四边形是正方形． 【详解】证明：∵正方形的对角线相交于点O， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， 四边形是正方形． 40．如图，正方形的对角线，相交于点，且，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质可得，，根据题意得出，即可证明四边形是矩形，结合对角线互相垂直可得四边形是正方形． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，，，分别是，，，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵，则， ∴四边形是矩形， 又∵，即 ∴四边形是正方形． 41．如图，在矩形中，O为对角线的中点，点E，F分别在边上，且． (1)求证：； (2)如图1，若， ①求证：； ②猜想线段和之间的数量关系是______； (3)如图2，若，那么（2）②中线段和之间的数量关系还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3)成立，证明见解析 【分析】（1）利用四边形的内角和定理以及邻补角进行证明； （2）①连接，利用正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质证明； ②根据正方形的性质得出相等的边，利用勾股定理求解； （3）延长交于点G，连接，根据矩形的性质证明和，得出相等的边，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①证明：如图1，连接， ∵四边形是矩形，且， ∴四边形是正方形，是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）可知， 在和中， ， ∴， ∴； ②，证明如下： 由①得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由勾股定理得， 即； （3）解：线段和之间的数量关系还成立，证明如下： 如图2，延长交于点G，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴． 题型14.正方形中的动点问题. 42．如图，正方形的面积为16，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】 【分析】连接，由三角形的中位线性质可知，，所以要使最大，只要达到最大即可，当与重合时，达到最大，这样即可求解本题． 【详解】解：如图，连接，， 正方形的面积为， ， ， 点为的中点，点为的中点， ， 当有最大值时，有最大值， 点是边上的动点， 当点与点重合时，有最大值为， 的最大值为． 43．如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为___________． 【答案】5 【分析】连接，，，根据轴对称的性质，得到，的最小值即的最小值，即为线段的长，再根据勾股定理，即可求得的长，即得答案． 【详解】解：连接，，， 正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点， 直线即为的垂直平分线， ， ， 当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长， 正方形的边长为4，且， ，，， ， 的最小值为5． 44．四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． (1)如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； (2)如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形即可得到四边形是正方形； （2）当点在边上时，作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； 当点在的延长线上时，过点分别作于点，于点，同样根据正方形的判定即可得证； （3）结合正方形的性质可证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出结论. 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，点为对角线中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）证明：当点在边上时， 过点作于，于，如图1， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴，． ∴四边形为正方形， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 当点在的延长线上时， 如图，过点分别作于点，于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （3）解：     理由如下： 由（2）可知，矩形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， 题型15.正方形中的最值问题 45．如图，正方形中，E、F分别为边上的动点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接，，证明，求得，则，推出当共线时，取得最小值，最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为的长， ∴． 46．如图，E，F是正方形的边上两个动点，．连接，交于点G，连接，交于点M．若正方形的边长为4，则线段的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】证明由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，取的中点，连接、，则，由勾股定理求出的长，当、、三点共线时，的长度最小，则可求出答案． 【详解】解：如图，在正方形中，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接、， 则， 在中，， 根据三角形的三边关系，， 当、、三点共线时，的长度最小， 的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 47．如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短、全等三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长，理解垂线段最短是解题的关键．根据题意证明，可得的周长为，当最小时周长最小，而，进而可得当时最小，求得此时的周长即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 的周长为， 是等腰直角三角形， ， 如图，当时，最小，   正方形的边长为8， ， ， 的周长的最小值为， 故选：A． 题型16.正方形与坐标系综合 48．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长是3，点A的横坐标为1，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】作轴，作交的延长线于点，证明，即可得出结果． 【详解】解：作轴，作交的延长线于点，则， ∵边长为3的正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∴． 49．在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 【答案】/ 【分析】取的中点，连接、、根据勾股定理可得，在点与之间总有如图，、、、四点共线，此时等号成立如图可得线段取最大值． 【详解】解：取的中点，连接、、． ， ． 同理． 正方形，为中点，， ． 在点与之间总有如图， 由于的大小为定值，只要，且、关于点中心对称时，、、、四点共线，此时等号成立如图． 线段取最大值． 50．小熙在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），先画一个边长为1的正方形，以对角线为边长作第2个正方形，再以对角线为边长作第3个正方形，……，依次下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方形的性质确定点，，，，，，，，，由此发现规律是每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次的坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的，据此即可求解． 本题考查点的坐标特征、正方形的性质，探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关键． 【详解】解：由正方形的性质确定点，，，，，，，，， 第1次正方形的边长为， 第2次正方形的边长为， 第3次正方形的边长为， 第4次正方形的边长为， 故第n次正方形的边长为， 故第2026次正方形的边长为， 由此发现规律是每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次的坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的， 由， 点的横坐标为，形式与第2个一样， 故点的坐标为． 故选：B． 题型17.正方形多结论判断题 51．如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连结．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有________ 【答案】①②③ 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可判断①；根据平行线的性质以及等腰三角形即可判断②；过点A作于点E，根据角平分线的性质可得， 证明，可得，证明，可得，即可判断③；假设是的中点，此时，可得，不满足三角形的三边关系，故假设不成立，即可判断④． 【详解】解：①∵垂直平分， ∴，故①正确； ②∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴，即平分，故②正确； ③过点A作于点E， ∵平分，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ，故③正确； ④∵是的中点， ∴， 假设是的中点，此时， ∴， ∵， ∴，与在中，相矛盾，故假设不成立，即此时不是的中点，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 52．如图，在正方形中，O是对角线与的交点，M是边上的动点（点M不与B，C重合），连接，作交于N，连接，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】先根据正方形的性质和已知条件可证可得可判断①；由可得，进而证明可得，再结合可得，即可判断②；根据线段的和差可得，然后分别在和中运用勾股定理可判断③．当点接近点时，点接近点，接近，此时，即④错误． 【详解】解：∵正方形， ∴, ∴, ∵交于， ∴， ∴, ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴, ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴，即， ∵中，， ∴， ∵中，， ∴， ∴，即③正确； 当点接近点时，点接近点，接近，此时，故④错误． 综上，正确的有①②③． 53．如图，在正方形中，P是边上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N，下列结论：①；②；③；④当P是的中点时，，其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【分析】根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明四边形是矩形，可判断②结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断③结论；同③理可证，四边形、是正方形，可判断④结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ，②结论错误； 如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 由①可知，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形是正方形， ， ，③结论正确； 设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 同③理可证，四边形、是正方形， ， ， ，， ，④结论错误， 故答案为：①③． 题型18..正方形中的旋转问题 54．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，则线段的长度为_____． 【答案】1 【分析】过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：过点作于点， ∴， ∴， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 将边绕点逆时针旋转至， ， 又， ， ∴，即 ， ， 解得或（舍去）， ∴． 55．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转的性质可得，，由勾股定理可求的长． 【详解】解：由旋转可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴. 56．如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造辅助线，从而得到，利用全等三角形的性质及正方形的性质得与的位置关系，进而利用中位线定理建立与的数量关系，从而求解的长度． 【详解】解：如图所示，连接， 四边形是正方形， ，，， ， 由题意可知，，， ， ， ，， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ． 57．按要求解答问题： 【初步实践】 . (1)如图1，在长方形中，若，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，．求证：； 【问题探究】 (2)如图2，将线段绕点P逆时针旋转，使点B落在的延长线上的点E处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)的大小不发生变化；理由见解析 【分析】（1）先得出四边形是正方形，进一步得出，再根据全等三角形的判定定理，即可得证； （2）先过点P作于点M，作于点G，再根据正方形的性质和判定，角平分线的性质，旋转的性质，得出，最后根据全等三角形的性质以及推导角之间的关系，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：的大小不发生变化；理由如下： 如图，四边形是正方形，过点P作于点M，作于点G， ∴平分，， ∴． 又∵，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，． 由旋转得，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴的大小不发生变化． 题型19.中点四边形 58．顺次连接四边形各边、、、的中点E、F、G、H，得到矩形，则原四边形的对角线满足条件： _______． 【答案】/垂直 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．连接，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 分别为的中点， ∴，， ∴， 同理可得：， 四边形为平行四边形， 要使平行四边形为矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：． 59．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】连接矩形的两条对角线，利用三角形中位线定理得到新四边形各边与矩形对角线的关系，结合矩形对角线相等的性质，推出新四边形四边相等，根据菱形的判定定理得到结果． 【详解】解：连接矩形的对角线和，设分别为矩形各边的中点．    ∵分别是矩形各边的中点， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 60．如图，，，，分别是四边形各边的中点，且，，．依次取，，，的中点，，，，再依次取，，，的中点，，，以此类推取，，，的中点，，，，若四边形的面积为，则n的值为_________． 【答案】 【分析】根据中点四边形为平行四边形（特殊的平行四边形），以及中点四边形的面积为原四边形的面积的一半，推出的面积为，进行求解即可. 【详解】解：∵，，，分别是四边形各边的中点， ∴，，， ∴， 同理可得，， ∴四边形是平行四边形 ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形； ∴矩形的面积， 同理，是菱形； 则的面积， 的面积， 的面积， 故的面积为， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， 即， 解得. 题型20.四边形其他综合问题 61．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作且，连接、． (1)求证：四边形为矩形； (2)若菱形的边长为8，，则_________． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC=90°，即可得出结论； （2）先证△BCD是等边三角形，得BD=BC=8，再由勾股定理得OC=4，则AC=2OC=8，然后由矩形的性质得CE=OD=4，∠OCE=90°，最后由勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=OC=AC， ∴∠DOC=90°， ∵DE∥AC，DE=AC， ∴DE=OC，DE∥OC， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵∠DOC=90°， ∴平行四边形OCED是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BC=CD=8，OB=OD，AO=OC=AC， ∵∠BCD=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD=BC=8， ∴OD=OB=4， ∴， ∴AC=2OC=8， 由（1）得：四边形OCED为矩形， ∴CE=OD=4，∠OCE=90°， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形1性质，证明四边形OCED为矩形是解题的关键． 62．已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查对角线互相垂直的四边形面积问题，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是．将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （3）把四边形的面积分割成两个三角形面积之差，按三角形的面积公式进行计算． 【详解】（1）解：对于图1， ， ，， ， ， ， ， ； 同理可得，图2和图3中的四边形的面积，， 故答案为：，，； （2）解：对于线段与线段垂直相交（垂足不与点，，，重合）的任意情形，四边形的面积为定值． 证明如下： ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：顺次连接点，，，，所围成的封闭图形的面积仍为24． 证明：如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当线段与（或）的延长线垂直相交时，顺次连接点所围成的封闭图形的面积是． 63．如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作，交的延长线于点G．    (1)若， ①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长； (2)如图2，于点M，于点N，探究： ①当为何值时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②12； (2)①当时，四边形是正方形；②不发生变化，理由见解析 【分析】本题主要考查平行四边形性质，全等三角形的性质，矩形的性质，正方形的性质等知识； （1）①由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，再证，可得，即可得结论； ②由全等三角形的性质和矩形的性质可得，由勾股定理可求的长，可求，即可求解； （2）①由题意可证四边形是矩形．由正方形的性质可得，可得，可得，即可求解； ②由，可得结论． 【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②在矩形中，， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴四边形的周长； （2）①∵， ∴． ∵． ∴． ∴四边形是矩形． 要使四边形是正方形，必须． ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积不发生变化， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， 即点E在边上的运动过程中，四边形的面积为定值20． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $