23.3一次函数与方程（组）不等式（四大题型）专项训练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数与方程、不等式、方程组的数形结合，以题构建从基础应用到综合拓展的知识逻辑链，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与方程|14题|图像交点与方程解互化，含坐标、表格、图像多形式|从函数图像与x轴交点（y=0）延伸到两函数交点（y1=y2），建立代数方程与几何位置的对应| |一次函数与不等式|18题|由图像位置判断解集，含单函数、双函数比较及参数分析|通过函数值大小关系转化为图像上下位置关系，强化“以形助数”的推理意识| |一次函数与方程组|8题|两直线交点即方程组解，结合图像信息求参数|直接体现函数图像交点坐标与方程组解的等价性，深化代数模型的几何表达| |一次函数与面积问题|10题|结合交点坐标、坐标轴构建图形求面积，含动态点分析|综合运用前三个模块知识，通过坐标运算转化面积关系，提升综合应用能力|

2025-2026学年八年级下册人教版新教材第23章 23.3一次函数与方程（组）不等式（四大题型） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识点1 一次函数与方程 1．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 2．已知一次函数（a，b是常数且），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，方程的解就是一次函数中时对应的值，通过表格查找对应值即可求解． 【详解】解：观察表格得：当时，， ∴方程的解是． 3．画函数的图象时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是（   ） x 0 1 3 4 y 2 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系，解答即可． 【详解】解：∵当时，；当时， ∴在之间存在使得，即 ∴方程的根最精确的范围是． 4．如图，直线过点，，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，运用数形结合的思想是解此题的关键．根据直线过点，即可得解． 【详解】解：直线过点， 关于的方程的解是． 故选：B． 5．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，，则的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系相关知识点．解题关键在于熟练掌握一次函数的图象与轴交点的横坐标和方程的解之间的对应关系．已知一次函数的图象与轴的交点坐标，根据一次函数与一元一次方程的关系，直接得出方程的解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点．对于一元一次方程，它的解就是使得时的值，也就是一次函数图象与轴交点的横坐标． ∴当时，对应的，即方程的解为． 故选：D． 6．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 7．已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 8．已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，点在直线上则点的坐标满足直线解析式，据此可直接得到方程的解． 【详解】解：∵ 点在直线上． ∴ 将代入，得 ． 又∵ 待求解方程为． ∴ 方程的解为． 9．如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数与一元一次方程的联系，以及点P坐标，可直接得出方程的解． 理解一次函数与一元一次方程的联系是解题关键． 【详解】解：由图知，一次函数的图象经过点P， 方程的解是． 10．在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 11．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意可求出点，将点代入一次函数得，则关于的方程的解是． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， ， 解得， 点， 将点代入一次函数得， 关于的方程的解是， 故选：C． 12．如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴方程的解是， 故选：D． 13．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得，关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用图象法解一元一次方程，根据一次函数和的图象交于点即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴根据图象可得，关于x的方程的解为， 故选：A． 14．将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点解方程，一次函数的平移，理解函数平移的性质，两直线交点解方程的方法是关键． 根据函数图象的平移得到平移后的解析式，再根据两直线交点解方法即可． 【详解】解：直线向上平移个单位长度后的解析式为， ∴直线与直线的交点为， ∴方程的解为， 故选：B ． 知识点2 一次函数与不等式 15．如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象确定的解集，再利用整体思想求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与x轴交于点，且y随x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为． 要求不等式的解集，即求的解集， 将看作整体，可得， 解得． 16．已知不等式的解集是，下列有可能是函数的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：不等式的解集是， 直线与轴交点为且随增大而减小，即C选项符合题意． 17．已知一次函数（，为常数，且）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图象可知，一次函数中随的增大而减小，且时，，所以不等式的解集为． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数中随的增大而减小， 时，， 时，， 不等式的解集为． 18．如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 直接根据函数图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可得：当时函数的函数值小于2，故不等式的解集为． 故选：A． 19．已知一次函数（，a，b为常数），x与y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y 6 4 2 0 不等式的解集是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，一次函数的增减性，掌握相关知识是解决问题的关键．不等式的解集即函数中时x的取值范围，由表可知y随x增大而减小，且当时，故时 【详解】解：∵由表可知， 当时，； 当时，，且函数为一次函数，y随着x增大而减小， ∴的解集为 故选：D． 20．已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象经过的象限判断a的符号，再结合与x轴的交点，确定时x的取值范围即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，函数值随的增大而减小， ∵一次函数图象与轴交于点， ∴当时，， 不等式，即， 结合函数增减性可得：． 21．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ，故正确． 22．如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到直线在直线上方且在轴下方，所对应的的范围即可． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为． 23．如图，直线与直线交于点，不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原不等式变形为 ，即转化为求直线 在直线 上方（包括交点）时 的取值范围，结合图象与交点坐标即可求解． 【详解】原不等式可移项变形为， ∵直线与直线交于点， ∴当 时，两直线函数值相等 观察图象可知，当时，直线的图象在直线 的图象上方或重合 ， ∴ 不等式的解集是． 24．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的解集确定 的符号以及直线与 轴的交点坐标，进而判断函数图象． 【详解】解：∵不等式， ∴， ∵不等式的解集是， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． 25．如图，函数（为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点，下列结论：①点的纵坐标为2；②关于的不等式的解集为；③关于的方程的解为；④关于的不等式组的解集为．其中正确的结论有几个（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用时解决本题的关键． 根据所给函数图象，可知点A的纵坐标为2，由此判断①；根据一次函数与一元一次不等式的关系结合图象即可判断②；先求出点A的坐标，再根据一次函数与一元一次方程的关系即可判断③；根据函数图象的位置判断④即可． 【详解】解：①根据所给函数图象，可知点A的纵坐标为2，故①正确； ②∵点， ∴当时，函数的图象在x轴下方，即， 则不等式的解集为，故②正确； ∵函数过点，点A的纵坐标为2， ∴，解得, ∴点， ∴方程的解为，故③错误； 由函数图象可知， 当时，函数的图象在函数的图象的下方，即， 当时，函数的图象在x轴上方，，即， ∴关于的不等式组的解集为，故④正确， ∴正确的是①②④，共3个． 故选：B ． 26．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从函数图象的角度看，求关于的不等式的解集就是确定直线在上方部分对应x的取值范围．因此先将点代入函数，求出n的值，再根据图象即可解答． 【详解】解：∵直线过点 ∴，解得， ∴直线与直线交于点， ∴由图象可得，关于的不等式的解集为． 27．已知平面内有两条直线，交于点A，与x轴分别交于B、C，落在内部（不含边界），则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】点P落在内部（不含边界），需满足P纵坐标在x轴上方，且同时在两条直线、下方，列不等式组即可求解． 【详解】解：∵点落在内部（不含边界），的边在x轴上， ∴P点纵坐标大于0，且P的纵坐标小于与在处的函数值，列不等式组得： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：，即， 解不等式③得：， ∴不等式组的解集为． 28．如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把点的坐标代入正比例函数解析式求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象在交点右侧时的图象在的上方即可得出答案； 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得， ∴交点的坐标为， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集是． 29．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用一次函数图象解不等式的知识，数形结合是解答本题的关键． 先将点A的坐标代入直线的解析式求出m的值，不等式在坐标系中的含义为：直线在直线上方时，自变量的取值范围，即数形结合即可作答． 【详解】解：将代入直线的解析式，有：， 解得：， ∵不等式的解，在坐标系中的含义为：直线在直线上方时，自变量的取值范围， ∴数形结合有：． 30．一次函数与的图象交于点，点的纵坐标为，则满足的的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据与交点坐标的纵坐标，求出点的坐标，代入中，求出的解析式，再根据，列不等式方程组，即可求解． 【详解】∵与的图象交于点，点的纵坐标为， ∴将点的纵坐标为代入，解得：， ∴， 将代入，解得：， ∴， ∵， ∴，即 解得：， ∴当时，的取值范围是． 31．如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式即，根据图象可知当时，，即可判断答案． 【详解】解：， ， ， 即， 一次函数与的图象交于点， 当时，， 即不等式的解集为． 32．如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点．若不等式恰好有3个非负整数解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与不等式解答即可． 【详解】解：函数和的图象交于点， 且不等式恰好有3个非负整数解， 可得：,且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式，关键是根据一次函数与不等式的关系解答． 知识点3 一次函数与二元一次方程组 33．如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组，熟知以上知识是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出结论． 【详解】解：A、直线与轴的交点坐标为， 当时，， 方程的解是，原说法错误，不符合题意； B、一次函数与的图象交于点， 方程组的解是，原说法错误，不符合题意； C、观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方， 关于的不等式的解集是，正确，符合题意； D、观察图象得：当时，函数的图象在轴的上方， 的解集为，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 34．如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，运用数形结合的思想即可解答． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解是：． 35．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由函数图象可知：方程组的解是． 36．如图，一次函数经过点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解是 C．P为的中点 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：A、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； B、方程的解是，原选项不符合题意； C、∵一次函数经过点，点， 解得： ∴一次函数解析式为，当时，， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； D、当时，，原选项不符合题意． 37．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于第三象限．则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】联立方程组，求出交点坐标，再根据第三象限点的特征进行计算即可． 【详解】解：联立方程组， 解得：， 交点在第三象限， ， 解得：， 的取值范围为． 38．为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形分别表示出，的解析式，然后求这两条直线的交点坐标即可． 【详解】快速公交从A地出发，全程，用时， 因此快速公交速度为 ， ∴解析式为： ； 普通公交从B地出发，速度向A地行驶， 因此离A地的距离解析式为： ， 联立方程： ，解得 ， 代入，得， 因此P点坐标为． 39．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 40．如图，直线与（为常数，）交点的横坐标为2，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两直线的交点的横纵坐标为两直线解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此求解即可． 【详解】解：在中，当时，， ∵直线与（为常数，）交点的横坐标为2， ∴直线与（为常数，）交点的坐标为， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故选：B． 41．小华用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了两个一次函数的图象，，如图所示，则小华解的这个方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组成方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组． 【详解】解：设直线的函数解析式为， 由图可知，直线过，， ，解得， ∴直线的函数解析式为． ， ． 设直线的函数解析式为， 由图可知，直线过，， ，解得， ∴直线的函数解析式为． ． 因此所求的二元一次方程组为． 故选：A． 知识点4 一次函数与面积问题 42．如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值； (2)结合图象可知关于x、y的方程组的解是______； (3)直线：与直线：与x轴组成的图形面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点代入，求出b的值，即可求出，把点代入即可求出m的值． （2）根据两直线的交点即可得出方程组的解． （3）分别求出点A，B的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入， 得， ∴， 把点代入，得， ∴； （2）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴关于x、y的方程组的解是． （3）解：在直线：中，令，则，解得， ∴， 直线：中，令，则，解得， ∴， ∴， ∴． 43．如图，过点的直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)若点在正半轴上运动时，点运动到何处时与面积相等？并求出此时面积． 【答案】(1)点P的坐标为， (2)点M运动到时，与面积相等， 【分析】（1）先把代入y2=x+1，求出m得到P点坐标，然后利用待定系数法求直线l1的解析式； （2）由与有相同的高，即．当时， 与面积相等，可求，求得，则点M运动到时， 与面积相等，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：把点代入中，得 ， ∴点P的坐标为． 把点分别代入中，得 ， 解得， ∴直线l1的解析式为； （2）解：由（1）得点P的坐标为， ∵与有相同的高，即．要使与面积相等，且点M在x轴正半轴上， 如图 ∴在x轴上取点M，当时， 与面积相等． ∵在直线中，当时， ，即点B的坐标是 ， ∴， 即， ∴， 则点M运动到时，与面积相等． ∴． 44．如图，在直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)求出m、n的值； (2)直接根据图象写出关于x的不等式的解集； (3)将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E，若的面积为6，求平移后的直线表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值，于是可得点，将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）根据函数图象即可直接得出答案； （3）设点E坐标为，先求出直线与轴的交点，再求出直线与轴的交点、与轴的交点，进而可求出、的长，然后求出，判断出点在第二象限，根据列出方程求解即可得到点的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：∵直线：经过 ， ∴， 解得， ， 将代入直线，得：， 解得， ，； （2）解：根据图象可以看出，关于x的不等式的解集为； （3）解：由（1）得直线的解析式为， 设点E坐标为， 令，解得， ∴， 令 ，解得， ∴， ∴， 将代入，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵的面积为6，且 ， ∴点E在第二象限， ∴ ∴ ． ∴， 则 ， ∴点E坐标为， 设直线平移后的解析式为，则 ， 解得， ∴平移后的直线表达式为． 45．如图，在平面直角坐标系中，过的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在轴上找一点，使的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)或 【分析】（1）由待定系数法求函数解析式即可； （2）根据三角形面积公式可得的面积； （3）先求出的面积是，设点，根据三角形面积公式得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，将点，代入可得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（）知：直线的解析式为， 当时， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：∵的面积是， ∴的面积是， 设点， 则， 解得：或， ∴点M的坐标为或． 46．已知：直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)画出函数的图象； (3)过点作直线交轴于点，且使，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）令、，求出对应的、的值，即可求出点，的坐标； （2）根据（1）中点，的坐标画图即可； （3）先求出、的长度，结合已知求出的长度，然后分点在点上方和点在点下方讨论即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，，解得， 所以，； （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴， 当点在点上方时，， ∴的面积为； 当点在点下方时， ∵， ∴点在轴的负半轴上， ∴， ∴的面积为； ∴的面积为或. 47．如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点． (1)求m的值与直线的函数解析式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】（1）将代入得的值，再利用待定系数法即可求解直线的函数解析式； （2）根据（1）可知，结合图象即可求解； （3）根据题意可以将，的坐标求出来，四边形的面积为和的面积之差，据此即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 则， 将，代入得， ， 解得， 则； （2）解：由（1）得，， 由图象可知，当时，； （3）解：将代入得，则， 将代入得，则， ∵，， ∴． 48．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． (3)若点在直线上，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】（1）把代入解析式，求出的值，把点的坐标代入求出的值即可； （2）根据函数图象求出不等式的解集即可； （3）设直线于轴的交点为，先求出点与点的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可. 【详解】（1）解：将代入，得： ， ， 将代入，得： ， 解得：． （2）解：根据函数图象可知， 当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为：． （3）解：由（1）得， 直线的解析式为：， 当时，，则， 当时，，则直线与轴交点为，如图， ． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数图象的交点问题，求一次函数解析式，根据直线的交点求出不等式的解集，解题的关键是数形结合，求出两条直线的交点坐标． 49．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为1． (1)求直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）由正比例函数解析式求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）根据一次函数的解析式求得B的坐标，然后设D点坐标为，分类讨论，当D在第二象限或第四象限时，分别求出D点坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得， 点的坐标为． 将点代入中，得， 解得， 所以，函数表达式为； （2）解：∵一次函数为， 当时，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵点D在直线上， ∴设， ∵的面积与的面积相等， ∴， ①当点D在第二象限时，即时； ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为； ②当点D在第四象限时，即时； ∴， 解得：， ∴点D的坐标为， 综上所述点D的坐标为或． 50．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用一次函数上的点，其纵坐标为值，横坐标为值得到答案． （2）根据一次函数图象的所求图象在某点的左侧，则小于该点的横坐标，在某点的右侧，则大于该点的横坐标得到答案． （3）根据点的左边，得出对应线段的长度，用割补法求出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴当时，； ∵一次函数过点， ∴当时，， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在点的右侧， ∴． （2）解：由图象可知当时，一次函数在点的右侧， ∴， ∵点时一次函数和的交点， ∴当时，两个一次函数的函数值相等， 当时，图象在点的左侧， ∴， 综上所述，． （3）解：∵一次函数过点和点， ∴将两点代入到一次函数中， ， 解得，一次函数表达式为：， 令，解得，即点， 如图所示，过点作垂直于轴交轴于点， 由题意知：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合问题，解题关键是能将点的坐标与一次函数的关系理清楚． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册人教版新教材第23章 23.3一次函数与方程（组）不等式（四大题型） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识点1 一次函数与方程 1．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．已知一次函数（a，b是常数且），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．画函数的图象时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是（   ） x 0 1 3 4 y 2 4 A． B． C． D． 4．如图，直线过点，，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，，则的解为（　　） A． B． C． D． 6．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 7．已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 10．在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 11．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 12．如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 13．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得，关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 14．将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 知识点2 一次函数与不等式 15．如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 16．已知不等式的解集是，下列有可能是函数的图象的是（     ） A．B．C． D． 17．已知一次函数（，为常数，且）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 18．如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 19．已知一次函数（，a，b为常数），x与y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y 6 4 2 0 不等式的解集是（） A． B． C． D． 20．已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 21．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 22．如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 23．如图，直线与直线交于点，不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 24．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 25．如图，函数（为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点，下列结论：①点的纵坐标为2；②关于的不等式的解集为；③关于的方程的解为；④关于的不等式组的解集为．其中正确的结论有几个（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 26．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 27．已知平面内有两条直线，交于点A，与x轴分别交于B、C，落在内部（不含边界），则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 29．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 30．一次函数与的图象交于点，点的纵坐标为，则满足的的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 31．如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 32．如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点．若不等式恰好有3个非负整数解，则（    ） A． B． C． D． 知识点3 一次函数与二元一次方程组 33．如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 34．如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 35．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 36．如图，一次函数经过点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解是 C．P为的中点 D．当时， 37．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于第三象限．则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 38．为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 39．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 40．如图，直线与（为常数，）交点的横坐标为2，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 41．小华用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了两个一次函数的图象，，如图所示，则小华解的这个方程组是（     ） A． B． C． D． 知识点4 一次函数与面积问题 42．如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值； (2)结合图象可知关于x、y的方程组的解是______； (3)直线：与直线：与x轴组成的图形面积． 43．如图，过点的直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)若点在正半轴上运动时，点运动到何处时与面积相等？并求出此时面积． 44．如图，在直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)求出m、n的值； (2)直接根据图象写出关于x的不等式的解集； (3)将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E，若的面积为6，求平移后的直线表达式． 45．如图，在平面直角坐标系中，过的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在轴上找一点，使的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 46．已知：直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)画出函数的图象； (3)过点作直线交轴于点，且使，直接写出的面积． 47．如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点． (1)求m的值与直线的函数解析式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求四边形的面积． 48．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． (3)若点在直线上，连接，求的面积． 49．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为1． (1)求直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 50．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $