23.3　一次函数与方程(组)、不等式 同步练习 2025-2026学年数学人教版八年级下册

**基本信息** 本同步练习围绕一次函数与方程(组)、不等式的关联，通过基础巩固、变式应用、综合拓展三层递进设计，实现从概念理解到图像转化再到综合解决问题的知识进阶，培养抽象能力、几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固层|一次函数与方程、不等式、方程组的单一关联|以选择、填空为主，直接考查概念（如方程解对应函数图像交点横坐标），强化抽象能力| |变式应用层|图像与代数关系的转化|结合典例及变式训练（如已知交点求不等式解集），培养几何直观与推理意识| |综合拓展层|多知识点综合应用|含易错辨析（如不等式组解集与图像关系）和解答题（如直线交点及取值范围），提升模型观念与创新意识|

23．3　一次函数与方程(组)、不等式 1．一次函数与一元一次方程的关系 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，求自变量x的值． 2．一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y＝kx＋b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围． 3．一次函数与二元一次方程(组) 一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解．由以上可知，由含有未知数x和y的二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解． 【典例】在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x的图象与一次函数y＝k2x＋b的图象如图所示，则关于x的方程k1x＝k2x＋b的解为__x＝1__． 解析：由函数图象，得两直线的交点坐标是(1，2)，所以关于x的方程k1x＋b＝k2x的解为x＝1. 两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解．关于x的一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标；关于x的一元一次不等式kx＋b>0(k<0)的解集是以直线y＝kx＋b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围． 【变式训练】 　如图，已知直线y1＝ax＋b与y2＝mx＋n相交于点A(2，－1)，若y1＞y2，则x的取值范围是(B) A．x＜2 B．x＞2 C．x＜－1 D．x＞－1 知识点1　一次函数与一元一次方程 1．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝0的解为(C) A.x＝2 B．y＝2 C．x＝－1 D．y＝－1 2．若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－1，－4)，B(1，－12)，则下列说法中，正确的是(C) A．该函数图象不经过第三象限 B．关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2 C．该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为8 D．该函数值y随x的增大而增大 3．如图，一次函数y＝ax＋b的图象经过点(2，4)，(4，1)，则方程ax＋b＝4的解是x＝2. 知识点2　一次函数与一元一次不等式 4．在平面直角坐标平面内，一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，那么下列说法正确的是(C) A．当x＜0时，－2＜y＜0 B．方程ax＋b＝0的解是x＝－2 C．当y＞－2时，x＞0 D．不等式ax＋b＜0的解集是x＜0 5．如图所示，已知直线y＝nx＋b经过点A(－2，－4)和点B(－4，0)，直线y＝mx经过点A，则关于x的不等式nx＋b≤mx的解集是(C) A．x≤－2 B．x＞－2 C．x≥－2 D．－2≤x＜0 6．如果不等式kx＋b＞0的解集为x＜－1，那么直线y＝kx＋b(k＜0)一定会经过一个定点，这个定点的坐标为(－1，0)． 知识点3　一次函数与二元一次方程(组) 7．如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝x＋2的图象相交于点M(m，4)，则关于x，y的二元一次方程组的解是(B) A． B． C． D． 8．已知m，n为常数，且mn≠0，若关于x，y的二元一次方程组的解为则y关于x的一次函数y＝mx＋2，y＝nx－4的交点坐标为(2，1). 易错易混点　不能准确理解一次函数与不等式的关系 9.已知一次函数y＝x＋a和y＝－2x＋b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，若关于x的不等式组的解集为m＜x＜n，则mn的值为(D) A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数 10．如果kb＜0，且不等式kx＋b＞0解集是x＜－，那么函数y＝kx＋b的图象只可能是下列的(A) 11．如图，两直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组(D)的解． A． B． C． D． 　 12．如图，直线y1＝mx，y2＝kx＋b交于点P(2，1)，则关于x的不等式kx＋b＞mx≥－1的解集为－2≤x＜2. 13．如图，一次函数l1：y＝2x－2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx＋b的图象与x轴交于点A，且经过点B(3，1)，两函数图象交于点C(m，2). (1)求一次函数l2：y＝kx＋b的解析式； (2)根据图象，直接写出1＜kx＋b＜2x－2的解集． (1)∵点C(m，2)在直线l1：y＝2x－2上， ∴2＝2m－2，解得m＝2. ∵点C(2，2)，B(3，1)在直线y＝kx＋b上， ∴解得 ∴一次函数l2的解析式为y＝－x＋4； (2)由题图象，可得不等式组1＜kx＋b＜2x－2的解集为2＜x＜3. 14．如图，已知一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线l的解析式为y＝mx－3m＋3. (1)求点A和点B的坐标； (2)当直线l经过原点时，求直线l与直线AB的交点坐标，并直接写出方程mx－3m＋3＝－2x＋4的解； (3)若直线l与线段AB有交点时，直接写出m的取值范围． (1)y＝－2x＋4， 当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2， ∴A(2，0)，B(0，4)； (2)当直线l经过原点时， 将点(0，0)代入，得0＝0－3m＋3，解得m＝1， 直线l的解析式为y＝x， 联立两个一次函数解得 ∴交点坐标为， ∴方程mx－3m＋3＝－2x＋4的解为x＝； (3)如图，A(2，0)，B(0，4)， 当直线l经过A(2，0)时，0＝2m－3m＋3，解得m＝3； 当直线l经过B(0，4)时，4＝－3m＋3，解得m＝－； ∴－≤m≤3且m≠0. 【母题P130练习T2】一次函数y＝2x－3与y＝ax＋2的图象的交点坐标为(2，1)，请确定方程组的解和a的值． 由题意，知方程组的解为 把代入y＝ax＋2，得2a＋2＝1，解得a＝－. 【变式】如图，直线y1＝kx＋b经过点A(－6，0)，B(－1，5). (1)求直线AB的解析式； (2)若直线 y2＝－2x－3与直线AB相交于点M，则点M的坐标为(－3，3)； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式kx＋b＜－2x－3的解集． (1)把点A(－6，0)，B(－1，5)代入y1＝kx＋b，得解得∴直线AB的解析式为y1＝x＋6； (2)∵直线 y2＝－2x－3与直线AB相交于点M， ∴解得 ∴点M的坐标为(－3，3)； (3)根据题图，可得关于x的不等式kx＋b＜－2x－3的解集为x＜－3. 15．(运算能力)如图，已知直线l1：y＝3x＋1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx＋n交于点P(－2，a).根据以上信息解答下列问题： (1)求a的值，判断直线l3：y＝－nx－2m是否也经过点P，并请说明理由； (2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解； (3)若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式． (1)把点P(－2，a)代入y＝3x＋1， 得a＝3×(－2)＋1＝－5，∴点P的坐标为(－2，－5). 直线l3：y＝－nx－2m也经过点P. 理由如下： ∵点P(－2，－5)在直线y＝mx＋n上，∴－2m＋n＝－5. 把x＝－2代入y＝－nx－2m，得y＝－n×(－2)－2m＝－2m＋n＝－5，∴直线l3也经过点P； (2) (3)∵直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，所以直线l2过点(3，0). 又∵直线l2过点P(－2，－5)， ∴ 解得 ∴直线l2的函数解析式为y＝x－3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 23．3　一次函数与方程(组)、不等式 1．一次函数与一元一次方程的关系 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y＝kx＋b的函数值为 时，求 的值． 2．一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax＋b＞0或 (a≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y＝kx＋b的值大于 或小于 时，求自变量x的取值范围． 3．一次函数与二元一次方程(组) 一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的 ．由以上可知，由含有未知数x和y的二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值 ，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的 ．因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解． 【典例】在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x的图象与一次函数y＝k2x＋b的图象如图所示，则关于x的方程k1x＝k2x＋b的解为__ __． 两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解．关于x的一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标；关于x的一元一次不等式kx＋b>0(k<0)的解集是以直线y＝kx＋b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围． 【变式训练】 　如图，已知直线y1＝ax＋b与y2＝mx＋n相交于点A(2，－1)，若y1＞y2，则x的取值范围是( ) A．x＜2 B．x＞2 C．x＜－1 D．x＞－1 知识点1　一次函数与一元一次方程 1．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝0的解为( ) A.x＝2 B．y＝2 C．x＝－1 D．y＝－1 2．若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－1，－4)，B(1，－12)，则下列说法中，正确的是( ) A．该函数图象不经过第三象限 B．关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2 C．该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为8 D．该函数值y随x的增大而增大 3．如图，一次函数y＝ax＋b的图象经过点(2，4)，(4，1)，则方程ax＋b＝4的解是 . 知识点2　一次函数与一元一次不等式 4．在平面直角坐标平面内，一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，那么下列说法正确的是( ) A．当x＜0时，－2＜y＜0 B．方程ax＋b＝0的解是x＝－2 C．当y＞－2时，x＞0 D．不等式ax＋b＜0的解集是x＜0 5．如图所示，已知直线y＝nx＋b经过点A(－2，－4)和点B(－4，0)，直线y＝mx经过点A，则关于x的不等式nx＋b≤mx的解集是( ) A．x≤－2 B．x＞－2 C．x≥－2 D．－2≤x＜0 6．如果不等式kx＋b＞0的解集为x＜－1，那么直线y＝kx＋b(k＜0)一定会经过一个定点，这个定点的坐标为 ． 知识点3　一次函数与二元一次方程(组) 7．如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝x＋2的图象相交于点M(m，4)，则关于x，y的二元一次方程组的解是( ) A． B． C． D． 8．已知m，n为常数，且mn≠0，若关于x，y的二元一次方程组的解为则y关于x的一次函数y＝mx＋2，y＝nx－4的交点坐标为 . 易错易混点　不能准确理解一次函数与不等式的关系 9.已知一次函数y＝x＋a和y＝－2x＋b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，若关于x的不等式组的解集为m＜x＜n，则mn的值为( ) A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数 10．如果kb＜0，且不等式kx＋b＞0解集是x＜－，那么函数y＝kx＋b的图象只可能是下列的( ) 11．如图，两直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组( )的解． A． B． C． D． 　 12．如图，直线y1＝mx，y2＝kx＋b交于点P(2，1)，则关于x的不等式kx＋b＞mx≥－1的解集为 . 13．如图，一次函数l1：y＝2x－2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx＋b的图象与x轴交于点A，且经过点B(3，1)，两函数图象交于点C(m，2). (1)求一次函数l2：y＝kx＋b的解析式； (2)根据图象，直接写出1＜kx＋b＜2x－2的解集． 14．如图，已知一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线l的解析式为y＝mx－3m＋3. (1)求点A和点B的坐标； (2)当直线l经过原点时，求直线l与直线AB的交点坐标，并直接写出方程mx－3m＋3＝－2x＋4的解； (3)若直线l与线段AB有交点时，直接写出m的取值范围． 【母题P130练习T2】一次函数y＝2x－3与y＝ax＋2的图象的交点坐标为(2，1)，请确定方程组的解和a的值． 【变式】如图，直线y1＝kx＋b经过点A(－6，0)，B(－1，5). (1)求直线AB的解析式； (2)若直线 y2＝－2x－3与直线AB相交于点M，则点M的坐标为( ， )； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式kx＋b＜－2x－3的解集． 15．(运算能力)如图，已知直线l1：y＝3x＋1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx＋n交于点P(－2，a).根据以上信息解答下列问题： (1)求a的值，判断直线l3：y＝－nx－2m是否也经过点P，并请说明理由； (2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解； (3)若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $