专题10一次函数与方程（组）、不等式及实际问题的应用专项训练（14大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

**基本信息** 专题围绕一次函数与方程、不等式及实际问题，通过15类题型系统构建“概念-关系-应用-综合”逻辑体系，突出数形结合与模型思想，培养抽象能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与方程（组）|题型1-7（含7类）|图像法求交点得解、方程与函数图像转化|从直线交点到方程（组）解，体现代数与几何的转化| |函数与不等式|题型4-5（含2类）|利用图像位置关系确定解集|通过函数值大小关系推导不等式解集，强化数形结合| |实际应用|题型9-13（含5类）|建立一次函数模型解决分配、利润等问题|从实际情境抽象数量关系，培养模型意识与应用能力| |几何综合|题型8、14（含2类）|结合坐标系求图形面积、动点问题|函数与几何图形性质融合，提升空间观念与推理能力|

专题10一次函数与方程（组）、不等式及实际问题的应用 专项训练 题型梳理归纳 题型1.已知直线与坐标轴交点，求方程的解 题型2.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型3.利用图象法解一元一次方程 题型4.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型5.根据两条直线的交点求不等式的解集 题型6.两直线的交点与二元一次方程组的解 题型7.图象法解二元一次方程组 题型8求直线围成的图形面积 题型9.分配方案问题（一次函数的实际应用） 题型.10最大利润问题（一次函数的实际应用） 题型11.行程问题（一次函数的实际应用） 题型12.梯度计价问题 题型13.其他问题（一次函数的实际应用） 题型14.一次函数与几何综合 题型15.分层练习15道题. 核心题型精讲 题型1.已知直线与坐标轴交点，求方程的解 1．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 __________ ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） (1)在图1中作出直线． (2)在图2中找出点关于轴的对称点． 题型2.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 2．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为______． 3．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求线段的长； (2)已知点C在x轴上，连接BC，若的面积是8，求点C的坐标； (3)若P是坐标轴上的一点，且，直接写出点P的坐标______． 题型3.利用图象法解一元一次方程 1．如图，一次函数的图象经过点，，则关于的方程的解是（    ） A． B．3 C．2 D．1 2．直线与直线如图，则下列结论： ①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________． 3．解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)利用图象回答： ①方程的解是________； ②当x取什么值时，函数值小于0？ 题型4.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．已知一次函数（，为常数，且）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．如图是一次函数的图像，那么不等式的解集是___________． 3．已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象（不用列表）； (2)当时，的取值范围是 ； (3)当时，的取值范围是 ． 题型5.根据两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______． 3．如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 题型6.两直线的交点与二元一次方程组的解 1．在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数）交于点，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 2．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________个． 3．对于实数，，定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：； (1)_____；____． (2)在同一坐标系中画出函数和的图象； (3)若关于的函数， ①当时，____； ②当时，____； ③结合图象，直接写出函数的最大值． 题型7.图象法解二元一次方程组 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 2．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k和b的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点D在上，且满足，求点D的坐标． 题型8求直线围成的图形面积 1．函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象过第一、二、四象限 C．若点和点在直线上，则 D．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 2．（1）化简二次根式的正确结果是_______； （2）直线与相交于点，且两直线与y轴围成的三角形面积为12，那么的值为_______． 3．如图，在直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)求出m、n的值； (2)直接根据图象写出关于x的不等式的解集； (3)将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E，若的面积为6，求平移后的直线表达式． 题型9.分配方案问题（一次函数的实际应用） 1．网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 2．春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了________盒． 3．今年春节某商家购进A，B两种不同造型的哪吒玩偶．已知购进5个A种玩偶和4个B种玩偶共需152元；购进3个A种玩偶和2个B种玩偶共需84元． (1)求A，B两种玩偶的进价； (2)由于销售情况较好，商家决定再购进A，B两种玩偶共20个，设总费用为W，若总费用低于340元但不少于329元，那么当A，B两种玩偶分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 题型.10最大利润问题（一次函数的实际应用） 1．某电脑公司经营A，B两种台式电脑，分析过去的销售记录可以知道：每台A型电脑可盈利200元，每台B型电脑可盈利300元；在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍．已知该公司在同一时期内销售这两种电脑共210台，则该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是（    ） A．42000元 B．46200元 C．52500元 D．63000元 2．某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共棵，经招标，承包商以万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 政府要求栽植这批树苗的成活率不低于．则承包商购买种树苗_____棵时才能获得最大利润，最大利润是_____元． 3．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； (1)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (2)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 题型11.行程问题（一次函数的实际应用） 1．A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的有哪几个（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 2．甲、乙两人从各自家中出发前往学校，乙从家到学校的路程比甲从家到学校的路程多米．如图，，分别表示甲、乙两人行走的路程（米）和甲出发时间（分钟）的函数图象．甲、乙两人同时到达学校，则甲从家到学校的路程为__________米． 3．“五一”假期，小明和父母开车到距家180千米的西乡旅游．出发前，汽车油箱内储油36升；行驶途中，小明发现油量随着里程均匀变化；当行驶160千米时，发现油箱余油量为20升． (1)求：行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式； (2)当油箱中剩余油量低于4升时，汽车将自动报警．若往返途中，都未加油．小明一家能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 题型12.梯度计价问题 1．出租车收费标准：起步价8元（3公里内），超过3公里每公里加收1.5元，设行驶路程公里，总费用y元，函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．某水果批发市场香蕉的价格如下表： 一次购买香蕉数（千克） 不超过千克 千克以上但不超过千克 千克以上 每千克价格 元 元 元 若小强购买香蕉千克（大于）付了元，则关于的函数关系式为__________． 3．某品牌共享电动车落地泰州高港区，为市民绿色出行提供了便利．其收费标准如下：起步价2元（含15分钟），超时费每10分钟1.5元（不足10分钟按10分钟计算）． (1)若小红骑行时间为t分钟，请写出应付费用y（元）关于t的函数表达式． (2)小红骑行了42分钟，应付多少元？ (3)小明骑共享电动车支付了8元，则他的骑行时间在什么范围内？ 题型13.其他问题（一次函数的实际应用） 1．某品牌纯电动汽车的电池容量（）与续航里程（）近似满足一次函数关系．已知当电池容量为时，续航里程约为；当电池容量为时，续航里程约为．根据这些信息，下列说法正确的是（    ） A．电池容量与续航里程成反比例关系 B．当电池容量为时，续航里程约为 C．续航里程每增加，电池容量约增加 D．该函数图象一定经过原点 2．钢琴调音时，琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足某种函数关系．调音师在某架钢琴调音时记录了以下数据： 张力调节系数 … 1 2 3 4 … 振动频率（） … 429 432 435 438 … 已知钢琴标准音高为，此时琴弦的振动频率为，调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加_________． 3．近年来，我区电商产业蓬勃发展，快递物流业务量持续攀升，某物流公司计划通过引进机器人提高快递物品分拣效率．我们将运用数学知识探讨机器人的工作效率和合理采购问题． 素材信息： 素材类别 具体内容 工作效率数据 ①1台A型机器人和1台B型机器人同时工作6小时，可分拣9000件快递； ②1台A型机器人先工作3小时后，再由1台B型机器人单独工作12小时，也可分拣完9000件快递． 采购价格信息 A，B两款机器人价格分别为：A型每台22万元；B型每台15万元． 请根据相关信息，解决下列问题： (1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣多少件快递？ (2)物流公司计划采购A，B两款机器人共35台，且每小时分拣快递总数量不少于万件，如何采购才能使采购机器人的总费用最少？最少是多少万元？ 题型14.一次函数与几何综合 1．在平面直角坐标系中，若一次函数对于除0之外的任意实数k，其图象都经过一个定点A，点与点A关于x轴对称，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 3．已知一次函数图像经过点，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在点，使，求点的坐标； (3)点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标． 分层精练 一、单选题 1．如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④ 3．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则下列说法正确的个数是（    ） ①是方程的一个解；②方程组的解是； ③不等式的解集是；④不等式的解集是． A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 5．某停车场实行计时收费，即规定时间内免费停车，超出规定时间后按时收费（24小时封顶50元）．已知费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，若停车5小时收费16元，停车8小时收费28元，则该停车场免费停车时间为（    ） A．0.5小时 B．1小时 C．2小时 D．3小时 二、填空题 6．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______． 7．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是______． 8．某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为______元． 9．黄河公园内有一条健身跑道，是市民健身休闲的好去处．周末，小明和爸爸参加了该公园举办的“亲子骑车赛”．两人所行路程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示．当爸爸到达终点时，小明距离终点还有____千米． 三、解答题 10．某景区需要购买A、B两种型号的帐篷，已知用2400元购买A种帐篷的数量与用4000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A、B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共28顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A、B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 11．某超市准备购进A，B两种商品进行销售，通过市场调研发现，A种商品的进货单价比B种商品的进货单价贵20元，且用400元购进A种商品的数量与用300元购进B种商品的数量相同． (1)求A，B两种商品的进货单价分别是多少元？ (2)若该超市购进A，B两种商品共40件，且A商品的数量不低于B商品数量的，如果A商品的销售单价定为每件100元，B商品的销售单价定为每件90元，那么应该怎样进货才能使售完这40件商品获利最大？最大利润是多少？ 12．某烘焙店售卖手工黄油曲奇时规定：若一次购买2千克以内（含2千克），按原价收费；若一次购买超过2千克，超过部分打折出售．下表是付款金额y（元）与购买量x（千克）的部分对应值： x（千克） 1.5 2 2.5 3 y（元） 30 40 49 58 (1)求y与x的关系式； (2)小颖带了76元钱全部用来购买这种黄油曲奇，请问她能购买多少千克曲奇． 13．平陆运河是新中国成立以来第一条江海连通的大运河，随着运河建设推进，北部湾港的货物吞吐量稳步增长．某航运公司安排甲、乙两种货船参与运输，已知甲型货船的单次运量为10吨，乙型货船的单次运量为50吨，且甲型货船的单次运营成本为6万元，乙型货船的单次运营成本为36万元．受航道条件限制，该航运公司计划两种货船共出航60次． (1)设甲型货船的出航次数为次，且出航次数不高于40次，总运营成本不高于1260万元，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，如何安排两种货船的出航次数，可使总运量最大？最大总运量是多少？ 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与直线相交于第一象限，交点为点，且点的纵坐标为4． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为_____________； (2)点C为直线上一点，且点C在第二象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，若，求点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点； (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． (4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10一次函数与方程（组）、不等式及实际问题的应用 专项训练 题型梳理归纳 题型1.已知直线与坐标轴交点，求方程的解 题型2.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型3.利用图象法解一元一次方程 题型4.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型5.根据两条直线的交点求不等式的解集 题型6.两直线的交点与二元一次方程组的解 题型7.图象法解二元一次方程组 题型8求直线围成的图形面积 题型9.分配方案问题（一次函数的实际应用） 题型.10最大利润问题（一次函数的实际应用） 题型11.行程问题（一次函数的实际应用） 题型12.梯度计价问题 题型13.其他问题（一次函数的实际应用） 题型14.一次函数与几何综合 题型15.分层练习15道题. 核心题型精讲 题型1.已知直线与坐标轴交点，求方程的解 1．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 2．已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 __________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为函数图象与轴交点的横坐标． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，该点是函数图象与轴的交点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） (1)在图1中作出直线． (2)在图2中找出点关于轴的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，两直线交点问题，解题的关键是运用数形结合思想； （1）连接，延长交y轴于D，连接，直线即为所求； （2）如图所示，连接，延长交y轴于D，连接，连接交y轴于E，连接，延长交于，点即为所求， 【详解】（1）解：如图所示，连接，延长交y轴于D，连接，直线即为所求； 理由如下： 设直线的解析式为， 代入点，点得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 代入点，点得， 解得， ∴直线解析式为， ∴直线即为所求； （2）解：如图所示，连接，延长交y轴于D，连接，连接交y轴于E，连接，延长交于，点即为所求， 理由如下： 设直线的解析式为， 代入点，点得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， ， 点与点关于轴对称， 点即为所求． 题型2.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先把代入求出k的值，再求出点B的坐标，然后结合图象求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴由图象可知，关于的不等式组的解集是． 2．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， 点A的坐标为， ； 当时，， 点B的坐标为， ， 当为腰时，， 点C的坐标为或； 当为腰时，， 点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为或或 故答案为：或或 3．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求线段的长； (2)已知点C在x轴上，连接BC，若的面积是8，求点C的坐标； (3)若P是坐标轴上的一点，且，直接写出点P的坐标______． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理，坐标与图形等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． （1）先求出点，点坐标，然后利用勾股定理即可求解； （2）设点，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，当点P在y轴上时，设点P的坐标为，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 点，点， ，， ； （2）解：设点， 的面积是16， ， ， 或， 点坐标为或； （3）解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：或． 题型3.利用图象法解一元一次方程 1．如图，一次函数的图象经过点，，则关于的方程的解是（    ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案． 【详解】由条件可知当时，， 方程的解是． 2．直线与直线如图，则下列结论： ①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________． 【答案】①④ 【分析】根据一次函数的图象经过的象限，可判断①； 根据一次函数的图象与轴的交点位置，可判断②； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，及图象的位置，可判断③； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，可判断④． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，故①正确； ∵一次函数的图象与轴交于负半轴， ∴，故②错误； 一次函数与的图象交点的横坐标为， 当时，的图象在的上方， 即，故③错误； ∵一次函数与的图象交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是，故④正确． 3．解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)利用图象回答： ①方程的解是________； ②当x取什么值时，函数值小于0？ 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）用两点法画直线； （2）①直线与轴交点的横坐标即是方程的解；②直线在轴下方对应的值即为所求的解． 【详解】（1）解：把代入，得， 把代入，得， 过点画直线即为一次函数的图象； （2）解：①如图，方程的解为； ②函数值小于0时，对应的函数图象在轴的下方， 当时，函数值小于0． 题型4.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．已知一次函数（，为常数，且）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图象可知，一次函数中随的增大而减小，且时，，所以不等式的解集为． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数中随的增大而减小， 时，， 时，， 不等式的解集为． 2．如图是一次函数的图像，那么不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】解：当时，， ∴不等式的解集为． 3．已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象（不用列表）； (2)当时，的取值范围是 ； (3)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，令时，，解得；令时，，可得一次函数经过点，，利用描点法画图即可； （2）当时，，求解即可； （3）由，得到，当时，即，求解即可． 【详解】（1）解：令时，，解得； 令时，， ∴一次函数经过点，， 一次函数的图象如图所示， （2）解：当时，，解得， ∴当时，的取值范围是； （3）解：∵， ∴， ∴当时，即，解得， ∴当时，的取值范围是． 题型5.根据两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，点的左侧，直线低于直线， ∴ 不等式的解集为． 2．函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据函数图象，可以得到当时，函数图象在的图象下方，从而得出的解集． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，函数图象在的图象下方， ∴关于的不等式的解集为． 3．如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点代入得出，然后再代入进行求解即可； （2）由题意易得，则有，然后可得， 设点，进而建立方程进行求解即可； （3）根据函数图象直接进行求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：令时，则有，解得：， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴点在线段上， ∴， 设点， ∴， 解得：， ∴； （3） 解：由图象可知：不等式的解集为． 题型6.两直线的交点与二元一次方程组的解 1．在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数）交于点，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据两直线交点坐标同时满足两个直线的解析式，先将交点横坐标代入已知解析式求出m，再代入第二条直线解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵点是直线与直线的交点， ∴点在直线上， 将代入，得， ∴交点坐标为， 又∵点在直线上， 将代入，得， 解得． 2．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________个． 【答案】3 【分析】利用一次函数的图像与性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ，． 故②正确． ∵一次函数与轴的交点在轴的下方， ． 故①正确． ∵当时，， ∴关于的方程的解为． 故③正确． ∵当时， 一次函数在一次函数的上方， ∴当时，． 故④错误． 综上所述，其中正确的结论有3个． 3．对于实数，，定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：； (1)_____；____． (2)在同一坐标系中画出函数和的图象； (3)若关于的函数， ①当时，____； ②当时，____； ③结合图象，直接写出函数的最大值． 【答案】(1)； (2)图见解析 (3) 【分析】（1）根据题干的定义进行计算即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）①分别计算出和的值，比较后得出结果； ②分别计算出和的值，比较后得出结果； ③直线和的交点为，由②可知，，取两个函数较低的部分保留，根据图象确定最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：函数图象如图所示： （3）解：①当时，，， ∵， ∴； ②当时，，， ∵， ∴； ③设直线和的交点为， 由②可知，当时，， ∴点的坐标为， 函数的图象如图所示： 由图可知，函数的最大值为． 题型7.图象法解二元一次方程组 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析即可． 【详解】解：A．由图象得：当时，，故此选项不符合题意； B．由图象得：当时，，，故此选项不符合题意； C．由图象得：一次函数与的图像交于点， ∴，， ∴， ∴，故此选项符合题意； D．由图象得：关于，的方程组的解为，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答． 【详解】解：把代入得：， ∴， ∵点P为一次函数与的图象交点， ∴方程组的解是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两个一次函数的交点的横坐标和纵坐标的值等于对应二元一次方程组的解． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k和b的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点D在上，且满足，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由正比例函数表达式求出交点C坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可求解； （2）识别出方程组就是一次函数与正比例函数的表达式组成的，故解为其交点坐标； （3）设，分别求出和，利用列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点C在上，且点C的横坐标为1， 将代入，得， ， 将，代入， 得， 解得 ； （2）解：变形为， 由图象和方程组知，的解为函数与的交点坐标，即， ∴方程组的解为； （3）解：∵点D在上，直线的解析式为， 设，过点作轴于点M，过点作轴于点N， 当时，，解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型8求直线围成的图形面积 1．函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象过第一、二、四象限 C．若点和点在直线上，则 D．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 【答案】D 【分析】根据函数图象即可判断经过的象限以及的符号，再由增减性判断的大小，最后由直线与坐标轴的交点求解即可． 【详解】解：由直线经过第一、二、三象限可得，，故A、B错误； 由得，随的增大而增大， ， ，故C错误； 对于，当时，， 由图象与坐标轴围成的三角形面积为2，得：， 解得，故D正确． 2．（1）化简二次根式的正确结果是_______； （2）直线与相交于点，且两直线与y轴围成的三角形面积为12，那么的值为_______． 【答案】 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质以及非负性求解即可； （2）先求出两直线与y轴的交点坐标分别为、；再结合已知条件可得，然后利用三角形的面积以及绝对值可得，再说明即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∴； （2）∵直线，， ∴直线与y轴交点，当时，，即； 直线与y轴交点，当时，，即； ∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∵两直线与y轴围成的三角形面积为12， ∴，解得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)求出m、n的值； (2)直接根据图象写出关于x的不等式的解集； (3)将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E，若的面积为6，求平移后的直线表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值，于是可得点，将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）根据函数图象即可直接得出答案； （3）设点E坐标为，先求出直线与轴的交点，再求出直线与轴的交点、与轴的交点，进而可求出、的长，然后求出，判断出点在第二象限，根据列出方程求解即可得到点的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：∵直线：经过 ， ∴， 解得， ， 将代入直线，得：， 解得， ，； （2）解：根据图象可以看出，关于x的不等式的解集为； （3）解：由（1）得直线的解析式为， 设点E坐标为， 令，解得， ∴， 令 ，解得， ∴， ∴， 将代入，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵的面积为6，且 ， ∴点E在第二象限， ∴ ∴ ． ∴， 则 ， ∴点E坐标为， 设直线平移后的解析式为，则 ， 解得， ∴平移后的直线表达式为． 题型9.分配方案问题（一次函数的实际应用） 1．网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 【答案】A 【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 2．春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了________盒． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数， 则在甲超市购买礼盒所需费用为：， 在乙超市购买礼盒所需费用为： 当购买盒数不超过盒时，， 当购买盒数超过盒时，， ∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算， ∴， 解得：， ∴他至少购买了盒． 故答案为：． 3．今年春节某商家购进A，B两种不同造型的哪吒玩偶．已知购进5个A种玩偶和4个B种玩偶共需152元；购进3个A种玩偶和2个B种玩偶共需84元． (1)求A，B两种玩偶的进价； (2)由于销售情况较好，商家决定再购进A，B两种玩偶共20个，设总费用为W，若总费用低于340元但不少于329元，那么当A，B两种玩偶分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)A种玩偶的进价是16元，则B种玩偶的进价是18元 (2)当购买15个A种玩偶，购进5个B种玩偶时，总费用最少，最少总费用为330元 【分析】（1）设A种玩偶的进价是x元，则B种玩偶的进价是y元，根据“购进5个A种玩偶和4个B种玩偶共需152元；购进3个A种玩偶和2个B种玩偶共需84元”列出方程组，解方程组即可； （2）设购进m个A种玩偶，则购进个B种玩偶，根据“总费用低于340元但不少于329元”可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种玩偶共花费W元，利用总费用=两种玩偶费用之和，可找出W关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种玩偶的进价是x元，则B种玩偶的进价是y元，根据题意得： ， 解得， 答：A种玩偶的进价是16元，则B种玩偶的进价是18元； （2）解：设购进m个A种玩偶，则购进个B种玩偶， 根据题意得：， 解得， 设总费用为W元， 则， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵m为正整数， ∴当时，W最小，最小值为330， 此时， ∴当购买15个A种玩偶，购进5个B种玩偶时，总费用最少，最少总费用为330元． 题型.10最大利润问题（一次函数的实际应用） 1．某电脑公司经营A，B两种台式电脑，分析过去的销售记录可以知道：每台A型电脑可盈利200元，每台B型电脑可盈利300元；在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍．已知该公司在同一时期内销售这两种电脑共210台，则该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是（    ） A．42000元 B．46200元 C．52500元 D．63000元 【答案】B 【分析】设该公司在这一时期内销售获得的利润是W元，销售A型电脑x台，则销售B型电脑台，根据在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】解：设该公司在这一时期内销售获得的利润是W元，销售A型电脑x台，则销售B型电脑台， 根据题意得：， 解得：， ∵，， ∴随的增大而减小， ∴当时，W取最大值，最大值为（元）， 答：该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是46200元． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出x的范围． 2．某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共棵，经招标，承包商以万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 政府要求栽植这批树苗的成活率不低于．则承包商购买种树苗_____棵时才能获得最大利润，最大利润是_____元． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确列出式子是解题的关键．先根据题意和表格中的数据可以得到与的函数关系式，再根据题意可以的得到相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：设承包商购买种树苗棵，承包商获得的利润为元， 根据题意可得， 即与之间的函数关系式是； ∵政府要求栽植这批树苗的成活率不低于， ∴， 解得， ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 即承包商购买种树苗棵，能获得最大利润，最大利润是元， 故答案为：；． 3．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； (1)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (2)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元 (2)售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润为10700元 【分析】（1）设出B型车的进货单价，表示出A型车的进货单价，根据两种车购进数量相等列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先计算出两种车的单件利润，设A型车的销售量，表示出B型车销售量，得到总利润关于A型销售量的一次函数，再根据B型销售量的限制条件列出不等式，求出自变量的整数取值范围，最后结合一次函数的增减性求出最大利润及对应销售量． 【详解】（1）解：设B型自行车的进货单价为元，则A型自行车的进货单价为 元． 根据题意， 得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则 (元)． 答：A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元． （2）解：由题意得，每辆A型车的利润为 (元)，每辆B型车的利润为 (元)． 设售出A型车辆，则售出B型车辆，总利润为元． 则 ． 根据题意得 ． 解不等式 得 ． 解不等式得． 因为为正整数，所以的取值为． 中，， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时 (元)，(辆)． 答：售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润是10700元． 题型11.行程问题（一次函数的实际应用） 1．A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的有哪几个（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】通过观察函数图象获取信息，利用路程、速度、时间的关系进行计算，以及列方程解决行程问题.根据图象分别求出甲、乙的速度及函数解析式，逐一判断各结论即可 【详解】解：由图象可知，乙从时出发，甲从时出发， 乙比甲提前出发，故①正确； 甲从到行驶了， 甲行驶的速度为，故②正确； 乙从到行驶了， 乙行驶的速度为， 当时，乙行驶的路程为， 此时甲行驶的路程为， 甲、乙两人相距，故③错误； 设乙离开地的距离与时间的函数关系式为， 当时，甲未出发，， 若乙比甲多行驶，则， 解得； 当时，甲离开地的距离与时间的函数关系式为， 若乙比甲多行驶，则， 解得， ④错误； 综上所述，正确的结论有①②． 2．甲、乙两人从各自家中出发前往学校，乙从家到学校的路程比甲从家到学校的路程多米．如图，，分别表示甲、乙两人行走的路程（米）和甲出发时间（分钟）的函数图象．甲、乙两人同时到达学校，则甲从家到学校的路程为__________米． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图像，二元一次方程组，掌握根据图象得到相关量之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟，根据图象， 可得 解得 甲从家到学校的路程为米． 故答案为： 3．“五一”假期，小明和父母开车到距家180千米的西乡旅游．出发前，汽车油箱内储油36升；行驶途中，小明发现油量随着里程均匀变化；当行驶160千米时，发现油箱余油量为20升． (1)求：行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式； (2)当油箱中剩余油量低于4升时，汽车将自动报警．若往返途中，都未加油．小明一家能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析． 【分析】（1）先根据已知条件求出汽车平均每千米的耗油量，再推导行驶路程与剩余油量的关系式即可； （2）通过计算比较可行驶路程与往返总路程，判断即可． 【详解】（1）解：由题意可知，出发前油箱储油36升，行驶160千米后余油20升， 总耗油量为（升）， 汽车平均每千米耗油量为（升）， 剩余油量等于初始油量减去行驶千米的总耗油量，总耗油量为， 因此行驶路程（千米）与剩余油量（升）的关系式为； （2）解：当油箱剩余油量为4升时汽车即将报警， 将代入得， 解得， 小明一家往返总路程为（千米）， ， 小明一家不能在汽车报警前回到家． 题型12.梯度计价问题 1．出租车收费标准：起步价8元（3公里内），超过3公里每公里加收1.5元，设行驶路程公里，总费用y元，函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】总费用由起步价和超过3公里部分的费用两部分组成，先计算超过3公里的路程，再算出对应费用，最后整理得到y与x的函数关系式． 【详解】解：∵行驶路程为公里， ∴超过3公里的路程为公里， 超过3公里部分的费用为元， ∴， 整理得． 2．某水果批发市场香蕉的价格如下表： 一次购买香蕉数（千克） 不超过千克 千克以上但不超过千克 千克以上 每千克价格 元 元 元 若小强购买香蕉千克（大于）付了元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【详解】解：大于千克，单价为元， 数量为千克， ． 3．某品牌共享电动车落地泰州高港区，为市民绿色出行提供了便利．其收费标准如下：起步价2元（含15分钟），超时费每10分钟1.5元（不足10分钟按10分钟计算）． (1)若小红骑行时间为t分钟，请写出应付费用y（元）关于t的函数表达式． (2)小红骑行了42分钟，应付多少元？ (3)小明骑共享电动车支付了8元，则他的骑行时间在什么范围内？ 【答案】(1)（所得结果进一取整，） (2)元 (3) 【分析】（1）先固定起步价2元，再用超出时间除以10，按“进一取整”算超时次数，乘以1.5元，合理写出费用表达式并注明取整规则． （2）先算出超出15分钟的时长，除以10后按规则进一取整，算出超时费，再加起步价2元，得到总费用． （3）先减去起步价算出超时费，再算出超时费对应的取整后次数，反推超出时间的不等式，进而解出总骑行时间的范围． 【详解】（1）解：前15分钟固定收费2元， 超出15分钟的时间为分钟， 超时费每10分钟1.5元，不足10分钟按10分钟进一计费， 应付费用（对所得结果进一取整，）， （2）， 超出时间：分钟， ，按规则进一取整为3， ； （3）解：， （对的结果进一取整）， （进一取整后）， 的值进一取整后为4， 即满足： ， ， ∴． 题型13.其他问题（一次函数的实际应用） 1．某品牌纯电动汽车的电池容量（）与续航里程（）近似满足一次函数关系．已知当电池容量为时，续航里程约为；当电池容量为时，续航里程约为．根据这些信息，下列说法正确的是（    ） A．电池容量与续航里程成反比例关系 B．当电池容量为时，续航里程约为 C．续航里程每增加，电池容量约增加 D．该函数图象一定经过原点 【答案】B 【分析】先根据题意设出一次函数解析式，代入已知两组对应值求出解析式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：设续航里程为电池容量为的函数解析式为． 将，代入解析式得： ， 解得：， ∴函数解析式为 ， ∵ 函数是一次函数，不是反比例函数，∴ A错误． 当时，， ∴当电池容量为时，续航里程约为， ∴ B正确． 电池容量每增加，续航里程增加，行驶途中增加续航里程，电池容量不会增加，∴ C的说法错误． ∵ 题目说明电池容量与续航里程仅近似满足一次函数关系，给出的数值为近似值，无法确定函数一定经过原点，∴ D错误． 2．钢琴调音时，琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足某种函数关系．调音师在某架钢琴调音时记录了以下数据： 张力调节系数 … 1 2 3 4 … 振动频率（） … 429 432 435 438 … 已知钢琴标准音高为，此时琴弦的振动频率为，调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加_________． 【答案】 【分析】根据题意得：琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足一次函数关系， 设该函数关系式为， 把代入得： ， 解得：， ∴该函数关系式为， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵， ∴调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加． 3．近年来，我区电商产业蓬勃发展，快递物流业务量持续攀升，某物流公司计划通过引进机器人提高快递物品分拣效率．我们将运用数学知识探讨机器人的工作效率和合理采购问题． 素材信息： 素材类别 具体内容 工作效率数据 ①1台A型机器人和1台B型机器人同时工作6小时，可分拣9000件快递； ②1台A型机器人先工作3小时后，再由1台B型机器人单独工作12小时，也可分拣完9000件快递． 采购价格信息 A，B两款机器人价格分别为：A型每台22万元；B型每台15万元． 请根据相关信息，解决下列问题： (1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣多少件快递？ (2)物流公司计划采购A，B两款机器人共35台，且每小时分拣快递总数量不少于万件，如何采购才能使采购机器人的总费用最少？最少是多少万元？ 【答案】(1)1台A型机器人每小时分拣1000件快递，1台B型机器人每小时分拣500件快递 (2)采购A型机器人15台，B型机器人20台时采购总费用最少，最少总费用是630万元 【分析】（1）设A型、B型机器人每小时各分拣、件快递，再根据题意列方程组求解即可； （2）设采购A型机器人台，则B型为台，根据每小时总分拣量的要求求出自变量的取值范围，再列出总费用关于A型机器人数量的一次函数，利用一次函数的性质即可求出最小费用和对应的采购方案． 【详解】（1）解：设A型、B型机器人每小时各分拣、件快递， 由题意： 解得： 答：A、B两种机器人每小时各分拣件、件快递； （2）解：设采购A型机器人台，则B型为台， 由题意知： 解得， 设总费用为万元， ∴ ， ∵， ∴W随a的增大而增大， 当时，W最小，此时A、B分别为15台和20台， ∴W的最小值为：（万元）， 答：采购A型15台，B型20台的费用最少，是630万元． 题型14.一次函数与几何综合 1．在平面直角坐标系中，若一次函数对于除0之外的任意实数k，其图象都经过一个定点A，点与点A关于x轴对称，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先整理一次函数解析式求出定点A的坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征得到的坐标，最后利用三角形面积公式计算结果. 【详解】解：∵，对于除0之外的任意实数k，其图象都经过一个定点A， ∴，解得：， 此时， ∴ 定点A的坐标为， ∵ 与A关于x轴对称， ∴的坐标为， ∴ ， ∵直线为，原点O到直线的距离为 ∴ 的面积为. 2．如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 【答案】 或6 【分析】由已知求出、的坐标，根据三角形全等的判定与性质求出点的坐标，由的面积与的面积相等，得点在过点且平行于直线的直线上；作点关于直线的对称点，点在过点且平行于直线的直线上；求出直线、的解析式，即可求出的值． 【详解】解：在直线中， 令，则， ∴； 令，则， ∴． ∴，． 如图，过点作轴于点， ∵，， ，， ． 又∵，， ． ，． ． ∵的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 作点关于直线的对称点，则， 则的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 综上所述，的值为或6． 3．已知一次函数图像经过点，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在点，使，求点的坐标； (3)点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）设出一次函数解析式，将点和点代入解析式，求出k和b，从而得到一次函数解析式； （2）根据点在直线上，设出点的坐标，再根据，求出点的坐标； （3）根据点在轴上设出C点坐标，分类讨论以为腰的等腰三角形的两种情况，求出对应的点坐标． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为，将、代入得，解得， ． （2）解：设点 ， ， ， ， ，， ， 即， ， 解得或， 当时，； 当时，， ∴点或． （3）解：∵点在轴上， ∴设， 是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况：或， 当时，在Rt中，，， 根据勾股定理得， ， ∵点C可能在A点左侧，也可能在A点右侧， ∴点C的横坐标或， 或； 当时，在Rt和Rt中，，， ， ， ， 当时，点A和点C重合，不符合题意， ， ． 综上，点C的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、由三角形面积求点的坐标、等腰三角形的性质，解题关键是分类讨论和数形结合． 分层精练 一、单选题 1．如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得：， ∴一次函数为， ∵即， 解得：， ∴方程的解是． 2．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】利用一次函数的性质对①进行判断；利用一次函数的交点问题对②④进行判断；结合函数图象对③进行判断． 【详解】解：直线经过第一、三象限， ， 直线与轴的交点在轴下方， ， ，故①正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是，故②正确； 当时，，故③错误； 当时，函数， 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ， ，故④正确； 综上可知，正确的是：①②④． 3．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则下列说法正确的个数是（    ） ①是方程的一个解；②方程组的解是； ③不等式的解集是；④不等式的解集是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数与一元一次不等式的关系，结合图象逐一判断即可． 【详解】解：①∵一次函数的图象过点 ∴当时，， 即 ∴是方程的一个解，故①正确； ②∵一次函数与一次函数的图象交于点 ∴方程组的解是，故②错误； ③由图象可知，当时，直线在直线的上方 ∴不等式的解集是，故③正确； ④对于，当时，，即图象与轴交点为， 由图象可知，当时，，即 又当时， ∴当时，，故④正确． 4．已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象经过的象限判断a的符号，再结合与x轴的交点，确定时x的取值范围即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，函数值随的增大而减小， ∵一次函数图象与轴交于点， ∴当时，， 不等式，即， 结合函数增减性可得：． 5．某停车场实行计时收费，即规定时间内免费停车，超出规定时间后按时收费（24小时封顶50元）．已知费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，若停车5小时收费16元，停车8小时收费28元，则该停车场免费停车时间为（    ） A．0.5小时 B．1小时 C．2小时 D．3小时 【答案】B 【分析】根据费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，设出一次函数解析式，代入求值即可． 【详解】解：设， 由题意知，， 解得， ， 当时，， 答：该停车场免费停车时间为1小时． 二、填空题 6．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据函数图象找到正比例函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：观察图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方， 关于的不等式的解集是． 7．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】 解决本题的关键是理解两函数图象的交点坐标就是对应方程组的解. 观察待求解的方程组，将其变形后可发现正是题目中两个一次函数的解析式，因此直接读取图象交点坐标即可得到方程组的解. 【详解】解：∵一次函数 与 的图象相交于点 . ∴方程组 的解为 . 即方程组 的解为. 8．某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为______元． 【答案】3600 【分析】利用图象中的数据，通过待定系数法求出销量和售价之间的函数关系式，将代入求出对应的销量，最后根据“总利润（售价进价）销量”即可． 【详解】解：设销量和售价之间的函数关系式为， 将和代入得：， 解得：， 则函数关系式为， 将代入，得， 则总利润（元）． 9．黄河公园内有一条健身跑道，是市民健身休闲的好去处．周末，小明和爸爸参加了该公园举办的“亲子骑车赛”．两人所行路程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示．当爸爸到达终点时，小明距离终点还有____千米． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得对应函数的解析式． 根据爸爸的运动情况求得总路程为千米，根据图象可得小明分三段到达终点，，，到终点，先求得段的解析式，求得点坐标，再求得最后一段的解析式，再将代入，求解即可． 【详解】解：根据图象可得，爸爸始终匀速到达终点，小明分三段，，到终点到达终点， 设爸爸的函数解析式为，将点代入可得，即， 根据图象可得，当时，爸爸到达终点，此时千米，即跑道的总长度为千米， 设小明段的函数解析式为，将点，代入可得， ，解得，即， 将代入可得，即 设小明从到终点的函数解析式为：，将，代入可得， ，解得，即， 将代入得， （千米）， 则当爸爸到达终点时，小明距离终点还有千米． 三、解答题 10．某景区需要购买A、B两种型号的帐篷，已知用2400元购买A种帐篷的数量与用4000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A、B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共28顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A、B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】(1)A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元 (2)当购买A种帐篷21顶，B种帐篷7顶时，总费用最低，最低总费用为19600元 【分析】（1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元．根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元．根据题意求出，表示出，再结合一次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． （2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买，即为正整数， ， ， W随m的增大而减小， 当时，W取最小值，，此时， 答：当购买A种帐篷21顶，B种帐篷7顶时，总费用最低，最低总费用为19600元． 11．某超市准备购进A，B两种商品进行销售，通过市场调研发现，A种商品的进货单价比B种商品的进货单价贵20元，且用400元购进A种商品的数量与用300元购进B种商品的数量相同． (1)求A，B两种商品的进货单价分别是多少元？ (2)若该超市购进A，B两种商品共40件，且A商品的数量不低于B商品数量的，如果A商品的销售单价定为每件100元，B商品的销售单价定为每件90元，那么应该怎样进货才能使售完这40件商品获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) A种商品进货单价为80元，B种商品进货单价为60元 (2) 购进A商品10件，B商品30件时获利最大，最大利润为1100元 【分析】 （1）设B商品进货单价为未知数，根据两种商品进货价的关系表示出A的单价，再利用“总金额除以单价等于数量，且购进两种商品的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进A商品的数量为自变量，总利润为因变量，根据单件利润乘数量得到总利润的一次函数解析式，再根据A、B数量的不等关系求出自变量的取值范围，利用一次函数的增减性求出最大利润和对应进货方案； 【详解】（1）解：设B种商品的进货单价为元，则A种商品的进货单价为元， 根据题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：A种商品的进货单价是80元，B种商品的进货单价是60元； （2）解：设购进A商品件，总利润为元，则购进B商品件， A商品单件利润为（元），B商品单件利润为（元）， 因此总利润， 根据题意得， 解得：， ， 随的增大而减小， 因此当取最小值时，取得最大值， 此时，， 答：购进A商品10件，B商品30件时，售完获利最大，最大利润是1100元． 12．某烘焙店售卖手工黄油曲奇时规定：若一次购买2千克以内（含2千克），按原价收费；若一次购买超过2千克，超过部分打折出售．下表是付款金额y（元）与购买量x（千克）的部分对应值： x（千克） 1.5 2 2.5 3 y（元） 30 40 49 58 (1)求y与x的关系式； (2)小颖带了76元钱全部用来购买这种黄油曲奇，请问她能购买多少千克曲奇． 【答案】(1)当时，；当时， (2)4千克 【分析】（1）根据题意分两种情况讨论，分别列式即可； （2）将代入求出，判断出，然后将代入求解． 【详解】（1）解：当时，设， 将代入得， 解得： ∴当时； 当时，设， 将，代入，得， 解得 ∴当时，； （2）解：∵当时， ∴ ∴将代入，得， 解得： 答：共购买了曲奇4千克． 13．平陆运河是新中国成立以来第一条江海连通的大运河，随着运河建设推进，北部湾港的货物吞吐量稳步增长．某航运公司安排甲、乙两种货船参与运输，已知甲型货船的单次运量为10吨，乙型货船的单次运量为50吨，且甲型货船的单次运营成本为6万元，乙型货船的单次运营成本为36万元．受航道条件限制，该航运公司计划两种货船共出航60次． (1)设甲型货船的出航次数为次，且出航次数不高于40次，总运营成本不高于1260万元，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，如何安排两种货船的出航次数，可使总运量最大？最大总运量是多少？ 【答案】(1)， 且为整数 (2)安排甲型货船出航30次. 乙型货船出航30次可使总运量最大. 最大总运量为1800吨 【分析】（1）先表示出乙型货船的出航次数，再根据的限制条件和总运营成本的限制列出不等式组，求解即可得到的取值范围； （2）列出总运量关于的一次函数，根据一次函数的增减性结合的范围，求出总运量的最大值，即可得到对应出航安排． 解题的关键在于应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化情况，结合自变量的取值范围确定最值． 【详解】（1）解： 由题意知，甲型货船出航次，则乙型货船出航次， 为非负整数， 根据题意列不等式组： ， 解不等式 ， 因此，且为整数； （2）解：设总运量为吨， 根据题意得： ， ， 随的增大而减小， ， 当时，取得最大值，此时（吨）， 乙型货船出航次数为 （次）， 答： 安排甲型货船出航30次，乙型货船出航30次，可使总运量最大，最大总运量为1800吨． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与直线相交于第一象限，交点为点，且点的纵坐标为4． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为_____________； (2)点C为直线上一点，且点C在第二象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将分别代入求出坐标； （2）先求得的坐标，根据面积相等得到的坐标，再用待定系数法求得直线的函数表达式； （3）先求出直线，然后设，则，，再分类讨论，根据列方程求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象分别交轴，轴于点， 令，则， 解得：， ； 令，则， ； （2）解：∵点的纵坐标为， 把代入，则 得， ∴， 设， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得． ∴直线的函数表达式为． （3）解：∵， ∴设直线 则 解得 ∴直线， 设 ∵轴， ∴，， 如图1： ∵ ∴ 解得， ∴； 如图2： ∵ ∴ 解得 ∴ 综上所述，点的坐标为或． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点； (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． (4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法，解方程组解答即可； （2）联立两条直线解析式构成方程组，解方程组得解即为交点坐标； （3）连接，得，计算，确定，设，得到，解答即可． （4）当时，，把代入得，，当与平行时，二线没有，交点，此时，根据直线不平行，则相交，当时，二线在第一象限（或）相交，此时函数小于的值，不符合题意；故；当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x得每一个值，函数的值大于一次函数的值，故答案为． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把点，代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为． （2）解：根据题意，联立得方程组， 解得：， ∴点的坐标为． （3）解：连接，如图所示．   ， 故， ∵点的坐标为． ∴， 直线的表达式为，令，则． ∴直线与轴交于点， ∴， 设， ∵的面积是面积的4倍， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标是或． （4）解：当时，， 把代入得，，即， 当与平行时，二线没有交点，此时，此时的值恒大于的值，满足条件； 根据直线不平行，则相交，当时，两直线在第一象限（或第四象限）相交，此时不符合题意； 故； 当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 如图， 综上：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $