第2章 特殊三角形 习题课件 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“图形的轴对称”核心知识点，从甲骨文、商标图案等生活实例导入，通过基础题巩固轴对称图形识别、对称轴判断等概念，衔接后续特殊三角形性质学习，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合现实情境培养数学眼光（几何直观），如甲骨文轴对称识别；通过折叠、最短路径问题发展数学思维（推理能力），如台球反弹作图；实际应用体现数学语言（模型意识）。分层练习助力学生逐步提升，教师可灵活使用提高教学针对性。

第2章　特殊三角形 2.2　等腰三角形 B 返回 1． 如图，D是△ABC的BC边上一点，AB＝BC，AC＝BD＝AD，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．2 B．3 C．1 D．0 夯实基础巩固练 2 返回 A 2． 如图，在等腰三角形ABC中，点D是底边BC上一点，将△ABD沿AD折叠，点B与点C重合，则下列结论不一定成立的是(　　) A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠1＝∠2　 D．∠B＝∠C 夯实基础巩固练 3 8或7 返回 3． [2025宁波期末]若(a－2)2＋|b－3|＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为________． 夯实基础巩固练 4 4． 返回 【证明】因为AD平分∠BAC， 所以∠BAD＝∠CAD. 又因为AB＝AC，AD＝AD， 所以△ABD≌△ACD(SAS)． 所以DB＝DC.所以△DBC是等腰三角形． 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证：△DBC是等腰三角形． 夯实基础巩固练 5 5． 返回 【解】如图，当a为腰，b为底边时， △ABC即为所求作；当a为底边， b为腰时，△EFG即为所求作． 如图，已知线段a，b，求作：以a，b为边的等腰三角形．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 夯实基础巩固练 6 6． 返回 C 已知△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．以上都不对 夯实基础巩固练 7 7． 返回 3 等边三角形ABC的各边长如图所示，那么y的值为__________． 夯实基础巩固练 8 8． 返回 B 四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为(　　) A．2 B. 3 C. 4 D. 3或4 夯实基础巩固练 9 9． 返回 A 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成1∶2两部分，已知这个等腰三角形的周长为72 cm，则这个等腰三角形的底边长为(　　) A．8 cm B．20 cm C．40 cm D．8 cm或40 cm 整合方法提升练 10 10． 返回 A [2025湖州吴兴区模拟]如图，在△ABC中，AB＝AC，F是BC边上任意一点，过点F作FD⊥AB于点D，FE⊥AC于点E，若S△ABC＝40，FE＋FD＝8，则AB的长为(　　) A．10　 　 B．12　 　 C．14　 　 D．16 整合方法提升练 11 11． 返回 4 如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②是等腰直角三角形，E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上． 若EF＝3 cm，AE＋FC＝11 cm， 则BE的长是________cm. 整合方法提升练 12． 【解】如图，BD，CE即为所求作． 求证：等腰三角形两腰上的高相等． (1)如图，用直尺和圆规作出AC，AB边上的高线BD，CE.(要求：只保留作图痕迹) 整合方法提升练 (2)根据所作图形，将下列“已知，求证”补充完整，并写出证明过程． 已知：在△ABC中，________，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E. 求证：________． AB＝AC BD＝CE 整合方法提升练 返回 整合方法提升练 13． 返回 【解】如图，点P即为所求． 现有两个比赛场地A，B位于两条公路OC，OD之间的地带，要建一座物流中转站P，若要求中转站P到两条公路OC，OD的距离相等，且到两个比赛场地A和B的距离相等，请用尺规作出点P的位置(不写作法，保留作图痕迹)． 整合方法提升练 14． 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3即可) 培优探究拓展练 返回 【解】大小不同的所有图形有五种，如图． 培优探究拓展练 证明：因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB. 因为BD⊥AC，CE⊥AB，所以∠BDC＝∠BEC＝90°. 在△BDC和△CEB中，因为 所以△BDC≌△CEB(AAS)．所以BD＝CE. $ 第2章　特殊三角形 2.3　等腰三角形的性质定理 2 等腰三角形性质定理2 D 返回 1． 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论中不一定正确的是(　　) A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD 夯实基础巩固练 2 返回 B 2． 木工师傅将一把含45°角的直角三角板和一个重锤如图放置，就能检查横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是(　　) A．角平分线的性质定理 B．等腰三角形的三线合一 C．线段垂直平分线的性质定理 D．两直线垂直的性质 夯实基础巩固练 3 D 返回 3． [2025宁波期末]如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，中线AD与角平分线CE交于点F，则∠CFD的度数为(　　)  A．25° B．35° C．45° D．55° 夯实基础巩固练 4 4． 返回 9 [2025温州月考]如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE＝CD，连结DE，则BE的长为________． 夯实基础巩固练 5 5． 返回 【证明】连结AE. 因为EF是AB的垂直平分线， 所以AE＝BE. 因为BE＝AC，所以AE＝AC. 又因为D为线段CE的中点， 所以AD⊥CE，即AD⊥BC. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，连结AD，BE＝AC. 求证：AD⊥BC. 夯实基础巩固练 6 6． 返回 【解】如图所示，△ABC即为所求作的图形． 已知∠α和线段a(如图)，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使顶角∠BAC＝∠α，底边上的高线AM＝a. 夯实基础巩固练 7 7． 返回 D 整合方法提升练 8 8． 返回 1 如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点(D与B，C均不重合)，AD＝AE，∠DAE＝60°，连结CE.若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，CE的长为________． 整合方法提升练 9 9． 返回 50° 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，若点C与点O恰好重合，则∠OFA的度数为________． 整合方法提升练 10 10． 8 如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝10，△ABC的面积为40，则CM＋MN的最小值为________． 整合方法提升练 11 【点拨】 返回 整合方法提升练 11． 如图所示，在△ABC中，AB＝BC，点D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交AC于点F，连结BF. (1)若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数； 整合方法提升练 【解】因为∠AFD＝155°，所以∠DFC＝25°. 因为DF⊥BC，DE⊥AB，所以∠FDC＝∠FDB＝∠BED＝90°. 所以∠C＝90°－25°＝65°. 因为AB＝BC，所以∠C＝∠A＝65°. 所以∠ABC＝180°－2×65°＝50°. 因为∠ABC＋∠BDE＝∠EDF＋∠BDE＝90°， 所以∠EDF＝∠ABC＝50°. 整合方法提升练 (2)若F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由． 返回 整合方法提升练 12． 【解】△DAE≌△CFE. 理由：因为AD∥BC，所以∠ADE＝∠FCE. 因为E为CD的中点，所以DE＝CE. 又因为∠AED＝∠FEC，所以△DAE≌△CFE(ASA)． 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE，BE，延长AE交BC的延长线于点F. (1)△DAE和△CFE全等吗？请说明理由． 培优探究拓展练 (2)若AB＝BC＋AD，求证：BE⊥AF. 【证明】因为△DAE≌△CFE， 所以AD＝CF，AE＝EF.所以E为AF的中点， 即BE是△ABF中AF边上的中线． 因为AB＝BC＋AD，所以AB＝BC＋CF＝BF. 所以BE⊥AF. 培优探究拓展练 (3)在(2)的条件下，若CE＝5，∠D＝90°，你能否求出点E到AB的距离？如果能，请直接写出结果． 【解】能．点E到AB的距离等于5. 返回 培优探究拓展练 如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E.分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF并延长，交BC于点G.连结DG，EG.添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是(　　) A．AB＝AC B. AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D. AG＝AC 连结AM，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示． 因为BA＝BC，BD平分∠ABC，所以BD⊥AC且平分AC. 即BD是线段AC的垂直平分线．所以CM＝AM. 所以CM＋MN＝AM＋MN.根据垂线段最短得AM＋MN≥AH， 即当点M，N在线段AH上时，AM＋MN最小，最小值为线段AH的长．因为△ABC的面积为40，BC＝10， 所以S△ABC＝BC·AH＝40，解得AH＝8. 所以CM＋MN的最小值为8. 【解】∠CFD＝∠ABC.理由如下： 因为AB＝BC，F是AC的中点， 所以BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC. 所以∠CFD＋∠BFD＝90°. 因为∠FDB＝90°，所以∠CBF＋∠BFD＝90°， 所以∠CFD＝∠CBF.所以∠CFD＝∠ABC. $ 第2章　特殊三角形 2.6　直角三角形 2 直角三角形的判定 D 返回 1． 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，垂足为E，则图中直角三角形有(　　) A．2个 　　 B．3个 C．4个 　　 D．5个 夯实基础巩固练 2 返回 C 2． 如果三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，那么这个三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 夯实基础巩固练 3 C 返回 3． 在△ABC中，下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②AD是△ABC的中线，BC＝2AD；③三条高的交点在其中一个顶点上；④∠A＝2∠B＝3∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的是(　　) A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 夯实基础巩固练 4 4． 直角 (1)如图①，AB∥CD，EF分别交AB，CD于点E，F，∠AEF，∠EFC的平分线交于点P，则△PEF是________三角形． 夯实基础巩固练 5 返回 (2)如图②，在△ABF中，BF的垂直平分线分别交AF，BF于点C，E，若△ABC是等边三角形，则△ABF是________三角形． 直角 夯实基础巩固练 6 5． 返回 【证明】因为AD，BF 分别是△ABC的高线与角平分线， 所以∠ADB＝90°，∠ABF＝∠CBF. 所以∠CBF＋∠BED＝90°. 因为∠1＝∠2，∠1＝∠BED， 所以∠2＝∠BED，所以∠ABF＋∠2＝90°. 所以∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形． 如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1＝∠2.求证：△ABC是直角三角形． 夯实基础巩固练 7 6． [2025杭州月考]如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，E为AC上一点，AD，BE交于点F，DF＝DC.猜想BF与AC的关系，并说明理由． 夯实基础巩固练 8 返回 夯实基础巩固练 7． 返回 B 如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图③中，∠DFE的度数为(　　 ) A．25° B．30° C．37.5° 　 D．45° 整合方法提升练 10 8． 返回 5或20　 如图，AO＝10，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°. (1)当OP＝______时，△AOP为直角三角形； (2)设OP＝x，则当x满足______________时，△AOP为钝角三角形． 0＜x＜5或x＞20 整合方法提升练 11 9． 45° 如图，BD⊥AC，垂足为E，△ABE的中线EF的反向延长线交CD于点G，∠B＝∠C，若EG是△CDE的中线，则∠A＝________． 整合方法提升练 12 【点拨】 整合方法提升练 返回 整合方法提升练 10． 【证明】如图，作CD平分∠ACB交 AB于点D，过点D作DE⊥BC于点E. 因为CD平分∠ACB， 所以∠ACD＝∠BCD. 因为∠ACB＝2∠B，所以∠BCD＝∠B.所以DB＝DC. 又因为DE⊥BC，所以BC＝2CE. 如图，在△ABC中，BC＝2AC，∠C＝2∠B.求证：△ABC是直角三角形． 整合方法提升练 15 返回 整合方法提升练 11． [2025宁波镇海区期末]如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BD，点E在AD上，DE＝DC，连结BE，M，N分别是BE，AC的中点，连结MN，ND，MD. 求证：(1)BE＝AC； 整合方法提升练 整合方法提升练 (2)△MND是等腰直角三角形． 返回 整合方法提升练 12． 定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足α＋2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”． (1)如图①，在△ABC中，∠C＝80°，BD平分∠ABC.求证：△ABD为“奇妙三角形”； 培优探究拓展练 【证明】因为BD平分∠ABC，所以∠ABC＝2∠ABD. 因为∠C＝80°，所以∠A＋∠ABC＝100°. 所以∠A＋2∠ABD＝100°. 所以△ABD为“奇妙三角形”． 培优探究拓展练 (2)若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°.求证：△ABC是直角三角形； 【证明】因为∠C＝80°， 所以∠A＋∠B＝100°. 因为△ABC为“奇妙三角形”， 所以∠C＋2∠B＝100°或∠C＋2∠A＝100°. 所以∠B＝10°或∠A＝10°. 当∠B＝10°时，∠A＝90°； 当∠A＝10°时，∠B＝90°. 所以△ABC是直角三角形． 培优探究拓展练 (3)如图②，在△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数． 【解】∠C的度数为80°或100°. 返回 培优探究拓展练 【解】BF＝AC，BF⊥AC.理由如下：因为AD⊥BC， 所以∠BDF＝∠ADC＝90°.在△ADC和△BDF中， 因为所以△ADC≌△BDF(SAS)． 所以∠BFD＝∠C，BF＝AC.因为∠BDF＝90°， 所以∠CBE＋∠BFD＝∠CBE＋∠C＝90°. 所以∠BEC＝90°.所以BF⊥AC. 因为BD⊥AC，EF是△ABE的中线，所以EF＝AB＝AF＝BF.所以易知∠B＝∠FEB＝∠DEG. 由题知∠A＋∠B＝90°，∠C＋∠D＝90°，∠B＝∠C， 所以∠DEG＋∠D＝90°. 所以EG⊥CD，所以∠EGD＝∠EGC＝90°. 因为EG是△CDE的中线，所以DG＝CG. 在△DEG和△CEG中，因为 所以△DEG≌△CEG(SAS)，所以易知∠D＝∠C＝45°. 所以∠B＝45°.所以∠A＝45°. 因为BC＝2AC，所以CE＝CA. 在△CDE与△CDA中，因为 所以△CDE≌△CDA(SAS)，所以∠A＝∠CED＝90°. 所以△ABC是直角三角形． 【证明】因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°. 在△BED和△ACD中，因为 所以△BED≌△ACD(SAS)．所以BE＝AC. 【解】△BED≌△ACD，所以∠DBE＝∠DAC. 因为M，N分别是BE，AC的中点，∠ADB＝∠ADC＝90°， 所以DM＝BE＝ME，DN＝AC＝AN.所以∠MED＝∠MDE，∠ADN＝∠DAN.所以∠MDE＋∠ADN＝∠MED＋∠DAN＝ ∠MED＋∠DBE＝90°.所以∠MDN＝90°. 因为BE＝AC，所以DM＝DN， 所以△MND是等腰直角三角形． $ 第2章　特殊三角形 2.3　等腰三角形的性质定理 1 等腰三角形性质定理1及推论 C 返回 1． 若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是(　　) A．70° B．45° C．35° D．50° 夯实基础巩固练 2 返回 B 2． 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠A＝40°，则∠DBC的度数为(　　) A．30° B．35° C．40° D．45° 夯实基础巩固练 3 A 返回 3． 如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，连结BE，则下列结论一定正确的是(　　) A．∠EBC＝∠BAC B．∠EBC＝∠ABE C．BE＝EC D．BC＝CE 夯实基础巩固练 4 4． 返回 30° 如图，△ABC与△ADE的顶点A重合，点D，E分别在边BC，AC上，AB＝AC，AD＝DE，∠B＝∠ADE＝40°，则∠EDC的度数为________． 夯实基础巩固练 5 5． 返回 B 如图，已知直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是(　　) A．80° B．100° C．120° D．140° 夯实基础巩固练 6 6． 返回 70° [2025金华月考]如图，在四边形ABCD中，连结AC，BD，若△ABC是等边三角形，AB＝BD，∠ABD＝20°，则∠BDC的度数为________． 夯实基础巩固练 7 7． 返回 【证明】因为AB＝AC， 所以∠B＝∠C. 又因为BD＝CE， 所以△ABD≌△ACE(SAS)． 所以AD＝AE. [2025杭州月考]如图，已知：B，D，E，C在同一直线上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE. 夯实基础巩固练 8 8． 返回 C [2025金华月考]如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点(不与点B，C重合)，连结AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从C运动到B的过程中，△BED的周长的变化规律是(　　) A．先变大后变小 B．不变 C．先变小后变大 D．一直变小 整合方法提升练 9 9． 返回 2α　 整合方法提升练 10 10． 返回 80° “三等分角”被称为三个古希腊尺规作图三大难题之一．如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．这个三等分角仪(如图②)由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，且OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠ODE＝105°，则∠CDE的度数是________． 整合方法提升练 11 11． 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠CDA ＝90°，△PAD是等边三角形，求∠BPC的度数． 整合方法提升练 返回 整合方法提升练 12． 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，连结AE，∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC. (1)求证：AE＝AD； 整合方法提升练 整合方法提升练 (2)若∠ACB＝45°，求∠BDC的度数． 【解】因为∠ACB＝45°，AB＝AC， 所以∠ABC＝∠ACB＝45°. 所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB ＝180°－45°－45°＝90°. 因为∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD， 所以∠BDC＝∠BAC＝90°. 返回 整合方法提升练 13． 根据以下素材，探究完成任务． 三角形背景下角的关系探究 素 材 1 如图，已知在等腰三角形ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD. 素材 2 研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形．可能需要分类讨论. 培优探究拓展练 问题解决 任务 1 补全 图形 请根据素材1，把图形补全．你画的点D在点C的________侧. 任务 2 特例 猜想 有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°.请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，根据你在任务1中所画的图形，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系. 右 (答案不唯一) 培优探究拓展练 【解】任务1：补全图形如图①. 培优探究拓展练 问题解决 任务 3 一般 结论 请根据你在任务1中所画的图形，写出一般情况下∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由. 任务 4 拓展 延伸 除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系. 培优探究拓展练 【解】任务3：∠BAD＝2∠CAE. 理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y， 则∠CAE＝∠CAD＋∠DAE＝x＋y. 所以∠BAC＝∠ACB＝∠CAE＋∠E＝y＋2x. 所以∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝2x＋2y＝2(x＋y)． 所以∠BAD＝2∠CAE. 任务4：有，如图②. ∠BAD＝2∠CAE. 返回 培优探究拓展练 如图，已知AB∥CD，小妍同学进行以下尺规作图：①以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线AB于点E，连结CE；②以点E为圆心，小于线段CE的长为半径作弧，与射线CE交于点M，N；③分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，交于点F，直线EF交CD于点G.若∠CGE＝α，则∠A的度数 可以用α表示为________． 【解】因为△PAD是等边三角形，所以PA＝AD＝PD， ∠PAD＝∠PDA＝∠APD＝60°.因为∠BAD＝∠CDA＝90°， 所以∠PAB＝∠PDC＝90°＋60°＝150°. 因为AB＝AD＝DC，PA＝PD＝AD，所以PA＝AB，PD＝DC. 所以∠APB＝∠ABP，∠CPD＝∠DCP. 所以∠APB＝×(180°－150°)＝15°， ∠CPD＝×(180°－150°)＝15°. 所以∠BPC＝60°－15°－15°＝30°. 【证明】因为∠BAC＝∠EAD， 所以∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC， 即∠BAE＝∠CAD. 在△ABE和△ACD中，因为 所以△ABE≌△ACD(ASA)．所以AE＝AD. 任务2：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°. 因为BA＝BC，∠B＝40°，所以∠BAC＝∠BCA＝×(180°－40°)＝70°.因为点D在AE的垂直平分线上， 所以DA＝DE，所以∠DAE＝∠E＝20°. 因为∠ACB＝∠E＋∠CAE，所以∠CAE＝70°－20°＝50°. 所以∠CAD＝∠CAE－∠DAE＝30°.所以∠BAD＝∠BAC＋ ∠CAD＝100°. 猜测：∠BAD＝2∠CAE.(答案不唯一) $ 第2章　特殊三角形 2.1　图形的轴对称 A 返回 1． [2025杭州月考]以下甲骨文中，是轴对称图形的是(　　) 夯实基础巩固练 2 返回 B 2． 如图是由四个四条边都相等的四边形组成的商标图案，在图中用虚线画出的6条直线中，是这个图案的对称轴的是(　　) A．①②③④⑤⑥　 B．①④ C．①③⑤ D．②④⑥ 夯实基础巩固练 3 B 返回 3． [2025宁波月考]如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上，连结PA，PB.则下列结论不一定正确的是(　　) A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠ANM＝∠BNM D．∠MAP＝∠MBP 夯实基础巩固练 4 4． 返回 12 如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若AD＝8，BC＝6，则图中阴影部分的面积是________． 夯实基础巩固练 5 5． 返回 B 下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是(　　) 夯实基础巩固练 6 6． 返回 D [2025湖州月考]如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论中不一定正确的是(　　) A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′ 夯实基础巩固练 7 7． 返回 C 如图，在正方形网格中有两点E，F，在直线l上求一点P，使PE＋PF最短，则点P应选在(　　) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 夯实基础巩固练 8 8． 【解】如图，△A1B1C1即为所求． 如图，在正方形网格中，点A，B，C，M，N都在格点上． (1)作△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1； 夯实基础巩固练 9 (2)在直线MN上找一点P，使得△PAC的周长最小，在图中标出点P的位置； (3)求出△ABC的面积． 如图，点P即为所求． 返回 夯实基础巩固练 9． 返回 C 如图，在2×4 的网格图中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在该网格图中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 整合方法提升练 11 10． 返回 80° 如图，在锐角三角形ABC中，∠ACB＝50°，边AB上有一定点P，M和N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是________． 整合方法提升练 12 11． 返回 折纸是中国传统的民间艺术，已有近千年的历史，是国家级非物质文化遗产之一．如图，小明将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，ED′的延长线交BC于点G，若∠BGE＝α，则∠EFC′＝________．(用含α的代数式表示) 整合方法提升练 12． 120° 如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是点D，连结CD交OA于M，交OB于N，连结OC，OD，OP，PM，PN. (1)①若∠AOB＝60°， 则∠COD＝________； 整合方法提升练 【点拨】 因为点C和点P关于OA对称，所以∠AOC＝∠AOP. 因为点P关于OB的对称点是点D， 所以∠BOD＝∠BOP. 所以∠COD＝∠AOC＋∠AOP＋∠BOP＋∠BOD＝2(∠AOP＋∠BOP)＝2∠AOB＝2×60°＝120°. 整合方法提升练 ②若∠AOB＝α，求∠COD的度数． 【解】因为点C和点P关于OA对称， 所以∠AOC＝∠AOP. 因为点P关于OB的对称点是点D， 所以∠BOD＝∠BOP. 所以∠COD＝∠AOC＋∠AOP＋∠BOP＋∠BOD ＝2(∠AOP＋∠BOP)＝2∠AOB＝2α. 整合方法提升练 (2)若CD＝4，求△PMN的周长． 【解】根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN， 所以△PMN的周长为 PM＋PN＋MN＝CM＋DN＋MN＝CD＝4. 返回 整合方法提升练 13． 一种球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，从而击中目标球． (1)如图①，在一张简易球桌ABCD上(仅A，B，C，D四个角处有球袋和孔)，目标球F、母球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打母球E先撞球桌的CD边，经过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到CD边上的哪一点？请用尺规作图在图① 中作出这一点，并画出球E的运动路径； 培优探究拓展练 【解】如图①，作点E关于CD的对称点E1，连结E1F交CD于点H，连结EH，因此他应将E球打到CD边上的H点，球E的运动路径是EH－HF. 培优探究拓展练 (2)如图②，在简易球桌ABCD上(仅A，B，C，D四个角处有球袋和孔)，已知AB＝4，BC＝3.母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入______(填A，B，C，D)角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了______次；若AB＝100，BC＝99，母球P终将会落入某个角落的球袋，则它在落入球袋之前，在桌子边缘总共回弹了______次． B 5 197 培优探究拓展练 【点拨】 如图②.母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入B角落的球袋，在它落入球袋之前，在桌子边缘共回弹了5次． 设由DC边反弹，母球撞击BC边的 位置距离C点为k格，从BC边反弹后， 母球撞击AB边的位置距离B点为(99－k)格，距离A点为(k＋1)格，经过AB边反弹后，母球撞击AD边的位置距离A点 培优探究拓展练 为(k＋1)格，距离D点为[99－(k＋1)]格，经过AD边反弹，母球撞击DC边的位置距离D点为[99－(k＋1)]格，距离C点为100－[99－(k＋1)]＝k＋2格，再撞击BC边的位置距离C点为(k＋2)格，即比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100＋99－2＝197(次)． 返回 培优探究拓展练 △ABC的面积为2×4－×1×2 －×1×3－×1×4＝8－1－1.5－2＝3.5. 180°－α $ 第2章　特殊三角形 2.4　等腰三角形的判定定理 B 返回 1． 下列条件中能判定△ABC是等腰三角形的是(　　) A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝80° C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝3，BC＝7，△ABC的周长为16 夯实基础巩固练 2 返回 B 2． 如图是一个平板支架及其侧面示意图，若∠ACB＝∠ABC，AB＝12 cm，则AC的长为(　　) A．11 cm B．12 cm C．13 cm D．14 cm 夯实基础巩固练 3 9 返回 3． [2025绍兴月考]如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为________． 夯实基础巩固练 4 4． 返回 2 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝10，BC＝6，则BD的长为________． 夯实基础巩固练 5 5． 返回 【证明】因为AD∥BC， 所以∠GFE＝∠FEC. 由折叠的性质可得∠FEG＝∠FEC，所以∠FEG＝∠GFE. 所以GF＝GE.所以△EFG是等腰三角形． 一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，求证：△EFG是等腰三角形． 夯实基础巩固练 6 6． 返回 2 将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为________ cm. 夯实基础巩固练 7 7． 返回 【证明】因为AB＝CA，∠BAE＝∠ACD， AE＝CD，所以△BAE≌△ACD(SAS)． 所以∠ABE＝∠CAD.所以∠ABC＝∠BAC. 所以AC＝BC，又因为AB＝AC，所以AB＝AC＝BC. 所以△ABC为等边三角形． 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在BA，CB的延长线上，连结AE，CD，且AE＝CD，∠BAE＝∠ACD.求证：△ABC是等边三角形． 夯实基础巩固练 8 8． 返回 30°或75°或120° 在△ABC中，∠A＝30°，当∠B＝__________________时，△ABC是等腰三角形． 夯实基础巩固练 9 9． 返回 C 如图，上午8时，渔船从A处出发，以20海里/时的速度向正西方向航行，9时30分到达B处．从A处测得灯塔C在南偏西30°方向，距A处30海里处，则B处到灯塔C的距离是(　　) A．20海里 B．25海里 C．30海里 D．35海里 整合方法提升练 10 10． 返回 A 整合方法提升练 11 11． 返回 C 如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠BAC＝40°.P为直线CB上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构成等腰三角形，则满足条件的点P有(　　) A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 整合方法提升练 12． 4 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB＝8，则DE＝________． 整合方法提升练 【点拨】 返回 夯实基础巩固练 13． [2025杭州月考]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，延长ED，交CA的延长线于点F. (1)试判断△ADF的形状，并说明理由； 整合方法提升练 【解】△ADF是等腰三角形．理由如下： 因为AB＝AC，所以∠B＝∠C. 因为FE⊥BC， 所以∠F＋∠C＝90°，∠BDE＋∠B＝90°. 所以∠F＝∠BDE. 又因为∠BDE＝∠FDA，所以∠F＝∠FDA.所以AF＝AD. 所以△ADF是等腰三角形． 整合方法提升练 (2)若AF＝BE＝4，∠F＝30°，则△ABC的周长为________． 36 整合方法提升练 【点拨】 因为DE⊥BC，所以∠C＝90°－∠F＝60°. 又因为AB＝AC，所以△ABC是等边三角形． 因为AD＝AF，AF＝4，所以AD＝4. 过点E作EM∥AC交BD于点M，则∠MEB＝∠C＝60°. 所以易得△BME是等边三角形，∠MED＝30°. 所以BM＝BE＝ME＝4. 因为∠MDE＝∠F＝30°，所以∠MDE＝∠MED. 所以MD＝ME＝4.所以BD＝8. 所以AB＝BD＋AD＝8＋4＝12. 所以△ABC的周长为3AB＝36. 返回 整合方法提升练 14． 90°　 如图，O为等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.以OC为一边在OC上方作等边三角形OCD，连结AD. (1)当α＝150°时，∠ADO的度数为________． 整合方法提升练 【点拨】 夯实基础巩固练 (2)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 【解】易得△BOC≌△ADC，所以∠CBO＝∠CAD. 因为△ABC，△OCD为等边三角形， 所以∠ABC＝∠BAC＝∠COD＝60°. 设∠CBO＝∠CAD＝θ，∠ABO＝β，∠BAO＝γ， ∠CAO＝δ，则θ＋β＝60°，β＋γ＝180°－110°＝70°， γ＋δ＝60°，所以θ＋δ＝50°.所以∠DAO＝50°. 整合方法提升练 ①若AO＝AD，则∠AOD＝∠ADO， 所以360°－110°－α－60°＝α－60°， 解得α＝125°； ②若OA＝OD，则∠OAD＝∠ADO， 所以α－60°＝50°，解得α＝110°； ③若OD＝AD，则∠OAD＝∠AOD， 所以360°－110°－α－60°＝50°，解得α＝140°. 综上，当α为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 返回 整合方法提升练 15． 课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法． 我们有很多种剪法，图①是其中的一种方法： 培优探究拓展练 (1)请你在图②中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种) 【解】如图①②所示． 培优探究拓展练 (2)△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值． 【解】如图③④. ①当AD＝AE时， 2x＋x＝30＋30，解得x＝20； ②当AD＝DE时，30＋30＋2x＋x＝180，解得x＝40. 综上，x的值为20或40. 返回 培优探究拓展练 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G.下列结论：①∠A＝67.5°；②AE＝BF；③△DGF是等腰三角形；④S四边形ADGE＝S四边形GHCE.其中正确的是(　　) A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 因为AD是∠BAC的平分线，所以∠CAD＝∠BAD. 因为DE∥AC，所以∠CAD＝∠ADE.所以∠ADE＝∠BAD. 所以AE＝DE.因为BD⊥AD， 所以∠ADE＋∠BDE＝∠BAD＋∠ABD＝90°. 所以∠ABD＝∠BDE.所以DE＝BE. 所以DE＝BE＝AE.所以DE＝AB. 因为AB＝8，所以DE＝×8＝4. 因为△ABC是等边三角形，所以BC＝AC，∠BCA＝60°. 因为△OCD是等边三角形，所以OC＝DC，∠ODC＝∠OCD＝60°. 所以∠BCO＋∠OCA＝∠ACD＋∠OCA，即∠BCO＝∠ACD. 在△BOC和△ADC中，因为 所以△BOC≌△ADC(SAS)．所以∠ADC＝∠BOC＝150°. 所以∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°. $ 第2章　特殊三角形 2.7　探索勾股定理 1 勾股定理 A 返回 1． 在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，则AC的长为(　　) 夯实基础巩固练 2 返回 C 2． 运用图形验证著名的勾股定理的方法，体现了数形结合的思想．下列图形中，能证明勾股定理的图形有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 夯实基础巩固练 3 16 返回 3． [2025宁波期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，若AB＝5，AD＝4，则△ABC的周长为________． 夯实基础巩固练 4 4． 返回 如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为________． 夯实基础巩固练 5 5． 返回 C 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 夯实基础巩固练 6 6． 返回 如图，数轴上方是边长为1个单位长度的正方形网格，△AOB的顶点均在格点上，以点B为圆心，AB长为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的数为________． 夯实基础巩固练 7 7． 某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 若超速，则每小时超速了多少千米？ 夯实基础巩固练 8 返回 【解】这辆小汽车超速了．理由如下： 根据题意，得AC＝30米，AB＝50米，∠C＝90°， 在Rt△ACB中，根据勾股定理，得BC2＝AB2－AC2， 则502－302＝402，所以BC＝40米， 所以这辆小汽车行驶速度为40÷2＝20(米/秒)＝72(千米/时)． 因为72＞60，所以这辆小汽车超速了， 每小时超速了72－60＝12(千米)． 夯实基础巩固练 8． 返回 已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是________． 夯实基础巩固练 10 9． 返回 36或84 在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为________． 夯实基础巩固练 11 10． 返回 B 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3.将△ABC折叠，使点C与边AB的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长为(　　) 整合方法提升练 12 11． 返回 [2025宁波期中]如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，D，E分别为AB，AC上的动点，若BC＝1，则CD＋DE的最小值是__________． 整合方法提升练 12． 【解】如图①，Rt△ABC即为所求．(画图不唯一) 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： (1)在图①中画一个直角三角形， 使它的三边长都是有理数； 整合方法提升练 (2)在图②中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． 如图②，Rt△DEF即为所求．(画法不唯一) 返回 整合方法提升练 13． 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB＝1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝ 1尺．将芦苇向水池岸边牵引，尖端达到 岸边时恰好与水面平齐，即OC＝OE， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． 整合方法提升练 (1)求水池的深度OD； 整合方法提升练 整合方法提升练 返回 整合方法提升练 14． [2025嘉兴期末]如图，已知在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠CAD＝90°，AC＝AD，AB>BC，点C关于直线AB的对称点为C′，线段C′D交边AB于点E，交∠CAD的平分线于点F，连结CF. (1)求证：CF＝DF； 培优探究拓展练 【证明】因为AF平分∠CAD，∠CAD＝90°， 所以∠CAF＝∠DAF＝45°. 又因为AC＝AD，AF＝AF， 所以△ACF≌△ADF.所以CF＝DF. 培优探究拓展练 (2)求∠AEF的度数； 【解】如图，连结AC′. 因为点C′与点C关于直线AB对称， 所以易知AC′＝AC，∠1＝∠2.因为AC＝AD， 所以AC′＝AD.所以∠3＝∠4. 易知∠AEF＋∠2＋∠4＝90°， ∠2＋∠4＝∠1＋∠3＝∠AEF，所以易得∠AEF＝45°. 培优探究拓展练 (3)探究DE与AB的数量关系，并说明理由． 返回 培优探究拓展练 A．5 B. C．3 D. －1 4或 A.　　B.　　C．2　　D. 【解】设水池的深度OD为x尺，则芦苇的高度OC＝OD＋CD＝(x＋1)尺，由题知OE＝OC＝(x＋1)尺． 因为O为AB的中点，且AB＝1丈＝10尺， 所以DE＝OA＝AB＝×10＝5(尺)． 在Rt△EDO中，由勾股定理，得OD2＋ED2＝OE2， 即x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12. 答：水池的深度OD为12尺． (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n(n<a)，则水池的深度OD(OD＝b)可以通过公式b＝计算得到．请说明刘徽解法的正确性． 【解】由题知芦苇的高度OC＝OD＋CD＝b＋n，OE＝OC， 所以OE＝b＋n.因为O为AB的中点，且AB＝2a， 所以DE＝OA＝AB＝a. 在Rt△EDO中，由勾股定理，得OD2＋ED2＝OE2， 即b2＋a2＝(b＋n)2，整理，得b＝. 所以刘徽的解法是正确的． 【解】DE＝AB.理由如下： 如图，过点D作DG⊥BA，交BA的延长线于点G. 因为∠ABC＝∠CAD＝90°，所以易得∠DAG＝∠ACB. 又因为∠G＝∠ABC＝90°，AD＝AC，所以△DGA≌△ABC. 所以DG＝AB.因为∠G＝90°，∠AEF＝45°， 所以∠GDE＝∠GED＝45°.所以GE＝GD. 所以DE2＝GE2＋DG2＝2DG2＝2AB2.所以DE＝AB. $ 第2章　特殊三角形 2.8　直角三角形全等的判定 A 返回 1． 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则判定Rt△ABD≌Rt△CDB的依据是(　　) A．HL　 B．ASA C．SAS D．SSS 夯实基础巩固练 2 返回 B 2． [2025金华期末]如图，AB⊥CD，垂足为O.添加下列一组条件后，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD的是(　　) A．AC＝BD，OA＝OB　　 B．OA＝OD，∠A＝∠B C．AC＝BD，OC＝OD D．AC＝BD，AC∥BD 夯实基础巩固练 3 3 cm 返回 3． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，交AC于点E，连结BE.BC＝BD.若AC＝3 cm ，则AE＋DE＝________. 夯实基础巩固练 4 4． 如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝∠2. 夯实基础巩固练 5 返回 夯实基础巩固练 5． 返回 A 已知△ABC，两个完全一样的三角尺如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定在(　　) A．∠A的平分线上 　 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 　 D．AB边的中线上 夯实基础巩固练 7 6． 返回 22.5° 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为BC 上一点，DE⊥AB于点E，CD＝BE，则∠BAD等于________． 夯实基础巩固练 8 7． 返回 如图，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°.求证：OP平分∠AOB. 夯实基础巩固练 9 8． 返回 D [2025杭州月考]如图，∠EBF，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M，N，连结CP，则下列结论中正确的是(　　) ①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°； ③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP. A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 整合方法提升练 10 9． 返回 2或6或8 如图，CA⊥AB于点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从点A出发以2个单位/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点始终保持ED＝CB，当点E离开点A后，运动________秒时， △DEB与△BCA全等． 整合方法提升练 11 10． 返回 115° 如图，作△ABC的两内角平分线与两外角平分线，其交点分别为点O与点D，连结OA，已知∠D＝65°，则∠BOC＝________，∠BAO＝________． 25° 整合方法提升练 12 11． 在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，F在边AC上，BD＝DF. (1)如图①，若∠C＝90°，求证：△DCF≌△DEB； 整合方法提升练 (2)如图②，求证：AB－AF＝2EB； 整合方法提升练 所以△DAF≌△DAG(SAS)．所以DF＝DG. 因为BD＝DF，所以BD＝DG. 又因为DE⊥BG，所以BE＝GE. 所以AB－AG＝BG＝2EB，所以AB－AF＝2EB. 整合方法提升练 (3)若AC＝8，AB＝10，BC＝6，直接写出DF的长． 返回 整合方法提升练 12． BM＋NC＝MN 在等边三角形ABC的两边AB，AC所在直线上分别有M，N两点，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC.探究当点M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系． (1)如图①，当点M，N在边AB，AC上， 且DM＝DN时，BM，NC，MN之间 的数量关系是______________． 培优探究拓展练 (2)如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DM≠DN时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 培优探究拓展练 【解】(1)中的结论仍然成立． 证明：如图①，在NC的延长线上截取CM1＝BM， 连结DM1，易知∠MBD＝∠M1CD＝90°. 又因为BD＝CD，BM＝CM1， 所以△DBM≌△DCM1(SAS)． 所以DM＝DM1，∠MDB＝∠M1DC. 因为∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， 培优探究拓展练 所以∠M1DN＝∠NDC＋∠CDM1＝ ∠NDC＋∠BDM＝∠BDC－∠MDN＝120°－60°＝60°. 所以∠MDN＝∠M1DN＝60°. 又因为DM＝DM1，DN＝DN， 所以△MDN≌△M1DN(SAS)． 所以MN＝M1N＝M1C＋NC＝BM＋NC. 培优探究拓展练 (3)如图③，当M，N分别在边AB，CA的延长线上时，探索BM，NC，MN之间的数量关系，并给出证明． 培优探究拓展练 【解】NC－BM＝MN. 证明：如图②，在边AC上截取CM2＝BM， 连结DM2.易得△DBM≌△DCM2， 所以DM＝DM2，∠MDB＝∠M2DC. 因为∠MDN＝60°， 所以∠MDB＋∠BDN＝∠M2DC＋∠BDN＝60°. 又因为∠BDC＝120°，所以∠M2DN＝60°＝∠MDN. 培优探究拓展练 又因为DN＝DN，DM＝DM2， 所以△MDN≌△M2DN(SAS)． 所以MN＝M2N.所以NC＝CM2＋M2N＝BM＋MN. 所以NC－BM＝MN. 返回 培优探究拓展练 【证明】因为∠ADC＝∠AEB＝90°，所以∠BDC＝∠CEB＝90°. 在△DOB和△EOC中，因为 所以△DOB≌△EOC(AAS)．所以OD＝OE. 在Rt△ADO和Rt△AEO中，因为 所以Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)．所以∠1＝∠2. 【证明】过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F. 因为∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠PBF＝180°，所以∠1＝∠PBF. 在△PAE和△PBF中，因为 所以△PAE≌△PBF(AAS)．所以PE＝PF. 所以OP为∠AOB的平分线，即OP平分∠AOB. 【证明】因为AD平分∠BAC， DE⊥AB，∠C＝90°，所以CD＝DE. 在Rt△DCF和Rt△DEB中，因为 所以Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)． 【证明】如图，在AB上截取AG＝AF，连结DG. 因为AD平分∠BAC，所以∠DAF＝∠DAG. 在△DAF和△DAG中， 因为 【解】DF＝. $ 第2章　特殊三角形 2.5　逆命题和逆定理 C 返回 1． “等腰三角形两底角相等”的逆命题是(　　) A．在同一个三角形中，等边对等角 B．有两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有三个角相等，那么这个三角形是等边三角形 夯实基础巩固练 2 返回 D 2． [2025杭州月考]下列命题的逆命题是真命题的是(　　) A．钝角三角形中有两个锐角 B．如果a>b>0，那么|a|>|b| C．若△ABC≌△DEF，则AB＝DE，BC＝EF，∠ACB＝∠DFE D．若a＝2，则a3＝8 夯实基础巩固练 3 B 返回 3． 命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题，下面可以取反例说明的是(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝2 夯实基础巩固练 4 4． 返回 D 下列命题中，原命题和逆命题都是真命题的是(　　) A．若a＝b，则a2＝b2 B. 若a>b，则a2>b2 C．若a<b，则a2<b2 D. 若a＝±b，则a2＝b2 夯实基础巩固练 5 5． 返回 同旁内角互补，两直线平行 真命题 写出下列命题的逆命题，并判断其真假． (1)两直线平行，同旁内角互补． 逆命题：________________________.(　 　) (2)如果a＝0，b＝0，那么ab＝0. 逆命题：_________________________.(　 　) 如果ab＝0，那么a＝0，b＝0 假命题 夯实基础巩固练 6 6． 按下列要求写出一个符合条件的原命题． (1)原命题和逆命题都是真命题； (2)原命题是假命题，但逆命题是真命题； (3)原命题是真命题，但逆命题是假命题； (4)原命题和逆命题都是假命题． 夯实基础巩固练 7 返回 【解】(答案不唯一) (1)两直线平行，同位角相等． (2)三角形中如果有两个角为锐角，那么第三个角为钝角． (3)若一个数是负数，则它的平方是正数． (4)若a＞b，则a2＞b2. 夯实基础巩固练 7． 返回 C 下列定理中，没有逆定理的是(　　) A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 夯实基础巩固练 9 8． 返回 B 下列说法错误的是(　　) A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 夯实基础巩固练 10 9． 返回 B 如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段(　　) A．AB的垂直平分线上 B．AC的垂直平分线上 C．BC的垂直平分线上 D．不能确定 整合方法提升练 11 10． 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，连结OB，OC. (1)求证：点O在AB的垂直平分线上； 整合方法提升练 12 【证明】因为AB＝AC，AD是BC边上的中线， 所以AD⊥BC，BD＝CD. 所以AD是BC的垂直平分线．所以BO＝CO. 因为OE是AC的垂直平分线，所以AO＝CO. 所以BO＝AO，所以点O在AB的垂直平分线上． 整合方法提升练 (2)若∠CAD＝24°，求∠BOF的度数． 【解】因为AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∠CAD＝24°，所以∠BAD＝∠CAD＝24°. 所以∠BAC＝48°. 因为OE⊥AC，所以∠EFA＝90°－48°＝42°. 因为AO＝OB，所以∠OBA＝∠BAO＝24°. 所以∠BOF＝∠EFA－∠OBA＝42°－24°＝18°. 返回 整合方法提升练 11． 返回 C 如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，BE与CD相交于点O，现有四个条件： ①AB＝AC；②OB＝OC； ③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD， 选择其中2个条件作为题设，余下2个条件作为结论，所有命题中，真命题的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 整合方法提升练 12． 【证明】因为OC平分∠AOB， CD⊥OA，CE⊥OB， 所以∠COE＝∠COD，∠CEO＝∠D＝90°. 又因为CO＝CO， 所以△COE≌△COD(AAS)，所以OD＝OE. 如图，在△AOB中，OC平分∠AOB，CD⊥OA交OA的延长线于点D，CE⊥OB于点E，OB－OA＝2BE. (1)求证：OD＝OE； 整合方法提升练 (2)求证：点C在AB的垂直平分线上． 证明：如图，在BO上取点F，使OF＝OA，连结CA，CF，CB. 因为OA＝OF，∠COD＝∠COE，CO＝CO， 所以△ACO≌△FCO(SAS)．所以AC＝FC. 因为OB－OA＝2BE，所以OB－OF＝BF＝2BE. 所以BE＝FE. 又因为CE⊥OB，所以CB＝CF. 所以AC＝CB.所以点C在AB的垂直平分线上． 返回 整合方法提升练 13． (1)如图，在四边形ABCD中，△ABC与△ADC的面积相等，求证：直线AC必平分BD. 整合方法提升练 整合方法提升练 (2)写出(1)的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么？ 【解】根据题意，其逆命题为：若四边形ABCD的对角线AC平分对角线BD，则AC必将四边形分成面积相等的两个三角形．这个命题正确．理由： 过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，设AC与BD的交点为点G. 整合方法提升练 返回 整合方法提升练 14． 命题：如图，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点．若AD＝BE＝CF，则△DEF是等边三角形． (1)请证明上面的结论； 培优探究拓展练 培优探究拓展练 (2)请写出它的逆命题，并判断其是真命题还是假命题，请说明理由． 【解】逆命题：已知△ABC为等边三角形，D，E，F 分别是AB，BC，AC上的点．若△DEF是等边三角形， 则AD＝BE＝CF. 逆命题是真命题． 理由如下：因为△DEF是等边三角形， 所以∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝EF＝DE. 所以∠ADF＋∠BDE＝120°. 培优探究拓展练 返回 培优探究拓展练 【证明】如图，过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，设AC与BD的交点为点G. 因为△ABC与△ADC的面积相等，所以AC·BE＝AC·DF. 所以BE＝DF. 在△EGB和△FGD中，因为 所以△EGB≌△FGD(AAS)．所以GB＝GD.所以直线AC平分BD. 因为直线AC平分BD，所以GB＝GD， 在△EGB和△FGD中，因为 所以△EGB≌△FGD(AAS)．所以BE＝DF. 所以AC·BE＝AC·DF. 所以△ABC与△ADC的面积相等． 【证明】因为 △ABC是等边三角形，所以 ∠A＝∠B＝∠C＝60°，AC＝AB＝BC.因为AD＝BE＝CF, 所以 BD＝CE＝AF. 在△ADF和△BED中，因为 所以△ADF≌△BED(SAS)．所以DF＝DE. 同理可得△BED≌△CFE(SAS)．所以DE＝EF. 所以DF＝DE＝EF.所以△DEF是等边三角形． 因为△ABC是等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°. 所以∠ADF＋∠AFD＝120°.所以∠AFD＝∠BDE. 在△ADF和△BED中，因为 所以△ADF≌△BED.所以AD＝BE. 同理可得BE＝CF，所以AD＝BE＝CF. $ 第2章　特殊三角形 2.7　探索勾股定理 2 勾股定理的逆定理 C 返回 1． [2025宁波期中]]下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(　　) 夯实基础巩固练 2 返回 B 2． [2025杭州模拟]如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若小方格的边长均为1，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 夯实基础巩固练 3 B 返回 3． 如图，已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧，再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC，BC，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 夯实基础巩固练 4 4． 返回 4 已知在△ABC中，AB＝k，AC＝k＋1，BC＝3，当k＝________时，∠B＝90°. 夯实基础巩固练 5 5． [2025湖州月考]如图，△ABC内部有一点D，且∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12，AD＝4，CD＝3.试判断△ABC的形状． 夯实基础巩固练 6 返回 【解】在△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3， 所以根据勾股定理，得AC2＝AD2＋CD2＝42＋32＝25， 所以AC2＋BC2＝25＋122＝169.又因为AB2＝132＝169， 所以AC2＋BC2＝AB2. 所以△ABC是直角三角形． 夯实基础巩固练 6． 返回 7.5平方千米 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载着这样一道题：问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？这道题的大意是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的1里＝0.5千米，则该沙田的面积为____________． 夯实基础巩固练 8 7． 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300 km和400 km，且AB＝500 km，以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域．海港C会受台风影响吗？请说明理由． 夯实基础巩固练 9 返回 夯实基础巩固练 8． 返回 D 整合方法提升练 11 9． 返回 C [2025温州期末]如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，BC＝10，CD＝8，则∠ADC的度数为(　　) A．110° B．120° C．150° D．160° 整合方法提升练 12 10． 返回 B 在△ABC中，已知AC∶BC∶AB＝5∶12∶13，AD是△ABC的角平分线．若△ABC的面积为S，则△ACD的面积为(　　) 整合方法提升练 13 11． 返回 m 整合方法提升练 12． 2025年是“全运年”，第十五届全运会于[2025年11月9日～21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点A到点D有两条路线， 分别是A→B→D和A→C→D. 已知AB＝160 m，AC＝200 m， 点C在点B的正东方向120 m处， 点D在点C的正北方向50 m处． 整合方法提升练 (1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由； 【解】AB⊥BC.理由如下： 由题意可知AB＝160 m，AC＝200 m， 点C在点B的正东方向120 m处，即BC＝120 m. 因为AB2＋BC2＝1602＋1202＝2002＝AC2， 所以△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°. 所以AB⊥BC. 整合方法提升练 (2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 返回 整合方法提升练 13． 定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三部分，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． (1)已知点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三部分，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． 培优探究拓展练 【解】点M，N是线段AB的勾股分割点． 理由：因为AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6， 2.52＋62＝42.25＝6.52， 所以AM2＋BN2＝MN2. 所以以AM，MN，BN为边的三角形是直角三角形． 所以点M，N是线段AB的勾股分割点． 培优探究拓展练 (2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝30，AM＝5，求BN的长． 【解】设BN＝x，则MN＝30－AM－BN＝25－x. ①当MN是最长边时，由题意，得AM2＋BN2＝MN2， 即52＋x2＝(25－x)2，解得x＝12； ②当BN是最长边时，由题意，得AM2＋MN2＝BN2， 即52＋(25－x)2＝x2，解得x＝13. 综上，BN的长为12或13. 返回 培优探究拓展练 A．a＝，b＝5，c＝8　　 B．a＝32，b＝42，c＝52 C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝9，b＝17，c＝20 【解】海港C会受台风影响．理由： 过点C作CD⊥AB于点D. 因为AC＝300 km，BC＝400 km，AB＝500 km， 所以易知AC2＋BC2＝AB2.所以△ABC为直角三角形． 所以AC·BC＝AB·CD，即×300×400＝×500CD， 所以CD＝240 km.因为以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域，240 km＜250 km，所以海港C会受台风影响． △ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＋|c－|＝0，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 A.S　　B.S　　C.S　　D.S 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2－，c＝m2＋，m是大于1的奇数，则b＝________(用含m的式子表示)． 【解】由题意可知BC⊥CD，CD＝50 m， 所以在Rt△BCD中，BD＝＝＝130(m)．所以AB＋BD＝160＋130＝290(m)． 因为AC＋CD＝200＋50＝250(m)， 且290＞250，所以AB＋BD＞AC＋CD. 所以小亮跑的路线更短． $ 第2章　特殊三角形 2.6　直角三角形 1 直角三角形的性质 ∠DCB和∠A 返回 1． 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中与∠B互余的角是____________，与∠B相等的角是________． ∠ACD 夯实基础巩固练 2 返回 30° 2． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝2∠B，则∠B＝________． 夯实基础巩固练 3 B 返回 3． 一把直尺和一把含30°角的直角三角尺按如图所示摆放，已知∠1＝25°，则∠2＝(　　) A．40° B．35° C．30° D．25° 夯实基础巩固练 4 4． 返回 C 如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD＝(　　) A．35° B．45° C．55° D．65° 夯实基础巩固练 5 5． 返回 B 一技术人员用刻度尺测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1，7，则CD＝(　　) A．3.5 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm 夯实基础巩固练 6 6． 返回 D [2025宁波期中]如图，一根长5米的梯子AB斜靠在与地面OC垂直的墙上，P为AB的中点，连结OP.当梯子的一端A沿墙面AO向下移动，另一端B沿OC向右移动时，OP的长(　　) A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 夯实基础巩固练 7 7． 返回 C 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，将△BCD沿CD所在直线折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则∠A＝(　　) A．60° B．45° C．30° D．25° 夯实基础巩固练 8 8． 返回 14 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为________． 夯实基础巩固练 9 9． 返回 12 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是3 cm，4 cm，则它的面积是________cm2. 整合方法提升练 10 10． 返回 如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证：MN⊥BD. 夯实基础巩固练 11 11． 返回 C 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为(　　) A．155° B．125° C．115° D．65° 整合方法提升练 12． 返回 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，连结AC，BD，M是AC的中点，连结BM，DM.若AC＝10，则△BMD的面积为________． 整合方法提升练 13． [2025杭州西湖区月考]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠C＝3∠BAD. (1)求∠C的度数； 整合方法提升练 【解】因为AB＝AC，所以∠B＝∠C. 因为AD⊥BC，所以∠BAC＝2∠BAD. 设∠BAD＝α，则∠C＝∠B＝3∠BAD＝3α， ∠BAC＝2∠BAD＝2α， 所以3α＋3α＋2α＝180°，解得α＝22.5°. 所以∠C＝67.5°. 整合方法提升练 (2)EF垂直平分线段AB，分别交AB，AC于点E，F，连结DF，求证：DF＝DC. 返回 整合方法提升练 14． 已知在△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点，连结MN，DM，ME. (1)如图①，当∠A为锐角时，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明； 培优探究拓展练 培优探究拓展练 所以∠BMD＝180°－2∠MBD，∠CME＝180°－2∠MCE. 所以∠BMD＋∠CME＝(180°－2∠MBD)＋(180°－2∠MCE) ＝360°－2(∠ABC＋∠ACB)＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A. 所以∠DME＝180°－(∠BMD＋∠CME)＝180°－2∠A. 培优探究拓展练 (2)如图②，当∠BAC为钝角时，(1)中的结论是否成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 培优探究拓展练 【解】结论不成立．理由如下： 同(1)可知DM＝ME＝BM＝MC. 因为N为ED的中点，所以易知MN⊥DE. 易知∠BME＝2∠ACB，∠CMD＝2∠ABC， 所以∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2(∠ACB＋∠ABC)＝2(180°－∠BAC)＝360°－2∠BAC. 所以∠DME＝180°－(∠BME＋∠CMD)＝180°－(360°－2∠BAC)＝2∠BAC－180°. 故当∠A为钝角时，(1)中的结论不成立． 返回 培优探究拓展练 【证明】连结BM，DM. 因为∠ABC＝∠ADC＝90°， M是AC的中点， 所以BM＝AC＝DM. 又因为点N是BD的中点，所以MN⊥BD. 【证明】连结BF.因为EF垂直平分线段AB，所以AF＝BF. 所以∠ABF＝∠BAF.由(1)知∠BAC＝2∠BAD＝45°， 所以∠ABF＝45°.所以∠AFB＝90°.所以∠BFC＝90°. 因为AB＝AC，AD⊥BC，所以D为线段BC的中点． 所以DF＝BC＝DC. 【解】∠DME＝180°－2∠A. 证明：因为CD，BE分别是AB，AC边上的高，所以△BCD，△BCE是直角三角形．又因为M是BC的中点， 所以BM＝CM＝DM＝BC＝ME. 所以∠MBD＝∠MDB，∠MCE＝∠MEC. $