专题10三角形的中位线和梯形易错必刷题型专项训练 2025-2026学年苏科版八年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦八下几何高频考点，以10类必考题型为载体，系统梳理中位线与梯形的易错点，提炼可迁移的解题模型，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形中位线|1-3（12题）|双中点构造中位线，倍分关系转化|从定义（平行且半长）到性质应用（计算、证明、实际测距）| |中点四边形|4（4题）|对角线性质决定形状（相等→菱形等）|基于中位线定理推导原四边形与中点四边形关系| |梯形基础|5-8（16题）|定义核心“只有一组对边平行”，性质与判定互推|从梯形定义到等腰/直角梯形的性质（对角线等、底角等）与判定| |综合压轴|9-10（12题）|辅助线转化（作高/平移腰），分类讨论动点问题|中位线与梯形知识融合，提升复杂图形推理与应用意识|

专题10 三角形的中位线和梯形易错必刷题型专项训练 【温馨提示】本专题包含10类必考题型，作为八下几何高频考点，学生常出现中位线性质误用、中点四边形规律混淆、梯形判定条件遗漏等问题。本专题系统梳理各题型易错点，总结通用解题模型，夯实几何基础，突破期末压轴难点。 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 【题型6 直角梯形的定义】 【题型2 与三角形中位线有关的证明】 【题型7 等腰梯形的性质定理】 【题型3 三角形中位线的实际应用】 【题型8 等腰梯形的判定定理】 【题型4 中点四边形】 【题型9 三角形中位线压轴题5道】 【题型5（等腰）梯形的定义】 【题型10 梯形压轴大题7道】 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 易错点：记错中位线定理，混淆中位线与中线；忽略中位线“平行且等于底边一半”双重性质；多中点图形找不准中位线。 解题技巧：牢牢记住中位线核心：平行于第三边，长度为第三边的一半；题目出现两个中点，优先连接构造中位线；可快速实现边长、周长、角度的转化计算。 1．如图，在中，，，、分别是的角平分线和中线，过点C作于点F，连结，则线段的长为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中位线定理，能够根据角平分线模型构造合适的辅助线是解题的关键． 延长交于点，根据题意即可证明，从而推得，根据中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴． 2．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则矩形的周长为（） A．7 B．28 C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴矩形的周长． 3．如图是一架人字梯及其侧面示意图，、为支撑架，为拉杆，D，E分别是、的中点．已知，则B、C两点之间的距离为______． 【答案】60 【分析】连接，根据三角形中位线定理即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵D，E分别是、的中点， ∴， ∵， ∴， 即B、C两点之间的距离为． 4．如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，当，，在同一条直线上时，的值最小，求得的长即可． 【详解】解：取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，则，， ， 当，，在同一条直线上时，的值最小， 点为的中点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ， 点为的中点，， ， ， ， ． 的最小值为：． 【题型2 与三角形中位线有关的证明】 易错点：未说明双中点条件直接套用中位线定理；证明过程跳步、逻辑不完整；不会利用中位线证平行、倍分关系。 解题技巧：证明必须先交代“两边中点”条件，再推出中位线平行且倍分关系；遇线段倍半、平行证明，优先构造中位线模型，简化证明步骤。 5．如图， 的两个外角的平分线、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接，则下列结论：①是等腰三角形；②；③；④平分．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，推出，得出，①正确； 只有为中位线时，才能，②不一定正确； 由角平分线的性质得出点到边，，的距离相等，即点到两边的距离相等，得出点在的平分线上，即是角平分线，④正确； 由角平分线的定义得出，由平行线性质得出，推出，由等腰三角形的性质得出，证出，即，③正确． 【详解】， ， ， ， ， 是等腰三角形，①正确； ， 只有为中点时，即为中位线时，才能，所以结论②不一定正确； 的两个外角平分线相交于点， 点到边，，的距离相等，即点到两边距离相等， 平分，④正确； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 即，③正确； 综上，正确为①③④共3个． 6．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．有下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①③④ 【分析】如图：连接，设交于点O，证明四边形是矩形，然后逐个判断即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，故①正确； ∴，故③正确； ∴，若，则，故④正确； ∵，， ∴， ∴四边形不是正方形，故②错误， 综上可知，正确的有①③④． 7．如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，连接，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：如图，连接， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， 四边形是平行四边形． 【分析】连接，由中位线可得，，即可证四边形是平行四边形． 【详解】略 8．如图所示，已知E为中边延长线上一点，且，连接，分别交，于点F，G，连接交于O，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，所以，即可根据“”证明； （2）由，，根据三角形的中位线定理得，且，所以． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）证明：的对角线与交于点， ， 由（1）， ∴， 是的中位线， ，且， ． 【题型3 三角形中位线的实际应用】 易错点：无法从实际场景抽象出三角形模型；混淆测量距离的倍分关系；单位换算出错。 解题技巧：测距、测量高度类题型，固定用中位线倍分关系求解；先提取三角形与中点结构，再套用定理计算，最后还原实际问题答案。 9．如图，要测量池塘的两端点之间的距离，在外选一点，连接，并分别确定它们的中点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵分别为中点， ∴是的中位线， ∴． 10．如图，、两地被池塘隔开，李明通过下列方法测出了、间的距离：先在，两地外选一点、然后分别测出、的中点、、并测量出的距离为、由此他就知道了、间的距离、则______． 【答案】24 【分析】根据三角形的中位线定理，即可得出结果. 【详解】解：由题意，是的中位线，， ∴. 11．解决下列问题 (1)有一张三角形纸片，如图1，沿一条线进行裁剪，使裁剪的两部分拼成（不重叠无缝隙）一个平行四边形，说一说你是怎样裁剪和拼的？ (2)小明发现：在中，如图2，，点、分别在、上（不是的中点），．如果将其裁剪进行拼接，也可以得到一个平行四边形的四个顶点，请进行证明：； (3)在中，，，、分别是边、边的中点，连接，小明发现这张纸片沿着和剪开后即可拼成一个菱形，请你再另外寻找一条线段，沿着这条线段和线段剪开后，可以拼成（不重叠无缝隙）一个菱形，用尺规作图做出这条线段，说明做法，并简要画出拼接后的图形（非尺规作图）． 【答案】(1)作的中位线，沿将纸片剪开，并将纸片绕点旋转得到，即可拼成平行四边形纸片 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）作的中位线，沿将纸片剪开，并将纸片绕点旋转得到，即可拼成平行四边形纸片； （2）沿剪开，将放至下图位置，其中点与点重合，点与点重合，即，连接，接着证明四边形是平行四边形，得到，在中，利用三角形的三边关系得证； （3）以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则，沿和将纸片剪开，将绕点旋转，再将四边形绕点旋转，得四边形为所求菱形． 【详解】（1）解：如图所示，作的中位线，沿将纸片剪开，并将纸片绕点旋转得到，即可拼成平行四边形纸片． ∵是的中位线， ∴，， ∵将绕点D旋转得到， ∴，三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：如图所示，沿剪开，将放至下图位置，其中点与点重合，点与点重合，即，连接， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，即， ∴． （3）解：下图和四边形为所求作， 以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则，沿和将纸片剪开，将绕点旋转得到，再将四边形绕点旋转，得到四边形， ∴，四边形与四边形全等， ∴，， ∵是的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为所求菱形． 12．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 【题型4 中点四边形】 易错点：死记结论不理解原理；混淆原四边形对角线性质与中点四边形形状的关系。 解题技巧：中点四边形一定是平行四边形；原四边形对角线相等→中点四边形为菱形；原四边形对角线垂直→中点四边形为矩形；原四边形对角线垂直且相等→正方形。 13．如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据特殊四边形的判定与性质逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则，即， ∴四边形为矩形，即①正确； ②若，则， ∴四边形为菱形，即②正确； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是3个． 14．对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图，已知四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形． ①若线段的长度为，的长为______； ②若线段的长度为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】①连接，利用是等腰直角三角形可得，利用三角形中位线可得；②取的中点，连接，当三点共线时，最小，此时，有最小值为：. 【详解】①解：连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴即：， ∵分别为的中点， ∴； ②取的中点，连接， ∵为的中点， ∴， 同理：， ∵，分别为的中点， ∴， ∵四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形， ∴四边形是正方形， ∴， ∴在中，， 当三点共线时，最小为， 此时，有最小值为：. 15．如图，，，，分别是四边形各边的中点，且，，．依次取，，，的中点，，，，再依次取，，，的中点，，，以此类推取，，，的中点，，，，若四边形的面积为，则n的值为_________． 【答案】 【分析】根据中点四边形为平行四边形（特殊的平行四边形），以及中点四边形的面积为原四边形的面积的一半，推出的面积为，进行求解即可. 【详解】解：∵，，，分别是四边形各边的中点， ∴，，， ∴， 同理可得，， ∴四边形是平行四边形 ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形； ∴矩形的面积， 同理，是菱形； 则的面积， 的面积， 的面积， 故的面积为， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， 即， 解得. 16．【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，菱形，矩形 (3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的 (4)四边形是同形中点四边形．见解析 【分析】（1）连接，根据中位线的性质得出，．即可证明四边形是平行四边形． （2）根据平行四边形的判定，菱形、矩形的判定，结合中位线的性质，即可求解． （3）根据（2）的结论，即可求解． （4）连接，，根据正方形的性质结合中位线的性质得出，，即可得出四边形是正方形． 【详解】（1）证明：连接． 、分别是、的中点， 是的中位线． ，． 同理得 ，． ，． 四边形是平行四边形． （2）解：当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是菱形； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是矩形； （3）解：中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的． （4）解：四边形是同形中点四边形． 理由如下：连接，． 点、、、分别为正方形的四边中点， ， ， ，，，， 四边形 是正方形， ，， ， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是正方形． 【题型5（等腰）梯形的定义】 易错点：定义记忆不全，忽略“一组对边平行，另一组对边不平行”；误将普通平行四边形当作梯形。 解题技巧：梯形核心定义：只有一组对边平行；等腰梯形是两腰相等的梯形，必须先满足梯形前提，再满足腰相等。 17．如图，在正方形网格中，点A，B，C均为格点，找一个格点D，使四边形是一个梯形，则D点共有几种不同的选法（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，找出符合条件的点即可． 【详解】解：当时，点D可以位于，，的位置， 当时，点D可以位于，的位置， 所以D点共有5种不同的选法． 18．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 19．如图，正六边形中包含___________个等腰梯形． 【答案】 【分析】根据等腰梯形的定义寻找即可． 【详解】解：如图所示共6种： 20．青青把梯形按照下图的方法转化成平行四边形，且面积保持不变．已知梯形的面积是，高是，平行四边形中的长是( )． 【答案】10 【分析】本题考查梯形和平行四边形的面积．可以判断，平行四边形的面积与梯形面积相等．只要知道平行四边形的高，就能结合面积公式求出底．根据条件可以判断，平行四边形的高是梯形高的一半，也就是4厘米．利用面积除以高即可得到答案． 【详解】由题意可知，平行四边形的高为，面积为， ∴平行四边形中底边的长是， 故答案为：10 【题型6 直角梯形的定义】 易错点：认为有两个直角的四边形就是直角梯形；忽略梯形前提条件。 解题技巧：直角梯形判定前提是梯形；核心特征：梯形中有一个内角为直角，即可判定为直角梯形。 21．下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（   ） A．3，4，5，12 B．4，4，4，8 C．4，4，5，7 D．4，5，5，10 【答案】C 【分析】根据直角梯形的性质，平移斜腰可将直角梯形分为一个矩形和一个直角三角形，利用勾股定理验证三边关系即可判断． 【详解】解：∵直角梯形平移斜腰后，可得到一个直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为梯形的高和两底的差，斜边为梯形的斜腰，满足勾股定理， 对选项C，取梯形两底为和，则两底差为，垂直于两底的腰长为，斜腰长为， ∵，符合勾股定理， ∴能构成直角三角形，即原四条线段能组成直角梯形， 其余选项均不满足该关系． 22．如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了平移性质，根据平移性质得，计算出即可，熟练掌握平移性质，梯形面积公式，是解题的关键． 【详解】由平移，得， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 23．如图，在直角梯形中，，，，，，则梯形的面积为________． 【答案】12 【分析】根据梯形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在直角梯形中，，，，， ∴梯形的面积为： ． 24．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了梯形，三角形的面积公式，解题的关键是找到的面积关系和等高的三角形面积间的关系． 先利用得出，再由，求出，即可求出梯形的面积． 【详解】解：， 即， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型7 等腰梯形的性质定理】 易错点：混淆平行四边形与等腰梯形性质；忘记等腰梯形对角线相等、同一底上两角相等。 解题技巧：等腰梯形专属性质：同一底上两角相等、对角线相等、是轴对称图形；对边不相等，不具备平行四边形全部性质。 25．等腰梯形两底之差为8，高为4，则等腰梯形的钝角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作辅助线将等腰梯形转化为直角三角形，利用等腰梯形的性质得到直角三角形的边长，结合直角三角形性质与平行线同旁内角互补的性质计算钝角度数． 【详解】设等腰梯形为，，， 过点作于点，过点作于点，如图， 四边形是等腰梯形，两底差， ，， ， 等腰梯形的高， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，即等腰梯形的钝角度数为． 26．如图，在等腰梯形中，，，，，现有、两个动点分别从点、同时沿梯形的边开始移动，点依逆时针，方向环行，点依顺时针方向环行，若点的速度与点的速度之比为，则点、点第2026次相遇在（   ）点． A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】设梯形腰长为，根据等腰梯形性质及求出各边长及周长；根据的运动方向确定第一次相遇时的路程和，结合速度比求出第一次相遇位置；利用周期性规律计算第次相遇位置． 【详解】设 ∵ 四边形是等腰梯形， ∴ ∴ 梯形周长 ∵， ， ∵ 点依逆时针方向环行，点依顺时针方向环行 ∴ 点从向运动，点从向运动 第一次相遇时，两点路程之和为， ∵ 点与点的速度之比为2:3 ∴ 第一次相遇时，点的路程为 ∵ ∴ 第一次相遇在点 此后每次相遇，两点路程之和增加一个周长点每次相遇增加的路程为，第2026次相遇时，点的总路程 ∵， ∴ 点的位置与第一次相遇位置相同，即在点． 27．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 【答案】9 【分析】过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，由勾股定理推出，再根据列式求解即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在等腰梯形中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴ ． 28．在梯形中，，，若，则______°． 【答案】50 【分析】根据平行线的性质及等腰梯形的性质解答 【详解】解：，， ∴， ∵梯形中，，， ∴梯形是等腰梯形， ∴ 【题型8 等腰梯形的判定定理】 易错点：缺少梯形前提直接判定；判定定理混用，条件不足。 解题技巧：先证是梯形，再用判定：同一底上两角相等的梯形、对角线相等的梯形、两腰相等的梯形，均可判定为等腰梯形。 29．在四边形中，，交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定等知识点，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定等知识点逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，若， ∴四边形可能为等腰梯形或平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形为矩形，故A正确，不符合题意； B、∵，若， ∴四边形可能为等腰梯形或平行四边形， ∵， ∴四边形为等腰梯形或矩形，故B错误，符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故C正确，不符合题意； D、如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故D正确，不符合题意； 故选：B． 30．下列命题中，真命题是（   ） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形 C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且一组邻角相等的四边形是等腰梯形 【答案】B 【分析】本题综合考查了特殊平行四边形和等腰梯形的判定方法，中点四边形的性质．解答该题时，需要牢记常见的四边形的性质．根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是假命题，故该选项不符合题意； B. 顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形，故原命题是真命题，故该选项符合题意； C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题，故该选项不符合题意； D. 一组对边平行且一组邻角相等的四边形不一定是等腰梯形，也可能是直角梯形还可能是矩形，故原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 31．下列说法正确的有_____．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 【答案】②④ 【分析】此题主要考查了直角梯形、等腰梯形的定义和性质，熟练掌握梯形的性质是解题的关键．根据梯形的定义和性质逐一判断各说法是否正确． 【详解】解：①有两个直角的四边形不一定是直角梯形，因为可能没有一组对边平行，不符合梯形定义；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这是等腰梯形的判定定理，正确；③梯形包括直角梯形、等腰梯形和一般梯形，不能仅分为两种，错误；④等腰梯形有一条对称轴，是轴对称图形，正确． 故答案为②④． 32．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，，结合勾股定理得，即，再进一步解答即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， ∴此梯形的面积为； 故答案为：． 【题型9 三角形中位线压轴题5道】 易错点：多中点复杂图形不会构造中位线；动点、多图形综合漏解；倍分关系转化错误。 解题技巧：压轴题遇多个中点，逐层构造中位线；结合平行、相似、线段倍分关系拆解问题；多用转化思想，简化复杂线段关系。 33．在一次数学活动中，某学习小组探究如下：作线段，取其中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点、点旋转后的对应点分别为点、点），如图①，设旋转角度为，且，． (1)当时，求点旋转到点所经过的路径长度（结果保留）； (2)小组同学又进行了如下探究：如图②，连接，取中点，连接、交于点，在旋转过程中，小组同学猜想出如下三个结论：①且线段与线段互相平分；②；③．正确的结论是______（填序号）；选择一个正确结论说明理由； (3)小组同学又进行如下操作：如图③，连接，取中点，连接，若线段与线段关于直线成轴对称，连接、，直接写出当四边形为正方形时的值． 【答案】(1)； (2)①②，证明见解析； (3)或． 【分析】（1）利用旋转的性质，得到点是以点为圆心，长为半径的圆弧，利用弧长公式求解； （2）根据旋转的性质得到是等腰三角形，再利用三角形的中位线性质与等腰三角形“三线合一”证得最终结果； （3）根据三角形的中位线的性质与“在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半”得到对应的线段相等，最后通过等量代换解得答案． 【详解】（1）解：∵点旋转到点， ∴点是以点为圆心，长为半径的圆弧， ∵，点是线段的中点， ∴， 又， ∴点旋转到点所经过的路径长度为； （2）解：正确的为①②，证明如下： ①∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵点为的中点， ∴是线段的垂直平分线，， 由题意知，分别是线段的中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线，， 即，与互相平分； ②∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵点为的中点， ∴是线段的垂直平分线，， 由题意知，分别是线段的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴； （3）解：当或时，四边形是正方形，理由如下： 由题意知：， ∵分别是的中点， ∴， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ①如图1所示：当时 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形； ， ②当时，如图2所示：延长交于点， ， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 34．四边形的探究与实践 (1)问题背景：如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，， ①若，，则________； ②求证：四边形为平行四边形； (2)问题探究：如图，在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：； (3)问题拓展：如图，在（2）的条件下，连接，，若，直接写出的值． 【答案】(1)① ②见解析 (2)见解析 (3) 【分析】  （1）①利用矩形对角线相等且互相平分的性质，先通过勾股定理计算矩形对角线的长度，再取长度的一半即可得到的数值． （1）②利用三角形中位线的性质，得到平行且等于的一半，结合是中点的条件，推导出和平行且相等，直接用一组对边平行且相等的平行四边形判定定理完成证明． （2）通过构造边上的中位线，利用中位线性质得到和平行且相等，先证得是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到等角关系，最终通过等角对等边证明． （3）采用坐标法建立平面直角坐标系，将点放在原点简化计算，依次写出各点坐标，求出直线和的交点的坐标，结合的条件列方程求解出的长度，最后直接计算和的长度比值，得到最终结果． 【详解】（1）①在矩形中，，，， 由勾股定理得， ； ②证明：点是的中点， 点是的中点， 是的中位线，可得 ， 又点是的中点， ， ，且， 四边形为平行四边形． （2）证明：取的中点，连接． 点是的中点， 是的中位线， ， 已知， ， 又， ，即， 四边形是平行四边形， ， 在中，是中点， ， 可得， 由，得， ， 由等角对等边得． （3）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系,如图：设，由，得， ， 由，得 ，即， 设，是中点，故． 设直线的解析式为：, 将点和代入解析式， 得， 解得： 方程为． 同理得，直线的解析式为：． 联立方程求交点：， 解得，， 代入解析式： ， 故． 由得： ， 解得，， ∵点B在点E的左侧，则取， 代入，得各点坐标： ，， ， ， ． 35．如图1，四边形是正方形，点在对角线上，点在边上，连接，且． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，若的中点恰好在线段上，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，继而根据三角形内角和定理得到． （2）根据正方形的性质证明，根据对应边相等得到，继而得证结论． （3）作于点，于点，于点，连接，根据四边形是矩形，得到，根据三角形中位线定理得到，设，通过证明、、、为等腰直角三角形，继而得到，，，从而得到或． 【详解】（1）解：四边形是正方形， 对角线平分， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， 对角线平分， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图2，作于点，于点，于点，连接， ，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， 点是的中点，， ， ， 点是的中点， ∴是的中位线， ， 设，则，由（2）可得， 于点， ， ， ， 为等腰直角三角形，同理、、均为等腰直角三角形， 在等腰直角三角形中，， 在等腰直角三角形中，， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在等腰直角三角形中，， 即． 36．在中，点是对角线的中点，点在边所在直线上方． (1)当为矩形，且为等边三角形时，作垂直于交其延长线于点．连接．补全图形，则的大小关系为：___________（填入“或”）； (2)当，作垂直于交其延长线于点．连接： ①猜想的数量关系，并证明你的结论； ②当为正方形，若，则长的最大值为___________． 【答案】(1)见解析； (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）根据题意补全图形，连接，设交于点K，由矩形的性质得到，，可证明垂直平分，得到，由三角形中位线定理得到；由勾股定理得到；取的中点L，连接，则；；根据，可得； （2）①延长到点G，使得，连接，可证明，得到；证明，得到，则，即可证明C、F、G三点共线，再由直角三角形的性质可得结论；②由正方形的性质得到；取的中点P，连接，同理可得，根据，可得当O、P、F三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】（1）解：补全图形如下所示， 连接，设交于点K， ∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为的中位线， ∴； 在中，； 如图所示，取的中点L，连接， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴； （2）解：①，证明如下： 如图所示，延长到点G，使得，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴点O是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C、F、G三点共线， 在中，， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴； 如图所示，取的中点P，连接， 同理可得， ∵， ∴当O、P、F三点共线时，有最大值，最大值为． 37．【课本回顾】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【定理证明】 已知：如图（1），是的中位线． 求证：，． (1)证明：如图（2），延长到点F，使得，连接，请你根据已经添加的辅助线，写出完整的证明过程．（不再添加新的辅助线） 【定理应用】 (2)如图（3），已知四边形纸片，，，对角线．现要将其剪成四块，使得剪成的四块可以重新拼成一个矩形（无重叠），请在图（3）中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．（不需要说明作图理由） 【类比迁移】 (3)在（1）定理证明的过程中采用了“倍长法”，体现了数学的“转化思想”，请你用这种方法来解决以下问题： 如图（4），在菱形中，，是其对角线，点M为射线（点C右侧）上的一个动点，将点C绕点M逆时针旋转得到点，连接，，点N是的中点，连接，． ①证明：； ②连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①见解析；②的长为2或1 【分析】（1）由点E是的中点得，从而，故，故，由点D是的中点得，又，故四边形是平行四边形，，，故，； （2）取点P，Q，R，S四点分别是边，，，的中点，连接，，为剪痕，把向下移，使点A和点C重合，将逆时针旋转，使点B和点C重合，将顺时针旋转，使点D和点C重合，就会得到一个矩形； （3）①延长至点G，使，连接，，由点N是的中点得，从而可推得，故，，，又，，故，，故，又是等边三角形，故，，故，，故，故是等边三角形，故；②由题意知，，分两种情况讨论：当是的中位线时，，故；当不是的中位线时，取的中点H，连接，，，从而，，故是等边三角形，设，则，故，由得，故． 【详解】（1）证明：如图（2），延长到点F，使得，连接， ∵点E是的中点， ， 又，， ， ，， ， ∵点D是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，， ，； （2）解：作图如下图所示：（答案不唯一） 说明：点P，Q，R，S四点分别是边，，，的中点， 由（1）知，， ∵， ∴．， 把向下移，使点A和点C重合，将绕点R逆时针旋转，使点B和点C重合，将绕点S顺时针旋转，使点D和点C重合，就会得到一个矩形，如图： （3）①证明：如图（2），延长至点G，使，连接，， ∵点N是的中点， ， 又， ， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ，， ， ∵四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形， ； ②的长为2或1， 理由：由题意知，，分两种情况讨论， 当是的中位线时，如图（3），此时， ； 当不是的中位线时，如图（4），取的中点H，连接， ，，又， ，， 是等边三角形， ， 设，则， ， ，解得， ， 综上所述，的长为2或1． 【题型10 梯形压轴大题7道】 易错点：不会辅助线构造；等腰梯形综合题角度、边长推导混乱；分类讨论不全面。 解题技巧：梯形通用辅助线：作高、平移腰、平移对角线；将梯形转化为平行四边形+直角三角形求解；压轴动点问题务必分类讨论，避免漏解。 38．如图，在直角梯形中，，，，，，，同时从，出发，点以的速度沿运动，点从开始沿边以的速度运动，其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．当为何值时，四边形是等腰梯形？ 【答案】 【分析】当时，四边形是等腰梯形，过Q、C分别作，，垂足分别为E、F，得到，四边形、为矩形， 勾股定理求出，根据，列方程求解即可 【详解】∵， ∴当时，四边形是等腰梯形， 过Q、C分别作，，垂足分别为E、F．    则四边形、为矩形， ∴， ∴， ， ∴，解得， 39．如图，在梯形中，，，，，，点从点开始沿折线以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若点、分别从、同时出发，当其中一个点到达点时，另一点也随之停止移动．设移动时间为．求当为何值时： (1)四边形为平行四边形； (2)四边形为等腰梯形； (3)，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，得，，在中，，继而得到，，，根据平行四边形的性质得，即，求解即可； （2）如图，当四边形是等腰梯形时，过作于点，证明四边形是矩形，得，证明，得，再根据列出方程求解； （3）分三种情况：①当点在上时；②当点在上时；③当点在上且在点的右侧时；当点在上且在点的左侧时；分别画出图形求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∴， ∵梯形中，，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵点从点开始沿折线以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，移动时间为， ∴，，，， ∵点、分别从、同时出发，当其中一个点到达点时，另一点也随之停止移动， ∴， 如图，当四边形为平行四边形，则， ∴，即， 解得：， ∴当为时，四边形为平行四边形； （2）解：如图，当四边形是等腰梯形时，过作于点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当为时，四边形为等腰梯形； （3）解：要使，分三种情况讨论： ①当点在上时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴与的距离为， ∵，点在上，点在上， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， 解得：； ②当点在上时，此时，即， 如图， 在中，， ∵， ∴， ∴在中， ∴， ∴，不符合题意； ③当点在上且在点的右侧时，如图， ∴， ∴， 解得：； 当点在上且在点的左侧时，如图， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述，当为或时，． 40．如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)． 【分析】（）首先过点作交于，得四边形是平行四边形，即可求得的长，继而可得是等边三角形，则可求得的长； （）若存在满足条件的点，则必须等于，即可求得恰为等边三角形，过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分，继而可得，则可求得的长； （）分析可得的中点运动的轨迹分为两部分；当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点；当在上时，的中点始终不动，则可求得线段的中点运动的路程． 【详解】（1）解：过点作交于， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：存在满足条件的点，则必须等于， 设动点与的运动时间为， 于是， ∴， 此时，点的位置如图所示，恰为等边三角形， 则， 过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即， ∴四边形是菱形， ∴存在满足条件的点，且； （3）解：的中点运动的轨迹分为两部分； 当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点； 当在上时，的中点始终不动，此段中点运动的距离为， ∴线段的中点运动的路程为． 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 41．如图，直角梯形中，，，，，，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动；动点Q从C点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P，Q分别从D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）. (1)设的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式为________________ (2)求当t为何值时，四边形为矩形？ (3)求当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点P作于点M，则四边形为矩形，得出，由，可知：； （2）当四边形为矩形时，，即，可将t求出； （3）本题应分三种情况进行讨论：①若，在中，由，，将各数据代入，可将时间t求出；②若，在中，由，，将各数据代入，可将时间t求出；③若，，，将数据代入，可将时间t求出． 【详解】（1）解：过点P作于点M，则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：当四边形为矩形时， ， 即，解得， ∴当时，四边形为矩形． （3）解：由图可知，，，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： ①若，在中，， 由得，解得； ②若，在中，， 由得，即， 此时， ∴此方程无解，即； ③若，由得， 解得，（不符题意，舍去）， 综上所述，当或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查梯形的性质、矩形的性质及勾股定理，在解题（3）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象． 42．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为．且满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点对应点为，点对应点为，连接． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)如图1，点是线段上的一个动点，点是线段的一个定点，连接，当点在线段上移动时（不与点重合），请探究之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，动点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为秒，当时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)秒或秒 【分析】（1）先由二次根式和完全平方式的性质求解a和b的值，即可得到点的坐标，再根据图形的平移即可得到点的坐标和点的坐标． （2）作出辅助线，可得和，由两直线平行，内错角相等，可得角相等，再由平角和为转化角的关系即可求解． （3）先求出直角梯形的面积，根据点P的位置，分两类讨论，当点P在上时，设出，则有，由直角三角形的面积可求的面积，即可表示出四边形的面积，根据可求t的值；再讨论点P在的延长线上时，设出未知数，求解面积，由可求t的值，由此可求． 【详解】（1）解：因为满足， 所以且， 解得，， 即点，点， 又因为将线段先向上平移4个单位长度， 则纵坐标为4， 再向右平移6个单位长度得到线段， 则横坐标需加6， 所以可得点，点． （2）解：过点M作交于点E，如图， 因为是由平移得到， 所以， 因为， 所以， 所以，， 因为，， 所以，， 即， 因为， 所以． （3）解：因为， 所以直角梯形， 因为动点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 设运动时间为秒， 当点P在上时， 则，， 所以， 所以， 因为， 所以，解得，满足； 当点P在的延长线上时，如图， 则，， 所以， 所以， 因为， 所以，解得，满足， 所以当时，求的值为秒或秒． 【点睛】本题考查了直角坐标系下的图形平移，平行线的性质，图形的面积计算．在平面直角坐标系下，点的坐标变化规律为：向上平移则纵坐标增加，向右平移则横坐标相加；本题还涉及了三角形的面积和梯形的面积的求解，注意点P是在上还是在的延长线上两种情况求解面积是解决本题的关键． 43．已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2) 定义：在平面内，如果存在一点到四边形的四条边的距离相等，就称这个点为四边形“内心”；如果存在一点到四边形的四个顶点的距离相等，就称这个点为四边形“外心”．如果一个四边形同时存在“内心”与“外心”，就称这个四边形为“双心四边形”；如果一个四边形只存在“内心”或只存在“外心”，就称这个四边形为“单心四边形”． ①i）四边形为（    ） A．双心四边形        B．存在“内心”的单心四边形 C．存在“外心”的单心四边形    D．以上都不对 ii）设，当四边形的“内心”或“外心”存在且在四边形内时（不包括边界），直接写出的取值范围：__________． ②若四边形的“内心”或“外心”存在，请在图2中作出“内心”点或“外心”点（不需要说明作图理由，保留作图痕迹，并写出作图结论）； ③当时，求出“内心”点到四边形的四条边的距离或“外心”点到四边形的四个顶点的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①i）C；ii）；②见解析；③ 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰梯形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键； （1）延长交于点，根据等腰三角形的性质，得出，进而证明，结合已知即可得证； （2）①i）根据角平分线的性质以及垂直平分线的性质分析，即可求解； ii）根据题意画出图形，找到临界点，即在上时，可得是等边三角形，进而得出的值，结合图形，即可求解；②作的垂直平分线交于点，则外心即为所求； ③过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作分别交于点，则四边形是矩形，进而勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴四边形是梯形， 又∵ ∴四边形是等腰梯形； （2）①i）四边形为存在“外心”的单心四边形；如图， 假设四边形为“内心”的单心四边形 ∴内心为对角平分线的交点， 如图，假设为四边形的内心， ∴ 又∵， ∴ ∴，同理可得 ∴四边形是平行四边形，与四边形为等腰梯形矛盾， ∴四边形不是“内心”的单心四边形 故选：C． ii）设，当四边形的“外心”存在且在四边形内时（不包括边界），如图， 当在上时， 此时， 又∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴即 ∵四边形的“外心”存在且在四边形内时（不包括边界） ∴ 又∵ ∴ 故答案为：． ②如图，“外心”点，即为所求； ③如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作分别交于点，则四边形是矩形， ∵， ∴， 直线是等腰梯形的对称轴，则，， ∴ 在中， 设“外心”点到四边形的四个顶点的距离为， 在中， 在中， ∴ 又∵， 设，则 ∴ 解得： ∴ ∴“外心”点到四边形的四个顶点的距离为． 44．如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，请判定四边形的形状________；（直接填空） (2)当时，求t的值． (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)平行四边形 (2)或 (3)存在，当t为4或者或者时，为等腰三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰梯形，勾股定理，等腰三角形的性质以及利用开平方解方程的知识，掌握平行四边形的性质、梯形的性质以及等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据题意有：，进而有，当时，可得，结合，即可作答； （2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况，结合题意计算，得到答案； （3）分三种情况讨论：当为等腰三角形，且时，过点于；当为等腰三角形，且时；当为等腰三角形，且时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：结论：四边形是平行四边形． 理由： 根据题意有：， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当，四边形是平行四边形时， 即有：，则，解得，； 当时，四边形是等腰梯形时， 过点作于，过点于，如图， 根据，可得四边形是矩形， 则， 故， ∵梯形为等腰梯形，于， ， 根据（1）有， ， ∴，解得， 综上所述：或时，． （3）解：存在，理由如下： 根据（1）有， 根据（2）有， 当为等腰三角形，且时， 过点于，如图， 根据（2）可知：时， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，解得，即此时； 当为等腰三角形，且时，如图， ∴，解得，即此时； 当为等腰三角形，且时， 过点于，过点于，如图， 根据（2）同理可知四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ∴， 解得：， 综上所述：当为4或者或者时，为等腰三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【温馨提示】本专题包含10类必考题型，作为八下几何高频考点，学生常出现中位线性质误用、中点四边形规律混淆、梯形判定条件遗漏等问题。本专题系统梳理各题型易错点，总结通用解题模型，夯实几何基础，突破期末压轴难点。 专题10 三角形的中位线和梯形易错必刷题型专项训练 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 【题型6 直角梯形的定义】 【题型2 与三角形中位线有关的证明】 【题型7 等腰梯形的性质定理】 【题型3 三角形中位线的实际应用】 【题型8 等腰梯形的判定定理】 【题型4 中点四边形】 【题型9 三角形中位线压轴题5道】 【题型5（等腰）梯形的定义】 【题型10 梯形压轴大题7道】 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 易错点：记错中位线定理，混淆中位线与中线；忽略中位线“平行且等于底边一半”双重性质；多中点图形找不准中位线。 解题技巧：牢牢记住中位线核心：平行于第三边，长度为第三边的一半；题目出现两个中点，优先连接构造中位线；可快速实现边长、周长、角度的转化计算。 1．如图，在中，，，、分别是的角平分线和中线，过点C作于点F，连结，则线段的长为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 2．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则矩形的周长为（） A．7 B．28 C．2 D． 3．如图是一架人字梯及其侧面示意图，、为支撑架，为拉杆，D，E分别是、的中点．已知，则B、C两点之间的距离为______． 4．如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 【题型2 与三角形中位线有关的证明】 易错点：未说明双中点条件直接套用中位线定理；证明过程跳步、逻辑不完整；不会利用中位线证平行、倍分关系。 解题技巧：证明必须先交代“两边中点”条件，再推出中位线平行且倍分关系；遇线段倍半、平行证明，优先构造中位线模型，简化证明步骤。 5．如图， 的两个外角的平分线、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接，则下列结论：①是等腰三角形；②；③；④平分．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．有下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 7．如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，连接，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． 8．如图所示，已知E为中边延长线上一点，且，连接，分别交，于点F，G，连接交于O，连接．求证： (1)； (2)． 【题型3 三角形中位线的实际应用】 易错点：无法从实际场景抽象出三角形模型；混淆测量距离的倍分关系；单位换算出错。 解题技巧：测距、测量高度类题型，固定用中位线倍分关系求解；先提取三角形与中点结构，再套用定理计算，最后还原实际问题答案。 9．如图，要测量池塘的两端点之间的距离，在外选一点，连接，并分别确定它们的中点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，、两地被池塘隔开，李明通过下列方法测出了、间的距离：先在，两地外选一点、然后分别测出、的中点、、并测量出的距离为、由此他就知道了、间的距离、则______． 11．解决下列问题 (1)有一张三角形纸片，如图1，沿一条线进行裁剪，使裁剪的两部分拼成（不重叠无缝隙）一个平行四边形，说一说你是怎样裁剪和拼的？ (2)小明发现：在中，如图2，，点、分别在、上（不是的中点），．如果将其裁剪进行拼接，也可以得到一个平行四边形的四个顶点，请进行证明：； (3)在中，，，、分别是边、边的中点，连接，小明发现这张纸片沿着和剪开后即可拼成一个菱形，请你再另外寻找一条线段，沿着这条线段和线段剪开后，可以拼成（不重叠无缝隙）一个菱形，用尺规作图做出这条线段，说明做法，并简要画出拼接后的图形（非尺规作图）． 12．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【题型4 中点四边形】 易错点：死记结论不理解原理；混淆原四边形对角线性质与中点四边形形状的关系。 解题技巧：中点四边形一定是平行四边形；原四边形对角线相等→中点四边形为菱形；原四边形对角线垂直→中点四边形为矩形；原四边形对角线垂直且相等→正方形。 13．如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图，已知四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形． ①若线段的长度为，的长为______； ②若线段的长度为，则的最小值为______． 15．如图，，，，分别是四边形各边的中点，且，，．依次取，，，的中点，，，，再依次取，，，的中点，，，以此类推取，，，的中点，，，，若四边形的面积为，则n的值为_________． 16．【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【题型5（等腰）梯形的定义】 易错点：定义记忆不全，忽略“一组对边平行，另一组对边不平行”；误将普通平行四边形当作梯形。 解题技巧：梯形核心定义：只有一组对边平行；等腰梯形是两腰相等的梯形，必须先满足梯形前提，再满足腰相等。 17．如图，在正方形网格中，点A，B，C均为格点，找一个格点D，使四边形是一个梯形，则D点共有几种不同的选法（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 19．如图，正六边形中包含___________个等腰梯形． 20．青青把梯形按照下图的方法转化成平行四边形，且面积保持不变．已知梯形的面积是，高是，平行四边形中的长是( )． 【题型6 直角梯形的定义】 易错点：认为有两个直角的四边形就是直角梯形；忽略梯形前提条件。 解题技巧：直角梯形判定前提是梯形；核心特征：梯形中有一个内角为直角，即可判定为直角梯形。 21．下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（   ） A．3，4，5，12 B．4，4，4，8 C．4，4，5，7 D．4，5，5，10 22．如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 23．如图，在直角梯形中，，，，，，则梯形的面积为________． 24．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为_______． 【题型7 等腰梯形的性质定理】 易错点：混淆平行四边形与等腰梯形性质；忘记等腰梯形对角线相等、同一底上两角相等。 解题技巧：等腰梯形专属性质：同一底上两角相等、对角线相等、是轴对称图形；对边不相等，不具备平行四边形全部性质。 25．等腰梯形两底之差为8，高为4，则等腰梯形的钝角度数是（   ） A． B． C． D． 26．如图，在等腰梯形中，，，，，现有、两个动点分别从点、同时沿梯形的边开始移动，点依逆时针，方向环行，点依顺时针方向环行，若点的速度与点的速度之比为，则点、点第2026次相遇在（   ）点． A．点 B．点 C．点 D．点 27．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 28．在梯形中，，，若，则______°． 【题型8 等腰梯形的判定定理】 易错点：缺少梯形前提直接判定；判定定理混用，条件不足。 解题技巧：先证是梯形，再用判定：同一底上两角相等的梯形、对角线相等的梯形、两腰相等的梯形，均可判定为等腰梯形。 29．在四边形中，，交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 30．下列命题中，真命题是（   ） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形 C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且一组邻角相等的四边形是等腰梯形 31．下列说法正确的有_____．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 32．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为______． 【题型9 三角形中位线压轴题5道】 易错点：多中点复杂图形不会构造中位线；动点、多图形综合漏解；倍分关系转化错误。 解题技巧：压轴题遇多个中点，逐层构造中位线；结合平行、相似、线段倍分关系拆解问题；多用转化思想，简化复杂线段关系。 33．在一次数学活动中，某学习小组探究如下：作线段，取其中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点、点旋转后的对应点分别为点、点），如图①，设旋转角度为，且，． (1)当时，求点旋转到点所经过的路径长度（结果保留）； (2)小组同学又进行了如下探究：如图②，连接，取中点，连接、交于点，在旋转过程中，小组同学猜想出如下三个结论：①且线段与线段互相平分；②；③．正确的结论是______（填序号）；选择一个正确结论说明理由； (3)小组同学又进行如下操作：如图③，连接，取中点，连接，若线段与线段关于直线成轴对称，连接、，直接写出当四边形为正方形时的值． 34．四边形的探究与实践 (1)问题背景：如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，， ①若，，则________； ②求证：四边形为平行四边形； (2)问题探究：如图，在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：； (3)问题拓展：如图，在（2）的条件下，连接，，若，直接写出的值． 35．如图1，四边形是正方形，点在对角线上，点在边上，连接，且． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，若的中点恰好在线段上，试探究与的数量关系，并说明理由． 36．在中，点是对角线的中点，点在边所在直线上方． (1)当为矩形，且为等边三角形时，作垂直于交其延长线于点．连接．补全图形，则的大小关系为：___________（填入“或”）； (2)当，作垂直于交其延长线于点．连接： ①猜想的数量关系，并证明你的结论； ②当为正方形，若，则长的最大值为___________． 37．【课本回顾】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【定理证明】 已知：如图（1），是的中位线． 求证：，． (1)证明：如图（2），延长到点F，使得，连接，请你根据已经添加的辅助线，写出完整的证明过程．（不再添加新的辅助线） 【定理应用】 (2)如图（3），已知四边形纸片，，，对角线．现要将其剪成四块，使得剪成的四块可以重新拼成一个矩形（无重叠），请在图（3）中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．（不需要说明作图理由） 【类比迁移】 (3)在（1）定理证明的过程中采用了“倍长法”，体现了数学的“转化思想”，请你用这种方法来解决以下问题： 如图（4），在菱形中，，是其对角线，点M为射线（点C右侧）上的一个动点，将点C绕点M逆时针旋转得到点，连接，，点N是的中点，连接，． ①证明：； ②连接．若，，请直接写出的长． 【题型10 梯形压轴大题7道】 易错点：不会辅助线构造；等腰梯形综合题角度、边长推导混乱；分类讨论不全面。 解题技巧：梯形通用辅助线：作高、平移腰、平移对角线；将梯形转化为平行四边形+直角三角形求解；压轴动点问题务必分类讨论，避免漏解。 38．如图，在直角梯形中，，，，，，，同时从，出发，点以的速度沿运动，点从开始沿边以的速度运动，其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．当为何值时，四边形是等腰梯形？ 39．如图，在梯形中，，，，，，点从点开始沿折线以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若点、分别从、同时出发，当其中一个点到达点时，另一点也随之停止移动．设移动时间为．求当为何值时： (1)四边形为平行四边形； (2)四边形为等腰梯形； (3)，直接写出的值． 40．如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 41．如图，直角梯形中，，，，，，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动；动点Q从C点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P，Q分别从D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）. (1)设的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式为________________ (2)求当t为何值时，四边形为矩形？ (3)求当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 42．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为．且满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点对应点为，点对应点为，连接． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)如图1，点是线段上的一个动点，点是线段的一个定点，连接，当点在线段上移动时（不与点重合），请探究之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，动点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为秒，当时，求的值． 43．已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2) 定义：在平面内，如果存在一点到四边形的四条边的距离相等，就称这个点为四边形“内心”；如果存在一点到四边形的四个顶点的距离相等，就称这个点为四边形“外心”．如果一个四边形同时存在“内心”与“外心”，就称这个四边形为“双心四边形”；如果一个四边形只存在“内心”或只存在“外心”，就称这个四边形为“单心四边形”． ①i）四边形为（    ） A．双心四边形        B．存在“内心”的单心四边形 C．存在“外心”的单心四边形    D．以上都不对 ii）设，当四边形的“内心”或“外心”存在且在四边形内时（不包括边界），直接写出的取值范围：__________． ②若四边形的“内心”或“外心”存在，请在图2中作出“内心”点或“外心”点（不需要说明作图理由，保留作图痕迹，并写出作图结论）； ③当时，求出“内心”点到四边形的四条边的距离或“外心”点到四边形的四个顶点的距离． 44．如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，请判定四边形的形状________；（直接填空） (2)当时，求t的值． (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $