第四章 因式分解（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材北师大版八年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章因式分解 (高效培优单元自测·提升卷) (考试时间：60分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.12少与2y的最大公因式是（) A.9 B.y C.2xy D.1292 2.把多项式3ab+12ab+12 分解因式的结果是() A.3b(a+22 B.3b(a-22 C.3b(a+42 D.3b(a-42 3.若多项式r-x+12可分解为x+3(x-b ,则a-b的值为() A.3 B.-3 C.11 D.-11 4.下列各式中，能用平方差公式因式分解的是() A.x2-2 B.x-x C.r2+42 D.x2-2x+1 5.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是() A.r+2r+1=xx+2+1 B.a'-b=(a+b)(a-b) C.(x+(x-1)=x2-1 D.x+3x+2=xx+3)+2 6.若a*b,且0-a=3.公-b=3,则a+b的值为（) A.-2 B.2 C.-1 D.1 7.在△ABC由.∠A,∠B,∠C a,b,c 中， 6.c,，且2a-2b+ac-bc=0 请用因式分解判断， △ABC 的对边分别记为 的形状一定是() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 8.小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x+y,x-y,a+b,a-b, 1/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-分别对应下列五个字：美、爱、灵、宝、我，现将x-川口+y-办 因式分解，结果呈现的密码 信息可能是() A.灵宝美 B.我爱灵宝 C.我美 D.爱灵宝 9.定义：任意两个数a,b,按规则c=a+b-ab扩充得到一个新数c,称所得的新数c为“鸿蒙数”.若 a=2,b=x2-2x+ ,则b,c的大小关系为() A.b<c B.b>c C.bzc D.b≤c 10.若关于x的多项式mr+2x-mx+mx+ 的值与无关，且a-h=ma-c=mn+,则式子 a2+b2+c2-ab-bc-ac 的最小值为() A.3 B.2 C.1 D.0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 2ax+4ay 11.多项式 中各项的公因式是· 3x2-3x= 12.分解因式 1.23×512-1.23×492= 13. 14.甲、乙两人在分解因式+ar+ 时，甲看错了“的值，分解的结果是 《-3Xx+2:乙看错了°的值， ，则4b (x-2)(x-3) 分解的结果是 15.若02026-3y则-3w2*9= 16.若关于x的方程-3x-1-0,则代数式2-60-2x+5的值是 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 2/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.已知a+b+c2=ab+bc+ca ,试说明： a=b=c 18.因式分解： ①y+16+8 Q24'(a-b)+b-(b-a) +b=5,ab=3 19.已知 (0求ab+a6 的值： (2)求4+6 的值 20.已知1=r+2x-6,B=-2+4r-10 A,B (1)判断的大小关系. 2诺A=B-上-，求+y+2的值。 21.瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式-36+x-6 进行因式分解， -36y2+x-6y解：原式(t-36y+(x-6列第 步 ①提公因式 =(x-6yx+6列+(x-6列第二步 法： ②公式法. =(x-6y)(x+6y+1 第三步 (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是 法，第二步到第三步因式分解运用的方法是 法（从右框中分别选择一种方法填入序号） x2-6xy+9y2-3x+9y (2)请你按照上述方法分解因式： (3)应用：已知△ABC a4-b4+b2c2-a2c2=0 的三边长a、b、c满足条件： △ABC的形状. ”,试判断 22.先阅读材料，再回答问题： 3/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 材料：分解因式：a+l+a(a+l)+a(a+12 解：a+l+a(a+l+a(a+12 =[(a+l)+a(a+l]+a(a+l2 =[(a+l1+a]+a(a+1)2 =(a+1)2+aa+1)2 回答问题： (1)材料中最后一步分解因式的结果是 ②分解因式：a+1+ala+l+aa++aa+,结果是 )分解因式：a+1+a(a+l+a(a+l+aa+l+…+a(a+l,结果是 4若+1+(x++x(x+++(x+=64,则x的值为 23.我们e多顶式口+2ab+6及“-2b+叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常 做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这 种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分 解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等. 例如：分解因式 x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-4=(x+1+2x+1-2)=(x+3x-1, 例如：求代数式2x2+4x-6的最小值， 22+4x-6=2x2+2x-3到=2(x+1-8.可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是8. 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (0)分解因式：m-61-16= 15m-L,0=m2-8 2)已知P=7, 5m（m为任意实数)，求Q-P的最小值. 4/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化 要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分 解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”. x2+2x)(x2+2x+2)+1 下面是小丹同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程. 解：设+2x= ,则原式0+2)+1 (第一步) =y2+2y+1(第二步) =(y+1)2 (第三步) 放原式(x+2x+1 (第四步) =(x+1)4 (第五步) 请根据上述材料回答下列问题： ()初步理解：小丹同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的() A.提取公因式法B.平方差公式法 C.完全平方公式法 (2)尝试应用： 按照“因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，请你用换元法对多项式 (x2-4x-3)(x2-4x+11)+49 进行因式分解. (3)灵活运用： ①若++1x2+y2-1)=6 ,求+少的值。 (x+3)(x-1)x-4)+36 ②请你将多项式 进行因式分解. 25.【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正 方体)若干，进行数学实践探究· g切白顶 ④ 图1 图2 图3 5/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数 恒等式： 2x+y (2)【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通 过计算说明理由； ③)【拓展应用】如图3，从一个楼长为'的正方体中挖出一个棱长为*的正方体，直接写出广-「因式分 解的结果，并解答以下问题： 己知2a和b分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等 8a3-b=(2a-b5+2ab),若2a-b为整数 时，求ab的值. 6/6 第四章 因式分解 （高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．与的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式最大公因式的求解，需分别确定系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，再将它们相乘得到最大公因式. 【详解】解：根据最大公因式的确定方法：①系数取最大公因数，②字母取公共的字母，③相同字母指数取最小的， ∴与的最大公因式是． 故选：C． 2．把多项式分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用提公因式法及公式法进行因式分解．先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 3．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出a和b的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 4．下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据能用平方差公式因式分解的多项式需要满足：多项式为两项，两项都可写成平方的形式，且两项符号相反，据此判断各选项即可. 【详解】解：A、，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解，该选项错误； B、中不是平方项，只能提取公因式分解，不符合要求，该选项错误； C、，是两个平方项且符号相反，可以用平方差公式分解为，符合要求，该选项正确； D、是三项多项式，不符合要求，不能用平方差公式分解，该选项错误． 5．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式转化为几个整式乘积的形式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，右边是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； B选项，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，是因式分解； C选项，该变形是整式乘法运算，是从乘积化为多项式，不是因式分解； D选项，右边是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解． 6．若，且，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】两式作差后，利用因式分解进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 7．在中，的对边分别记为，且，请用因式分解判断，的形状一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，等腰三角形的定义．通过因式分解给定方程，得到，结合三角形边长为正数，推导出，从而判断三角形形状为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ 在中，边长大于0， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 故选：D． 8．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列五个字：美、爱、灵、宝、我，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．灵宝美 B．我爱灵宝 C．我美 D．爱灵宝 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题需先将原式因式分解到最简形式，再结合给定的字与式子的对应关系匹配密码信息； 【详解】解：∵， ∴提取公因式得：原式， 又∵（平方差公式）， ∴原式， 由题意知：对应“爱”， 对应“宝”，对应“灵”， ∴分解结果的因式对应“爱、宝、灵”，组合可得密码信息“爱灵宝”； 故选：D； 9．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，利用作差法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； ∴． 10．若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整式的混合运算． 根据整式的值与无关求出，然后得出，，对多项式进行整理得出结果为，根据平方的非负性即可得出最小值． 【详解】解： ∵多项式的值与无关， ∴， 整理得， ∴，则两式相减得， ∵ 当时，取最小值，最小值为3， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．多项式中各项的公因式是______． 【答案】 【详解】解：多项式中各项的公因式是． 12．分解因式____________ ． 【答案】 【分析】先确定多项式的公因式，再利用提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： ． 13．______． 【答案】246 【分析】本题考查利用平方差公式进行简算，逆用乘法分配律和平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：246 14．甲、乙两人在分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则__________． 【答案】1 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算甲和乙的分解结果，从而得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 15．若，则____________． 【答案】0 【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算求解． 【详解】解： 将，代入上式，得 原式 ， 故答案为：0． 16．若关于x的方程，则代数式的值是_________． 【答案】5 【分析】根据已知方程得到，对所求代数式变形后，利用整体代入法计算即可． 【详解】， ， ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知 ，试说明： 【答案】见解析 【分析】本题考查因式分解的实际应用，非负性．将，转化为，得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 18．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可． （2）先变形后提公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)15 (2)19 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值． （1）将原式变形为，再代入求值即可； （2）将原式变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解： 当时， 原式； （2）解： 当时， 原式． 20．已知． (1)判断的大小关系． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用作差法计算，通过配方将结果化为完全平方的形式，利用平方的非负性判断大小关系． （2）由（1）得：从而得到，利用平方和绝对值的非负性判断大小关系． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解． 解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法． (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式： (3)应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状． 【答案】(1)②，① (2) (3)是等腰三角形或者直角三角形 【分析】本题考查了因式分解的方法，等腰三角形的定义与勾股定理的逆定理，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； （3）根据平方差公式因式分解，再提公因式得出，进而可得或，结合等腰三角形的定义与勾股定理的逆定理，即可进行判定． 【详解】（1）解：第一步到第二步，是把分解成，这是公式法， 第二步到第三步是提出了，这种方法是提公因式法， 故答案为：②，①； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， 、b、c是的三边， ， 或， 或， 是等腰三角形或者直角三角形． 22．先阅读材料，再回答问题： 材料：分解因式： 解： 回答问题： (1)材料中最后一步分解因式的结果是___________． (2)分解因式：，结果是___________． (3)分解因式：，结果是___________． (4)若，则的值为___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提公因式即可解题； （2）根据因式分解的方法解题即可； （3）结合（1）（2）中的规律即可得到结论； （4）根据（3）中的结论解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：由（1）（2）可知， ； （4）解：， ∴， ∴， 解得． 23．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值， ．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)已知，（为任意实数），求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过添加9构造完全平方式，再减去9使原式值不变，转化为平方差公式，最后分解为； （2）先计算，添加构造完全平方式，再减去，转化为，利用平方非负性得最小值为，即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）∵，为任意实数）， ∴ ， ∵， ∴ ∴当时，的最小值是． 24．在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小丹同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） 故原式（第四步） （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)初步理解：小丹同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（   ） A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)尝试应用： 按照“因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，请你用换元法对多项式进行因式分解． (3)灵活运用： ①若，求的值． ②请你将多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可解答； （2）设，则，原式，即可得到答案； （3）①令，则由得，得出，根据，即可求解． ②先将原式变形为，设，则原式，进而得到原式． 【详解】（1）解：运用了完全平方公式法， 故选：C； （2）设．                      ． （3）①令，则由得，， 解得，                       因为， 所以， 则．                  ② ，                设 原式 25．【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究． (1)若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_____； (2)【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由； (3)【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题： 已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)需要②号长方体个，③号长方体个，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据图2立方体的体积求法即可； （2）根据题中的给定的长方体组合把进行计算即可； （3）先把进行分解，据此分解，得，整理得，再度化简得，根据是完全平方数，可得出的可能取值． 【详解】（1）解：根据题意可知：． （2）解：∵，且，， ∴需要②号长方体12个，③号长方体6个． （3）解：； 由题意，得， 整理得， ∵， ∴． 即． ∵为整数， ∴为完全平方数，且，即 又，，故 因而存在下面两种情形： ①当时，； ②当时，． 综上所述，的值为或． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $